ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α(i), Β(-i), Γ(-3i). Αν w, z μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει w = 3iz 1, z 3i z + 3i Να προσδιορισθούν οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει w=z w + i z + i Να αποδειχθεί ότι για z i και z 3i ισχύει η σχέση = w i z i γ. Να προσδιορισθεί το σύνολο των σημείων Μ(z) για τα οποία ΜΑ=ΜΒ. Το σημείο Γ ανήκει στο παραπάνω Γ.Τ; ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν Ο η αρχή των αξόνων, και z 0 και Α(z), Β(z 1) σημεία του μιγαδικού επιπέδου, να προσδιορίσετε το σύνολο των σημείων Α(z) για τα οποία είναι ΟΑ ΟΒ =0 ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν z, z, z είναι τρείς μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί και διάφοροι μεταξύ τους ανά δύο τότε z z z Να αποδείξετε ότι αν δύο από τους αριθμούς,, είναι φανταστικοί z z z z z z τότε και ο τρίτος είναι φανταστικός Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι το Ο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ όπου Α(z ), Β(z ), Γ(z ) ΑΣΚΗΣΗ 5 Να προσδιορισθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z για τα οποία ισχύει z + 1 = z ΑΣΚΗΣΗ 6 Να προσδιορισθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z για τα οποία ισχύει iz + 3 + z + 3i = 10 ΑΣΚΗΣΗ 7 Αν για τους μιγαδικούς z,w ισχύουν i + z = 6 και w 1 + i = w 3 + 3i τότε να βρείτε Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z και w Την ελάχιστη τιμή του w 1

γ. την ελάχιστη τιμή του z-w ΑΣΚΗΣΗ 8 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Δίνεται η εξίσωση (συν θ)z (ημθ)z + (1 + 4ημ θ) = 0, με z C και θ π, π. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των ριζών της εξίσωσης z, z καθώς μεταβάλλεται το θ. Ακόμη να βρείτε την ελάχιστη απόσταση των ριζών z z. Ακόμη να βρείτε τον Γεωμετρικό τόπο των εικόνων των ριζών αν θ (0, π ) ΑΣΚΗΣΗ 9 Εστω f(z) = + 3 i z 5 zi, όπου z = χ + ψi και χ, ψϵr 1ο. Να βρεθούν τα Ref(z), Imf(z) ο. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(f(z)) στο μιγαδικό επίπεδο 3ο. Να δειχθεί ότι f(z) = χ-ψ 5 4ο. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z=χ+ψi για τους οποίους ισχύει f(z) = 5 ΑΣΚΗΣΗ 10 Εστω ο μιγαδικός αριθμός z = 1 με α R. Να αποδείξετε ότι + iα α) z + z = 4z z β) Ο γεωμετρικός τόπος των z για τις διάφορες τιμές του α είναι κύκλος με κέντρο Κ 1 4, 0 και ακτίνα ρ = 1 4 γ) Οι εικόνες των μιγαδικών z και w = α α 4i είναι σημεία αντιδιαμετρικά του προηγούμενου κύκλου δ) οι εικόνες των μιγαδικών 1 + i, 1 4i και 1 είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου + 010i ΑΣΚΗΣΗ 11 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w και n, για τους οποίους ισχύουν w + 3i z =, Re w 3i = 0, w 3i και (n + ) = 4(n + 1) α) Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών n, z, w β) Να αποδείξετε ότι w + z + n = 1 zw + wn + 9zn 6 ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν για τους μιγαδικούς z, z, z ισχύουν οι σχέσεις z 1 + z + z 3 = 0 και z 1 + z + z 3 = 0. Να αποδείξετε: α) z = z = z β) Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z, z, z αντίστοιχα να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο

ΑΣΚΗΣΗ 13 Αν για τους μιγαδικούς z, z, z ισχύουν οι σχέσεις z 1 = z = z 3 = 1, z 1 + z + z 3 0 και z 1 + z + z 3 = 0 να αποδείξετε ότι: α) z + z = z + z = z + z β) 1 z + 1 z + 1 z = 0 γ) οι εικόνες των μιγαδικών z, z, z, z z z, δ) z + z + z = z z + z z + z z z + z + z είναι ομοκυκλικά σημεία ΑΣΚΗΣΗ 14 ημφ i 1 Εστω z C, ημφ 1 και (1 + iz) = i ημφ, φ π, π και ν θετικός ακέραιος α) Να δείξετε ότι ο z δεν είναι πραγματικός αριθμός β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς που έχουν το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο δ) Να αποδείξετε ότι 4 z 3 + 4i 7 ημφ i 1 ε) Αν z, z ικανοποιούν τη σχέση (1 + iz) = i ημφ τότε να αποδείξετε ότι z z 3

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δ = 16συν θ 4συν θ(5 συν θ) = 16συν θ 0συν θ + 4συν θ = 4συν θ + 4συν θ = = 4συν θ(1 συν θ) = 4συν θημ θ 0 αφου θ π, π {0}. Για θ = 0 τότε z = z = 4συνθ συν θ =. Άρα οι ρίζες είναι z = 4συνθ + iσυνθημθ συν θ = + iημθ συνθ = συνθ + iεφθ και z = συνθ iεφθ Ο γεωμετρικός τόπος των z. Αν z = χ + ψi τότε χ = συνθ Ακόμη ισχύει ο τύπος 1 + εφ θ = 1 συν θ. Αρα 1 + ψ = χ Που περιλαμβάνει και τις τιμές των ριζών για θ=0 Επειδή χ = 4 και ψ = εφθ. 4 χ 4 ψ = 1 0 ο γεωμετρικός τόπος είναι μόνο ο δεξιός κλάδος της υπερβολής που συνθ βρίσκεται στον άξονα χ χ Παρόμοια και για την αποδεικνύουμε ότι ανήκει στην ίδια υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε 5, 0και Ε 5, 0 και κορυφές τα σημεία (,0)και (,0) και μήκος άξονα 4. ΑΣΚΗΣΗ w = z 3iz 1 = z 3iz 1 = z + 3iz z = 1 z = ±i z + 3i 3iz 1 w + i w i = z + 3i + i 3iz 1 + iz 3 = 3iz 1 z + 3i i 3iz 1 iz + 3 = 4iz 4 1 4i z = i z 1i iz + i z + 1 = i z + i i z + 1i = z i i γ. ΜΑ = ΜΒ z i = z + i χ + (ψ 1)i = χ + (ψ + 1)i χ + ψ ψ + 1 = 4χ + 4ψ + 8ψ + 4 3χ + 3ψ + 10ψ + 3 = 0 χ + ψ + 10 3 ψ + 1 = 0 χ + ψ + 10 6 ψ + 100 36 = 100 36 1 χ + ψ + 10 6 Προφανώς το Γ ανήκει στον κύκλο αφού επαληθεύει την εξίσωσή του = 8 6 ΑΣΚΗΣΗ 3 Αφού ΟΑ ΟΒ = 0 Θα πρέπει το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι ορθογώνιο στο Ο. Επομένως θα ισχύει ΟΑ + ΟΒ = ΑΒ z + z 1 = z 1 z zz + (z 1)(z 1) = (z 1 z)(z 1 z) zz + z z z z + 1 = z z z z z z + 1 + z zz + z + zz z z + zz z z = 0 zz(z + z) (z + z) = 0 (z + z)(zz 1) = 0

z = z ή z = 1. Αν z = χ + ψi τότε χ = 0 ή χ + ψ = 1 εκτός από το σημείο (0,0) ΑΣΚΗΣΗ 4 z z Εστω και φανταστικοί τότε θα ισχύουν: z z z z z + z z z z z = 0 z z z z + z z z z = 0 (1) και z + z z z z z = 0 z z z z + z z z z = 0 και με πρόσθεση κατά μέλη έχω z z + z z z z z z = 0 z (z z ) + z (z z ) = 0 z (z z ) + z (z z ) = 0 z z z + z = 0 z φανταστικός z z z z Αρκεί να αποδείξω ότι ΟΑ κάθετος στην πλευρά ΒΓ. Προς τούτο αρκεί να δείξω ότι το διάνυσμα ΟΑ είναι κάθετο στο διάνυσμα ΒΓ δηλ. ΟΑ ΒΓ = 0 ΟΑ = z + z, z z και ΒΓ = z + z z z i, z z z + z και i. ΟΑ ΒΓ = z z + z z z z z z + z z + z z z z z z 4 z z z z z z + z z z z + z z + z z z z = z z z z + z z z z 4 4 από σχέση (1). Κυκλικά αποδεικνύονται και για τα άλλ ΑΣΚΗΣΗ 5 z + 1 = z z + 1 = 4 z (z + 1)(z + 1) = 4zz z z + z + z + 1 = 4zz z z zz + 1 + z + z zz = 0 (zz 1) + (z z) = 0 (zz 1) i (z z) = 0 [zz 1 + i(z z)] [zz 1 i(z z)] = 0 zz 1 + i(z z) = 0 ή zz 1 i(z z) = 0. Και αν z = χ + ψi τότε από την zz 1 + i(z z) = 0 έχω χ + ψ ψ + 1 = χ + (ψ 1) = και από την zz 1 i(z z) = 0 έχω χ + ψ + ψ + 1 = χ + (ψ + 1) = ΑΣΚΗΣΗ 6 iz + 3 + z + 3i = 10 i z + 3 + z + 3i = 10 i(z 3i) + z + 3i = 10 i i (z 3i) + z + 3i = 10 (z 3i) + z + 3i = 10 που είναι έλλειψη με τις εστίες στον ψ ψ με συντεταγμένες Ε (0,-3) και Ε(0,3) με το α=5 και β=4 και η εξίσωσή της είναι: ψ 5 + χ 16 = 1 = 0 5

ΑΣΚΗΣΗ 7 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ i + z = 6 i + z = 6 3 z = 6 z =. Και επομένως ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας Εστω w = χ + ψi τότε από την σχέση w 1 + i = w 3 + 3i χ + ψi 1 + i = χ + ψi 3 + 3i χ 1 + (ψ + 1)i = χ 3 + (ψ + 3)i (χ 1) + (ψ + 1) = (χ 3) + (ψ + 3) χ χ + 1 + ψ + ψ + 1 = χ 6χ + 9 + ψ + 6ψ + 9 4χ 4ψ 16 = 0 χ ψ 4 = 0 που είναι και μεσοκάθετος του ευθ. τμήματος ΑΒ με Α(1,-1) και Β(3,-3) 0 0 4 Το ελάχιστο w = = 4 = γ. Η ελάχιστη απόσταση z-w είναι η απόσταση ΑΒ, όπου Α,Β είναι τα σημεία που βρίσκουμε αν από την αρχή των αξόνων φέρω κάθετη στην ευθεία ψ=χ-4 ΟΑ= ΟΒ = και ΑΒ = ΟΒ ΟΑ = = = ( 1) ΑΣΚΗΣΗ 8 Δ = 4ημ θ 4συν θ(1 + 4ημ θ) = 16συν θημ θ 4συν θ 16συν θημ θ = 4συν θ Δ 0 διότι θ π, π. Και επομένως z, z = z, z = 4ημθσυνθ ± iσυνθ συν θ 6 ημθ ± iσυνθ συν θ = εφθ ± 1 συνθ i. Εστω z = εφθ + 1 i και συνθ z = εφθ 1 συνθ i. Αν z = χ + ψi τότε z = χ ψi και χ = εφθ, ψ = ± 1. Και από συνθ τον γνωστό τύπο της τριγωνομετρίας 1 + εφ θ = 1 συν θ 1 + χ 4 = ψ ψ χ 4 = 1 ψ 1 χ = 1 με α = 1, β = και γ = β + α γ = 5. Αρα εστίες έχει τις Ε (0, 5)

Ε0, 5. Μήκος άξονα. Επειδή οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί και επομένως έχουν άξονα συμμετρίας τον χ χ αν η μία κινείται στον ένα κλάδο της υπερβολής η άλλη θα κινείται στον άλλο κλάδο και επομένως z z = α = Αν θ 0, π τότε χ 0 οπότε από την υπερβολή θα κρατήσουμε τα τμήματα που βρίσκονται στο πρώτο και τέταρτο τερτημόριο ΑΣΚΗΣΗ 9 + 3 i z 5 zi = + 3 i (χ + ψi) 5 (χ ψi)i = = χ + ψi + 3 χi 3 ψ 5 χi 5 ψ = χ 4ψ + (ψ χ)i Αρα Ref(z) = χ 4ψ και Imf(z) = χ + ψ Εστω Μ(α,β) τότε α=χ-4ψ και β=-χ+ψ τότε β=-χ+4ψ=-α άρα β+α=0 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των Μ είναι η ευθεία χ+ψ=0 f(z) = (χ 4ψ) + ( χ + ψ) = (χ ψ) + (χ ψ) = = 5(χ ψ) = χ ψ 5 4. = χ ψ 5 = 5 χ ψ = 1 χ ψ = 1 η χ ψ = 1 χ ψ 1 = 0 η χ ψ + 1 = 0 ΑΣΚΗΣΗ 10 z + z = 4z z 1 + iα + 1 iα = 4 1 + iα 1 iα + + iα iα 4 + α = 4 4 + α 4 4 + α = 4 το οποίο ισχύει 4 + α 7

z 1 4 = 1 + iα 1 iα = 4 4 4( + iα) = 1 iα 4 + iα = 1 4 + α 4 4 + α = 1 4 γ. 1 z w = + iα α α 4i = 1 + iα α (α i) = 1 + iα αi αi = ( + iα) ( + iα) = 1 δ. 1 + i 1 4i = 1 + i i ( + i) = i ( + i) = 1. Που είναι σημεία αντιδιαμετρικά. 1 + i 1 + 010i 1 + i + 010i 4i i 010i 4i που είναι αληθές 4i Άρα οι πιο πάνω εικόνες είναι κορυφές ορθογωνίου αφού η εικόνα του οιποιουδήποτε μιγαδικού βλέπει το ημικύκλιο με ορθή γωνία ΑΣΚΗΣΗ 11 w + 3i w + 3i Αφού Re = 0, τότε ο είναι φανταστικός και επομένως θα ισχύει: w 3i w 3i w 3i w + 3i = w + 3i w 3i ww 3iw 3iw 9 = ww 3iw 3iw + 9 w = 18 w = 9 w = 3 (n + ) = 4(n + 1) (n + ) = 4(n + 1) n + = 4 n + 1 n + = n + 1 n + = n + 1 (n + )(n + ) = (n + 1)(n + 1) nn + n + n + 4 = nn + n + n + n = n = Αφού n = n = nn = n = n. Παρόμοια z = και w = 9 z w w + z + n = w + z + n = w + z + n = z + n + 9 + zw + 9zn = nw = w nzw nw + zw + 9zn nw + zw + 9zn = = = 1 nw + zw + 9zn z w n 3 6 ΑΣΚΗΣΗ 1 (z 1 + z + z 3 ) = z 1 + z + z 3 + z z + z z + z z = 0 z z + z z + z z = 0 z z + z z + z z = 0 z ( z z ) + z z + z z = 0 z z z + z z + z z = 0 z + z z = 0 z = z z z = z z z. Παρόμοια αποδεικνύουμε ότι z = z z z και z = z z z. Επομένως z = z = z z = z = z Πρέπει να δείξω ότι z z = z z = z z. Εφαρμόζοντας το ερώτημα έχω: Παρατηρώ ότι (z z ) + (z z ) + (z z ) = 0 και (z z ) + (z z ) + (z z ) = = z + z z z + z + z z z + z + z z z = z z + z z + z z = 0 8

Επομένως από το ερώτημα έχω ότι: z z = z z = z z ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 13 z 1 + z + z 3 = 0 z 1 + z = z 3 z 1 + z = z 3 z 1 + z = z 3 = 1 Παρόμοια και για τα άλλ 1 z + 1 z + 1 z = 1 z + 1 z + 1 z = z 1 1 + z + z 3 = 0. Αρα z + 1 z + 1 z = 0 γ. Έχουμε z 1 = z = z 3 = 1 και z z z = z z z = 1 1 1 = 1 και z z + z z + z z z + z + z = = z z + z z + z z z + z + z = z z + z z + z z z + z + z = z z + z z + z z z + z + z 9 = z z + z z + z z 1 z + 1 z + 1 z = z z + z z + z z z z + z z + z z = z z z = 1. Επομένως όλες οι εικόνες βρίσκονται σε κύκλο z z z κέντρου Κ(0,0)και ακτίνας ρ = 1 δ. (z 1 + z + z 3 ) = z 1 + z + z 3 + z z + z z + z z = 0 (z 1 + z + z 3 ) = (z z + z z + z z ) z 1 + z + z 3 = z z + z z + z z z z + z z + z z = z 1 + z + z 3. Στο προηγούμενο ερώτημα αποδείξαμε ότι: z z + z z + z z = 1 z z z + z z + z z 1 + z + z 3 = 1 = 1 z + z + z z + z + z z + z + z z + z + z = 1 z + z + z = 1 ΑΣΚΗΣΗ 14 Έστω z είναι πραγματικός αριθμός και z=α R τότε έχουμε (1 + iα) ημφ i 1 = i ημφ 1 + ημφ i 1 iα = i ημφ 1 + α = ημ φ + 1 ημ φ + 1 1 + α = 1 α = 0. Τότε όμως θα έχουμε ημφ i 1 i ημφ = 1 ημφ i 1 = i ημφ ημφ = 1. Αυτό είναι άτοπο αφού ημφ 1 Από την δοθείσα έχω ότι: 1 + iz = 1 iz i = 1 i(z i) = 1 z i = 1. Και επομένως οι εικόνες =

βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(0,1)και ακτίνας ρ = 1. γ. πρέπει να φτιάξουμε το γεωμετρικό τόπο όπως φαίνεται παρακάτω Είναι z μ = και z = i και z = 0, όταν z = 0 δ. z 3 + 4i = z (3 4i). Που σημαίνει την απόσταση του z από το σημείο Α(3,-4). Από το σχήμα φαίνεται ότι η ελάχιστη απόσταση είναι η ΑΒ = ΑΚ ρ = 3 + 5 1 = 34 1 > 4 και η μέγιστη απόσταση είναι η AG = AK + ρ = = 34 + 1 < 7 ε. Τα z, z ικανοποιούν τη δοθείσα σχέση. Επομένως θα είναι σημεία του κύκλου κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας ρ = 1. Επομένως z z ρ z z 10