Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠAI ΕYΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ (Τ.Ε.Ι.) ΛΑΜΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρµογών (ΣΤΕΦ) ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ YΠΟ ΟΜΗΣ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: ρ. Θεοδώρου Ιωάννης, Τακτικός Καθηγητής ρ. Κεχρινιώτης Αριστείδης, Επιστηµονικός Συνεργάτης ρ. Τριανταφύλλου Χρυσαυγή, Επιστηµονικός Συνεργάτης Λαµία, Οκτώβριος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εφαρµογές του MATLAB στα Ανώτερα Μαθηµατικά (σύµφωνα µε τα αντίστοιχα Μαθήµατα Θεωρίας: Μαθηµατικά Ι, ΙΙ, ΙΙΙ) Γενικά περί MATLAB Το MATLAB είναι ένα από τα χρησιµότερα επιστηµονικά, υπολογιστικά και γραφιστικά προγράµµατα-λογισµικά πακέτα, που χρησιµοποιείται σήµερα διεθνώς και ευρέως τόσο στα Μαθηµατικά και στις άλλες Θετικές Επιστήµες, όσο και στην Τεχνολογία γενικότερα. Το ΜATLAB µπορεί να χρησιµοποιηθεί από πολλά είδη και µεγέθους computers, από personal µέχρι super-computers. Ελέγχεται µέσω εκατοντάδων προκαθορισµένων εντολών και συναρτήσεων-αλγόριθµων, αλλά µπορεί να επεκταθεί και να προγραµµατιστεί και µε επιπλέον ειδικές εντολές ή άλλους κατάλληλους αλγόριθµους. Οι υπολογιστικές και γραφιστικές ικανότητες του MATLAB καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα πεδίων εφαρµογής, όπως: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, Στατιστική, Γραµµική Άλγεβρα, Αριθµητική Ανάλυση, Ανάλυση Σηµάτων-Συστηµάτων, Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος, Θεωρία Ελεγκτών, Ασαφής Λογική (Fuzzy Logic), Νευρωνικά ίκτυα, Φυσική, Οικονοµία, Βιολογία, Χηµεία, Βιοµηχανία, κ.λπ. Υπάρχουν γενικά περί τις βασικές εργαλειοθήκεςυποπρογράµµατα (Toolbo) του MATLAB που καλύπτουν ειδικά πεδία εφαρµογών της Επιστήµης και της Τεχνολογίας. Μπορεί να υπολογίσει µε µια µόνο εντολή π.χ. τη λύση ενός γραµµικού συστήµατος ή µιας διαφορικής εξίσωσης, να κάνει σύνθετες πράξεις πινάκων, να υπολογίσει ολοκληρώµατα ή παραγώγους, να δώσει δισδιάστατα και τρισδιάστατα γραφήµατα, να επεξεργαστεί σήµατα και συστήµατα, να κάνει ανάλυση δεδοµένων, κ.λπ. Το MATLAB, είναι ένα από τα δυναµικότερα σύγχρονα υπολογιστικά "εργαλεία"- µεταξύ άλλων αντίστοιχων (όπως το Mathematica, Maple, Derive, κ.λπ.), και βασίζει τη λειτουργία του στους πίνακες (µήτρες) απ όπου και η ονοµασία του (MATLAB-MATri LABoratory, δηλ. Εργαστήριο Πινάκων). Οι πίνακες (που εκφράζουν και διανυσµατικές διαδικασίες) είναι πράγµατι από τις χρησιµότερες έννοιες-εργαλεία, τόσο για θεωρητικά όσο και για πρακτικά θέµατα των µαθηµατικών. Η ευρεία χρήση των πινάκων έχει άµεση εφαρµογή στη σύγχρονη εκτέλεση των "διανυσµατικοποιηµένων πινάκων-vectorized computer algorithms". H διεθνής έκδοση "student edition MATLAB", µε την οποία θα ασχοληθούµε στη συνέχεια, δηµιουργήθηκε για πρώτη φορά το 97, στα Πανεπιστήµια "Stanford" και "New Meico" των ΗΠΑ, κύρια για τις ανάγκες των σπουδαστών στα µαθήµατα "Θεωρία Πινάκων", "Γραµµική Άλγεβρα" και "Αριθµητική Ανάλυση". Η εν λόγω "έκδοση σπουδαστή MATLAB", είναι µια κατάλληλη περικοπή της αντίστοιχης σύγχρονης επαγγελµατικής έκδοσης (που περιλαµβάνει βέβαια ένα πολύ ευρύτερο υπολογιστικό φάσµα). Σκοπός των επόµενων Εργαστηριακών Μαθηµάτων (και επαναληπτικών) είναι να εξετάσουµε µε ποιον ακριβώς τρόπο χρησιµοποιούµε το MATLAB, προκειµένου να εκτελούµε τις διάφορες πράξεις και τις υπολογιστικές διαδικασίες των Ανώτερων Μαθηµατικών, αναφορικά µε τις βασικές έννοιες που γνωρίζουµε ήδη από τη Θεωρία των µαθηµάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι, ΙΙ και ΙΙΙ. Έτσι, ξεκινώντας από απλά µαθηµατικά σύµβολα, θα δούµε τις διάφορες πράξεις των βασικών συναρτήσεων, των πολυωνύµων, των πινάκων και των µιγαδικών, καθώς και τα γραφήµατά τους, την επίλυση εξισώσεων και συστηµάτων, πώς υπολογίζουµε παραγώγους και ολοκληρώµατα, τη λύση διαφορικών εξισώσεων και εξισώσεων διαφορών, καταλήγοντας στις εφαρµογές των Γραµµικών Μετασχηµατισµών Laplace, Fourier, και Ζήτα, που χρησιµοποιούνται για την επεξεργασία αναλογικών ή ψηφιακών LTI Σηµάτων-Συστηµάτων (όπως αυτά εκφράζονται µέσω των αντίστοιχων µαθηµατικών µοντέλων, δηλ. των Γραµµικών ιαφορικών Εξισώσεων ή Γραµµικών Εξισώσεων ιαφορών).

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ (Εργαστήριου Μαθηµατικών) ΜΑΘΗΜΑ ο Εισαγωγή στο MATLAB (Βασικές εντολές, σύµβολα και µαθηµατικές πράξεις). ΜΑΘΗΜΑ ο Βασικές συναρτήσεις (τριγωνοµετρικές, εκθετικές, υπερβολικές, και οι αντίστροφές τους), Πολυώνυµα (ρίζες, τιµές, εύρεση πολυωνύµου από ρίζες, κτλ), ΜΑΘΗΜΑ ο Πίνακες (Πράξεις, βαθµός, ίχνος, Ιδιοτιµές-Ιδιοδιανύσµατα, κτλ). Επίλυση Εξισώσεων και Συστηµάτων (γραµµικών και µη). ΜΑΘΗΜΑ 4 ο Μιγαδικοί αριθµοί (Πράξεις, µορφές, µέτρο, πρωτεύον όρισµα, κτλ), Ανάπτυγµα σε Σειρές Taylor,Mac-Laurin (συσχέτιση τριγωνοµετρικών και εκθετικών συναρτήσεων, σχέσεις Euler). ΜΑΘΗΜΑ 5 ο Υπολογισµός: Παράγωγοι ( ης και ανώτερης τάξης, µερικές παράγωγοι, κτλ), Ολοκληρώµατα (διπλά-τριπλά, εµβαδά, κτλ), Λύση βασικών ιαφορικών Εξισώσεων. ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Γραφήµατα (απλές γραφικές παραστάσεις των προαναφερόµενων εννοιών, αναλυτικά δισδιάστατα και τρισδιάστατα γραφήµατα). ΜΑΘΗΜΑ 7 ο Υπολογισµός: Μετασχηµατισµός Laplace (ML), αντίστροφος ML, Λύση Γραµ. ιαφορικών Εξισώσεων µέσω του ML, Εφαρµογές σε LTI αναλογικά συστήµατα. ΜΑΘΗΜΑ 8 ο Υπολογισµός: Μετασχηµατισµός Fourier (MF), αντίστροφος MF, Ανάπτυγµα σε Σειρά Fourier, Λύση Γραµ. ιαφορικών Εξισώσεων µέσω του MF, Εφαρµογές σε LTI αναλογικά συστήµατα. ΜΑΘΗΜΑ 9 ο Υπολογισµός: Μετασχηµατισµός Ζήτα (MΖ), αντίστροφος MΖ, Λύση Γραµ. Εξισώσεων ιαφορών µέσω του MΖ, Εφαρµογές σε LTI ψηφιακά συστήµατα. ΜΑΘΗΜΑ ο Ανάλυση χρονοδιακριτών (ψηφιακών) και χρονοσυνεχών (αναλογικών) LTI Σηµάτων- Συστηµάτων: a) στο πεδίο του χρόνου, και b) στο πεδίο της συχνότητας. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ( ο και ο ) Σύντοµη Επανάληψη-Περίληψη όλων των προηγούµενων µαθηµάτων (όλων των βασικών µαθηµατικών πράξεων και εντολών).

4 ΜΑΘΗΜΑ o ΕΙΣΑΓΩΓΗ στο MATLAB (Βασικές εντολές, συναρτήσεις και µαθηµατικές πράξεις) Πίνακας βασικών εντολών-συναρτήσεων-πράξεων Μαθηµατικά MATLAB παρατηρήσεις πρόσθεση, α+β α+β 7+9.5 αφαίρεση, α-β α-β.-.4 πολλαπλασιασµός, α.β α*β 4*5 διαίρεση, α/β α/β 8/ δύναµη, α β α^β ^5 e ep() e=,78=βάση νεπερ. λογαριθµ. ln log() νεπέρειος λογάριθµος log a loga() λογάριθµος µε βάση a, a n sqrt(), ^(n/a) sin, cos, tan, cot sin(), cos(), tan(), cot() τριγωνοµετρ. συναρ.( σε ακτίνια) arcsin (sin - ), arccos (cos - ), arctan, arccot asin(), acos(), atan(), acot() αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις sinh(), cosh(), tanh(), coth() sinh(), cosh(), tanh(), coth() υπερβολικές συναρτήσεις asinh(),acosh(),atanh(), acoth() asinh(),acosh(),atanh(), acoth() αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις abs() απόλυτη τιµή ή µέτρο του µιγαδικού αριθµού Arg()= angle() πρωτεύον όρισµα µιγαδ. Re() real() πραγµ. µέρος µιγαδικού Im() imag() φανταστ. µέρος µιγαδικού conj() ο συζυγής του µιγαδικού ΜΚ (,y) gcd(,y) Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης των ακεραίων και y (greatest common divisor of integers and y) ΕΚΠ(,y) lcm(,y) Ελάχιστο Κοινό Πολ/σιο των ακεραίων και y (least common multiple of integers and y) π=,4 i, j rem(,y) pi i, j Υπόλοιπο της διαίρεσης /y (remainder of /y) i=j= inf το άπειρο (π.χ. /) nan µη αριθµός (not-a-number, π.χ. /) ans η απάντηση (answer) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Οι δεκαδικοί αριθµοί γράφονται µε τελεία και όχι µε κόµµα στη θέση της υποδιαστολής π.χ..7 και όχι,7. Γράφουµε γενικά µε λατινικά γράµµατα (αποφεύγοντας τα ελληνικά). Τα ονόµατα των µεταβλητών αρχίζουν πάντα από λατινικό γράµµα, που µπορεί να ακολουθείται από άλλα γράµµατα ή αριθµούς (µέχρι χαρακτήρες):, y, Yz,f,

5 Οι πολύ µεγάλοι και οι πολύ µικροί αριθµοί δίνονται τυποποιηµένα ως εξής: 4 = 4^=4.6e+, (που σηµαίνει 4^=4,6 ), είτε -7 = ^- 7=.4e-=,4 - Γενικά οι αριθµοί δίνονται µε προσέγγιση 4 δεκαδικών ψηφίων. Ποτέ δεν γράφουµε µια συνάρτηση στη µορφή: y() = sin(*) ή h() = cos(*pi*t) γιατί το πρόγραµµα υποδεικνύει λάθος, γράφουµε : y = sin(*) ή h = cos(*pi*t) Οι γωνίες αναφέρονται µόνο σε ακτίνια και όχι µε µοίρες. Mε την εντολή who µας δείχνει τις µεταβλητές που έχουµε ορίσει και ισχύουν µέχρι τώρα ενώ µε την εντολή clear καθαρίζει από την µνήµη [σβήνει] το MATLAB τις µεταβλητές που έχουµε ορίσει. Το MATLAB αποθηκεύει τις εντολές που εκτελέστηκαν σε ένα τµήµα του χώρου εργασίας. Με τα πλήκτρα, µπορούµε να επαναφέρουµε µια εντολή που εκτελέστηκε πριν. Στη συνέχεια µε τα πλήκτρα, µπορούµε να µετακινηθούµε στη γραµµή και να τροποποιήσουµε την εντολή χρησιµοποιώντας τα κατάλληλα πλήκτρα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7+ 7. Να υπολογιστεί η παράσταση: A= 5 + 4 6( 8. ). Να υπολογιστεί η παράσταση: 5 9 ( ) 4 5 7 5(7+ ) 4 6( 8 4 + ) B= +.. Να υπολογιστεί η παράσταση: 4 ln + + 5 sin( ) 4 cot(57) cosh(5) Ζ = e e arc ar. 4 4. Να υπολογιστεί η παράσταση: Κ = λογ 5 ln 8+ ln λογ. 5. Να υπολογιστεί η παράσταση: M 5 5 4 = π + ln( cot()) sinh(54) + ln( + ) 7 + 9 ar e ar π e. 6. Να υπολογιστεί η παράσταση: 5 5 Ν = π e[ln + e + tan() π sin( ) 4arc cot(57) ar cosh(5)]. 6 7. Να υπολογιστεί η παράσταση: ln() cos() 4(ln(4) ) 5 6 4 E= ln 7 + e sin() + sinh() arccos() πe (tanh( 7)) +. 4.

6 ΜΑΘΗΜΑ o Α) Βασικές Συναρτήσεις µιας µεταβλητής: α) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ, β) ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ, γ) ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ και οι Αντίστροφές τους α) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ sin(t) ή ηµ(t): t R [-,] tan(t) ή εφ(t): t R-[kπ+π/, k Z] R cos(t) ή συν(t): t R [-,] cot(t) ή σφ(t): t R [kπ, k Z] R Γράφηµα Τριγωνοµετρικών Συναρτήσεων: Για να σχεδιάσουµε γενικά µια συνάρτηση θα πρέπει πρώτα να ορίσουµε το πεδίο ορισµού της. Το πεδίο ορισµού σχεδίασης είναι ένα υποσύνολο του πεδίου ορισµού της συνάρτησης. To πεδίο ορισµού σχεδίασης συναρτήσεων ορίζεται στο MATLAB µε δυο τρόπους: = ν : κ : ν %ορίζουµε πεδίο ορισµού της συνάρτησης από τον αριθµό ν έως τον αριθµό ν µε βήµα κ. Το κ παίρνει συνήθως τιµές:. ή. ή.. = linspace(ν, ν, n).%ορίζουµε πεδίο ορισµού της συνάρτησης από τον αριθµό ν έως τον αριθµό ν παίρνοντας n τιµές από τον αριθµό ν έως τον αριθµό ν.το n παίρνει τιµές: ή ή 5. Ειδικά για τις περιοδικές συναρτήσεις για να έχουµε ένα κατάλληλο γράφηµα θα πρέπει να γνωρίσουµε την περίοδο της συνάρτησης που θέλουµε να σχεδιάσουµε ώστε να ορίσουµε κατάλληλα το πεδίο ορισµού σχεδίασης. Η εντολή σχεδίασης συνάρτησης στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων είναι: plot(ανεξάρτητη µεταβλητή, εξαρτηµένη µεταβλητή). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΩ ΙΚΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑ. Να σχεδιασθεί η συνάρτηση y(t)= ηµ(πt) σε χρονικό διάστηµα δύο περιόδων της. ΛΥΣΗ: Η συνάρτηση έχει περίοδο Τ = π/ω= π/π=(sec) ή συχνότητα f =Hz ή c/sec (κάθε συνάρτηση της µορφής y(t) = Asin( ω t± φ) έχει περίοδο Τα=π/ω). t = :.:; % Oρίζω πεδίο ορισµού από έως sec. y=sin(*pi*t);.8 plot(t,y) label( t(s) );ylabel('y=sin(*pi *t)') ή δίνοντας µε τον άλλο τρόπο το πεδίο ορισµού σχεδίασης t = linspace(,,); y=sin(*pi*t); plot(t,y) label( t(s) ) ylabel('y=sin(*pi*t)') y=sin(*pi*t).6.4. -. -.4 -.6 -.8 -..4.6.8..4.6.8 t(s)

7 ΚΩ ΙΚΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑ. Να σχεδιαστούν στο ίδιο γράφηµα οι συναρτήσεις y(t) = ηµ(πt) και g(t)= συν(πt) ΛΥΣΗ: Η συνάρτηση y(t) = ηµ(πt) έχει περίοδο Τ = π/ω= π/π=(sec) και η g(t)=συν(πt) έχει περίοδο Τ = π/ω= π/π=.(sec). Επιλέγω ως πεδίο ορισµού σχεδίασης το διάστηµα [.]. t=linspace(,); y=*sin(*pi*t); g=*cos(*pi*t) plot(t,y,t,g,) label('t(s)') gtet('y=*sin(*pi*t)') gtet('g=*cos(*pi*t)') - g=*cos(*pi*t) - y=*sin(*pi*t) -....4.5.6.7.8.9 t(s) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ y = τοξηµ ή y = sin - ή y = arcsin: [-,] y [-π/, π/] y = τοξηµ ή y = cos - ή y = arccos: [-,] y [, π] y= τοξεφ ή y = tan - ή y = arctan: R y (-π/, π/) y = τοξσφ ή y = cot - ή y = arccot: R y (, π) Μεταξύ των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων και των αντίστροφων τριγωνοµετρικών ισχύουν οι ισοδυναµίες: y= sin - = siny y= cos - = cosy y= tan - = tany. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σχεδίαση της αντίστροφης τριγωνοµετρικής συνάρτησης του συν() δηλ. y = cos - ΚΩ ΙΚΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑ arccos() =linspace(-,); y=acos(); plot(,y,'k') label('') title('arccos()') ylabel('rad') rad.5.5.5.5 - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8

8 β) ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f ( )= α : R f() (, ), µε α f, α. Ειδικότερα η συνάρτηση f()=e λέγεται εκθετική συνάρτηση µε βάση το e, όπου n e= lim + =.7888 (άρρητος-υπερβατικός αριθµός). n n ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να σχεδιασθούν οι συναρτήσεις, g=e - και g=e. ΚΩ ΙΚΑΣ =linspace(-.5,.5); g=ep(-*); g=ep(*); plot(,g,,g) grid on gtet('g=ep(-)') gtet('g=ep()') 4.5 4.5.5.5 g=ep(-) ΓΡΑΦΗΜΑ g=ep().5 -.5 -.4 -. -. -.....4.5

9 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ή ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση y=log α λέγεται λογαριθµική συνάρτηση µε βάση α και είναι αντίστροφη της αντίστοιχης εκθετικής συνάρτησης µε βάση το α. Η συνάρτηση y = ln λέγεται λογαριθµική συνάρτηση µε βάση τον αριθµό e. Για να σχεδιάσουµε το γράφηµα µιας λογαριθµικής συνάρτησης µε µια τυχαία βάση την µετατρέπουµε σε λογαριθµική µε βάση το ή το e. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ log ln. Να σχεδιαστεί η συνάρτηση: y= log = = log ln ΚΩ ΙΚΑΣ = linspace(,5,); y = log()/log(); plot(,y); grid οn; label( ); ylabel( y() ) y() - - ΓΡΑΦΗΜΑ - - 4-5. 5. 5. 5. 5 4 4. 5 5. Στο παρακάτω σχήµα δίνονται τα γραφήµατα τεσσάρων (4) λογαριθµικών συναρτήσεων: g()=ln, f()=log, () = log και s() = log. Να γραφεί ο κώδικας σχεδίασης. 5 h, 5 4 ln log - log (µε βάση,5) - - log(µε βάση /) -4 4 5 6 7 8 9

γ) ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπερβολικές λέγονται ως γνωστόν οι συναρτήσεις που δηµιουργούνται από τα αλγεβρικά αθροίσµατα των εκθετικών συναρτήσεων, ως εξής : e e e + e Υπερβολικό ηµίτονο: sinh() =, Υπερβολικό συνηµίτονο: cosh() =, e e e + e Υπερβολική εφαπτοµένη: tanh() =, Υπερβολική συνεφαπτοµένη: coth() = e + e e e. Άσκηση: Να γράψετε τον κωδικό σχεδίασης των παρακάτω υπερβολικών συναρτήσεων: sinh() cosh() - 5 5-5 5 tanh() -5 5 coth().5 -.5 - - 4 - -4 - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ sinh = ln(+ + ), R, cosh = ln(± ),, + tanh = ln, + p, coth = ln, f. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Σχεδίαση της sinh = ln(+ ΚΩ ΙΚΑΣ =linspace(-,); y=asinh(); plot(,y,'k') label('') ylabel('y=asinh()') + ), R.

Β) Πολυώνυµα (ρίζες, τιµές, εύρεση πολυωνύµου από ρίζες) Στο MATLAB το πολυώνυµο µπορεί να παρασταθεί µε δύο τρόπους. Π.χ. Το πολυώνυµο, = s 4 +s -5s -s+9, µπορεί να γραφεί ως εξής: Α Τρόπος: =[ 5 9] δηλ. ορίζουµε ένα διάνυσµα µε συντελεστές,,-5,, 9. Επίσης µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή ενός πολυωνύµου χρησιµοποιώντας την συνάρτηση polyval. Π.χ. για να βρούµε την τιµή του παραπάνω πολυωνύµου για s= δίνουµε την εξής εντολή: polyval(,) Επίσης µε την εντολή roots([ 5 9]) υπολογίζουµε τις ρίζες του πολυωνύµου. Β Τρόπος (κλασικός): Μπορούµε επίσης να το ορίσουµε και µε τον κλασσικό τρόπο δηλ. =s.^4 + *s.^ 5*s.^ *s + 9, η τελεία αναφέρει στο πρόγραµµα τη πράξη στοιχείο-στοιχείο. Γενικά χρησιµοποιούµε την τελεία πριν από το γινόµενο συναρτήσεων, πηλίκο συναρτήσεων, και συνάρτηση σε δύναµη, π.χ: sin().* cos(), sin().^, ep()./sin(),. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να σχεδιαστεί το πολυώνυµο: v = + 4 7 Εργασία η =[ 4 7 -] κ=roots() Εργασία η» =linspace(-5,5,);»v =.^+4*.^-7*-; ΚΩ ΙΚΑΣ δίνω το πολυώνυµο µε τη µορφή πίνακα υπολογίζω τις ρίζες του.»plot(,v),title( ^+4^-7- ),label( ),ylabel( p() ) hold on; plot(-5,, r* ); hold off εµφανίζουµε τις ρίζες του πολυωνύµου στην γραφική παράσταση µε ένα κόκκινο για παράδειγµα αστεράκι. 8 6 4 8 6 4 ΓΡΑΦΗΜΑ + 4-7 - - -5-4 - - - 4 5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να σχεδιαστούν 4 περίοδοι των συναρτήσεων: Ε(t) = 5συν(πt-π/) και Ε(t) = 5συν(πt+π/), καθώς και το άθροισµά τους.. Σε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα το ρεύµα I (Amps) ως προς τον χρόνο t (sec) δίνεται από τον t τύπο: =,4 I (t) e. Να σχεδιαστεί I(t) και από το γράφηµα να βρείτε την αρχική τιµή του ρεύµατος (t = ) και την τιµή του ρεύµατος σε χρόνο t.. Σε ένα κύκλωµα R L C σε σειρά δίνονται R=, L=,H, C=mf και όλα είναι συνδεδεµένα µε πηγή εναλλασσόµενης τάσης V=4ηµ4t Volt. Υπολογίστε την εµπέδηση του κυκλώµατος Z και την διαφορά φάσης µεταξύ εφαρµοζόµενης τάσης V(t) και έντασης του ρεύµατος I(t). ίνονται οι παρακάτω τύποι: I(t)=Ioηµωt, V(t)=Voηµ(ωt-θ(rad)), Z=Io/Vo, Z=R+(Lω-/Cω)i. Επίσης να σχεδιαστούν στον ίδιο πίνακα οι συναρτήσεις σηµειώνοντας δίπλα σε κάθε γράφηµα τον τίτλο της συνάρτησης. 4. Στην παραπάνω άσκηση υπολογίζονται επίσης οι εξισώσεις της τάσης της αντίστασης, του πηνίου και του πυκνωτή οι οποίες είναι οι παρακάτω VR=4ηµ(4t-7 o ), VL=6ηµ(4t+8 o ), VC=,6(ηµ4t-6 o ) Αφού µετατρέψετε τις µοίρες σε ακτίνια να σχεδιάσετε τις συναρτήσεις γράφοντας δίπλα σε κάθε µια τον τύπο της. 5. Η ατµοσφαιρική πίεση P (atm.) σε σχέση µε το ύψος h(m) από το έδαφος δίνεται από h 7 την εκθετική συνάρτηση: P(h) = P O e. Αν P o =, 5 (atm.) να σχεδιαστεί η συνάρτηση της ατµοσφαιρικής πίεσης. 6. Να σχεδιαστεί η συνάρτηση λογ 5 χ(λογάριθµος χ µε βάση 5). 7. Να επιλυθεί γραφικά η εξίσωση: 5e = ln 8. Να σχεδιάσετε κυµατοµορφές (περιόδους) της συνάρτησης g(t)=asin(ωt) µε µέγιστη τιµή και συχνότητα 6Hz (c/s). 9. Να γίνει η γραφική παράσταση του τριωνύµου y= + 6 9. Να δοθεί τίτλος στο γράφηµα και να ονοµαστεί ο άξονας χ και ο άξονας ψ. Να δείξετε µε ένα αστεράκι τις ρίζες του τριωνύµου πάνω στο γράφηµα.. Ποιος είναι ο άξονας συµµετρίας του γραφήµατος;. Να σχεδιαστούν οι ευθείες ψ=χ+ και λ=-/χ+. Τι παρατηρείτε; Τι γωνία θα έπρεπε να σχηµατίζουν οι δυο ευθείες µεταξύ τους;. Ευθεία περνά από το σηµείο M (-5, 9) και έχει κλίση λ = -. ώστε την εξίσωση της ευθείας και σχεδιάστε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο ( o, y o ), δηλ. y- y o = λ(- o ). Στο ίδιο γράφηµα να σχεδιαστεί η ευθεία που περνά από το σηµείο N (, 5) και σχηµατίζει γωνία ο µε τον ηµιάξονα O. ώστε την εξίσωση της ευθείας και σχεδιάστε την.. Να επιλυθεί γραφικά η εξίσωση: 8 e = ln +. Να σχεδιαστούν στο ίδιο γράφηµα οι συναρτήσεις: e, e -,, -, και να αναγνωρίσετε (ονοµάσετε ) στο γράφηµα την κάθε µια. 4. Να σχεδιαστεί η συνάρτηση cosh = ln(± ),

ΜΑΘΗΜΑ o Α) ΠΙΝΑΚΕΣ (Πράξεις, βαθµός, ίχνος, Ιδιοτιµές-Ιδιοδιανύσµατα). Β) ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ (γραµµικών και µη-γραµµικών) ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΩ ΙΚΑΣ ans A=[ ; 4 5 6; 7 8 9] A = 4 5 6 7 8 9 size(a) A(,)= %το στοιχείο της γραµµής και της στήλης να γίνει A = 5 6 7 8 9 A^ 6 4 4 7 84 7 6 5 A^ det(a) %ορίζουσα inv(a) %αντίστροφος (inverse) A*inv(A) %δηµιουργία του µοναδιαίου πίνακα Ι -4.5 -.5.5 -.75.5.5.458 -.5 -.8. -... rank(a) ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επίλυση γραµµικού συστήµατος µε την µέθοδο του αντίστροφου πίνακα Για να λύσουµε ένα γραµµικό σύστηµα αφού δώσουµε εντολή να δηµιουργήσει τον πίνακα Α (τον πίνακα των συντελεστών των αγνώστων) και τον Β (τον πίνακα των σταθερών όρων) τότε µε την παρακάτω εντολή µας δίνει κατευθείαν τη λύση του συστήµατος.» Χ=inv(A)*B Εάν ο Α αντιστρέφεται (det(a) ) το MATLAB µας υπολογίζει αµέσως τη λύση του γραµµικού συστήµατος. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να λυθεί το σύστηµα: + y+ z= 4 5y+ 7z= + y z= 6 ΚΩ ΙΚΑΣ ans A=[ ;4-5 7; -] B=[;;6] - X=inv (A)*B trace(a) 5 % ίχνος eig(a) % ιδιοτιµές 5.544 -.544. Α % ανάστροφος 7 5 8 6 9

4 Επίλυση εξισώσεων και µη γραµµικών συστηµάτων µε τη βοήθεια συµβολικών µεταβλητών Στο MATLAB µπορούµε να χρησιµοποιούµε εκφράσεις µε σύµβολα µε την εντολή syms. Με την εντολή αυτή δηµιουργεί τη συµβολική µεταβλητή. εν χρειάζεται να δώσουµε πεδίο ορισµού στην µεταβλητή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΩ ΙΚΑΣ ans syms ; y=/(*^) syms f=(/^+6/^+/+8)^(/) %δηµιουργούµε µια συνάρτηση f f = (/^+6/^+/+8)^(/) h=simplify(f) συνάρτηση %απλοποιούµε την syms z y solve( z*sin()=*y, y ) % λύνει την εξίσωση ως προς τη µεταβλητή y Να λυθεί το σύστηµα : h =+/ Επίλυση εξίσωσης ans =/*z*sin() Επίλυση µη γραµµικού συστήµατος + y+ y = 4+ = syms y [a a]= solve(^+y+y-, ^-4+) a = [ ] [ ] a = [ ] [ -/]

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται οι πίνακες, A = 5, Β=. 4 Να υπολογιστούν οι πίνακες: Α+Β, Α-Β, Α*Β, Β*Α, *Α+*Β, Α, Β. Να υπολογιστούν οι ορίζουσες του πίνακα Α και του πίνακα Β.. ίνονται οι πίνακες, A=, Β =, 4 5 4 Γ= 5, =. Να υπολογιστούν οι πίνακες (όπου είναι δυνατόν), Α*Β, Β*Α, Α*Γ, Γ*Α, Β, Γ,, Α*, *Α, *Β.. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες των παρακάτω πινάκων 9 Α = 9, Β= 4 5 4. Να λυθούν τα παρακάτω γραµµικά σύστηµα εξισώσεων: I - I 4I = V + V V = I I + I = και V + V 4V =. I I = V 4V + V = 5. Η αναπαράσταση ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος µεταξύ των κόµβων,, και 4 όπως το παρακάτω, (τοποθετήστε τους αριθµούς κυκλικά αριθµώντας µε τον κάτω αριστερά κόµβο) δίνεται µε τη µορφή ενός πίνακα µε στοιχεία α ij όπου a ij,υπάρχει κατευθυνόµενο τόξο από τον κόµβο i στον κόµβο j =,δεν υπάρχει κατευθυνόµενο τόξο από τον κόµβο i στον κόµβο j α. Να δηµιουργήσετε τον πίνακα { ij } A= α όπου i 4 και j 4. α. Να υπολογίσετε τον πίνακα Α α. Θεωρώντας ότι στον πίνακα Α το στοιχείο α ij εκφράζει τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων µε του οποίους µπορούµε να πάµε από τον κόµβο i στον κόµβο j µε δύο τόξα, δηλαδή µέσω µιας παράκαµψης κατά κάποιο τρόπο, να γράψετε αναλυτικά ποιοι είναι οι τρόποι που εκφράζει το στοιχείο α, α 4, α 4 και α 4 του πίνακα Α.. 6. Να λυθεί το σύστηµα: R + R = 8, 5R + = 4, 5R.

6 7. Να λυθεί η τριγωνοµετρική εξίσωση: ηµθ+συνθ=. 4 8. Να λυθεί η πολυωνυµική εξίσωση: =. 9. Να λυθεί η εκθετική εξίσωση: 4 + =.. Να λυθεί η λογαριθµική εξίσωση: log log =.. Να λυθεί το σύστηµα εξισώσεων: t,5 = 4 e,59,7 ln =,4t.. Αν Z= R +( π fl) να αποδείξετε ότι, Z R L=. πf

7 ΜΑΘΗΜΑ 4 o Α) ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (Πράξεις, µορφές, µέτρο, πρωτεύον όρισµα, κτλ), z= α + βi, α, β R, i= ή i Μέτρο µιγαδικού αριθµού z z = α + β = Πρωτεύον όρισµα του z Arg(z) = φ= tan Μορφές του µιγαδικού αριθµού z = α + βi Αλγεβρική Πολική τριγωνοµετρική εκθετική α+ βi z Arg( z) z (cosφ+ isinφ) iφ β α z e ΚΩ ΙΚΑΣ ans c=-j c =. -.i metro=abs(c) metro =.6 %υπολογίζει το µέτρο του µιγαδικού c orisma_rad=angle(c) orisma_rad = -.7 %υπολογίζει το πρωτεύον όρισµα του µιγαδικού c σε ακτίνια orisma_deg=angle(c)*8/pi orisma_deg = -6.449 %µετατρέπει τα ακτίνια σε µοίρες real=real(c) %γράφει το πραγµατικό µέρος του µιγαδικού c imaginary=imag(c) %γράφει το φανταστικό µέρος του µιγαδικού c. c=conj(c) %γράφει το συζυγές του c. compass(c) % σχεδιάζει στο µιγαδικό επίπεδο real= imaginary- C=+j 9.5 6 5.5.5 8 4 7

8 α=[ ] +j*[-4 ] %δηµιουργεί τον πίνακα α=[-4j +j +j] compass (a) %σχεδιάζει στο µιγαδικό επίπεδο 9 5 6 4 5 8 4 7 Β) ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR & MAC-LAURIN (συσχέτιση τριγωνοµετρικών και εκθετικών συναρτήσεων, σχέσεις Euler). f () όπου f () f () = f () + +!! ( n) f () +! f +... + f ( o ) n R n () =, µορφή Lagrange. n! n ()! ( n ) n + R n () ΚΩ ΙΚΑΣ syms f=taylor(log(+)/(-5)) % Αναπτύσσει την συνάρτηση σε πολυώνυµο πέµπτου βαθµού. syms l y=sqrt(-^/l^) f = ans -/5*+/5*^- 4/75*^+9/75*^4-7/75*^5 y = (-^/l^)^(/) f=taylor(y) f = -/*^/l^-/8/l^4*^4-/6/l^6*^6 Μπορούµε να δούµε γραφικά την προσέγγιση της συνάρτησης e από το πολυώνυµου στο οποίο αναπτύσσεται κατά Taylor.

9 syms y=ep() taylor(y) ++/*^+/6*^+/ 4*^4+/*^5 =linspace(-,,); d=++.^/; y=ep(); s=+; plot(,y,,s,,d, κ* ) 5 5 5-5 - - - Συσχέτιση τριγωνοµετρικών, υπερβολικών και εκθετικών συναρτήσεων ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ EULER: e iθ = cos(θ) + i sin(θ) () Από τη σχέση () προκύπτει ότι: e iθ = cos(θ) + isin(θ) και e -iθ = cos(θ) isin(θ) άρα iθ iθ e + e cos( θ) = και iθ iθ e e sin( θ) =. i Από τον ορισµό των υπερβολικών συναρτήσεων προκύπτουν όµοια οι σχέσεις: i i e + e i i e e cosh( i) =, sinh( i) = και tanh(i) = itan(). ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τους µιγαδικούς αριθµούς µε το πρόγραµµα: o 4i z= + j, z = i π π π e + 5, z = 5 + 67 6 6 4 o z4 =( ) o 4 5, z5 =. o. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z= + i ( i). Να γραφεί στην αλγεβρική µορφή (α + βi). Να υπολογισθεί το µέτρο του και το πρωτεύον του όρισµα. Να σχεδιασθεί στο µιγαδικό επίπεδο. o,

. Να υπολογίσετε το µέτρο και το πρωτεύον όρισµα του µιγαδικού αριθµού i /4 o ( e π ) ( ) z = 5 π / 4. ίνονται οι µιγαδικοί: = j, Z = 5j Z = j. Να βρεθεί το µέτρο Z Z Z και το πρωτεύον όρισµα σε µοίρες του µιγαδικού αριθµού: Z=. 5 Z 5. Αν θεωρήσουµε το ω µεταβλητή τότε ο µιγαδικός αριθµός Z είναι συνάρτηση του ω. Να γίνει η γραφική παράσταση του µέτρου του Z ως προς ω. 6. Να εκφράσετε τον µιγαδικό z στην µορφή α + βi, όπου α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί, δεδοµένου ότι : = +, όπου z = -4i και z = 5+i. z z z z Να υπολογισθεί το µέτρο και το πρωτεύον του όρισµα στο πρόγραµµα, καθώς και µε µολύβι και χαρτί. 7. Το ίδιο και για τους µιγαδικούς z=, + i 4i z=, 4 + 5i z=. i π i π 8. ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z = e + 5. 6 α. Να γράψετε τον µιγαδικό αριθµό z στην αλγεβρική του µορφή. α. Από την αλγεβρική µορφή να υπολογίσετε το µέτρο και το πρωτεύον όρισµα του z. Να σχεδιάστε στο ίδιο µιγαδικό επίπεδο τους µιγαδικούς αριθµούς e i π π, 5 και τον z. 6 5 + i 9. Να αποδείξετε τη σχέση: = 6. i. Να γραφεί στην πολική του µορφή ο µιγαδικός αριθµός: 8 z=. i. Να γραφεί στην πολική του µορφή ο µιγαδικός αριθµός: o o 45 i 4 i z= e e.. Να γραφεί στην αλγεβρική του µορφή ο µιγαδικός αριθµός: o z = 44 π / 6+ 8.. Να βρεθεί το µέτρο και το πρωτεύον όρισµα του µιγαδικού αριθµού, z = ( + i) 4. π ± i 4. Να αποδείξετε στο πρόγραµµα ότι: e = ± i. 5. Να αναπτυχθεί κατά τις δυνάµεις του η συνάρτηση y = e ^, και να σχεδιαστούν οι συναρτήσεις y, taylor(y). Tι παρατηρείτε;

6. Αποδείξτε ότι για µικρές τιµές του, ισχύει: e +. + sin 4 και 7. Αναπτύξτε κατά τις δυνάµεις του τις παραστάσεις µέχρι και τον όρο 4 : e + e ln,. + e ( ) 8. Αναπτύξτε κατά τις δυνάµεις του τις παραστάσεις µέχρι και τον όρο 4 : ln + 9. Να αποδείξετε ότι: e i = cos + isin., cos, +.. Να αναπτυχθεί κατά τις δυνάµεις του χ η συνάρτηση y= e ln(+ ) + ln( ). Να σχεδιαστούν οι συναρτήσεις y, taylor(y). Tι παρατηρείτε;. Να υπολογιστούν οι τιµές των παρακάτω τύπων: π π sin[ (+ i)], sinh(+4i), tan( ) 4 4 i.

ΜΑΘΗΜΑ 5 ο Α) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ( ης και ανώτερης τάξης, µερικές παράγωγοι) Παράγωγος της y = f() στο σηµείο P( o, f( o )) ορίζεται η κλίση της εφαπτοµένης της καµπύλης γ της f() στο σηµείο P( o, f( o )) και συµβολίζεται f ( ). ΚΩ ΙΚΑΣ syms a b c ; %δηµιουργεί τις συµβολικές µεταβλητές a b c d. f=a*^+b*+c; diff(f,) % παραγωγίζει f ως προς. diff(f,a) % υπολογίζει την παράγωγο f ως προς a *a*+b ^ diff(f,,) % υπολογίζει την δεύτερη παράγωγο ως προς *a syms z y z=sqrt(^+y^) % έστω συνάρτηση µε δύο µεταβλητές a=diff(z,) % υπολογίζει τη µερική παράγωγο της συνάρτησης z(,y) ως προς pretty(a) b=diff(z,y) % υπολογίζει τη µερική παράγωγο της συνάρτησης z(,y) ως προς y pretty(b) Υπολογισµός µερικής παραγώγου z =(^+y^)^(/) o ans a =/(^+y^)^(/)* (, ) f (, y) f y = ------------ / ( + y ) b = /(^+y^)^(/)*y y ------------ / ( + y ) Β) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ (ορισµένα, αόριστα, διπλά-τριπλά, εµβαδά), Αόριστο ολοκλήρωµα της f() συµβολίζεται: f () d και είναι το σύνολο όλων των παραγουσών της f(). ηλαδή: f ()d = F() + c, c R όταν F () = f () syms ΚΩ ΙΚΑΣ f = sin(*) ans f=sin(*) p=int(f) p = -/*cos(*)

Υπολογισµός ορισµένου ολοκληρώµατος, p=int(sin(*),,pi) p = p = π ηµ()d syms f=**ep(-5*^) vpa(int(f,,),) % υπολογίζει την τιµή του ορισµένου ολοκληρώµατος από έως µε προσέγγιση δεκαδικών ψηφίων. Προσεγγιστικός υπολογισµός εµβαδού επιπέδου χωρίου.8.6.4..8.6 **ep(-5* ) :.987754 rsums(f) % εµφανίζει τη διαµέριση του εµβαδού σε ορθογώνια και υπολογίζει το εµβαδόν του αθροίσµατος των ορθογωνίων..4.....4.5.6.7.8.9 Υπολογισµός διπλού ολοκληρώµατος Να υπολογιστεί το παρακάτω διπλό ολοκλήρωµα στη περιοχή ολοκλήρωσης Ω ddy Ω= y syms z z=^ a=int(z,,-,) Ω ( d) dy= dy= = dy z = ^ a = / [ y] = b=int(a,y,,) b =

4 Γ) ΕΠΙΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης y ( ) + 7y ( ) + 5y( ) = 4 /, αρχικές συνθήκες y()=, y ()= syms y y = /4*(8*-4*log()+)/-5/4/ y=dsolve('^*dy+7**dy+5*y =-4/,y()=,Dy()=','') pretty(y) 8-4 log() + /4 ------------------ - 5/4 / Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης y + + = ( ) y ( ) y( ) e, αρχικές συνθήκες y()=4, y ()= syms y y= dsolve('dy+*dy+y=**ep(- ),y()=4,dy()=-','') y = /*^*ep(-)+4*ep(-)+**ep(-) pretty(y) / ep(-) + 4 ep(-) + ep(-) Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης t y ( t) + y ( t) = te, αρχικές συνθήκες y()=4, y ()=- syms y t y=dsolve('dy+*dy+y= *t*ep(-t),y()=4,dy()=-','t') pretty(y) y=simple(y) y = /*t^*ep(-t)+4*ep(-t)+*t*ep(-t) / t ep(-t) + 4 ep(-t) + t ep(-t) y = /*ep(-t)*(t^+8+4*t) pretty(y) / ep(-t) (t + 8 + 4 t) Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης t y ( t) + y ( t) = te, αρχικές συνθήκες y()=4, y ()=- και σχεδίαση της λύσης της syms y t y = (4*sin(t)*cos(t)+4*t)*sin(t)-4*sin(t)^*cos(t)- y=dsolve sin(t)+cos(t) ('Dy+y=8*cos(t), y()=,dy()=-','t') y=simple(y) ezplot(y,[-,]) y = 4*sin(t)*t-sin(t)+cos(t) 4 sin(t) t-sin(t)+cos(t) - - - -8-6 -4-4 6 8 t

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστεί η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης q=c*cos(t/ LC ) + c*sin(t/ LC ). d q q(t). Θεωρώ την διαφορική εξίσωση L + =. Να επαληθευτεί ότι η dt C t συνάρτηση q(t) = qo cos είναι η λύση της. Να υπολογιστεί η ένταση LC dq του ρεύµατος I(t) =. dt d. Θεωρώ την διαφορική εξίσωση = ω. Να επαληθευτεί ότι η συνάρτηση dt (t) = α cosωt είναι η λύση της. d k 4. Θεωρώ τη διαφορική εξίσωση: + (t) =. Να επαληθευτεί ότι η dt m k συνάρτηση, (t) = A cos t φ είναι λύση της. m 5. Βρείτε τις συντεταγµένες της ελάχιστης τιµής της αλυσοειδούς καµπύλης y= cosh( ). Να σχεδιαστεί η συνάρτηση. 6. Βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων: f = cosh e, g= coth. 7. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα:, 5e d, ( + ) d dt e t + 7 cos t dt, t cos t f o d, m dm. 4 d, L, kd, dl ω RC 8. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα της συνάρτησης F = sin( t) e. ως προς τη µεταβλητή t. Με ποια µέθοδο ολοκλήρωσης υπολογίζεται το ολοκλήρωµα; t

6 9. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα χρησιµοποιώντας τις µεθόδους ολοκλήρωσης που γνωρίζετε και επαληθεύστε τα αποτελέσµατα µε το πρόγραµµα. dq e e d CE d. ln Q. Να βρείτε το µήκος των παρακάτω καµπυλών αφού σχεδιάσετε πρώτα τις καµπύλες : ln από = έως = / και y= ( ) από = έως =, β dy ( l = + d ). d α. Να βρείτε το µήκος των παρακάτω καµπυλών που δίνονται παραµετρικά αφού πρώτα σχεδιάσετε τις καµπύλες: y(t) = t, (t) = t από t = έως t = και y(t) = e t cost, (t) = e t sint d dy από t = έως t = π, ( l = + dt ). dt dt t t. Να υπολογιστεί η ενεργός τιµή της έντασης εναλλασσοµένου ηµιτονικού ρεύµατος I(t) = IO sinπt στο διάστηµα [,ms] γνωρίζοντας ότι η παραπάνω συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο στην τιµή Α. (Ενεργός τιµή f ). β συνάρτησης ( ) = ( f ( ) ) β α α. Η τάση δίνεται από τον τύπο v = sinθ volts: Βρείτε τη µέση τιµή της τάσης,π α, β στο διάστηµα [ ] (Μέση τιµή συνάρτησης f() στο διάστηµα [ ] f ( ξ) = β α f () d ). β α 4. αριθµός των ατόµων που παραµένουν στη µάζα ενός υλικού κατά τη διάρκεια ραδιενεργούς διάσπασης µετά από t sec δίνεται από τον τύπο: λt N= N e, όπου Ν και λ είναι σταθερές. Βρείτε τον µέσο αριθµό των ατόµων στη µάζα του υλικού στη χρονική περίοδο t =, t = /λ. 5. Να υπολογισθούν τα ακρότατα και τα σαγµατικά σηµεία της συνάρτησης: α) f(,y)= +y -y-7y και β) g(,y)= +y -y.

7 6. Να υπολογισθούν τα ακρότατα και τα σαγµατικά σηµεία της συνάρτησης h(,y)=ηµ(y) και να τα επιβεβαιώσετε στο γράφηµα. z 5-5 - 5 y -5 - sin(y) - -5 5 Θεώρηµα Έστω f συνάρτηση δύο µεταβλητών της οποίας οι δεύτερες µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς σε κάποια γειτονιά του σηµείου ( o,y o ). Έστω επίσης f ( o,y o )=f y ( o,y o )=. Θέτουµε: A=f ( o,y o ), B=f y ( o,y o ), Γ=f yy ( o,y o ) και =Β -ΑΓ. Τότε α) Εάν < και Α<, το ( o,y o ) είναι τοπικό µέγιστο σηµείο.β) Εάν < και Α>, το ( o,y o ) είναι τοπικό ελάχιστο σηµείο.γ) Εάν >, το ( o,y o ) είναι σαγµατικό σηµείο.δ) Εάν =, δεν µπορούµε να εξάγουµε συµπεράσµατα για την συγκεκριµένη περίπτωση) 7. Η ταχύτητα v κινητού δίνεται από τον τύπο: v = (4t+) m/sec όπου t(sec), βρείτε τη µέση τιµή της ταχύτητας στο χρονικό διάστηµα t =, t = sec. 8. Να υπολογιστεί η ενεργός τιµή της έντασης εναλλασσοµένου ηµιτονικού ρεύµατος i I sinωt,π. = στο διάστηµα [ ] 9. Να υπολογιστεί η ενεργός τιµή και η µέση τιµή της τάσης εναλλασσοµένου ηµιτονικού ρεύµατος v 4 sinωt,π.να βρείτε το εµβαδόν = στο διάστηµα [ ] του χωρίου Ω που δηµιουργεί η συνάρτηση y() = 5 µε τον άξονα σχεδιάζοντας πρώτα τη συνάρτηση στο πρόγραµµα.. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: π e n d e d d ar d yeady. m m sin, cos, ln, sin,. Να υπολογισθούν τα διπλά ολοκληρώµατα στις αντίστοιχες περιοχές ολοκλήρωσης Ω: a) ( y sin( π )) ddy, Ω=, b) ddy, Ω=, Ω y + Ω y y c) ( y ) ddy, Ω : y=, y= [, ], Ω y d) ( y y ) ddy, Ω=. Ω y

8 ΜΑΘΗΜΑ 6 o ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ σε δυδιάστατο (-D) και τρισδιάστατo (-D) χώρο ΚΩ ΙΚΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑ Υπογραφήµατα (ταυτόχρονη σχεδίαση γραφηµάτων) Στο παρακάτω γράφηµα δηµιουργήσαµε 4 γραφήµατα σε µια στήλη (4 σειρές και στήλη) =linspace (,*pi); y=sin(); z=cos(); a=*sin(); b=*cos(*) subplot(4,,) plot(,y), title('sin()') subplot(4,,) plot(,z); title('cos()') subplot(4,,) area(,a); title('sin()') subplot(4,,4) area(,b); title('cos()') n=(::64); y=sin(pi*n/8); stem(n,y) title('y=sin(pi*n/8)') grid on label('n') sin() - 4 5 6 7 cos() - 4 5 6 7 sin() - 4 5 6 cos() 5-5 4 5 6 Σχεδίαση ακολουθίας ή χρονοδιακριτής συνάρτησης Παράδειγµα: σχεδίαση της ακολουθίας y(n)=ηµ(πn/8).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 y=sin(pi*n/8) - 4 5 6 7 n

9 Τα ειδικά θεµελιώδη Σήµατα Βηµατικό-Heaviside και Κρουστικό-Dirac στο MATLAB Το Bηµατικό-Heaviside σήµα (συνάρτηση):, u( a) = :, a < a Το κρουστικό-dirac σήµα (συνάρτηση): δ, =, ( a) = a a Heaviside( a) η ( a ) Dirac( a) η ( = a ) Η βηµατική συνάρτηση αποτελεί απαραίτητο εργαλείο για την δηµιουργία πολυκλαδικών συναρτήσεων στο MATLAB. c, a T Π.χ. η συνάρτηση-σήµα, f ( t) = d, a > T δηµιουργείται στο MATLAB και σχεδιάζεται µε τις παρακάτω εντολές: f=(abs(-a)<=t); f=(abs(-a)>t); f=c*f+d*f Οπότε παίρνουµε: f= c*heaviside(-a+t)*heaviside(-+a+t)+d*(heaviside(-a-t)* Heaviside(-+a-T) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ, = Σχεδίαση της συνάρτησης Dirac, δ ( ) =, = -::5; stem ([],[]) title('dirac') label('').8.6.4..8.6.4. dirac..4.6.8..4.6.8

Σχεδίαση της συνάρτησης, f ( t), t =., < t 4 Έστω α<<β. Με πρόσθεση κατά µέλη της ανίσωσης αυτής µε το β α α+ β β α < < ή t=:.:4;% Ορίζουµε διάστηµα τιµών για την µεταβλητή t f=(abs(t-)<=); f=(abs(t-)<); f=f-f;% ηµιουργούµε την f plot(t,f) label('t') ylabel('f(t)') ais([ 4 - ]) f(t).5.5 -.5 - -.5 α+ β β α <. α+ β παίρνουµε: -.5.5.5.5 4 t Γραφήµατα σε πολικές συντεταγµένες Το πολικό σύστηµα συντεταγµένων είναι ένα εναλλακτικό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο. Στο πολικό σύστηµα συντεταγµένων υπάρχει ένα σηµείο Ο (ο πόλος ) και ο πολικός άξονας Ο που είναι η οριζόντια ηµιευθεία από το Ο προς τα δεξιά. Η θέση κάθε σηµείου Μ καθορίζεται από τις πολικές του συντεταγµένες [ρ, θ], όπου ρ είναι η απόσταση του σηµείου M από το σηµείο Ο (ρ = ΟΜ) θ είναι η γωνία που σχηµατίζει η ακτίνα ΟΜ µε τον πολικό άξονα. Παράδειγµα: σχεδίαση της συνάρτησης, r(t)=(-συν(t)) t=linspace(,*pi); r=*(-cos(t)); polar(t,r) title('r=(-cost)') 5 9 4 6 8 4 7

Σχεδίαση παραµετρικών εξισώσεων Αν οι συντεταγµένες (, y) ενός σηµείου Ρ µιας καµπύλης δίνονται ως συναρτήσεις = f(t), y = g(t) µιας άλλης µεταβλητής ή παραµέτρου t, τότε οι εξισώσεις λέγονται παραµετρικές εξισώσεις της καµπύλης. Παράδειγµα: Να σχεδιαστεί ο κύκλος + y =, δίνοντας τις παραµετρικές εξισώσεις του: (t) = cos(t), y(t) = sin(t) t=linspace(,*pi); plot(cos(t),sin(t)) ais square; title('square') label('=cos(t)') ylabel('y=sin(t)') grid on y=sin(t).8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 square - - -.5.5 =cos(t) Σχεδίαση καµπύλης σε -d χώρο Μπορούµε να σχεδιάσουµε µια καµπύλη σε τρισδιάστατο χώρο όταν έχουµε τη διανυσµατική της εξίσωση δίνοντας τις παραµετρικές συντεταγµένες της. Παράδειγµα Να σχεδιαστεί σε τρισδιάστατο χώρο η ελικοειδής καµπύλη µε t=linspace(,,5); plot(sin(t),cos(t), t) title('heli') label('=sin(t)') ylabel('y=cos(t)') zlabel('z=t') διανυσµατική εξίσωση: y(t)=iηµt +jσυνt+kt. z=t Heli 5 5.5 y=cos(t) -.5 - - -.5 =sin(t).5

Σχεδίαση συναρτήσεων δύο µεταβλητών z(,y) Το πεδίο ορισµού σχεδίασης δίνεται µε την εντολή meshgrid (a,βήµα, β) και αφορά το εύρος τιµών των ανεξάρτητων µεταβλητών,y. Η εντολή σχεδίασης είναι surf(x,y,z) [,y]=meshgrid(- z= +y+y :.5:); z=.^+**y+y.^; surf(,y,z) label('') ylabel('y') zlabel('z') grid on title('z=^+y+y^') z 7 6 5 4 5 y -5 - - -5 5 [,y]=meshgrid(:.:5); z= 4+y- +*y-y z= 4*+*y-.^ +.*y-y.^; surf(,y,z) label('') ylabel('y') z 5-5 - zlabel('z') title ('z= 4+y-^+*y-y^') -5 6 4 y 4 5

[,y] = meshgrid(:.:); f(,y)=y+ z = *y+; surf(,y,z) label('') ylabel('y') zlabel('z') title('f(,y)=y+') z 5 5 5 5 y 4 6 8 Έστω συνάρτηση z=f(,y). Θεωρούµε ένα επίπεδο Π, µε εξίσωση z=c, το οποίο τέµνει την γραφική παράσταση της f. Η τοµή του Π µε την επιφάνεια z=f(,y), θα είναι µια καµπύλη στο χώρο, η οποία έχει για σηµεία της, όλα τα σηµεία (,y,z) για τα οποία ισχύει: z=f(,y) και z=c. ηλαδή θα είναι όλα τα σηµεία (,y,c) για τα οποία f(,y)=c. Καµπύλες αυτού του τύπου θα τις ονοµάζουµε ισοσταθµικές καµπύλες της. Σχεδίαση ισοσταθµικών καµπυλών της συνάρτησης z(,y)= -/( +y +) [,y]=meshgrid(-:.:); z=-*./(.^+y.^+); [c,h]=contour(,y,z,);% σχεδιάζει ισοσταθµικές καµπύλες clabel(c,h) title ('contour curves z=- /(^+y^+)') label('') ylabel('y') [,y]= meshgrid(-:.:); z=-*./(.^+y.^+); surf(,y,z) title ('z=-/(^+y^+)') y.5.5 -.5 - -.5.667.8.8.667 contour curves z=-/( +y +).5.8.667.8.5.6667.5.6667 -.6667 -.5 -.6667.6667 -.8 -.667 -.8 -.5 -.5 -.667 -.8 -.667 - - -.5 - -.5.5.5 z=-/( +y +).5.5 -.5 - -.5 - - - -

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να σχεδιαστούν σε πολικές συντεταγµένες οι συναρτήσεις r = cost, r = cos(t), r = cos(4t), r4 = cos(5t), r5 = t (σπείρα του Αρχιµήδη (spiral)). Να σχεδιαστούν µε την εντολή subplot(,,..). Να γίνει η γραφική παράσταση της κυκλοειδούς καµπύλης η οποία δίνεται παραµετρικά από τις συναρτήσεις: (θ) = r(θ-sin(θ)), y(θ) = r(-cos(θ))). Θέστε r =.. Να σχεδιαστεί σε τρισδιάστατο χώρο η ευθεία γραµµή µε διανυσµατική εξίσωση r(t)=(+t)i +(--t)j+(+t)k. 4. Να σχεδιαστούν στο ίδιο γράφηµα οι συναρτήσεις: e, e -,, -, και να αναγνωρίσετε (ονοµάσετε ) στο γράφηµα την κάθε µια. 5. Να σχεδιαστεί η ευθεία y=(+t)i+(-t)j+tk 6. Να αναγνωρίσετε αιτιολογήσετε - σχεδιάσετε τις ισοσταθµικές καµπύλες της συνάρτησης z=4^+y^ καθώς και τη συνάρτηση. Να αιτιολογήσετε το σχήµα µε τη βοήθεια των καµπυλών. 7. Τι είδους καµπύλες είναι οι ισοσταθµικές των παρακάτω συναρτήσεων; i) f(,y)=y -, ii) f(,y)=4--y,iii) f(,y)= /9 + y /4 8. Να σχεδιαστεί η συνάρτηση f(,y)= ^ +y^. Να βρεθεί η κλίση της εφαπτοµένης της καµπύλης που τέµνει την επιφάνεια όταν = στο σηµείο (,-5). Να υποδειχθεί τι εκφράζει µαθηµατικά. 9. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης z(,y) = + y + y - 6 και να επιβεβαιωθούν αφού σχεδιάσετε το γράφηµά της.. Να αναγνωρίσετε σε ποιο γράφηµα αντιστοιχεί η συνάρτηση z(,y) = + y + y - 6 και να δικαιολογήσετε την άποψή σας 6 5 6 4 4-4 - 4 - - - y -4-4 - - y -

5 ΜΑΘΗΜΑ 7 o A) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE (ML) (Υπολογισµός ευθύ και αντίστροφου ΜL χρονοσυνεχών σηµάτων) Ο Μετασχηµατισµός LAPLACE µετατρέπει ένα χρονοσυνεχές (αναλογικό) σήµα f(t) του πεδίου του χρόνου t, στο σήµα F(s) του πεδίου συχνοτήτων s, σύµφωνα µε την πράξη: st L { f ( t )} = e f ( t )dt = F( s ) ενώ ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace: L { F( s) } = f ( t) ηλ. ένα σήµα-ηλεκτρική κυµατοµορφή f(t) που συνήθως στις εφαρµογές εξετάζεται από τον παλµογράφο στο πεδίο του χρόνου t, χρειάζεται να γνωρίζουµε το φάσµα της F(s) στο πεδίο συχνοτήτων s για να αναλυθεί από το φασµατοσκόπιο και αντίστροφα. Έτσι στον τοµέα των αναλογικών LTI Σηµάτων-Συστηµάτων, αυτή η αµφίδροµη πορεία µεταξύ του σήµατος f(t) -(ως προς τον χρόνο t) και του αντίστοιχου φάσµατος (σήµατος) F(s)-(ως προς την συχνότητα s), επιτυγχάνεται µέσω του ML, που εδώ θα γνωρίσουµε πώς υπολογίζεται µε χρήση του MATLAB. Παραδείγµατα υπολογισµού του µετασχηµατισµού LAPLACE µε τη χρήση του MATLAB ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f = sin(5πt) g = t 9 e (t-) d = dirac(t-5) u = u(t-), < t< f ( t) =, αλλού ή ΚΩ ΙΚΑΣ MATLAB >>syms t s >>f=sin(5*pi*t) >>F=laplace(f,t,s) F =5*pi/(s^+5*pi^) >>syms t s >>g=t^9*ep(t-) >>F=laplace(g,t,s) F =688*ep(-)/(s-)^ syms t s d=dirac(t-5) F=laplace(d,t,s) F =ep(-5*s) syms t s u=heaviside(t-) F=laplace(u,t,s) F =ep(-*s)/s syms t s u=*heaviside(-t)*heaviside(t+)

6, t < f ( t) =, t >, t f( t) =, < t 4 Σχεδίαση της, t f ( t) =, < t 4 Στο πρόγραµµα, < < f( ) = 4, < < 4 Να βρεθεί το γράφηµα και η µετασχηµατισµένη της κατά Laplace. 4, < t< f ( t) =, t< f=e αt sin(ωt). f ( t ) = sin t+ e t F=laplace(u,t,s) syms t s F = /s-*ep(-s)/s f=sym('heaviside(t)*heaviside(-t+)-heaviside(t-)*heaviside(- t+4)'); % ηµιουργούµε την συνάρτηση f F=laplace(f,t,s); % Βρίσκουµε τον (Μ.L) της f τον οποίο ονοµάζουµε F pretty(f) t=:.:4;% Ορίζουµε διάστηµα τιµών για την µεταβλητή t f=(abs(t-)<=);% ηµιουργούµε µέσω λογικής πρότασης την συνάρτηση u(n)u(-n+) f=(abs(t-)<);% ηµιουργούµε µέσω λογικής πρότασης την συνάρτηση u(n-)u(-n+4) f=f-f;% ηµιουργούµε την f plot(t, syms t s f=sym('t*heaviside(t)*heaviside(-t+)+(4-t)*heaviside(t- )*Heaviside(-t+4)'); F=laplace(f,t,s); pretty(f) t=:.:4; f=(abs(t-)<=); f=(abs(t-)<); f=t.*f+(4-t).*f; plot(t,f) syms t s u=4*heaviside(t)*heaviside(-t)+*heaviside(t-)*heaviside(-t) F=laplace(u,t,s) syms t s a v f=ep(a*t)*sin(v*t) F=laplace(f,t,s) syms t s f=(sin(t))^+*ep(*t) F=laplace(f,s,t) pretty(f) F = -4*(-+ep(-s))/s F =v/((s-a)^+v^)

7 Παραδείγµατα υπολογισµού του αντίστροφου µετασχηµατισµού LAPLACE µε τη χρήση του MATLAB ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΩ ΙΚΑΣ F=/(s +9) 9 4s F= s + 8s+ 4 syms t s F=/(s^+9) f=ilaplace(f,s,t) syms t s F=(9-4*s)/(*s^+8*s+4) f=ilaplace(f,s,t) pretty(f) f = /*sin(*t) f = -*ep(-*t)*cos(4*t)+7/8*ep(- *t)*sin(4*t) - ep(-t) cos(4t) + 7/8 ep(-t) sin(4t) s+ Παράδειγµα: Να υπολογιστεί ο L ( ) και να γίνει η γραφική του παράσταση. s + s+ s+ s+ Επίσης να διαπιστωθεί ότι L( L ( )) =. s + s+ s + s+ syms t s ΚΩ ΙΚΑΣ F=(s+)/(s^+s+);% ηµιουργούµε την συνάρτηση f=ilaplace(f,s,t) % Υπολογίζουµε τον αντίστροφο ΜL τον οποίο ονοµάζουµε f g=laplace(f,t,s) % Υπολογίζουµε τον ευθύ ΜL της f τον οποίο ονοµάζουµε g h=simplify(g) % Απλοποιούµε την συνάρτηση g f = ans ep(-/*t)*cos(/*^(/)*t) +/*^(/)*ep(-/*t)*sin(/*^(/)*t) g=4/*(s+/)/(4/*(s+/)^+)+//(4/*(s+/)^ +) h = s+)/(s^+s+) pretty(h) % ιαπιστώνουµε g=f s + ezplot(f,t) ---------- S + s +

8 Σχεδίαση συνάρτησης f(t)=sin(πt) και του µετασχηµατισµού της κατά Laplace ΚΩ ΙΚΑΣ ans syms t s f=sin(*pi*t) F=laplace(f,t,s) subplot(,,) ezplot(f,[,/5]) subplot(,,) ezplot(f,[-,]) F= *pi/(s^+*pi^).5 -.5 -...8.6.4 sin( π t).5..5..5..5.4 t π/(s + π ). - -5 - -5 5 5 s Ποιες διαφορές παρατηρείτε στο γράφηµα µιας συνάρτησης κατά τον µετασχηµατισµό της από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο των συχνοτήτων; Υπολογισµός αντίστροφου Laplace της συνάρτησης F=(cos(π/4)+s*sin(π/4))/(s +9) Και σχεδίαση της συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο Laplace syms t s f =/*^(/)*cos(*t) F=(*cos(pi/4)+s*sin(pi/4))/(s^+9); f=ilaplace(f) pretty(f) laplace(f) ezplot(t,f,[-,]) ezplot(s,f,[-,]) +/*^(/)*sin(*t) / / / cos( t) + / sin( t) ans =/*^(/)*s/(s^+9)+/*^(/)/(s^+9)

9 Β) Ανάλυση χρονοσυνεχών LTI Συστηµάτων µέσω του Μετασχηµατισµού LAPLACE (O Μετασχηµατισµός LAPLACE στη λύση Γραµµικών ιαφορικών Εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές, µε χρήση του MATLAB) Όπως είναι γνωστό, τα χρονοσυνεχή (αναλογικά) Σήµατα-Συστήµατα χρειάζεται συχνά στις τεχνολογικές εφαρµογές να µετασχηµατίζονται από το πεδίο του χρόνου t, σε αντίστοιχα σήµατα ενός νέου πεδίου συνήθως της συχνότητας s (ή ω). Όπου εκεί στο πεδίο συχνοτήτων, συνήθως το φάσµα τους είναι πιο "αποκαλυπτικό" και η επεξεργασία των σηµάτων-συστηµάτων είναι γενικά βολικότερη. Επειδή δε τα προβλήµατα των αναλογικών Σηµάτων-Συστηµάτων στις Τεχνολογικές Εφαρµογές καταλήγουν συνήθως να µοντελοποιούνται και να περιγράφονται µαθηµατικά µέσω Γραµµικών ιαφορικών Εξισώσεων µε σταθερούς συντελεστές, γίνεται φανερός πλέον ο λόγος για τον οποίο οι Τεχνολόγοι προτιµούν να λύνουν τέτοιες.ε. µέσω του Μετασχηµατισµού Laplace (ή ανάλογα του Μετασχηµατισµού Fourier, κλπ). Αφού µέσω των κατάλληλων Μετασχηµατισµών επιτυγχάνουν ταυτόχρονα και να λύνουν τέτοιες ιαφορικές Εξισώσεις αλλά και να "µεταφέρονται" από το πεδίο του χρόνου t -στο πεδίο συχνοτήτων s και αντίστροφα. Οι παρακάτω ιδιότητες του ML:είναι χρήσιµες στην εποίλυση διαφορικών εξισώσεων L f (t) = s Φ (s) - f() ή L{ f (t) } = s Φ(s) - s f() - f () κλπ { } Θα δούµε λοιπόν µε ποιο τρόπο το MATLAB, περιγράφει και αναλύει χρονοσυνεχή συστήµατα στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας µε χρήση του Μετασχηµατισµού Laplace. Παράδειγµα (σελ. 54, &.6.., παραδ. ) Να υπολογιστεί η έξοδος y ( t ) του χρονοσυνεχούς LTI συστήµατος µε είσοδο ( t ) = t, που περιγράφεται µαθηµατικά από τη Γραµµική ιαφορική Εξίσωση: y " y' + y= t, όταν y( ) = y' ( ) =. Στη συνέχεια να γίνει επαλήθευση ότι στην ευρεθείσα έξοδο (output) y ( t ) αντιστοιχεί η δοθείσα είσοδος (input) ( t ) = t. Λύση» syms t s Y» ode='d(d(y))(t)-*d(y)(t)+*y(t)=t';» ltode=laplace(ode,t,s);» eqn=subs(ltode,{'laplace(y(t),t,s)','y()','d(y)()'},{y,,});» Y=solve(eqn,Y);» y=ilaplace(y,s,t) y = /*t+/4-ep(t)+/4*ep(*t)» pretty(y) / t + /4 - ep(t) + /4 ep( t)» test=diff(y,)-*diff(y,)+*y test =t

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες του M.L. σχεδιάζοντας κατάλληλες συναρτήσεις στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο Laplace: αt Mετατόπιση ως προς s: L{ e f ( t)} =Φ( s a) as και µετατόπιση ως προς t: L{ f ( t a)} = e Φ ( s). Να υπολογίσετε τους µετασχηµατισµούς LAPLACE των συναρτήσεων µε L +t 7 t t, τη χρήση του MATLAB α) { } t t 7 e β) L{ 5 - e +t }, γ) L{ -9cos(9t) - sin(t) },δ) L - sin(t), 5 ε) L -7cos(6t)+ sin(t)-t, στ) -t -t L{ e sin(t) }, ζ) L{ e t }, -t 4 9 η) L t -te t -t 6 + L 5e -6cos(5t)+sin(4t)-t,, θ) { } ι) { ( 4)} L sinh(t)-cosh(t), λ) L{ δ ( t )}, L u t+, κ) { } µ) L e t { ( t ) } +.. Να υπολογίσετε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace των παρακάτω 5 συναρτήσεων. α) s, β), γ) 5 4 s s s+,δ), ε) +, ( s+ ) s s + 6 στ) s + 9, ζ) s+ +, η) ( s ) ( s ) ( s+ ) + 9, θ) 5 ( s+ ) + 9 s+ 5 ι) ( s+ ) + 9, κ) s+ 4 s + 4s+ 4, λ) 7s+ s + s+ 5, µ), ν) s ( s+ )( s + ) s s+ 9, s 9 4s ξ) s, ο), π) + 6s+ s + 8s+ 4 s s+ 5 4. Να υπολογισθεί το σήµα f(t) που το φάσµα συχνοτήτων του εκφράζεται cos( π / ) + s. sin( π / ) από τη συνάρτηση F( s ) = και στην συνέχεια s + 4 L( L ( F s )) = F s. Επίσης να γίνει η γραφική να επαληθευτεί ότι: ( ) ( ) παράσταση της f ( t) F( s) ( ) = L και της F ( s ) = L{ f ( t )}. 5. Να λυθούν οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις µε την βοήθεια του MATLAB y + y= sin( t), y () = t (Απ. y( t) = / e / cos( t) + / sin( t) ) y + 4 y=, y () =, y () = (Απ. y( t) = cos( t) + sin( t) ) y y + 4y= y()=,y ()=5 d y dy + t= cos( t) 7 sin( t), y() =, y () = 6 dt dt (Απ. y( t) = sin( t) cos( t) )

4 6. Οµοίως α) y " + y' + y= sin( t ), όταν y( ) =, y' ( ) =. b) y ' + y=, όταν y( ) =. c) y "' y' y= sinh( t ), όταν y"( ) = y' ( ) = y( ) =. d) y " + y' = t, όταν y( ) =, y' ( ) =. 7. Να λυθούν µέσω του MATLAB, οι ασκήσεις του βιβλίου Θεωρίας (σελ. 55): από, µέχρι 6. 8. Να λυθούν µέσω του MATLAB, οι ασκήσεις του βιβλίου Θεωρίας (σελ. 58): από 7, µέχρι. 9. Να λυθούν µέσω του MATLAB, οι ασκήσεις του βιβλίου Θεωρίας (σελ. 59):από, µέχρι., < t < =, t < 6 παράσταση του σήµατος f.. Αν f ( t) ( ), να βρεθεί η f ( t) L και να γίνει η γραφική. ( Παράδειγµα γ, σελίδα 86, για ν=). Να βρεθεί ο (Μ.L) του αναλογικού, < t < σήµατος f ( t) =, και να γίνει η γραφική παράσταση του, t < 6 σήµατος f.,. (Παράδειγµα, σελίδα 5). Αν f ( t ) = ( t a ), L ναα βρεθεί το ίδιο όταν α=5. ( f ( t) ) t < a, να βρεθεί η t a. Να λυθούν οι ασκήσεις, σελ. 6 του βιβλίου θεωρίας: 4,,, 4, 7. 4. Να υπολογιστεί ο ML των χρονοσυνεχών σηµάτων:a) u(t-7), b)7δ(t-), c) u(t-4)-5sin(t)δ(t-6), d)4cos(t+)u(t)u(t-)+sinh(t)δ(t-5)

4 ΜΑΘΗΜΑ 8 o Α) ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Σειρά Fourier συναρτήσεων περιόδου Τ =L, ή ορισµένη και πληρούσα τις συνθήκες DIRICHLET στο διάστηµα [-L, L], Τ>. a nπ nπ f ( ) = + cos + sin an β n n= L L L nπ όπου an = f ( ) cos d, = ( )sin L T L nπ β n f d, L T και a o L = L L L f ( ) d. Σειρά Fourier άρτιων και περιττών συναρτήσεων ορισµένες στο διάστηµα T=[-L, L] Άρτια συνάρτηση f() = f(-) Περιττή συνάρτηση f() = - f(-) L L ao = f ( ) d, β n =, ( )sin nπ β n = f d, L L L L = ( ) cos nπ a a n =, a o = n f d L L Το φάσµα συχνοτήτων Παραπάνω διαπιστώσαµε ότι εφαρµόζοντας το θεώρηµα Fourier για µια περιοδική συνάρτηση µπορούµε να την εκφράσουµε σαν άθροισµα άπειρων αρµονικών όρων. O κάθε αρµονικός όρος της σειράς περιέχει δύο πληροφορίες: το πλάτος και την αντίστοιχη συχνότητα f (Hz). Αν θεωρήσουµε ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων µε οριζόντιο άξονα τη συχνότητα και κατακόρυφο άξονα το πλάτος τότε, το πλάτος κάθε προσθετέου της σειράς Fourier θα παρίσταται από τµήµα ευθείας παράλληλης προς τον άξονα πλατών στο σηµείο που αντιστοιχεί η συχνότητα του όρου αυτού. Μια τέτοια απεικόνιση - ανάλυση της συνάρτησης θα λέγεται φάσµα πλάτους - συχνότητας. Το φάσµα είναι γραµµικό για την περίπτωση της περιοδικής συνάρτησης (ΣΕΙΡΑ FOURIER ) ή συνεχές για την περίπτωση απεριοδικής ή µη περιοδικής συνάρτησης (ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ Fourier, 4< < ) ίδεται η συνάρτηση ή το περιοδικό σήµα: f ( ) = 5, < < 4 α) Να σχεδιασθεί η συνάρτηση. β) Να υπολογιστούν οι συντελεστές Fourier της Σειράς Fourier της συνάρτησης f() και στη συνέχεια να γραφεί ο γενικός τύπος της. Να γραφούν αναλυτικά οι πρώτοι 4 όροι της. γ) Να γίνει γραφικά η προσέγγιση του παραπάνω περιοδικού σήµατος µέσω της σειράς Fourier. δ) Να γίνει απεικόνιση του φάσµατος συχνοτήτων της για ένα µικρό αριθµό αρµονικών. ΛΥΣΗ L

4 α) Σχεδιασµός της, 4< < f ( ) = = 5, < < 4, + < 5, < Κώδικας =linspace(-4,4,); f=(abs(+)<); f=(abs(-)<); f=*f+5*f; plot(,f,'k') ais([-4 4-6]) label('') ylabel('f()') title('square wave') Γράφηµα (α) f() 6 5 4 square wave - -4 - - - 4 Βλέπουµε το γράφηµα της συνάρτησης f() και τον κώδικα σχεδίασής της στο πρόγραµµα στο διάστηµα µιας περιόδου της. Την παραπάνω συνάρτηση θα προσπαθήσουµε να την προσεγγίσουµε µε την δηµιουργία κατάλληλου αθροίσµατος ηµιτονοειδών συναρτήσεων ή µέσω της ανάλυσης της σε σειρά Fourier. β) Υπολογισµός των συντελεστών α ο, α n, β n Υπολογισµός του ολοκληρώµατος µε την βοήθεια του προγράµµατος: 4 5d Υπολογισµός του ολοκληρώµατος 4 nπ 5sin d µε την βοήθεια του 8 προγράµµατος syms f=5; int(f,,,4) ans = syms n f=5*sin((*n*pi*)/8) int(f,,,4) ans = -*(cos(n*pi)-)/n/pi pretty(ans) 5 8 Για n = υπολογίζω τον συντελεστή β = ( ) =/π, ο πρώτος όρος της 4 π σειράς ή ο πρώτος αρµονικός όρος, συνεχίσουµε για n=, κλπ. Καταλήγουµε ότι, 5 π 6π π f ( ) = + sin + sin + sin +... π 8 8 5 8.

44 γ) Γραφική προσέγγιση της f() µέσω της αρµονικής ανάλυσής της Κώδικας MATLAB =-4:.:4; y=5/+/pi*sin(*pi*/8); y=y+/(*pi)*sin(6*pi*/8); y=y+/(5*pi)*sin(*pi*/8 ); y4=y+/(7*pi)*sin(4*pi*/8 ); plot(,y,,y,,y,,y4) 6 5 4 Γράφηµα (β) - -4 - - - 4 Ερώτηση: Αν συγκρίνουµε τα γραφήµατα (α) & (β) που καταλήγουµε; Απάντηση: Θεωρητικά η συνάρτηση f() προσεγγίζεται από το άθροισµα άπειρων όρων αλλά φαίνεται ξεκάθαρα ότι από το άθροισµα των πρώτων τεσσάρων όρων της αρχίζει να διαφαίνεται η συνάρτηση που θέλουµε να προσεγγίσουµε. δ) Φάσµα συχνοτήτων Κώδικας MATLAB >>=linspace(,.5); >>stem([ /8 /8 /8 4/8], [ 5/ /pi /(*pi) /(5*pi) /(7*pi)]) >> ylabel('aplitude') >> label('frequency(hz)') Γράφηµα Το διακριτό φάσµα πλάτους- συχνότητας της συνάρτησης f() για τους πέντε πρώτους όρους της. aplitude.5.5.5.5.5..5..5..5.4.45.5 frequency(hz)

45 ) ίδεται η συνάρτηση f() = για που ανήκει στο διάστηµα [-π, π]. Να αποδειχθεί ότι η σειρά Fourier της συνάρτησης είναι: sin( ) sin( ) + sin( ) sin(4 ) +... 4 Με τη βοήθεια του MATLAB να καταγραφεί προσέγγιση της συνάρτησης µέσω της ανάλυσης της σε σειράς Fourier. Να γίνει απεικόνιση του φάσµατος συχνοτήτων της για ένα µικρό αριθµό αρµονικών. Παρατήρηση: Η συνάρτηση είναι περιττή συνάρτηση µε περίοδο π. Άρα σύµφωνα µε τα παραπάνω οι συντελεστές α ο και α n είναι µηδέν. Κώδικας MATLAB =-6*pi:.:6*pi; >> y=*sin(); >> y=y-sin(*); >> y=y+/*sin(*); >> y4=y+/4*sin(4*); >> plot(,y,,y,,y,,y4) Κοιτώντας 6 περιόδους της συνάρτησης που έχουµε αναλύσει σε σειρά Fourier έχουµε µια πιο ολοκληρωµένη εικόνα της ανάλυσης που επιχειρήσαµε. 4 - - - Γράφηµα -4 - -5 - -5 5 5 =:.:/pi; stem([/(*pi) /(*pi) /(*pi) 4/(*pi)], [ - / - /4]); ylabel('aplitude'); label('frequency(hz)') gtet('fundumental or st Harmonic') gtet('nd Harmonics') gtet('nd Harmonics') gtet('4nd Harmonics') Σχεδίαση των 4 πρώτων αρµονικών της f aplitude.5.5 -.5 Fundumental or st Harmonic nd Harmonics nd Harmonics 4nd Harmonics -..5..5.4.45.5.55.6.65 frequency(hz)