. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και Β R Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού. Συµβολισµός Συνήθως οι συναρτήσεις συµβολίζονται, g, h ή µε όποιο άλλο γράµµα θέλουµε, και γράφουµε : A B. Επεξήγηση συµβόλων Η ισότητα y () λέγεται τύπος της συνάρτησης και σηµαίνει ότι το αντιστοιχίζεται στο y. To διατρέχει όλο το πεδίο ορισµού Α και λέγεται ανεξάρτητη µεταβλητή Το y διατρέχει όλο ή µέρος του συνόλου Β R και λέγεται εξαρτηµένη µεταβλητή. Γραφική παράσταση της συνάρτησης : A R λέγεται το σύνολο των σηµείων Μ(, ()) για όλα τα Α. Σηµείωση: Το σηµείο Μ(,y) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης µόνο αν y (). Την γραφική παράσταση της τη συµβολίζουµε i Η εξίσωση y () λέγεται και εξίσωση της C. C
5. Πράξεις Αν, g είναι δύο συναρτήσεις µε το ίδιο πεδίο ορισµού Α, τότε ορίζουµε τη νέα συνάρτηση άθροισµα ( + g)() () + g() στο A τη νέα συνάρτηση διαφορά ( g)() () g() στο A i τη νέα συνάρτηση γινόµενο (.g)() () g() στο A iv) τη νέα συνάρτηση πηλίκο () g () g() στο A { A / g() 0} 6. Πρέπει να θυµόµαστε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις y () y O () ( ) e y () ln O π π π π - 5 y συν y O π π π π y ηµ
7. Μονοτονία Mία συνάρτηση θα λέµε ότι είναι γνησίως αύξουσα σ ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της όταν για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει ( ) < ( ). Mία συνάρτηση θα λέµε ότι είναι γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της όταν για οποιαδήποτε σηµεία, µε < ισχύει ( ) > ( ) 8. Ακρότατα Μία συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο Α, όταν () ( ) για κάθε σε µια περιοχή του Μία συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο Α, όταν () ( ) για κάθε σε µια περιοχή του. 9. Όριο συνάρτησης Αν οι συναρτήσεις, g έχουν στο o όρια πραγµατικούς αριθµούς, δηλαδή αν () o l και g() o l τότε ισχύουν : l l o o o (() + g()) + () + g() l l o o o (() g()) () g() o o (κ () ) κ l κ (), όπου κ R () l o g() l () o g() o (()) l ( ()) o ν ν ν ν ν ν o o o, εφ όσον l 0 () l (), εφ όσον () 0 σε µία περιοχή του ο () l o o ()
0. Μία συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α θα λέµε ότι είναι συνεχής στο σηµείο όταν () ( ) o o o Α,. Μία συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α θα λέµε ότι είναι συνεχής στο Α όταν για κάθε o Α ισχύει () ( ) o o ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισµού το R. Οι ρητές συναρτήσεις P() () Q(), όπου Ρ() και Q() πολυώνυµα, έχουν πεδίο ορισµού το R εκτός από τις τιµές που µηδενίζουν τον παρονοµαστή. Οι άρρητες συναρτήσεις (συναρτήσεις µε ριζικά ) ορίζονται µε την προϋπόθεση ότι τα υπόριζα είναι 0. Οι συναρτήσεις () ηµ και g() συν έχουν πεδίο ορισµού το R 5. Η συνάρτηση () εφ έχει πεδίο ορισµού το π A R R / κπ +, κ Z 6. Η εκθετική συνάρτηση () e έχει πεδίο ορισµού το R 7. Η λογαριθµική συνάρτηση () ln ορίζεται για > 0, άρα έχει πεδίο ορισµού το Α (0, + )
5 8. Όλες οι γνωστές µας συναρτήσεις : Πολυωνυµικές, ρητές, τριγωνοµετρικές, εκθετικές, λογαριθµικές και όσες άλλες προκύπτουν από πράξεις µεταξύ αυτών είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους. 9. Για να βρω το όριο στο ο µίας συνεχούς συνάρτησης, θέτω στον τύπο της όπου το ο 0. () 0 Αν o (απροσδιόριστη µορφή ) και τα (), g() είναι πολυώνυµα g() 0 τότε, αναλύουµε τα πολυώνυµα σε γινόµενο και απλοποιούµε.. Αν () 0 g() ± h() 0 o ή () 0 g() ± h() 0 g() ± h() 0 () 0 o ή o g() ± h() 0 () 0 τότε πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε την συζυγή παράσταση του όρου στον οποίο υπάρχουν ρίζες, αναλύουµε σε γινόµενο και απλοποιούµε.. Αν ο τύπος µίας συνάρτησης έχει κλάδους και θέλουµε να βρούµε το όριο αυτής στο σηµείο o εκατέρωθεν του οποίου αλλάζει ο τύπος, τότε βρίσκουµε τα πλευρικά όρια στο o και αν αυτά είναι ίσα το όριο υπάρχει, αν είναι διαφορετικά το όριο δεν υπάρχει. Για να βρούµε τα σηµεία τοµής της C µε τον άξονα λύνουµε την εξίσωση () 0. Το σηµείο τοµής µε τον άξονα y y είναι το ( 0, (0)). Για να βρούµε τα διαστήµατα στα οποία η C ψηλότερα από τον άξονα, λύνουµε την ανίσωση () > 0, ενώ χαµηλότερα την ανίσωση ( ) < 0
6 5. Για να βρούµε τις τετµηµένες των κοινών σηµείων των εξίσωση () g() C, C g, λύνουµε την 6. Για να βρούµε τα διαστήµατα στα οποία η την ανίσωση () > g(). C είναι ψηλότερα από τη C g, λύνουµε 7. H απόσταση d των σηµείων Α(, y ), Β(, y ) δίνεται από τον τύπο d(a, B) ( ) + (y y ) 8. Αν οι συναρτήσεις και g δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού και θέλουµε να ορίσουµε κάποια από τις συναρτήσεις + g, g, g, τότε πεδίο ορισµού είναι το A Ag, ενώ πεδίο ορισµού της g είναι το A Ag µε g() 0. 9. Για ορθογώνιο διαστάσεων, y : Περίµετρος + y Εµβαδόν y Για τετράγωνο πλευράς : Περίµετρος Για κύκλο : Μήκος πr Εµβαδόν π r Εµβαδόν Για ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε διαστάσεις, y, z : Εµβαδόν ολικής επιφάνειας ψ + z + ψz Όγκος ψz Για κύλινδρο µε ακτίνα βάσης r και ύψος h : Εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας πrh Εµβαδόν ολικής επιφάνειας Εµβαδόν παράπλευρης + π r Όγκος πr h 0. Να θυµηθούµε το πρόσηµο τριωνύµου
7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων () 5 + + g() A R σαν πολυωνυµική Πρέπει 0 ± Άρα 5 + Σχόλιο Σχόλιο A g R {, } (, ) (, ) (, + ). Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων ( ) 5 + 6 + g() Πρέπει να ισχύει 5 + 6 0 5 6 Σχόλιο και 0 Πρόσηµο του τριώνυµου + 5 + 6 + 0 0 + Άρα A (, ] [, + ) Πρέπει να ισχύει 5 0 και 6 0 Σχόλια και 0 Πρόσηµο του τριώνυµου. 6 0 6 6 και 6 Άρα 5 5 + 5 + 0 0 + A g (, 6) ( 6, 5] [5, 6) (6, + )
8. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων () Πρέπει Αρα 5 g() e 5 R R A R Σχόλιο 6 Πρέπει 0 Άρα Ag (, ) (, + ) Σχόλια -6. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης () ln( ) Πρέπει να ισχύει > 0 Σχόλιo 7 και 0 Πρόσηµο του τριώνυµου + 0 + 0 Άρα A (, )
9 5. 5 Έστω η συνάρτηση (). + λ + Να βρείτε τις τιµές του λ R ώστε το πεδίο ορισµού της να είναι ολόκληρο τοr. Πρέπει να ισχύει + λ + 0 για κάθε R. Σχόλιo Για να συµβαίνει όµως αυτό θα πρέπει η διακρίνουσα του τριώνυµου + λ + να είναι < 0. Άρα πρέπει λ < 0 Πρόσηµο του τριώνυµου + λ + 0 0 + Εποµένως, A R όταν λ (, )
0 6. Έστω η συνάρτηση () + 5 + Να βρεθεί το πεδίο ορισµού Να βρεθούν τα σηµεία τοµής µε τους άξονες i Να βρεθεί για ποιες τιµές του η για ποιες τιµές είναι χαµηλότερα Είναι ΑR Σηµεία τοµής µε : () 0 + 5 + 0 ή C είναι ψηλότερα από τον άξονα και Σχόλιo Σχόλιo Άρα τα σηµεία τοµής µε τον είναι τα Α(, 0), Β(, 0) Επίσης (0) 0 + 5 0 + Άρα το σηµείο τοµής µε τον άξονα y y είναι το Γ(0, ) i Πρόσηµο της () + () + 0 0 + Σχόλιo Εποµένως : () > 0 (, ) (, + ) () < 0 (, ) Οπότε η C είναι ψηλότερα από τον άξονα των όταν (, ) (, + ) και χαµηλότερα όταν (, )
7. Έστω η συνάρτηση () e Να βρεθεί το πεδίο ορισµού Να βρεθούν τα σηµεία τοµής της C µε τους άξονες i Να βρεθεί για ποιες τιµές του η C είναι ψηλότερα από τον άξονα και για ποιες τιµές του είναι χαµηλότερα. v) Να οριστούν οι συναρτήσεις g() () Προφανώς Α R () 0 e 0 e e e 0 0 και h() () Άρα σηµείο τοµής µε τον άξονα των είναι το Ο( 0, 0) Αφού (0) 0, το σηµείο τοµής µε τον άξονα των y είναι το Ο(0,0) i () > 0 e > 0 e > e > e 0 > 0 Άρα η C είναι ψηλότερα από τον άξονα των στο διάστηµα (0, + ) και χαµηλότερα στο διάστηµα (, 0 ) iv) Για να ορίζεται η g() πρέπει () 0 0 Άρα Αg (, 0) (0, + ) και g() () e Για να ορίζεται η h() πρέπει () > 0 > 0 Άρα A h (0, + ) και h() Σχόλιo 6 () e Σχόλιo Σχόλιo
8. Έστω η συνάρτηση () ln. + Να βρεθεί το πεδίο ορισµού Να βρεθούν τα σηµεία τοµής µε τους άξονες i Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η Πρέπει και χαµηλότερα από τον άξονα των C είναι ψηλότερα από τον άξονα των Σχόλια, 7 > 0 και + 0 ( )( + ) > 0 και + Πρόσηµο του τριώνυµου + ( )( + ) 0 + 0 Άρα A (, ) () 0 ln + 0 ln ln + + + 0. Οπότε το σηµείο τοµής µε τον άξονα των είναι το Ο(0, 0) Προφανώς το ίδιο είναι και το σηµείο τοµής µε τον άξονα των y Σχόλιo i () > 0 ln + > 0 ln + + + > > ln > 0 + > 0
Οπότε η + > 0 ( + ) < 0 (, 0) C είναι ψηλότερα από τον άξονα των στο διάστηµα (, 0) και χαµηλότερα στο διάστηµα ( 0, ) 9. Έστω η συνάρτηση () + Να οριστούν οι συναρτήσεις g() () h() () Είναι φανερό ότι + > 0 για κάθε R. Οπότε g() s() 5 () +, h() + +, σ() 5 +, R. 0. Στο σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση µίας συνάρτησης y (). Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g() () - y O Όπως φαίνεται από το σχήµα, η έχει πεδίο ορισµού το R και µηδενίζεται για,, Όµως, η g() ορίζεται για κάθε R µε () 0. Οπότε το πεδίο ορισµού της g είναι Ag (, ) (, ) (, ) (, + )
. Να βρείτε για ποιες τιµές του η C βρίσκεται ψηλότερα και για ποιες χαµηλότερα από τη C g, όταν () + και g() + () > g() + > + > 0 ( ) > 0 ( )( + ) > 0 Το πρόσηµο του γινόµενου φαίνεται στον άξονα 0 + Προσ 0 + 0 0 + Σχόλιo Άρα () > g() (, 0) (, + ) οπότε στο (, 0) (, + ) η C είναι ψηλότερα από την C g ενώ στο (, ) (0, ) η C είναι χαµηλότερα από την C g
5. Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων y () και y g(). () Να βρείτε τα : () + g(), () g(), () g() και g() y y () O - y g() y Είναι φανερό ότι (), () 0, g(), g() οπότε () + g() + () g() () g() 0 0 και () g() 0 0
6. ίνονται οι συναρτήσεις () + Να οριστούν οι συναρτήσεις + g, g, g, g και Είναι οπότε A R {0} και Ag R {}, A Ag R {0, } ( +g)() () + g() και g() + + + + (+ )( ) + (+ ) + ( ) ( ) ( g)() () g() + + (+ )( ) (+ ) ( ) ( ) ( g)() () g() + + + +, A Ag ( ) Για να βρούµε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g από το Α R {0, } αφαιρούµε τις τιµές που µηδενίζουν την g. + Όµως : g() 0 0 + 0 g, A Ag, A Ag Σχόλιo 8 Σχόλια - Άρα στο Α R {, 0, } ορίζεται η και είναι g + () () g g() + (+ ) Οµοίως για την g + έχουµε () 0 0 + 0 g άρα στο Α R {, 0, } ορίζεται η και είναι
7 + g g() () + () + (+ )( ). Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης (). Να βρείτε την απόσταση των σηµείων Α και Β. y B A y A () 7 y B () (ΑΒ) ( ) + 7 ( ) Σχόλιo 7 O ( ) + +. 6 57 6 57 5. Στο παρακάτω σχήµα να βρείτε το µήκος του τµήµατος ΑΒ συναρτήσει του. ( ) + B -5 5 A ψ( ) - Οι συντεταγµένες των Α και Β είναι Α(, y()) Α(, ), Β(, ()) B(, + ). - Σχόλιo 7 Οπότε (ΑΒ) ( ) + ( + + ) ( + ) + Επειδή όµως το Β είναι ψηλότερα από το Α, θα είναι + > Άρα (ΑΒ) + + > 0
8 6. Το άθροισµα δύο αριθµών, y είναι ίσο µε 0. Να εκφράσετε σαν συνάρτηση του το γινόµενο y. Αφού το άθροισµα των αριθµών είναι 0 έχουµε + y 0 y 0 Άρα y (0 ) + 0 µε R Εποµένως η συνάρτηση Γ() του γινοµένου y είναι Γ() + 0 µε R 7. Ένα σύρµα έχει µήκος cm. Το κόβουµε σε δύο κοµµάτια εκ των οποίων το ένα έχει µήκος. Με το κοµµάτι µήκους κατασκευάζουµε τετράγωνο και µε το άλλο ισόπλευρο τρίγωνο. Να εκφράσετε σαν συνάρτηση του το άθροισµα των εµβαδών των δύο σχηµάτων. Αφού το ένα κοµµάτι έχει µήκος το άλλο θα έχει µήκος Με το πρώτο κοµµάτι κατασκευάζουµε τετράγωνο άρα η πλευρά του τετραγώνου θα είναι, εποµένως το εµβαδόν του θα είναι Ε 6 Με το άλλο κοµµάτι κατασκευάζουµε ισόπλευρο τρίγωνο, οπότε η πλευρά του τριγώνου θα είναι, άρα το εµβαδόν του θα είναι : o ( ) Ε ηµ 60 6 Εποµένως η ζητούµενη συνάρτηση είναι E τριγ βγηµα Ε() ( ) + µε 0 < < 6 6
9 8. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όγκο V 00 cm. Η βάση του είναι τετράγωνο πλευράς και το ύψος του είναι y. Να εκφράσετε την επιφάνεια του παραλληλεπιπέδου σαν συνάρτηση του Γνωρίζουµε ότι ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου δίνεται από τον τύπο V yz όπου, y, z οι διαστάσεις του Σχόλιο 0 Αφού η βάση είναι τετράγωνο πλευράς, θα έχουµε V y 00 y 00 y Η επιφάνεια του παραλληλεπιπέδου αποτελείται από δύο τετράγωνα βάσης (πάνω κάτω), εµβαδού () το καθένα και τέσσερα ορθογώνια εµβαδού y το καθένα. Άρα η επιφάνεια του παραλληλεπιπέδου θα είναι Ε + y () 00 + 00 + + 600 Εποµένως η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνεια είναι Ε() + 600 µε > 0 9. Μια αυτοκινητοβιοµηχανία, από την πώληση αυτοκινήτων, εισπράττει (0000 6) για κάθε αυτοκίνητο. Αν τα έξοδα παραγωγής κάθε αυτοκινήτου είναι 000 και ο φόρος που πληρώνει η αυτοκινητοβιοµηχανία για κάθε αυτοκίνητο που πουλάει είναι 00, να βρείτε την συνάρτηση του κέρδους από την πώληση αυτοκινήτων. Γνωρίζουµε ότι : Κέρδος έσοδα έξοδα () Από την πώληση αυτοκινήτων, τα έσοδα είναι (0000 6) τα δε έξοδα είναι 000 + 00 500. Άρα η συνάρτηση του κέρδους Κ() είναι Κ() (0000 6) 500 0000 6 500 6 + 800 µε > 0.
0 0. Να βρεθούν τα όρια ( 5+ 6) ( + ) 0 5 ( 5 6) + 5 + 6 Σχόλιο 9 ( + ) 0 5 [( + )] 0 ( ) 5 Θεωρία 9 - Σχόλιο 9. Να υπολογιστούν τα όρια + + + + i 5 8 (+ ) + 7 Θεωρία 9 - Σχόλιο 9 + + ( + + ) + + 8 + ( + ) + ( + ) i + + 5 5 8 (+ ) [ 5 8 (+ )] 5 5 + 7 [ + 7] 9
. Να υπολογιστούν τα όρια ( ) π ηµ συν π π π π ( ) π (εφ 5σφ ) π ηµ συν ηµ συν π π 0 π (εϕ 5σϕ ) 5 π Σχόλιο 9. Να βρεθούν τα όρια + 5 6 + + + 5 6 5 + 6 0 0 απροσδιοριστία Σχόλιο 0 + 5 6 ( )( ) ( )( + ) + + + + + + + + 0 0 απροσδιοριστία ( )( + + ) ( )( + ) Η παραγοντοποίηση του αριθµητή έγινε µε σχήµα Horner + + + + + 7 +
. Να βρεθούν τα όρια 0 απροσδιοριστία 0 ( )( + ) ( )( + ) ( )( + )( + ) ( + )( + ) (+ )( + ) + 5 Σχόλιο + 5 + 5 + 5. 0 απροσδιοριστία 0 ( + 5 )( + 5+ ) ( )( + 5 + ) + 5 9 ( )( + 5 + ) ( )( + 5 + ) ( )(+ ) ( )( 5 ) + + + + ( + 5 + ) ( + 5+ ) ( 9+ ) Σχόλιο 5. Να βρείτε το λ R, ώστε να ισχύει [ + ( λ ) + 5 ] Έχουµε ότι Η υπόθεση [ ( ) 5 ] [ ( ) 5 ] + λ + + ( λ ) + 5 λ+ + λ + λ + λ
6. Να βρεθεί το + 5 5 + 5 5 + 5 5 + 5 5 0 0 απροσδιοριστία ( + )( + + )( 5+ 5 ) ( )( + )( + + ) 5 5 5 5 ( + )( 5+ 5 ) ( )( + + ) ( )( 5+ 5 ) ( )( + + ) ( 5+ 5 ) ( + + ) ( 5+ 5 ) ( ) 0 5 5 5 5 5 + + 5 5 Σχόλιο
7. Έστω η συνάρτηση () 5+ 6,, Να εξετάσετε αν είναι συνεχής στα σηµεία Η συνάρτηση είναι συνεχής στο 5 6 + () 5 6 + () Αλλά () Άρα ( )( ) () () o, o σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων 5 + 6 0 0 απροσδιοριστία ( ) Εποµένως η δεν είναι συνεχής στο Σχόλιο
5 8. Έστω η συνάρτηση () +, 5κ+6, Να βρείτε το κ ώστε η να είναι συνεχής στο σηµείο Για να είναι η συνεχής στο o πρέπει να ισχύει o () () () Όµως + () + () 0 0 απροσδιοριστία ( )( + ) (+ ) 5 Και επειδή () 5κ+6, η () 5 5κ+6 5κ κ 5 Σχόλιο 0 9. κ λ Έστω η συνάρτηση () λ, Να βρείτε τα κ και λ, αν γνωρίζετε ότι η και ότι η είναι συνεχής στο Αφού η ( ), o C διέρχεται από το σηµείο Μ(, ), θα ισχύει C διέρχεται από το σηµείο Μ(, ) ( ) ( κ )( ) ( ) λ κ λ () Αφού η είναι συνεχής στο o, θα ισχύει () () [( κ ) λ ] λ (κ ) λ λ κ 5λ 0 () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε λ και κ 5.