ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε κλσμτική εξίσση κάθε εξίσση που έχει άγνστο στον προνομστή. 7 6 Γι πράδειγμ οι εξισώσεις + 5, + είνι κλσμτικές ενώ οι εξισώσεις 5 +, + δεν είνι κλσμτικές 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΙΑΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η διδικσί που κολουθούμε γι την λύση μις κλσμτικής εξίσσης είνι η εξής: Κάνουμε πργοντοποίηση προνομστών. Πίρνουμε περιορισμούς γι τους προνομστές(ν μην είνι μηδέν). Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών. Κάνουμε πλοιφή προνομστών πολλπλσιάζοντς κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις οπότε μετά τις πράξεις προκύπτει μι εξίσση πρώτου ή δευτέρου βθμού. Λύνουμε την εξίσση που προκύπτει κτά τ γνστά. Εξετάζουμε ν οι λύσεις είνι δεκτές ή πορρίπτοντι λόγ τν περιορισμών που θέσμε.
0 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτ προτάσεις με (Σ), ν είνι σστές, ή με (Λ), ν είνι λνθσμένες : 6 ) Οι όροι της εξίσσης + 8 ορίζοντι ν 0 κι. β) Ο ριθμός 0 είνι λύση της εξίσσης +. + 5 γ) Αν πλείψουμε τους προνομστές της εξίσσης +, τότε υτή γράφετι 5 +. δ) Οι όροι της εξίσσης ορίζοντι γι κάθε πργμτικό ριθμό + κι ο ριθμός 0 είνι λύση της. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ) Οι όροι της εξίσσης γι ν ορίζοντι πρέπει 0 κι. (Σ) β) Ο ριθμός 0 δεν είνι λύση της εξίσσης γιτί 0 (ο είνι προνομστής)(λ) γ) Αν πλείψουμε τους προνομστές της πρπάν εξίσσης τότε προκύπτει η 5 +.(Λ) δ) Πράγμτι ορίζετι γι κάθε γιτί +>0 άρ κι + 0. ( + ) ( + ) ( + ) 0 Επίσης είνι + + [ ( + ) ] 0 ( ) 0 0 0 Άρ είνι σστό (Σ). Αν διιρέσουμε ένν ριθμό με τον ριθμό που είνι κτά μονάδες μεγλύτερος βρίσκουμε. Ποι πό τις πρκάτ εξισώσεις εκφράζει την πρπάν πρότση ;. + ) β) γ) δ) - + ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η σστή πάντηση είνι η γ + +. Η εξίσση + 6 έχει ς λύση τον ριθμό + ) β) γ) 0 δ)
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 05 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι λύσεις που ποκλείοντι κτρχάς είνι οι ) κι β) γιτί μηδενίζουν τους προνομστές τν δύο κλσμτικών πρστάσεν κι επομένς υτές δεν ορίζοντι. Η τρίτη λύση 0 ν ντικτστθεί στην εξίσση μς δίνει -+6 που είνι λάθος, ενώ η ν ντικτστθεί στην εξίσση μς δίνει +6 που είνι ληθής. Επομένς η πρπάν εξίσση έχει ς λύση την δ).. Ένς μθητής γι ν λύσει την εξίσση, έκνε πλοιφή προνομστών κι λύνοντς την εξίσση που προέκυψε, βρήκε ς λύση τον ριθμό. Η πάντησή του είνι σστή ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Είνι λάθος γιτί λόγ τν προνομστών πρέπει ν υπάρχει ο περιορισμός. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) 7 + 9, β), γ) - - - δ) 7 + 7 5 +, ε), στ) - 5 0 - - 6 ) - - - 5 ) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε.Κ.Π(-, ) (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε - 0 κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Ε.Κ.Π ( ) ( -) Προκύπτει μι εξίσση πρώτου βθμού Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους κι βρίσκουμε την λύση.
06 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7 β) 7 + 8 9 + 9 γ) - + - + 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 δ) 7 5 7 0 + 0 0 5 0 + 0 6 + 0 + 7 ε) + 7 + + + 6 + 7 9 ( ) ( ) + ( ) 0 0 7 β) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π(-,) (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Ε. Κ. Π Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Προκύπτει μι εξίσση πρώτου βθμού οπότε χρίζουμε γνστούς πό γνώστους κι βρίσκουμε κτά τ γνστά την λύση της, η οποί είνι δεκτή. γ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών Ε. Κ. Π[-,- ] - ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: - 0 οπότε Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Ε. Κ. Π Κάνουμε τις πλοποιήσεις Προκύπτει μι εξίσση πρώτου βθμού οπότε χρίζουμε γνστούς πό γνώστους κι βρίσκουμε κτά τ γνστά την λύση της, η οποί πορρίπτετι γιτί μηδενίζει τους προνομστές. Επομένς η εξίσση είνι δύντη. δ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών Ε. Κ. Π[5,0, ] 0 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 0 0 οπότε 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Προκύπτει μι εξίσση βθμού την ο- ποί κι λύνουμε. Η λύση που βρίσκουμε είνι δεκτή. ε) Αλλάζουμε το πρόσημο στο τελευτίο κλάσμ γι ν φτιάξουμε τον προνομστή κοινό με του πρώτου κλάσμτος. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών Ε. Κ. Π[-,- ] -. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: - 0 οπότε. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Προκύπτει μι εξίσση βθμού η οποί είνι όριστη ή τυτότητ, δηλδή έχει σν λύση οποιοδήποτε ριθμό εκτός του.
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 07 5 6 στ) 5 6 ( ) ( ) ( ) 5 6 + o 5 6 στ) Αλλάζουμε το πρόσημο στο τελευτίο κλάσμ γι ν φτιάξουμε τον προνομστή κοινό με του πρώτου κλάσμτος. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών Ε. Κ. Π[-,- ] -. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: - 0 οπότε. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Προκύπτει μι εξίσση βθμού η οποί είνι δύντη ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) 5 7 6, β) +, γ), + δ) 6 + + - +, ε) +, στ) - + + + + ( ) ( ) ( ) ). + 0 Στην εξίσση + 0 έχουμε,β -,γ,οπότε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ (- ) 6 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: + ( ) δεκτή β ± β γ ± ±,. δεκτή ) Βρίσκουμε το Ε. Κ.Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ.Π [,,]. ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 0, οπότε 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι επειδή προκύπτει μι εξίσση β βθμού μετφέρουμε όλους τους όρους σε έν μέλος κι την λύνουμε όπς φίνετι πρκάτ.
08 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 β) + 5 5( -) + ( -) 5 5 + + 5 0 ( -) + ( -) ( - ) β) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[,-,] (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε 0 κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού. Στην εξίσση + 5 0 είνι,β,γ 5,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ ( ) 5 0 8 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:, β ± β + 8 0 γ ( ) ±. 7 6 γ) + 7 ( + ) ( + ) + 6 ( + ) 7( + ) 6( + ) 7 + 6 + Στην εξίσση + 8 0 + 9 5 δεκτή 8 ± 9 9 δεκτή γ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ.Π[,+, ] (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Αφού μετφέρουμε τους όρους σε έν μέλος κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού. είνι,β 8,γ -,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ 8 ( ) 6 + 9 56 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 09, β ± β γ 8 ± 56. 8 + 6 δεκτή 8 8 6 δεκτή 8 δ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 6 6 0 Στην εξίσση ( ) ( ) + 6 0 δ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[(-),-,] (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Εφρμόζουμε την τυτότητ (β) -β+β Αφού μετφέρουμε τους όρους σε έν μέλος κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού. είνι -,β,γ -6,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ ( ) ( 6) + 5 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:, ε) β ± ( + ) 6 6 ( + ) β ( + ) γ ( + ) + ( + ) ( + )( + ) + ( + ) 6 + 6 0 ( + ) 6 + + + + 6 + 0 + + + + ( ) + + + ±. 0 ή - πορρίπτοντι κι οι δύο + 5 δεκτή 5 ± 5 5 δεκτή ε) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[(+),,+] (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Αφού μετφέρουμε τους όρους σε έν μέλος κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με την βοήθει της πργοντοποίησης κι της ιδιότητς.β0 τότε ο ή β 0. Λόγ τν περιορισμών οι δύο λύσεις πορρίπτοντι κι η εξίσση είνι δύντη.
0 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ στ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) - + + ( + ) - + + + 0 + στ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[,+,(+)] (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την τυτότητ -β ( +β)(-β). Κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού. Στην εξίσση 0 είνι,β,γ -,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ ( ) ( ) 9 + 6 5 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:, β ± β γ ( ) ±. ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τις εξισώσεις: + 5 + ), β) 0 5 + 5 + 5 + 5 γ), δ) + + 5 δεκτή 5 5 πορρίπτετι λόγ τν περιορισμών
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ + ) Πργοντοποιούμε τους προνομστές. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ.Π(+5)(-5,+5) (+5)(- 5). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+5)(-5) 0, οπότε είνι -5 κι 5. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πράξεις εφρμόζοντς την επιμεριστική ιδιότητ. Προκύπτει μι εξίσση βθμού. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους Η λύση 0 είνι δεκτή 5 ) 5 + 5 + 5 ( + 5)( - 5) + 5 + 5 ( + 5)( - 5) ( + 5)( - 5) ( + 5)( - 5) + 5 + 5 ( 5) + 5 5 0 0 + β) 0 + 0 ( + )( ) + + ( + )( ) 0 + - ( + ) 0 + 0 o 0 ( + )( ) ( )( ) β)πργοντοποιούμε τον πρώτο προνομστή που είνι τριώνυμο με δοκιμές. Εδώ ψάχνουμε ν βρούμε δύο ριθμούς που έχουν γινόμενο - κι άθροισμ.αυτοί είνι το κι το -. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[(+)(-),-](+)(- ). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+)(-) 0 Οπότε έχουμε κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι διώχνουμε την πρένθεση. Η εξίσση πρώτου βθμού που προκύπτει είνι όριστη. Δέχετι σν λύσεις όλους τους πργμτικούς ριθμούς εκτός του - κι το.
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ + 5 + 5 γ) + 5 ( ) ( ) + 5 + 5 + 5 ( ) ( ) ( ) + 5 ( + 5) + 5 5 + 0 6 6 πορρίπτετι λόγ τν περιορισμών δ) + + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + + δεκτή ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) - 0, β) + γ), δ)+ +, + + γ)πργοντοποιούμε τον πρώτο προνομστή Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[(-),-,](-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 Οπότε έχουμε 0 κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Η εξίσση πρώτου βθμού που προκύπτει είνι δύντη γιτί η μονδική λύση που έχει πορρίπτετι λόγ τν περιορισμών. + δ) Πργοντοποιούμε τον πρώτο προνομστή Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[(-),, -](- ). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 Οπότε έχουμε 0 κι.πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Η εξίσση πρώτου βθμού που προκύπτει έχει μονδική λύση που είνι δεκτή
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ) - - 0 0 ( -) ( -)- ( -) ( -) 0( -) ( ) ( ) 0 ( -) + 0 0 ή ( ) 0 0 πορρίπτετι ή δεκτή β) + + ( + ) + ( + ) ( + ) + + ή ( ) ( ) + 6 ( + ) 0 οπότε 0 ή - ή + ή + 0 ) Πργοντοποιούμε τον δεύτερο προνομστή Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[,,(-)] (-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε 0 κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Αφού μετφέρουμε τους όρους σε έν μέλος κάνουμε νγγές όμοιν όρν κι προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με την βοήθει της πργοντοποίησης κι της ιδιότητς.β0 τότε ο ή β 0. Λόγ τν περιορισμών η μί πό τις δύο λύσεις πορρίπτετι κι η εξίσση έχει ς μονδική λύση την β) Πργοντοποιούμε τους προνομστές Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε. Κ. Π[(+),+] (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού την οποί λύνουμε με πργοντοποίηση. Από τις δύο λύσεις κμί δεν είνι δεκτή λόγ τν περιορισμών Επομένς ή εξίσση είνι δύντη.
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ γ) ( ) ( + )( ) ( + )( ) + - ( ) ( + )( ) ( + )( ) + ( )( ) + + 6 0 ( ) 0 0 ή + δ) + - + + + - ( )( ) ( )( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + ( ) + + + + 7 0 Στην εξίσση + 7 0 - γ) Πργοντοποιούμε τους προνομστές (ο πρώτος είνι νάπτυγμ κι ο δεύτερος διφορά τετργώνν. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε.Κ.Π [(-),(-)(+)] (-) (+) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) (+) 0 οπότε κι -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με πργοντοποίηση. Οι λύσεις είνι κι οι δύο δεκτές. Πργοντοποιούμε τους προνομστές ο δεύτερος βρίσκετι με την μέθοδο τν δοκιμών(ψάχν δύο ριθμούς με άθροισμ - κι γινόμενο ). Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π τν προνομστών που εδώ είνι το Ε.Κ.Π [-,(-)(-)] (-)(-) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-)(-) 0 οπότε κι. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού είνι,β -7,γ -,οπότε έχουμε: Η δικρίνουσ είνι Δ β γ ( 7) ( ) 9 + 8 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5, β ± β γ ( 7) ±. 8 7 ± 9 8 7 + 9 8 πορρίπτετι 7 9 8 δεκτή ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν λύσετε τις εξισώσεις: ), β) - + 6 9 ) ή - - ή ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( )( ) 6 0 ( ) ή ή - ή + ή ( + )( ) 0 6 ) Στο κλάσμ του πρώτου μέλους κάνουμε τις πράξεις στον προνομστή Αφού κάνουμε ομώνυμες τις κλσμτικές πρστάσεις κι τις προσθέσουμε κάνουμε το σύνθετο κλάσμ πλό. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που είνι Ε. Κ. Π[(+)(-),] (+)(-) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+)(-) 0 κι 0(λόγ του προνομστή του σύνθετου κλάσμτος) οπότε κι - κι 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Ε. Κ. Π Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με πργοντοποίηση. Οι λύσεις είνι κι οι δύο δεκτές.
6 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 β) + 9 6 + 9 6 ή + 9 6 + + 6 ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( ) ( + ) 6 6 6 ( 6) 0 οπότε 0 ή 6 6 + 9 ή 6 0 β) Στο πρώτο κλάσμ του πρώτου μέλους κάνουμε τις πράξεις στον προνομστή Αφού κάνουμε ομώνυμες τις κλσμτικές πρστάσεις κι τις προσθέσουμε κάνουμε το σύνθετο κλάσμ πλό. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που είνι Ε. Κ.Π[(+),(-),(+)(- )] (+)(-) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+)(-) 0 κι 0(λόγ του προνομστή του σύνθετου κλάσμτος) οπότε κι - κι 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Ε. Κ.Π Κάνουμε τις πλοποιήσεις κι εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ. Κάνουμε τις νγγές ομοίν όρν. Προκύπτει μι εξίσση β βθμού(ελλιπής μορφή) την οποί λύνουμε με πργοντοποίηση. Από τις λύσεις μόνο η δεύτερη είνι δεκτή ΑΣΚΗΣΗ 6 Ν λύσετε τους τύπους: m ) p ς προς V β) Ε V P V P V δ) ς προς T, T T στ) + ς προς, ζ) β γ υ η) S - λ ς προς λ βγ ε) ς προς, β + + γ γ) l ρ S ς προς, ς προς υ, ς προς S,
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7 ) p V.p m V m p m V ή ή V.p p V.p m V. V m p ) Βρίσκουμε το Ε.Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(V,) V Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου p 0. βγ β) Ε βγ.ε. γ) βγ E ή S. l ρ S ή S. S. ρ.l ή ή E. βγ P V P V δ) T T P V T T T T T T P V T P V T P V T P V P V P V ε) l S.ρ S ρ.l T ή ή T S ρ.l T P V P V β) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,). Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. γ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[,S]S. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. δ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[T,T ] T T Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το P V Κάνουμε πλοποιήσεις. + Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. ε) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[,, ] Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Ο άγνστος μς είνι στο δεύτερο μέλος. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ + Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου.
8 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ + ( ) ή + στ) + β γ βγ βγ + βγ β γ γ βγ + β ή γ β βγ βγ ( γ β) βγ ή γ β ζ) + υ β γ υ β γ υ υ β γ β + υ β γ ( + ) γ β γ υ γ + υ β υ ( γ β β γ + ) γ + β γ + β β γ υ γ + β η) S ή ( - λ) S ( - λ) - λ - λ ( - λ) S ή S - λs S - λs S - ή λ S ΑΣΚΗΣΗ 7 στ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[β,, γ] βγ Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Ο άγνστος μς είνι στο πρώτο κι δεύτερο μέλος. Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. ζ) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[υ, β, γ ] υ β γ. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Ο άγνστος μς είνι στο δεύτερο μέλος. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. η) Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π[, -λ] -λ. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη με το Κάνουμε πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Διιρούμε με τον συντελεστή του γνώστου. ) Ν βρείτε δύο ντίστροφους ριθμούς που έχουν άθροισμ 7.
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 9 β) Ποιον ριθμό πρέπει ν προσθέσουμε στους όρους του κλάσμτος 5 γι ν βρούμε τον ριθμό 5. γ)ν βρείτε δύο διδοχικούς άρτιους φυσικούς ριθμούς που έχουν λόγο. ) Αν είνι ο ριθμός, τότε ο ντίστροφος του θ είνι + 7 7 + 7. +. + 7 7 + 0 οπότε είνι Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,,). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 0 οπότε 0. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση 7 + 0 είνι,β 7,γ,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (-7).. 89 6 5 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: 7 + 5 ( ) Δεκτή. β ± β γ 7 ± 5 8,. 7 5 Δεκτή. 8 + β) Αν είνι ο ριθμός, τότε 5 + 5 + Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(5+,5) 5(5+). 5 + 5 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 5(5+) 0 οπότε -5. + 5( 5 + ) 5( 5 + ) 5 + 5 5 + 5 + ( ) ( ) 5 + 5 0 + 5 0 5 ή 5 Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Η λύση που βρίσκουμε είνι δεκτή.
0 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ γ) Έστ ο ένς άρτιος, τότε ο άλλος θ είνι + οπότε είνι +. + ( + ) ( + ) 6 + ( + ) + 6 6 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(+,) (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 5(+) 0 οπότε -. Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Χρίζουμε γνστούς πό γνώστους. Η λύση που βρίσκουμε είνι δεκτή. Άρ οι δύο διδοχικοί άρτιοι είνι οι 6,8 ΑΣΚΗΣΗ 8 Τ έξοδ ενός γεύμτος ήτν 8 ευρώ. Μετξύ τν τόμν που γευμάτισν ήτν κι πιδιά, οπότε οι υπόλοιποι ενήλικες συμφώνησν, προκειμένου ν κλύψουν τ έξοδ τν πιδιών, ν πληρώσει κθένς 9 ευρώ πρπάν πό υτά που έπρεπε ν πληρώσει. Πόσ ήτν τ άτομ που γευμάτισν ; Έστ τ άτομ που γευμάτισν. Εφόσον τ πιδιά ήτν, οι ενήλικες ήτν -. Δημιουργούμε μι εξίσση με τ χρήμτ που θ πληρώσουν οι ενήλικες γι ν κλύψουν το ποσό τν 8 ευρώ. 8 8 ( ). + 9( ). 8 ( ). + 9. ( ) ( ) + 9. ( ) 8 8 8 8 5 + 9 7 8 0 9 7 5 0 8 0 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,,). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: 0 Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση 8 0 είνι,β,γ -8,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (- )..( 8) 9 + > 0 Επομένς οι λύσεις είνι:
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ + ( ) 7 Δεκτή. β ± β γ ±, πορρίπτετι Επομένς τ άτομ που γευμάτισν ήτν 7.( ενήλικες- πιδιά) ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο διχειριστής μις πολυκτοικίς γόρσε πυροσβεστήρες γι την πυρσφάλει του κτιρίου κι έδσε 0 ευρώ. Πριν πό ρκετούς μήνες, που η τιμή κάθε πυροσβεστήρ ήτν ευρώ μικρότερη, με τ ίδι χρήμτ θ γόρζε πυροσβεστήρες περισσότερους. Ν βρείτε πόσους πυροσβεστήρες γόρσε. Έστ οι πυροσβεστήρες που γόρσε. Δημιουργούμε μι εξίσση με τ χρήμτ που πλήρσε ν γοράσει τον έν πυροσβεστήρ. 0 Τώρ τον γοράζει, ενώ σύμφν με το πρόβλημ πριν γόρζε πρπάν + κι η τιμή τους ήτν μικρότερη κτά ευρώ, δηλδή 0 0 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι + + Ε. Κ. Π(,+,) (+). 0 0 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 ( + ) ( + ) + ( + ) κι - + Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της 0( + ) 0 + ( + ) εξίσσης με το 0 + 80 0 + + 8 Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ + 0 0 8 + 80 0 Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. 8 + 80 0 ή + 0 0 Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση + 0 0 είνι,β,γ -0,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ..( 0) + 80 8 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: + 0 Δεκτή. β ± β γ ± 8,. πορρίπτετι Επομένς γόρσε 0 πυροσβεστήρες.
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 0 Ανμειγνύουμε gr ενός διλύμτος Α με 5 gr ενός διλύμτος Β κι σχημτίζουμε 5 cm ενός διλύμτος Γ. Ν βρεθεί η πυκνότητ του διλύμτος Α, ν η πυκνότητ του διλύμτος Β είνι 0, gr/cm μικρότερη. Έστ η πυκνότητ του διλύμτος Α τότε ο όγκος του διλύμτος Α m σύμφν με τον τύπο v (όγκος μάζ/ πυκνότητ) θ είνι κι ο ρ 5 όγκος του διλύμτος Β θ είνι. Ο συνολικός όγκος που είνι το 0, άθροισμ υτών τν δύο είνι 5 cm. Η εξίσση τν όγκν είνι: 5 + 5 0, 5 ( 0,) + ( 0,) 5( 0,) 0, ( 0,) + 5 5( 0,), + 5 5 5 5 + + 5 + 5, 0 5 +, 0 5 +, Στην εξίσση 5 +, 0 είνι 5,β -,γ,,οπότε έ- χουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (-).5.(,0) 0 0 78 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: + 8 ( ), Δεκτή. β ± β γ ± 78 50,.5 8 50 Επομένς η πυκνότητ του διλύμτος Α είνι, gr/cm. Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,-0,,) (-0,). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-0,) 0 οπότε 0 κι 0, Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους ό- ρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. 0,08 πορρίπτετι
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Οι υπάλληλοι μις βιοτεχνίς έπρεπε ν συσκευάσουν 0 προϊόντ μις πργγελίς. Απουσίσν όμς υπάλληλοι, οπότε κθένς πό τους υ- πόλοιπους υπλλήλους υποχρεώθηκε ν συσκευάσει προϊόντ πρπάν γι ν κλυφθεί η πργγελί. Ν βρείτε πόσοι είνι οι υπάλληλοι της βιοτεχνίς. Έστ οι υπάλληλοι της βιοτεχνίς. Δημιουργούμε μι εξίσση με την ποσότητ τν προϊόντν που θ συσκευάσει κάθε υπάλληλος πριν κι μετά την πουσί τν συνδέλφν τους. 0 0 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,-,) (-). 0 0 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-) 0 οπότε 0 ( ) ( ) ( ) κι Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το 0( ) 0 + 6 Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ 0 0 0 + 6 + 0 0 6 0 0 Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. 6 0 0 Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση 6 0 0 είνι,β -6,γ -0,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (-6)..( 0) 6 + 880 96 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: 6 + 5 ( ) 0 Δεκτή. β ± β γ 6 ± 96 6,. 6 5 8πορρίπτετι 6 Επομένς οι υπάλληλοι της βιοτεχνίς είνι 0. ΑΣΚΗΣΗ Οι φίλθλοι μις ομάδς τξιδεύοντς με έν πούλμν έπρεπε ν δινύσουν μι πόστση 0 Km γι ν δουν την γπημένη τους ομάδ Υπολόγιζν ν φτάσουν στον προορισμό τους μισή ώρ πριν την ένρξη του γών. Ο οδηγός όμς, λόγ ολισθηρότητς του δρόμου, μείσε τη μέση τχύτητ κτά 0 Km/h κι έτσι έφτσν στο γήπεδο κριβώς την ώρ που άρχιζε ο γώνς. Ν βρείτε τη μέση τχύτητ με την οποί διήνυσν τελικά την πόστση.
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έστ η μέση τχύτητ με την οποί διήνυσν τελικά την πόστση, τότε σύμφν με το πρόβλημ. Δημιουργούμε μι εξίσση με τον χρόνο σύμφν με τον τύπο t, όπου s το διάστημ κι u η τχύτητ. s u 0 0 + 0 0 0 ( + 0) ( + 0) ( + 0) + 0 0( + 0) 0 ( + 0) 0 + 00 0 + 0 + 0 0 0 + 00 0 0 + 00 0 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,+0,) (+0). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+0) 0 οπότε 0 κι -0 Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους ό- ρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση 0 + 00 0 είνι -,β -0,γ 00,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ (-0).( ).00 00 + 9600 6800 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: 0 + 0 ( ) 70 Απορρίπτετι. β ± β γ 0 ± 6800,.( ) 0 0 60 Δεκτή Επομένς η μέση τχύτητ του πούλμν ήτν 60 km/h. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Η τχύτητ με την οποί κινήθηκε Α Β Γ ένς ποδηλάτης πό τη θέση Α στη km 5 km θέση Β είνι km/h μικρότερη πό την τχύτητ με την οποί κινήθηκε πό τη θέση Β στη θέση Γ. Κτά την επιστροφή πό το Γ στο Α κινήθηκε με τχύτητ ίση με το ημιάθροισμ τν προηγούμενν τχυτήτν. Ν βρείτε τις τχύτητες με τις οποίες κινήθηκε ο ποδηλάτης ν, ο χρόνος μετάβσης κι επιστροφής είνι ο ίδιος.
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 Έστ η τχύτητ με την οποί κινείτι ο ποδηλάτης πό τη θέση Β στη θέση Γ. Τότε η τχύτητ με την οποί κινήθηκε πό τη θέση Α στη θέση Β είνι -. Ενώ η τχύτητ με την οποί κινήθηκε κτά την επιστροφή είνι +, άρ σύμφν με την εκφώνηση του προβλήμτος έχουμε την κλσμτική εξίσση: 5 9 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν + προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,-,-) 5 (-)(-). ( )( ) + ( )( ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (-)(-) 0 οπότε 0 κι κι Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο 9 ( )( ) μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. ( ) + 5( )( ) 9( ) Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ + 5 5 + 0 9 8 Μετφέρουμε όλους τους ό- + 5 5 + 0 9 + 8 0 ρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι βθμού εξίσση. + 0 0 0 km/h Άρ η τχύτητ με την οποί κινήθηκε ο ποδηλάτης πό τη θέση Β στη θέση Γ είνι 0 km/h κι η τχύτητ με την οποί κινήθηκε πό τη θέση Α στη θέση Β είνι 0-8 km/h ενώ τέλος η τχύτητ με την οποί κινήθηκε κτά την επιστροφή είνι 0-9 km/h.. Έν ποτμόπλοιο εκτελεί τη διδρομή πό το Α στο Β (ΑΒ km) κι επιστρέφει στο σημείο Α κάνοντς συνολικά χρόνο 5 ώρες. Κτά την μετάβση πό το Α στο Β προστίθετι κι η τχύτητ km/h με την οποί κινείτι το νερό του ποτμού, ενώ κτά την επιστροφή φιρείτι. Ν βρείτε με ποι τχύτητ κινείτι το ποτμόπλοιο. Έστ η τχύτητ του πλοίου οπότε η τχύτητ του ότν πηγίνει σύμφν με το ρεύμ του ποτμού θ είνι + κι η τχύτητ του ότν πηγίνει ντίθετ με το ρεύμ του ποτμού θ είνι -. Σύμφν με τον τύπο s t της φυσικής δημιουργούμε την κλσμτική εξίσση: u + 5 +
6 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ + 5 + ( + )( ) + ( + )( ) + 5( + )( ) ( ) + ( + ) 5 0 8 + + 8 5 5 + 8 + 0 0 + 0 0 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(-,+) (+)(-). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+)(-) 0 οπότε - κι Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση 5 + 8 + 0 0 είνι -5,β 8,γ 0,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ 8.( 5).0 0 + 00 70 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: 8 + 5 Απορρίπτετι. β ± β γ 8 ± 70 0 5,.( 5) 8 5 0 Δεκτή 0 Επομένς η τχύτητ του πλοίου ήτν 0 km/h.. Ένς έμπορος πλήρσε 000 ευρώ κι προμηθεύτηκε CD ενός κλλιτέχνη. Πούλησε ορισμέν πό υτά κι εισέπρξε 800 ευρώ κερδίζοντς πό το κάθε CD ευρώ. Επειδή του έμεινν διάθετ κόμ 00 CD, νγκάστηκε ν τ πουλήσει στην τιμή που τ προμηθεύτηκε. Ν βρείτε σε ποι τιμή πούλησε ο έμπορος τ τελευτί 00 CD. Έστ η τιμή που πούλησε ο έμπορος τ τελευτί 00 CD τότε σύμφν με την εκφώνηση του προβλήμτος έχουμε την κλσμτική εξίσση:
ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7 000 800 00 + 000 800 ( + ) ( + ) + 00( + ) ( + ) 800 00( + ) 000 000 + 9000 800 00 000 + 9000 800 00 00 + 900 + 9000 0 + 9 + 90 0 + 00 00 0 Βρίσκουμε το Ε. Κ. Π τν προνομστών που εδώ είνι Ε. Κ. Π(,+) (+). ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: (+) 0 οπότε 0 κι - Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσσης με το Κάνουμε τις πλοποιήσεις. Εφρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητ Μετφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος. Προκύπτει μι β βθμού εξίσση. Στην εξίσση + 9 + 90 0 είνι -,β 9,γ 90,οπότε έχουμε Η δικρίνουσ Δ β γ 9.( ).90 8+ 60 > 0 Επομένς οι λύσεις είνι: 9 + 6 Απορρίπτετι. β ± β γ 9 ±,.( ) 9 5 Δεκτή Επομένς η τιμή που πούλησε τ τελευτί 00 CD ήτν 5 ευρώ.
8 ΜΕΡΟΣ Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Τι ονομάζετι κλσμτική εξίσση; ( μονάδες) Β. Αν διιρέσουμε ένν κέριο ριθμό με τον προηγούμενο κέριο βρίσκουμε τον ριθμό. Ποι πό τις πρκάτ εξισώσεις εκφράζει την προηγούμενη πρότση; + - ), β), γ), δ) ( μονάδες) + + - Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτ προτάσεις με (Σ) ν είνι σστές ή με (Λ) ν είνι λνθσμένες. 6 0 ) Οι όροι της εξίσσης + έχουν νόημ ν κι + β) Ο ριθμός - είνι λύση της εξίσσης +. + 5( + ) γ) Η εξίσση + 9 γράφετι ( ) + 5( + ) 9 (μονάδες) ΘΕΜΑ 0 Ν λύσετε την εξίσση: + 9. (7 μονάδες) ΘΕΜΑ Ο Ν βρείτε τρεις διδοχικούς κέριους ριθμούς τέτοιους ώστε το πηλίκο του πρώτου προς τον δεύτερο υξημένο κτά το πηλίκο του δεύτερου προς τον τρίτο ν ισούτι με 6 7. (6 μονάδες)