ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους µιγαδικούς αριθµούς z του παραπάνω ερωτήµατος να αποδείξετε ότι z Ι. ΑΣΚΗΣΗ Για το µιγαδικό z = x + yi µε x, y R να δείξετε ότι: i. Re( z) Re( z) z ii. Ιm( z) Ιm( z) z iii. Re( z) Ιm( z) z iv. Re( z) + Ιm( z) z ΑΣΚΗΣΗ 3 α) Να υπολογίσετε το γινόµενο: 3 64 P = i i i... i β) Να υπολογίσετε το άθροισµα: 3 4 v S = i i + i i +... i, για τις διάφορες τιµές του v N. ΑΣΚΗΣΗ 4 7 Αν για τον µιγαδικό αριθµό z ισχύει: ( ) 3 i. 0 Να δείξετε ότι: z R. ii. Να υπολογίσετε το z. z = 6 z : ΑΣΚΗΣΗ 5 ίνεται ο µιγαδικός αριθµός z, z i. 3 5i z + 3 + z α) Να βρείτε το συζυγή του µιγαδικού αριθµού : w =, z C i. 3 i z 3 β) Αν ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z, στο µιγαδικό επίπεδο είναι ο µοναδιαίος κύκλος, να βρείτε την καµπύλη στην οποία κινούνται οι εικόνες του u = + 5i z i. µιγαδικού αριθµού ( )
ΑΣΚΗΣΗ 6 Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο των µιγαδικών αριθµών ικανοποιούν τις σχέσεις: i. z z = i ii. z = z Ι m z = Re z iii. ( ) ( ) iv. ( z + z ) = 4 ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: i. z + 3i < ii. z + + i z i που που ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω η εξίσωση z z + + λ = 0 () µε λ R *. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει µιγαδικές ρίζες. ii. Αν z οι ρίζες της εξίσωσης () να υπολογίσετε τα z + z και z z. iii. Αν Μ και Ν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z και z αντίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο και ( OMN) = 3, όπου Ο η αρχή των αξόνων, να υπολογίσετε το λ και τις ρίζες z και z. ΑΣΚΗΣΗ 9 i. Αν z µιγαδικοί αριθµοί, να δείξετε ότι: ( ) z + z = z + z + Re z z ii. Για τους µιγαδικούς αριθµούς z, να αποδείξετε τις ισοδυναµίες: z + z = z + z z z Ι OM ON, όπου OM και ON οι διανυσµατικές ακτίνες των µιγαδικών z και z αντίστοιχα. iii. Να δειχθεί ότι για κάθε z C ισχύει η ταυτότητα: ( ) z + z + z z = z + z. iv. Αν z = 3, w = 5 και z + w = 6 να υπολογίσετε το z w, z, w C. ΑΣΚΗΣΗ 0 ίνεται η εξίσωση z 4z 4 0, ηµθ + = ( ), z C, θ R. i. Να λύσετε την εξίσωση (). ii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της (), στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω σε κύκλο.
iii. Αν z οι ρίζες της (), να βρείτε τη µέγιστη τιµή του z z. ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w για τους οποίους ισχύει: ( z ) w = 4 και 6 z w = 4. i. Να υπολογίσετε τα z και w. ii. Να βρείτε τους µιγαδικούς αριθµούς z και w. iii. Να δείξετε ότι:3 z + w 5. Πότε ισχύουν οι ισότητες; ΑΣΚΗΣΗ α) Για τον µιγαδικό αριθµό z = x + yi, x, y R να αποδείξετε τις ισοδυναµίες: z = z z R z = z z Ι β) Αν z C µε z = z = ρ, ρ > 0 και z z ρ, να δείξετε ότι: z + z i. Ο µιγαδικός αριθµός w = R. ρ + z z z z ii. Ο µιγαδικός αριθµός w = Ι. ρ + z z ΑΣΚΗΣΗ 3 Για τους µη µηδενικούς µιγαδικούς αριθµούς z, w, να λυθεί το σύστηµα: 8 6 z w = 6 0 z w = z + w = ΑΣΚΗΣΗ 4 i. Να λύσετε στο C την εξίσωση: z iz = 0 ii. Αν z οι ρίζες της προηγούµενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: z = z. 3 3 ΑΣΚΗΣΗ 5 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = 3ηµθ + 4i συνθ, θ R. i. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z κινούνται πάνω σε µια έλλειψη. ii. Αν z δυο µιγαδικοί αριθµοί της παραπάνω µορφής, να δείξετε ότι z z 8. ΑΣΚΗΣΗ 6 4 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z 0 και w = z. Να δείξετε ότι αν οι εικόνες z των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται σε κύκλο µε κέντρο την
V i m a t h s k a r a t h a n a s s i αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =, τότε οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών κινούνται σε ευθύγραµµο τµήµα. ΑΣΚΗΣΗ 7 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z Να δείξετε ότι z =. i. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) m( z) = Ι να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. ii. Για τους µιγαδικούς αριθµούς του παραπάνω ερωτήµατος να αποδείξετε ότι z Ι. ΑΣΚΗΣΗ 8 + i t ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z µε z = 5 + 3, t R. Να δείξετε ότι οι i t εικόνες του µιγαδικού z ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. ΑΣΚΗΣΗ 9 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = + i και z = 3 + 4i i. Για τον µιγαδικό αριθµό z = x + yi, x, y R να αποδείξετε την ισοδυναµία: z = z z R. ii. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο z z µιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει: R, όπου z C z z µε z z. iii. Από τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς z να βρείτε ποιος έχει το ελάχιστο µέτρο. iv. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w στο w = t z + t z όταν το t µιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει: ( ) διατρέχει το R. ΑΣΚΗΣΗ 0 ίνεται ο µιγαδικός αριθµός w για τον οποίο ισχύει: ότι: i. w. 3 ii. w =. 3p 3p+ 3p+ iii. w + w + w = 0. 9 8 iv. w + w + w = 0. v. ( + w) 5 = w. 3 + 3w + 5w = 4096. vi. ( ) + w + w = 0. Να δείξετε
ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z,w µε ( ) ( ) z = λ + + 3λ + i, λ R και w 4 i =. i. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z. ii. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών w. iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή του z w. ΑΣΚΗΣΗ π π συν α z συνα z + + ηµ α = 0 () µε α,. Έστω η εξίσωση ( ) i. Να λύσετε την εξίσωση (). Για ποια τιµή του α η () έχει πραγµατικές ρίζες; ii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της () κινούνται πάνω σε µια υπερβολή. π π iii. Να βρεθεί η τιµή του α, έτσι, ώστε να έχουµε τη λύση της εξίσωσης µε το ελάχιστο µέτρο. ΑΣΚΗΣΗ 3 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z µε z 0. Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z + i z, z i z και z + 3 z αντίστοιχα, τότε: i. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. ii. Αν z =,να βρείτε το εµβαδό του ΑΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z για τους οποίους ισχύει: 4 i. Re z = 7Re( z) z 4 Ιm z = Ιm z z ii. ( ) ΑΣΚΗΣΗ 5 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w µε z + i = και w 4 3i =. i. Να βρείτε τους γεωµετρικούς τόπους των εικόνων των z και w στο µιγαδικό επίπεδο. ii. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των z και w. iii. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του z w.
ΑΣΚΗΣΗ 6 α) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z C που επαληθεύουν Ιm z = z + i. την: ( ) β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες στο µιγαδικό επίπεδο των z, w C που επαληθεύουν τις: z = z i και w = w 4i βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες, και να υπολογίσετε την ελάχιστη τιµή του z w. ΑΣΚΗΣΗ 7 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: z 4 3i = 3(). α) Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων τους είναι κύκλος που εφάπτεται στον άξονα x x. β) Αν z µιγαδικός αριθµός που ικανοποιεί την (), τότε να δείξετε ότι: ( ) ( ) z + 3i + z 7 + 3i = 36 () και να ερµηνεύσετε γεωµετρικά τη σχέση () γ) Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του z ( 8 3i) που ικανοποιεί την (). +, όπου z µιγαδικός ΑΣΚΗΣΗ 8 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = α +βi, α, β R και w = z + iz 3. Να δείξετε ότι: Re w 3 Ι m w = α β. i. ( ) = α β και ( ) ii. iii. Αν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στην ευθεία y = x +, τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z. Αν οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στην ευθεία y = x +, τότε οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών w κινούνται πάνω στην ευθεία y = x 6. ΑΣΚΗΣΗ 9 α) i. Να δείξετε την ταυτότητα: z w z w ( z )( w ) + + =. ii. Αν z < και w > να δείξετε ότι: + z w < z + w. β) Αν z, w C να δείξετε ότι: i. z w + zw z + w.
ii. ( z w + z w ) z w ΑΣΚΗΣΗ 30 Αν z, w C, να αποδείξετε ότι: z w + z + w α) z. z w + z + w β) w. γ) z + w z w + z + w. ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z, w, u αντίστοιχα στο 00w + u επίπεδο. Αν z = () και w u, να αποδείξετε ότι: 0 α) Τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. β) w z < w u. γ) Το σηµείο Α είναι εσωτερικό σηµείο του ευθυγράµµου τµήµατος ΒΓ. ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί ( ) ( ) α) Να αποδείξετε ότι z 5i =. ( ) ) z = + συν π t + 5 + ηµ πt i, t 0. +. β) Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του z. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει t 0, + ) τέτοιος, ώστε η εικόνα του z να βρίσκεται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση δ : y = x. δ) Έστω w C τέτοιος, ώστε w = w i. Να αποδείξετε ότι 3 z w. ΑΣΚΗΣΗ 33 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, z 3 διαφορετικοί ανά δύο, που ικανοποιούν z z 3 τη σχέση = i. z z3 Αν Α,Β,Γ οι εικόνες τους αντίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. ΑΣΚΗΣΗ 34
V i m a t h s k a r a t h a n a s s i ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση z i w =, z i. iz + w + i z i =. α) Να αποδείξετε ότι ( )( ) β) Αν η εικόνα του z κινείται στον κύκλο K 0, και ακτίνα p =, να βρείτε τη γραµµή πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του w. γ) Να αποδείξετε ότι z w 5. δ) Να αποδείξετε ότι z + w 3. ΑΣΚΗΣΗ 35 Έστω z, w C µε zw 0 και C µε κέντρο ( ) z zw + w = 0 (). Να αποδείξετε ότι: 3 3 α) z + w 0 και z + w = 0. β) Οι εικόνες Α, Β αντίστοιχα των µιγαδικών z, w και η αρχή των αξόνων O 0, 0 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. ( ) γ) Οι εικόνες Α, Β, Γ αντίστοιχα των µιγαδικών z, w, w είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου µε υποτείνουσα την ΒΓ. 0 0 z w δ) + =. w z ΑΣΚΗΣΗ 36 Έστω z, w C µε z, w 0, 4z + w = και z = (). Να αποδείξετε ότι: w z α) z w = ± i 3z. β) Οι εικόνες Α, Β αντίστοιχα των µιγαδικών z, w και αρχή των αξόνων O( 0, 0 ) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. 3 3 z w γ) = =. w z δ) z w ΑΣΚΗΣΗ 37 0 0 w + =. z Έστω z µιγαδικός αριθµός. Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) α) Aν ισχύει f ( z) f ( z ) f z = iz. =, να αποδείξετε ότι o z είναι πραγµατικός. β) Αν, f ( z) = να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z. γ) Aν z είναι δύο µιγαδικοί µε f ( z) = f ( z ) =, να αποδείξετε ότι z z.
i δ) Θεωρούµε τον µιγαδικό w =. Nα βρείτε τους µιγαδικούς z που ικανοποιούν τις σχέσεις f ( z) z w =. = και ΑΣΚΗΣΗ 38 Αν για το µιγαδικό αριθµό z ισχύει z 4 3i =, τότε: α) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο της εικόνας του z. β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή του z. γ) Ποιος µιγαδικός αριθµός z έχει το ελάχιστο και ποιος το µέγιστο µέτρο; δ) Αν z είναι δύο µιγαδικοί του προηγούµενου γεωµετρικού τόπου, να αποδείξετε ότι z z 4. ε) Αν z είναι δύο µιγαδικοί του προηγούµενου γεωµετρικού τόπου τέτοιοι, ώστε z z = 4, να αποδείξετε ότι z + z = 0. ΑΣΚΗΣΗ 39 Έστω z C και( + iz) v = + 3 i, v N * (). α) Να αποδείξετε ότι ο z δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z στο µιγαδικό επίπεδο ανήκουν στον κύκλο K 0,, µε κέντρο και ακτίνα p =. ( ) γ) Να αποδείξετε ότι 4 z + 3 5i 6. δ) Αν z C και ικανοποιούν την (), να αποδείξετε ότι z z. ε) Αν z C ικανοποιούν την () και z z =, να υπολογίσετε το z + z ΑΣΚΗΣΗ 40 ίνονται οι µιγαδικοί z, z3 αριθµοί διαφορετικοί ανά δύο, µε εικόνες αντίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο τα σηµεία Α, Β, Γ. Αν ισχύουν οι σχέσεις: z = z = z3 = p > 0 και z + z + z3 = 0, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο µε πλευρά p 3. ΑΣΚΗΣΗ 4 Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z( t ) =, t R. Να αποδείξετε ότι: + it K, 0 4 και α) Οι εικόνες των µιγαδικών z( t ), ανήκουν σε κύκλο µε κέντρο ακτίνα ρ =. 4
β) Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z( t) και αντιδιαµετρικά σηµεία του προηγούµενου κύκλου. z, z 4 γ) Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών ( ) ( ) και ( ) ορθογωνίου τριγώνου. 4 z, t R * είναι t z 04 είναι κορυφές