ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Το φέρον σε ένα σύστημα DSB διαμόρφωσης είναι c t A t μηνύματος είναι το m( t) sin c( t) sin c ( t) ( ) cos 4 c και το σήμα. Το διαμορφωμένο σήμα διέρχεται από ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο με κεντρική συχνότητα c και εύρος ζώνης (ισχύει ότι c ). Να προσδιορίσετε την έκφραση του σήματος εξόδου του φίλτρου, να σχεδιάσετε το φάσμα πλάτους του και να υπολογίσετε το εύρος ζώνης του. ΛΥΣΗ Το διαμορφωμένο κατά DSB είναι: u( t) m( t) c( t) A sin c( t) sin c ( t) cos c t Παίρνουμε το ΜΣ Fourier του u(t): U A( ) ( ) c c A c c c c ( c) 0, c και ( ) 0, c c Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι. Όταν το διαμορφωμένο περάσει από ζωνοπερατό φίλτρο με κεντρική συχνότητα c και εύρος ζώνης, θα κοπούν οι συχνότητες από ( c +/) ως ( c +) και ( c -/) ως ( c -), αντίστοιχα και στις αρνητικές συχνότητες. Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος που έχει περάσει από το ζωνοπερατό φίλτρο θα είναι τώρα.
A Arect( ) Atri( ) 0 - -/ / 4A Arect( ) Atri( ) 0 - -/ / U( ) A 0 -c - -c -/ -c -c +/ -c + c - c -/ c c +/ c + U()H() A 0 -c -/ -c -c +/ c -/ c c +/ ΘΕΜΑ Δίνεται το σήμα xt που προκύπτει ως συνέλιξη δύο επιμέρους σημάτων: sinc * sinc sin x t b bt a at c c ct θετικοί αριθμοί με b a c 0 και sinc t sin t. t όπου οι α,b,c είναι πραγματικοί
(α) Να βρεθεί το φάσμα του σήματος στο πεδίο των συχνοτήτων X και να προσδιοριστεί η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας του. (β) Να προσδιοριστεί μια έκφραση του σήματος xt στην οποία δεν περιλαμβάνεται η συνέλιξη και να προσδιοριστεί η έκφραση στο πεδίο του χρόνου του δειγματισμένου σήματος x n (όπου n ακέραιος), που προκύπτει μετά από δειγματοληψία του xt με συχνότητα δειγματοληψίας πενταπλάσια της ελάχιστης συχνότητας δειγματοληψίας κατά Nyquist. (γ) Το σήμα xt διαμορφώνει κατά συχνότητα (FM) ένα συνημιτονικό φέρον με σταθερά απόκλισης συχνότητας k 00. Να υπολογιστεί το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος ως συνάρτηση των α και c. (Υπόδειξη: Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας για διαμόρφωση FM συνημιτονικού φέροντος από τυχαίο σήμα πληροφορίας y(t) δίνεται από τη σχέση: max max y( t) k ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Δίνεται το σήμα xt b sinc bt * asinc at csin cct, όπου abc,, και b a c 0. Το σήμα αυτό αποτελείται από τη συνέλιξη δύο επιμέρους σημάτων, του x t b sinc bt και του sinc sin x t a at c c ct Υπολογίζουμε τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς Fourier: Για το x t b bt sinc, αναλυτικά έχουμε: sinc F t rect Ιδιότητα αλλαγής κλίμακας sinc b b x t b bt rect X b F b t rect Πολλαπλασιασμός κατά μέλη με b F sinc
Για το xt a sinc at c sin cct sinc, αναλυτικά έχουμε: F t tri ιδιότητα αλλαγής κλίμακας F a sinc at tri F t tri sinc πολλαπλασιασμός με και στα μέλη Και F csincc t rect c Άρα F x t a at c c ct tri rect X b sinc sin Κι επειδή, η συνέλιξη των σημάτων, x t x t στο πεδίο του χρόνου ισοδυναμεί με γινόμενο των αντίστοιχων φασμάτων στο πεδίο των συχνοτήτων, θα έχουμε: sinc * sinc sin * x t b bt a at c c ct x t x t F X X rect tri rect X b c F Τα επιμέρους φάσματα των σημάτων, x t x t απεικονίζονται στο παρακάτω b c σχήμα (όπου έχει ληφθεί υπόψη η σχέση b a c 0 a 0: X () -b/ -a -c/ 0 c/ a b/ Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα του γινομένου των φασμάτων είναι αυτούσιο το
φάσμα X : -b/ -a -c/ 0 c/ a b/ Συνεπώς, εφόσον η μέγιστη συχνότητα του φάσματτος που προέκυψε ισούται με a, η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας θα ισούται με: max (κριτήριο Nyquist) ισούται με: s,min max a (β) Από την απάντηση του προηγούμενου ερωτήματος προέκυψε ότι το αποτέλεσμα X, δηλ. του γινομένου των φασμάτων είναι αυτούσιο το φάσμα X X, οπότε και το σήμα xt απλούστερα xt asinc at c sin cct Το σήμα δειγματίζεται με συχνότητα δειγματοληψίας ίση με: 5 5a 0 s,min Οπότε η αντίστοιχη περίοδος δειγματοληψίας θα είναι: T sec 0 Συνεπώς, το δειγματισμένο σήμα στο πεδίο του χρόνου θα ισούται με: x n x t a sinc ant csinc cnt a sinc a csinc c tnt a γράφεται: n n 0 0a (γ) To εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος δίνεται από τον κανόνα του Carson: W D y
όπου D max Το σήμα πληροφορίας Επίσης, επειδή y xt έχει εύρος ζώνης ίσο με xt a sinc at c sin cct max max sinc sin a sinc at λαμβάνεται για 0 πλάτος του c sin cct ahz ισχύει ότι x t a at c c ct a c (η μέγιστη τιμή της συνάρτησης y max t και είναι ίση με α. Την ίδια χρονική στιγμή και το είναι μέγιστο και ίσο με c). Συνεπώς, έχουμε ότι: k 00 max max y( t) a c 50a c Hz max 50a c οπότε, D a y και τελικά το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος θα ισούται με: 50a c W a Hz a h( t) ( t) sin c( t) cut cut ΘΕΜΑ 3 Δίνεται το μονόπλευρο φάσμα πλάτους του σήματος x(t), ως εξης: X()=0 δ() + 8 δ(-) + 6 δ(-4) +4 δ(-6) + δ(-8) + δ(-0) + ½ δ(-) Tο σήμα περνάει από ένα φίλτρο με κρουστική απόκριση h(t) = sinc (5t) cos(0πt) και στην έξοδο λαμβάνεται το σήμα y(t) με μονόπλευρο φάσμα πλάτους Υ(). Να ευρεθεί το μονόπλευρο φάσμα πλάτους Υ() του σήματος εξόδου του φίλτρου.. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Προκειμένου να εφαρμοσθεί το θεώρημα Y() = X() H() των γραμμικών και χρονικά αμετάβλητα συστημάτων απαιτείται να υπολογισθούν τα αμφίπλευρα φάσματα όπου χρειάζεται.
Αμφίπλευρο φάσμα X() = 0 δ() + 4 δ(-) + 4 δ(+) + 3 δ(-4) +3 δ(+4) + δ(-6) + δ( + 6) + δ(-8) + δ( + 8) + ½ δ(-0) + / δ( + 0) + ¼ δ(-) + ¼ δ(+) H() = Fourier { h(t) } => sinc (5t) ιδιότητα κλιμάκωσης /5 tri(/5) λόγω ιδιότητας διαμόρφωσης sinc (5t) cos(0πt) H() = /0 { tri[(+0)/5] + tri[(-0)/5]} Η πρώτη tri() ορίζεται στο -5< <-5 με κέντρο -0, και εύρος 0 = *5 Η δεύτερη tri() ορίζεται στο 5< <5 με κέντρο 0, και εύρος 0 = *5 Από το αμφίπλευρο φάσμα του X() ανωτέρω θα περάσουν κατά συνέπεια οι όροι δ(-6) + δ( + 6) + δ(-8) + δ( + 8) + ½ δ(-0) + / δ( + 0) + ¼ δ(-) + ¼ δ(+) και πλέον το αμφίπλευρο φάσμα του σήματος εξόδου είναι Y() = /0 { /5 * δ(-6) + /5 * δ( + 6) + 3/5 δ(-8) + 3/5 δ( + 8) + ½ δ(-0) + ½ δ( + 0) + 3/5 *¼ δ(-) +3/5* ¼ δ(+) } Οπότε το μονόπλευρο ζητούμενο φάσμα του Y() = /0 { 4/5 δ(-6) + 6/5 δ(-8) + δ(-0) + 6/5 *¼ δ(-) } B) Τα ζητούμενα διαγράμματα φαίνονται παρακάτω:
X() 0 8 6 4 / 0 4 6 8 0
Y() 0. 0. 0.08 0.03 0 6 8 0 ΘΕΜΑ 4 Έστω ένα σήμα x(t) με το παρακάτω φάσμα: X() -3000-000 0,5 000 3000 Hz Το σήμα x(t) περνάει από ένα μη-ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο με συνάρτηση 000 000 μεταφοράς: H( ) 000 000 και στην έξοδο προκύπτει το σήμα y(t).
(α) Να εκφράσετε το φάσμα X() αναλυτικά, βάσει ορθογωνικών και τριγωνικών συναρτήσεων. (β) Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h(t) του φίλτρου. (γ) Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε το φάσμα Y(). (δ) Να υπολογίσετε το σήμα εξόδου του φίλτρου, y(t). Ενδεικτική Μεθοδολογία:. Να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες χρονικής κλιμάκωσης και μετατόπισης φάσματος. Να προσέξετε ότι το ζωνοπερατό φίλτρο δεν είναι ιδανικό. ΛΥΣΗ (α) Η αναλυτική έκφραση του φάσματος αποτελείται από έναν τριγωνικό παλμό Λ(/000) και από τετραγωνικούς παλμούς εύρους 000Hz με κέντρο στα ±000 Hz, δηλαδή 000 000 X( ) 0.5 0.5 000 000 000 (β) Πρώτα σχεδιάζω τη συνάρτηση 000 000 μεταφοράς H( ) 000 000. -000 000 000 3000 Προκύπτει από μετατόπιση φάσματος κατά 000 Hz και κλιμάκωση κατά 000 της Λ(). Όμως, sin c t ( ) 000sin c 000 t ( ) 000 h( t) 000sin c 000t cos 000t 000sin c 000t cos 000t Άρα (γ) Στο επόμενο σχήμα φαίνονται τα X() και H(). 0,5 000 000 3000 Hz Το γινόμενό τους δίνει το Y():
0,5 000 000 3000 Hz 000 000 Συνεπώς, Y( ) 0,5 0,5 000 000 (δ) Γνωρίζουμε ότι sin c t ( ) 000sin c000 t ( ) 000 y( t) 000sin c 000t cos 000 t. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός θα είναι ΘΕΜΑ 5 Δίνεται το σήμα: xt sin 00 t cos 000t sin 500t (α) Να υπολογιστούν οι συχνότητες που περιέχει το σήμα x(t)και να σχεδιαστεί το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους του, χωρίς να υπολογιστεί ο ΜΣ Fourier του. Είναι το x(t) περιοδικό; (β) Το σήμα x(t) διέρχεται από ιδανικό υψιπερατό φίλτρο μοναδιαίου πλάτους με συχνότητας αποκοπής 0Ηz και προκύπτει το σήμα y(t). Να υπολογίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς H() και την κρουστική απόκριση h(t) του φίλτρου, καθώς και την έκφραση του σήματος y(t) στο πεδίο του χρόνου. (γ) Να υπολογιστεί η συχνότητα του σήματος y(t). (δ) Να υπολογιστεί το φάσμα πλάτους Z Y rect * tri, όπου * το 400 00 σήμα της συνέλιξης και Υ() το φάσμα πλάτους του y(t). Ενδεικτική Μεθοδολογία: Να προσπαθήσετε να φέρετε το σήμα σε μορφή αθροίσματος πρωτοβάθμιων όρων και στη συνέχεια να εργαστείτε με βάση το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους που προκύπτει. Στο τελευταίο ερώτημα να προσπαθήσετε να δείτε σε τι αντιστοιχεί η πράξη της συνέλιξης στο πεδίο του χρόνου ή να εφαρμόσετε απευθείας τις ιδιότητες της συνέλιξης στο πεδίο των συχνοτήτων.
ΛΥΣΗ (α) Έχουμε cos000 t x t sin 00 t cos 000 t sin 500t sin 00 t sin 500t 000 cos t 500 sin 00 t sin t Οι συχνότητες που περιέχονται είναι οι 500 00,000, Ηz Το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους είναι το παρακάτω: X() / /4-000 -00-3.558 3.558 00 000 (Hz) Το σήμα δεν είναι περιοδικό, εφόσον περιέχει το (περιοδικό) σήμα με συχνότητα 500 5 5 Ηz το οποίο αθροιζόμενο με οποιοδήποτε από τα άλλα σήματα δίνει μη περιοδικό σήμα διότι ο λόγος των περιόδων τους θα είναι άρρητος αριθμός. (β) Η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου γράφεται: H rect 0 και η κρουστική απόκριση θα ισούται με ht t 0sinc 0t Το σήμα y(t) θα ισούται με y t sin 00 t cos 000t (γ) Έχουμε y t sin 00 t cos 000t Ο πρώτος όρος του αθροίσματος έχει περίοδο T και ο ος όρος έχει περίοδο sec 000 sec 00 T οπότε ο λόγος τους είναι T 00 0 T, ρητός άρα το σήμα είναι 00 000 περιοδικό με περίοδο T T 0T sec και η συχνότητα του είναι 00Ηz
(δ) Το σήμα y(t) ισούται με y t sin 00 t cos 000t Συνεπώς: j Y 00 00 000 000 4 Άρα, Z Y rect * tri 400 00 = j 00 00 00 00 * j tri tri tri 00 00 00 Το φάσμα πλάτους Z() αποτελείται από τους τριγωνικούς παλμούς (το j και το πρόσημο - δεν παίζουν ρόλο στο φάσμα πλάτους). 00 00 tri, tri 00 00 ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ένα σύστημα, που έχει ως είσοδο το σήμα xt με χρονική κυματομορφή που απεικονίζεται παρακάτω: x(t) - -.5-0.5 t
και ως έξοδο το σήμα με έκφραση στο πεδίο του χρόνου που υπολογίζεται από την εξής συνέλιξη: y t t t 3 t 3 * rect t. Ζητούνται τα εξής: X (α) Να υπολογιστεί το φάσμα πλάτους του σήματος εισόδου (β) Να υπολογιστεί το φάσμα πλάτους του σήματος εξόδου Y (γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι ίση H cos 3. με Ενδεικτική Μεθοδολογία: Na xρησιμοποιήσετε ιδιότητες ΜΣ Fourier και μετασχηματισμούς τυπικών σημάτων από πίνακες προκειμένου να προσδιορίσετε τις ζητούμενες εκφράσεις στα πεδία των συχνοτήτων και του χρόνου. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Από το δεδομένο σχήμα το σήμα xt ισούται με:.5.5 x t rect t rect t. Συνεπώς το φάσμα πλάτους ισούται με: j.5 j.5 X e sinc e sinc cos 3 sinc. (β) Δίνεται ότι yt t t 3 t 3 * rect t Στο πεδίο των συχνοτήτων, ο ΜΣ Fourier της συνέλιξης θα αντιστοιχεί στο γινόμενο των ΜΣ Fourier των επιμέρους όρων της: Y t t 3 t 3rect t cos 6 sinc sinc cos 6 sinc (γ) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι η ακόλουθη: Y cos6 sinc H. X cos 3 sinc Κι επειδή ισχύει ότι cos 6 cos 3 τελικά έχουμε: Y cos 3 sinc H cos3 X cos 3 sinc ( )sin ( ) exp ( )sin ( ) exp X c b c c b j c b b a c b a j b a