Kεφ. 3 EΞΑΝΑΓΚΑΣΕΝΕΣ TAΛANTΩΣEIΣ Θα εξετάσυμε τη περίπτση εφαρμγής σ ένα σύστημα μιάς δεδμένης εξτερικής δύναμης η πία να εξαρτάται από τ χρόν (δηλ. τ σύστημα υπβάλλεται σε εξτερική διέγερση. η περίπτση: Απόσβεση ελεύθερης ταλάντσης χρίς εξτερική δύναμη (διέργερση. Eξίσση κίνησης: περίπτση απλύ εκκρεμύς t g l b υ γενικώτερα t ( Γυ Eχμε βρει τη λύση της μγενύς διαφρικής εξίσσης ( σε άσκηση Α e Γt / cost δ, όπυ + Γ
η περίπτση: Eξaναγκασμένη ταλάντση Θερύμε αρμνική εξτερική διέργερση της μρφής: F(tF o cos t Tότε η εξίσση κίνησης της ταλάντσης με απόσβεση γράφεται x t x x + Γ t cost + ( H γενική λύση της μη-μγενύς διαφρικής εξίσσης ( είναι η επαλληλία (δηλ. τ άθρισμα τν λύσεν της μγενύς διαφρικής εξίσσης ( συν μιάς μερικής λύσης της (. Eχυμε ήδη βρει τη λύση της μγενύς (: Α e Γt / cost δ, όπυ + Γ H λύση αυτή (καλείται και μεταβατική λύση, διότι τείνει στ μηδέν για χρόν t πλύ μεγαλύτερ της σταθεράς απόσβεσης τυ συστήματς, τ/γ. Οντς εκθετικός παράγντας ( t 5τ. e Γt / μηδενίζει (σχεδόν τη παράσταση για
3 Aπμένει λιπόν να βρύμε μια μερική λύση της ( (η πία καλείται και μόνιμη λύση. Δκιμάζυμε μιά μερική λύση της μρφής: x Acost + δ ή x Asin t + Bcost Αντικαθιστώντας στην ( πρκύπτει: (Asin t + Bcos t + (Asin t + Γ(Acost Bsin t cost + Bcos t Aνάγυμε τυς συντελεστές τν συναρτήσεν sint και cost: ( A + A Γ + + sin t + ΓΑ cost Eπειδή ι συναρτήσεις sint και cost είναι γραμμικώς ανεξάρτητι, θα πρέπει ι συντελεστές τυς να μηδενίζνται, A Γ + ΓΑ απ όπυ έπεται
4 A Γ + Γ + Γ Συνεπώς η μόνιμη λύση θα είναι: x Asin t + Bcos t (3 α πλάτη έχυν υπλγιστεί παραπάν και αναφέρνται ς: Α: πλάτς απρρόφησης και : ελαστικό πλάτς H πρηγύμενη λύση μπρεί να τεθεί και σε διαφρετική μρφή, ς ακλύθς: Α x Asin t + Bcos t (cost + sin t [καλώ Α tan δ] (cost (cos t tan δsin t sin δ sin t cosδ cosδ cost + δ Ζcost + δ όπυ Ζ cosδ + tan δ + ( Α / Α + + Γ
και tan δ Α Γ 5 Συνεπώς η λύση (3 μπρεί να γραφεί και υπό τη μρφή: x Acost + δ (4 όπυ ι σταθερές (Ζ,δ έχυν υπλγιστεί παραπάν. Η εξάρτηση τυ πλάτυς Ζ από την συχνότητα της διεγείρυσας δύναμης φαίνεται στ επόμεν σχήμα. Παρατηρύμε ότι τ πλάτς γίνεται μέγιστ όταν. (η σταθερά απόσβεσης συμβλίζεται με b αντί Γ. Z Aπρρφύμενη ισχύς από τν ταλανττή είναι: P(t F(t υ(t F o cos t A cost - B sint
6 άρα η μέση απρρφύμενη ισχύς μέσα σε μια περίδ ταλάντσης T είναι P P(tt F A cos F t t cos t A cos t - B sin tt F cos t sin t t Tα λκληρώματα ισύται πρς, cos t t και cost sin t t πότε η μέση ισχύς γίνεται P F A Γ + Γ P Γ + Γ όπυ P o F o /(MΓ. Aυτή είναι η μέση ισχύς εισόδυ, δηλ. τόση ισχύ παρέχει εξτερικός διεγέρτης στ σύστημα. H μεγίστη απρρφύμενη ισχύς λαμβάνεται όταν, όπς φαίνεται και από τ πρηγύμεν σχήμα. Λέμε τότε ότι τ σύστημα συντνίζεται στην εξτερική διέγερση.
7 Παράδειγμα: Eξαναγκασμένες ταλαντώσεις σε σύστημα N συζευγμένν μαθηματικών εκκρεμών Θερύμε N μαθηματικά εκκρεμή, καθένα μήκυς l, τα πία συζεύγνυνται μεταξύ τυς μέσ ελατηρίν σταθεράς k και τα πία υπόκεινται στην επίδραση μιάς διεγείρυσας εξτερικής δύναμης με αυθαίρετη συχνότητα. Yπθέτυμε ότι υπάρχει απόσβεση. H εξίσση κίνησης της n-στής μάζας (έχυμε βρει t n ( ( n n n+ όπυ g /! και k /. Στη συνεχή πρόσεγγιση, παρατηρύμε ότι: n (t (z,t, όπυ zna πότε n (t (z a,t (z, t (z, t t a! + (z, t a t!...
8 (z, t a (z, t a n + (t (z + a,t (z, t + + +... t! t! πότε η παρένθεση στην ( γράφεται: ( n n n+ συνεπώς η ( γράφεται: (z, t a t (z, t t n a (z, t ( t H εξίσση ( είναι γνστή σαν κυματική εξίσση Klein-Goron. Yπθέτυμε ότι όλα τα σματίδια διεγείρνται στην ίδια ταλάντση με συχνότητα, δηλ. (z,t A(zcost+φ πότε (z,t t - A(z cost+φ (z,t z A(z z αντικατάσταση στη ( cost+φ
9 A(z z Α(z (3 a Eπίλυση της (3: Για <, η (3 παριστάνει κυματική ταλάντση, καθόσν η (3 γράφεται, A(z z k Α(z, k a > H λύση της είναι: A(z A sin kz + B cos kz συνεπώς η γενική λύση είναι: (z,t (A sin kz + B cos kz cost+φ Για >, η (3 παριστάνει ένα εκθετικό κύμα, καθόσν η (3 γράφεται, A(z κ Α(z, όπυ z κ > a H λύση της είναι: A(zAe -κz +Be +κz συνεπώς η γενική λύση είναι: (z,t (A e - κz + B e +κz cost+φ.