ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Δίνεται συνάρτηση f: παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει: f () = 3f() για κάθε και f (0) =. Να δείξετε ότι η συνάρτηση 3 3 g() e f() = είναι σταθερή και να βρεθεί ο τύπος της f. Παραγωγίζοντας την g, έχουμε: 3 3 g () 3e f() e f () = +, () όμως, έχει δοθεί: f () = 3f(), () άρα από την (), βάσει της (), παίρνουμε: 3 3 g = 3 e f + 3e f = 0, για κάθε, δηλαδή η συνάρτηση g είναι σταθερή. Έχουμε: g() = c, (3), για κάθε και c Συνεπώς, βάσει της (3), έχουμε: 3 e f() c =, δηλαδή Για = 0, από την (4), παίρνουμε: 3 f () = ce,. (4) πραγματική σταθερά. c =, 3 άρα ο τύπος της f, λόγω της (4), είναι:
=. 3 3 f() e, Μεθοδολογία Για να δείξουμε ότι μια συνεχής συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ, αρκεί να δείξουμε ότι: f () = 0 για κάθε Δ. Επίσης, αν θέλουμε να βρούμε και τον τύπο της συνάρτησης, αρκεί να δίνεται η τιμή της συνάρτησης για ένα οποιοδήποτε Δ.
Παράδειγμα. Να βρείτε τον τύπο της f:, στις παρακάτω περιπτώσεις: i) f () = 3 6 +, =, με f( ) = 5 ii) f () e =, =, με f 0 = 3 iii) = συν, =, με f ( 0) = και f () e f 0 = 3 i) Έχουμε, 3 3 f () 3 6 f 3 f 3 c = + = + = + + (), c. Επειδή f( ) = 5, από την () για =, παίρνουμε: c= 5. Συνεπώς, ο τύπος της συνάρτησης είναι: 3 f () = 3 + + 5,. e ( ) e e ii) f () = f () = f () = e e e ()e (e) f () = f () = f() c = + (), c. (e ) e e Επειδή f( 0) = 3, από την () για = 0, παίρνουμε: c= 3. Συνεπώς, ο τύπος της συνάρτησης είναι: f() = 3,. e iii) f () = e συν (f()) = (e ηµ ) f () = e ηµ + c (3), c. Επειδή f ( 0) =, από την (3), για = 0, παίρνουμε: c = 0, οπότε από την (3) θα έχουμε: f () = e ηµ f () = (e + συν ) f() = e + συν + c (4), c. Ομοίως, από την (4) επειδή f( 0) = 3 και για = 0, παίρνουμε: c =. Συνεπώς, ο τύπος της συνάρτησης είναι: 3
f() = e + συν +,. Μεθοδολογία Αν θέλουμε να βρούμε τον τύπο μιας συνάρτησης f, για την οποία ισχύει f () = g(), για κάθε χ που ανήκει σε διάστημα Δ, όπου g() γνωστή συνάρτηση, τότε: βρίσκουμε συνάρτηση G() τέτοια ώστε: G () = g(), για κάθε χ που ανήκει σε διάστημα Δ, οπότε: θα έχουμε: f () = G (), για κάθε, επομένως, f() = G() + c,, c σταθερά. 4
Παράδειγμα 3. Να βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, + ), για την οποία ισχύει: f() + f() = f(), για κάθε > 0 και f( ) = e. Η δοθείσα σχέση, ισοδυνάμως μετασχηματίζεται ως εξής: f f f f f f + = + = [ f()]= f() (), για κάθε > 0. Συνεπώς, βάσει της ισοδυναμίας: f () = f() f() = ce, από την () έχουμε: ce = =, > 0, (). f() c e f() Επειδή f( ) = e, από την () για =, παίρνουμε: c=. Επομένως, ο τύπος της συνάρτησης είναι: e f() =, (0, + ). Μεθοδολογία Αν έχουμε ισότητα της μορφής, H(,f (),f()) = A()f(), A() 0, (), για κάθε που ανήκει στο κοινό πεδίο ορισμού Δ των συναρτήσεων της σχέσης (), τότε: Με κατάλληλους μετασχηματισμούς η () παίρνει την μορφή, ( B()f() ) f() f() = B()f() ή = (), για κάθε, Γ() Γ() όπου A(),B(), Γ() γνωστές συναρτήσεις, με B() 0, Γ() 0, για κάθε. Ισοδυνάμως, έχουμε ότι : f() B()f() = ce, ή Γ () = ce, για κάθε, c πραγματική σταθερά. Στη συνέχεια, από συνθήκες που θα δίνονται για τις συναρτήσεις του προβλήματος, θα προσδιορίζεται η σταθερά c και κατά συνέπεια ο τύπος της f. 5
Παράδειγμα 4. Να βρείτε τη συνάρτηση f στις παρακάτω περιπτώσεις: i. H f είναι παραγωγίσιμη στο με f( 0) = και. ii. H f είναι παραγωγίσιμη στο ( 0, + ) με f () 3 ( 0, + ). f = 3 + συν για κάθε = και f () = + για κάθε π iii. H f είναι παραγωγίσιμη στο με f = 0. και f = συν ηµ για κάθε = ηµ + συν για κάθε iv. H f είναι παραγωγίσιμη στο με f( 0) = 0 και f e ( ). v. H f είναι παραγωγίσιμη στο ( 0, π ) με f ( 0, π ). π π = ηµ συν f = συν και για κάθε i. Για κάθε έχουμε: f 3 = + ηµ 3 = + συν f ( ) ( ) 3 f = + ηµ. 3 Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: f = + ηµ + c () Επειδή f( 0) =, για = 0 από την () βρίσκουμε: 3 f = + ηµ + για κάθε. ii. Για κάθε ( 0, ) + έχουμε: f 0 = c c=. Άρα: f () f () f () ( ) ( ln ) = + = + = + + 6
f () = + ln +. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: f () = + ln + + c () Επειδή f( ) = 3, για = από την () βρίσκουμε: f( ) = + 0+ + c 3= + c c=. Άρα: f () ln = + + + για κάθε ( 0, ) +. iii. Για κάθε έχουμε: = συν ηµ = συν + ( συν ) f f Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: f = συν + c (3) f = συν. π π π π Επειδή f = 0, για = από την (3) βρίσκουμε: f = 0 + c 0 = c. f = συν για κάθε. Άρα: iv. Για κάθε έχουμε: = ηµ + συν = ηµ + συν f e f e e = ηµ + ( ηµ ) f e e f = e ηµ. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: f = e ηµ + c (4) Επειδή f( 0) = 0, για = 0 από την (4) βρίσκουμε: f( 0) = 0 + c 0= c. Άρα: f = e ηµ για κάθε. v. Για κάθε ( 0, ) π έχουμε: ηµ συν ηµ ( ηµ ) f = f = συν ηµ f = ηµ. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: f = + c ηµ (5) 7
π π π Επειδή f =, για = από την (5) βρίσκουμε: π π π π f = + c = + c 0 = c. Άρα: f = για κάθε ( 0, ) ηµ π. Μεθοδολογία Έστω μία συνάρτηση g ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα. Αν ζητείται συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ώστε: f () = g() για κάθε ενεργούμε ως εξής: Βρίσκουμε μια συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο ώστε: h () = g() για κάθε. (Υπάρχει τέτοια συνάρτηση εφόσον η g είναι συνεχής). Έτσι έχουμε: f () = h () για κάθε. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε f() = h() + c για κάθε. Αν επιπλέον δίνεται κάποια συνθήκη που ικανοποιεί η f, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά c και έτσι θα έχουμε υπολογίσει τη συνάρτηση f. Τέλος ελέγχουμε αν η συνάρτηση που προσδιορίσαμε είναι η ζητούμενη. 8
Παράδειγμα 5. π Να βρείτε τη συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με π π f = ln, f = και τέτοια ώστε f π = για κάθε 0, 3 4 συν. π Για κάθε 0, f = f = εϕ. έχουμε: συν Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: f = εϕ + c. π π Για =, έχουμε: f = + c = + c c= 0. 4 4 ηµ ηµ ( συν) =εϕ = = = συν συν συν Άρα: f f f f f = ln συν f = ln συν + c. π Επειδή 0,, είναι 0 π Επειδή f = ln, έχουμε: 3 συν > οπότε: f = ln συν + c. π π f = ln συν + c ln = ln + c ln = ( ln ln ) + c c = 0. 3 3 π = συν, 0,. Άρα: f ln Μεθοδολογία Έστω μία συνάρτηση g ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα. Αν ζητείται συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ώστε: f () = g() για κάθε ενεργούμε ως εξής: 9
Βρίσκουμε μια συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο ώστε: h () = g() για κάθε. (Υπάρχει τέτοια συνάρτηση εφόσον η g είναι συνεχής). Έτσι έχουμε: f () = h () για κάθε. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε f() = h() + c για κάθε. Αν επιπλέον δίνεται κάποια συνθήκη που ικανοποιεί η f, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά c και έτσι θα έχουμε υπολογίσει τη συνάρτηση f. Τέλος ελέγχουμε αν η συνάρτηση που προσδιορίσαμε είναι η ζητούμενη. 0
Παράδειγμα 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f( 0) = και f f ( + συν ) + f ηµ = 0 για κάθε. Να βρείτε τη συνάρτηση f( ). Για κάθε έχουμε: f f + συν + f ηµ = 0 f ( + συν) f ( + συν ) + f ηµ = 0 f ( + συν ) + f ηµ = f ( + συν) και επειδή ( + συν) 0 αφού συν έχουμε f ( + συν ) + f ηµ f ( + συν) f f = =. ( + συν ) ( + συν) + συν + συν Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: f + συν = = + συν ce f c e για κάθε. 0 Για = 0, επειδή f( 0) =, έχουμε: f( 0) c3e c = =. 3 f = + συνe,. 3 Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι: Μεθοδολογία Χρησιμοποιήσαμε τη βασική πρόταση: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του, έχουμε: Αν f () = f() για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε f() = c e,.
ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει: f ( ) = + 3 (), για κάθε. Αν f( ) =, να βρείτε τον τύπο της f. Θέτουμε = u = u+, u οπότε η () γίνεται: f (u) = (u + ) + 3, άρα f (u) = u + 7 ή f () = + 7, για κάθε, οπότε: f () = ( + 7), για κάθε, δηλαδή, f () = + 7 + c (), για κάθε, c. Επειδή f( ) =, από την () για =, έχουμε: f( ) = 8+ c, δηλαδή c= 6. Συνεπώς, ο τύπος της f είναι: f () = + 7 6,. Μεθοδολογία Έστω μία συνάρτηση f:, όπου Δ διάστημα. Αν για την f έχουμε μια σχέση της μορφής f ( g() ) = h(), (), για κάθε Df Dg = Dh, όπου g, h γνωστές συναρτήσεις, και θέλουμε να προσδιορίσουμε τον τύπο της f ή να βρούμε την αριθμητική τιμή της f στη θέση = α, όπου α Df. Τότε θέτουμε g() = u, u και έχουμε: Α) Αν η g είναι και η g() = u λύνεται ως προς, τότε μετά τις αντικαταστάσεις καταλήγουμε σε μια σχέση της μορφής f () = t(), από την οποία σχέση στη συνέχεια προσδιορίζουμε τον τύπο της f ή την αριθμητική τιμή της f στη θέση = α. Β) Αν η g() = u δεν λύνεται ως προς, τότε:
Κατασκευαστικά προσπαθούμε να φτάσουμε (αν είναι εφικτό) την () στη μορφή, f g() = v g() f (u) = v(u) από την οποία σχέση στη συνέχεια προσδιορίζουμε τον τύπο της f ή την αριθμητική τιμή της f στη θέση = α. 3
Παράδειγμα. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: f 0 = 3 και f () = 5 + 6 (), για κάθε. Nα βρείτε τον τύπο της f., για την οποία ισχύει Για κάθε, από την (), έχουμε: f () = 5 + 6 ( )( 3) f () =, συνεπώς, f = 3 f = 3. Άρα: f() 3 + c, < = + > 3 c, όπου c,c. Από f( 0) = 3, έχουμε: 0 3 0 c 3 c 3 + = = Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 =, θα είναι και συνεχής στο 0 =, συνεπώς έχουμε: f() = limf() = limf() δηλαδή + lim 3 c lim 3 c + + = + 4+ c = 4+ c c = c. Άρα c = 3. Λόγω της συνέχειας της f, παίρνουμε: f () = lim f () = lim 3 3 + =. Άρα, 4
3 + 3, < f () =, = 3 + 3, > Τελικά, ο τύπος της συνάρτησης είναι: f () = 3 + 3,. Μεθοδολογία Αν Α, Α διαστήματα με Α Α = και f () = g () για κάθε A A θα έχουμε: Αν Α, τότε f() = g() + c, Αν Α, τότε f() = g() + c, όπου c, c R. Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε τις σταθερές από ιδιότητες που ικανοποιεί η f. 5
Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει: f () + f() = 0 (), για κάθε, με f( 0) = 3. Να βρεθεί ο τύπος της f. Επειδή = (), η () γίνεται: f () + () f() = 0 (), για κάθε. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της () με το f e + e f = 0 f e = 0 συνεπώς, f () e = c (3), για κάθε, c. Επειδή f( 0) = 3, για = 0, e παίρνουμε: από την (3), έχουμε: c = 3, (4). Συνεπώς, από τη (3) λόγω της (4), ο τύπος της συνάρτησης είναι: f () = 3 e,. Μεθοδολογία Όταν έχουμε μια σχέση της μορφής: f () + g() f() = 0, τότε πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης με το G () = g() και έτσι έχουμε: G() e, όπου G() μια συνάρτηση για την οποία ισχύει: G() G() G() f () e + G () e f() = 0 [f() e ]= 0 G() f () e = c, c πραγματική σταθερά. Συνεπώς, ο τύπος της συνάρτησης θα είναι: G() f () ce, =. 6
Παράδειγμα 4. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f = 5f για κάθε και όπου α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f f( ) να βρεθεί ο τύπος της. f α = 4 = α είναι σταθερή στο και Για κάθε η συνάρτηση f( ) α είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων, οπότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (άρα και συνεχής), ως γινόμενο παραγωγίσιμων, με παράγωγο: g = f f α + f f α α g = f f α f f α, () Αφού η σχέση f = 5f ισχύει για κάθε, έχουμε f ( ) 5f( ) Αντικαθιστώντας αυτές τις σχέσεις στην (), βρίσκουμε: g = 5f f α 5f f α g = 0. Επομένως g = c για κάθε, όπου c σταθερός αριθμός. Από τη σχέση g = f f( α ) για = α, έχουμε: α = α. g ( α ) = f ( α) f ( α) g ( α ) = 4 4 g ( α ) = 6. Άρα g = 6 για κάθε. Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι σταθερή σε ένα διάστημα (όχι ένωση διαστημάτων), αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο και ότι f = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος. Τότε θα ισχύει: f = c για κάθε, όπου c σταθερός αριθμός. Για να βρούμε τη σταθερά c, αρκεί να βρούμε την τιμή της f σε ένα οποιοδήποτε σημείο. Τότε θα ισχύει: f = f( 0 ) για κάθε. 0 7
Παράδειγμα 5. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο ώστε f + f = 0 για κάθε ( 0, ) ( 0, π ). π π 0, π με f =, f = 0 και τέτοια 6 f = 4 ηµ για κάθε π. Να αποδείξετε ότι Επειδή για κάθε ( 0, π ) είναι ηµ 0, αρκεί να αποδείξουμε ότι: ( 0, π ). f ηµ = 4 f Θεωρούμε τη συνάρτηση g = η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ηµ f ηµ f συν συνεχής στο διάστημα αυτό, με παράγωγο g = ηµ για κάθε 0, π, άρα και Έστω η συνάρτηση h = f ηµ f συν η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ( 0, π ) με: h = f ηµ + f συν f συν f ηµ h = f + f ηµ h = 0 ηµ h = 0, (0, π). Επομένως h = c για κάθε ( 0, π ), όπου c σταθερός αριθμός. Επειδή h π f π f π = 0= 0, είναι: h 0 f f 0 = ηµ συν = για κάθε ( 0, ) π. Τότε από την () προκύπτει: g = 0 για κάθε ( 0, ) Άρα g Ισοδύναμα: Για π. = c για κάθε ( 0, π ), όπου c είναι σταθερός αριθμός. f c ηµ = π = έχουμε: 6 f c = ηµ για κάθε ( 0, ) π. π π f = c ηµ = c c = 4. 6 6 Άρα: f = 4 ηµ για κάθε ( 0, ) π. () 8
Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f έχει σε ένα διάστημα τύπο της μορφής f f =α g μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση h = αν g 0 για κάθε g και να αποδείξουμε ότι είναι σταθερή στο και ίση με α (ή τη συνάρτηση f g ϕ = 0 για κάθε ). ϕ = α ) και να αποδείξουμε ότι 9
Παράδειγμα 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f 0 για κάθε. Αν ισχύουν οι σχέσεις lim f = και f f συνάρτηση f( ). = για κάθε, να βρείτε τη Για κάθε έχουμε: f f = f f = Άρα υπάρχει σταθερά c, ώστε: f c = + για κάθε. ( f ) ( ) Επειδή η f, ως παραγωγίσιμη στο, είναι συνεχής στο 0 =, έχουμε: f () = lim f =. Για = έχουμε: Επομένως: f c c c 3 = + = + =. f 3 f 3 = + = + για κάθε. () =. Επειδή η f είναι συνεχής με f 0 για κάθε, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο. Όμως είναι f () = > 0. Άρα είναι f > 0 για κάθε. Συνεπώς από την () έχουμε: f = + 3 για κάθε. Μεθοδολογία Έστω μία συνάρτηση g ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα. Αν ζητείται συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ώστε: f () = g() για κάθε ενεργούμε ως εξής: Βρίσκουμε μια συνάρτηση h παραγωγίσιμη στο ώστε: h () = g() για κάθε. (Υπάρχει τέτοια συνάρτηση εφόσον η g είναι συνεχής). Έτσι έχουμε: f () = h () για κάθε. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε f() = h() + c για κάθε. Αν επιπλέον δίνεται κάποια συνθήκη που ικανοποιεί η f, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά c και έτσι θα έχουμε υπολογίσει τη συνάρτηση f. Τέλος ελέγχουμε αν η συνάρτηση που προσδιορίσαμε είναι η ζητούμενη. 0
Παράδειγμα 7. * Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο f 3 f = και f * τέτοια ώστε: f = για κάθε. Να βρείτε τη συνάρτηση f. με ( ) =, Για κάθε (,0) ( 0, + ) έχουμε: f = + = f f f Άρα υπάρχουν σταθερές c,c ώστε: + c,,0 f = f + c, 0, + f =. c +, (,0) =. c +, ( 0, + ) Όμως f( ) 3 c = + = 3 c = 4 c f = + = c =. και Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι: f 4, (,0) =. +, ( 0, + ) Μεθοδολογία Αν ισχύει f g = για κάθε εσωτερικό σημείο ενός συνόλου της μορφής A = και οι f,g είναι συνεχείς σε καθένα από τα διαστήματα και, τότε υπάρχουν σταθερές g + c, c,c ώστε: f =. g + c,
Παράδειγμα 8. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει f συν ότι: f = e ( + ) για κάθε 0. Να βρείτε τη συνάρτηση f. f συν = + f + f = e + e +συν f = e +ηµ. Για κάθε (,0) ( 0, + ) έχουμε: f e ( ) Άρα υπάρχουν σταθερές c,c ώστε: e + ηµ + c,,0 f = e + ηµ + c, 0, + Η συνάρτηση h f =, ως γινόμενο παραγωγίσιμων, είναι συνεχής στο 0 = 0. Άρα lim h = lim h = h 0 + 0 0 ( ) lim e + ηµ + c = lim e + ηµ + c = h(0). Τότε: c = c = h(0). + 0 0 Όμως ( ) lim h = lim f = 0 f 0 = 0. Επομένως c = c = 0, οπότε: 0 0 + ηµ e + ηµ, 0, + e,,0 f = 0, = 0 f = e + ηµ για κάθε. Για κάθε 0 ηµ, έχουμε: f e = +. Για = 0, επειδή η f ως παραγωγίσιμη στο, είναι συνεχής στο 0 = 0, έχουμε: ηµ f ( 0) = lim f = lim e + = 0 + =. 0 0 Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι: f ηµ e +, 0 =, = 0.
Μεθοδολογία Αν οι συναρτήσεις f,g ορίζονται στο διάστημα ( αβ, ) και ισχύει f g,, α 0 0 β, τότε υπάρχουν σταθερές c,c ώστε: = για κάθε g() + c, α (, 0) f() =. g() + c, ( 0, β) Αν επιπλέον οι f,g είναι συνεχείς στο 0, έχουμε: lim f = lim f = f g + c = g + c = f c = c = f. + 0 0 Άρα: f() g() f( 0) 0 0 0 0 0 = + για κάθε (, ) αβ. 3
Παράδειγμα 9. Έστω συνάρτηση f : ( 0, + ) f f( y) ισχύει: f( y), παραγωγίσιμη στο 0 0 + = για κάθε, y () = με f 0 = 4 και για την οποία i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη για κάθε με f = f. ii. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. i. Από τη σχέση () για = y= 0 έχουμε: f 0 f 0 = f 0 f 0 = 0 f 0 f 0 = 0. Επειδή είναι f 0 για κάθε, έχουμε: Επομένως: f ( 0) = 4 Έστω τώρα τυχόν 0. Έχουμε: ( + ) f h f f ( ) lim h 0 0 0 = = lim h 0 h 0 f f h f lim h 0 h 0 0 f 0 = 0 f 0 =. f f 0 f lim = 4 lim = 4 () 0 0 0 f( h) f f 0 f h = lim = h 0 h 0 0 ( 0) lim ( 4 ) f ( ) f f h f = =. h 0 h 0 h f Άρα η f παραγωγίσιμη στο 0 με f ( 0) = f( 0). Δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () = f() για κάθε. ii. Για κάθε έχουμε: f = f + = =. e f e f 0 f e 0 Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: 0 = f + f = 0 4
c = = =. e f e c f f ce, 0 Για = 0, επειδή f( 0) =, έχουμε: f 0 = ce = c. f Επομένως η συνάρτηση f έχει τύπο: = e για κάθε. Μεθοδολογία Στο (β) ερώτημα της άσκησης αυτής είχαμε μια παράσταση της μορφής f +λ f = h όπου f είναι μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του και h συνεχής στο. Σε μια τέτοια περίπτωση πολλαπλασιάζουμε αμφότερα τα μέλη με e λ οπότε: λ λ λ λ f +λ f = h e f +λe f = e h Αν ϕ είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε λ e h λ ( e f ) = ( ϕ ( )) κ.τ.λ. ϕ =, έχουμε: λ ( e f ) = e h 5
Παράδειγμα 0. Έστω συνάρτηση π σχέσεις f = f: *, παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύουν οι και f f( π ) = ηµ για κάθε () i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f f = π είναι σταθερή. ii. Να βρείτε τη συνάρτηση f. i. Στη σχέση () που ισχύει για κάθε, θέτουμε όπου το π και έχουμε: f π f π π =ηµ π f π f =ηµ () ( ) Αφαιρώντας κατά μέλη τις () και (), για κάθε έχουμε: f f( π ) f ( π ) f = 0 f f( π ) = 0 g = 0. Άρα υπάρχει σταθερά c ώστε: g = c για κάθε. ii. Έχουμε ήδη αποδείξει ότι για κάθε ισχύει: g = c f f( π ) = c. π π π Για = από τη σχέση αυτή έχουμε: f f = c = c c=. π = π = για κάθε, διότι f Τότε: f f f. Αντικαθιστώντας στην σχέση (), για κάθε έχουμε: f = ηµ f = ηµ f f ηµ f = 0 f f f 0 * f() για κάθε + ( συν ) = e f + e ( συν) f = 0 συν συν συν Άρα υπάρχει σταθερά c R ώστε: f e = c,. π π 0 Για = βρίσκουμε: f e = c = c. συν Συνεπώς: f e = f( ) =,. συν e f e = 0. συν 6
Μεθοδολογία Αν οι συναρτήσεις f, g, h είναι συνεχείς σε ένα διάστημα και f, g παραγωγίσιμες σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε όταν έχουμε παράσταση της μορφής f + g f = h πολλαπλασιάζουμε αμφότερα τα μέλη με + = + = g g g f g f h e f e g f e h g g ( ) e f = e h. Αν ϕ είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε g ( e f ) = ϕ κ.τ.λ. g e οπότε: g ϕ = e h, έχουμε: Ημερομηνία τροποποίησης: /9/0 7