Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 10 Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων Α. Εισαγωγή Οποιοδήποτε γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα διακριτού χρόνου χαρακτηρίζεται πλήρως από τη συνάρτηση µεταφοράς του η οποία έχει τη γενική µορφή: Βέβαια, τα πολυώνυµα αριθµητή και παρονοµαστή µπορούν να παραγοντοποιηθούν ως προς τις ρίζες τους και έτσι η συνάρτηση µεταφοράς να γραφεί στη µορφή: Ακόµα, αν η συνάρτηση µεταφοράς αντιστοιχεί σε αιτιατό σύστηµα είναι εφικτή και η ακόλουθη διάσπαση σε άθροισµα απλούστερων κλασµάτων: Οι παραπάνω µορφές αποτελούν µερικά παραδείγµατα από τα οποία µπορούµε να οδηγηθούµε σε διαφορετικές υλοποιήσεις του συστήµατος στο οποίο αντιστοιχούν. Οι διάφορες υλοποιήσεις που προκύπτουν κάθε φορά διαφέρουν ως προς ένα σύνολο χαρακτηριστικών τα οποία συµπεριλαµβάνουν: 1. Την υπολογιστική πολυπλοκότητα (πλήθος προσθέσεων και πολλαπλασιασµών) 2. Το πλήθος των στοιχείων καθυστέρησης (µνήµη) που χρησιµοποιούν 3. Το βαθµό παραλληλοποίησης ο οποίος επιτυγχάνεται 4. Το βαθµό pipelining που επιτυγχάνεται 5. Την ευαισθησία της υλοποίησης ως προς σφάλµατα κβαντισµού. Β. Υλοποίηση από σε σειρά συνδεσµολογία απλούστερων συστηµάτων Στην περίπτωση όπου η συνάρτηση µεταφοράς µπορεί να γραφεί στη µορφή: τότε εύκολα µπορούµε να κάνουµε τη διάσπαση: και έτσι να υλοποιήσουµε το σύστηµά µας όπως παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήµα.
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 11 Εικόνα 10: Σε σειρά υλοποίηση συστήµατος Για παράδειγµα, µπορείτε να φορτώσετε το αρχείο series.mdl µε χρήση του περιβάλλοντος Simulink. Τότε θα εµφανιστεί το διάγραµµα του ακόλουθου σχήµατος: Εικόνα 11: Το µοντέλο του αρχείου series.mdl Από το παραπάνω µοντέλο µπορείτε να επαληθεύσετε πως οι δυο κλάδοι υλοποιούν το ίδιο ακριβώς γραµµικό σύστηµα. Τρέχοντας το µοντέλο µε το διακόπτη στην κάτω θέση επιβεβαιώνεται πως τα συστήµατα έχουν την ίδια κρουστική απόκριση ενώ µε το διακόπτη στην πάνω θέση επιβεβαιώνεται πως τα συστήµατα δίνουν την ίδια έξοδο. Σχεδιάστε ένα κατωπερατό IIR φίλτρο Butterworth τάξης 5 µέσα από το περιβάλλον του Matlab µε χρήση της εντολής [B,A]=butter(5,0.5). Στη συνέχεια να υπολογίσετε τις ρίζες του πολυωνύµου του αριθµητή και του παρονοµαστή µε χρήση της συνάρτησης roots( ). Ανοίξτε το περιβάλλον του Simulink και υλοποιήστε το κατωπερατό Butterworth φίλτρο µε χρήση ενός block «Discrete Zero-Pole» (δίνοντας τις ρίζες που επέστρεψε η συνάρτηση roots) και στη συνέχεια µε χρήση τριών συστηµάτων «Discrete Zero-Pole» στη σειρά τοποθετηµένων. Επιβεβαιώστε την ίδια λειτουργία των δυο υλοποιήσεων. Πως οµαδοποιήσατε τους πόλους και τα µηδενικά του φίλτρου; Γ. Υλοποίηση από παράλληλη σύνδεση απλούστερων συστηµάτων Στην περίπτωση όπου µπορούµε να εκφράσουµε τη συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος στη µορφή:
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 12 τότε µπορούµε να υλοποιήσουµε το σύστηµά µας συνδέοντας παράλληλα τα n υποσυστήµατα και οδηγώντας τις εξόδους τους σε έναν αθροιστή. Για παράδειγµα, φορτώστε το αρχείο parallel.mdl Εικόνα 12: Το µοντέλο του αρχείου parallel.mdl Από το παραπάνω µοντέλο µπορείτε να επαληθεύσετε πως οι δυο κλάδοι υλοποιούν το ίδιο ακριβώς γραµµικό σύστηµα. Τρέχοντας το µοντέλο µε το διακόπτη στην κάτω θέση επιβεβαιώνεται πως τα συστήµατα έχουν την ίδια κρουστική απόκριση ενώ µε το διακόπτη στην πάνω θέση επιβεβαιώνεται πως τα συστήµατα δίνουν την ίδια έξοδο. Το περιβάλλον Matlab παρέχει µια συνάρτηση µε την οποία µπορούµε να υπολογίσουµε την ανάλυση σε απλά κλάσµατα µιας συνάρτησης µεταφοράς. Η συνάρτηση αυτή είναι η residuez και µπορεί να χρησιµοποιηθεί όπως παρουσιάζεται στη συνέχεια: >> [R,P,K]=residuez(poly([-0.3]),poly([0.2 0.5])) R = 2.666666666666667e+000-1.666666666666668e+000 P = 4.999999999999999e-001 2.000000000000000e-001 K = >> [ ] Παραπάνω φαίνεται ο τρόπος µε τον οποίο υπολογίσαµε την ανάλυση σε απλά κλάσµατα για µια συνάρτηση η οποία έχει το µηδενικό -0.3 και τους πόλους 0.2 και 0.5. Η συνάρτηση poly επιστρέφει τους συντελεστές ενός πολυωνύµου από τις ρίζες του και η συνάρτηση residuez επιστρέφει τους συντελεστές των αριθµητών και των παρονοµαστών των απλών κλασµάτων.
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 13 Να υπολογίσετε την ανάλυση σε απλά κλάσµατα µιας συνάρτησης µεταφοράς η οποία έχει το µηδενικό 0.3 και τους πόλους 0.2 και 0.5. Να υλοποιήσετε το σύστηµα στο οποίο αντιστοιχεί: 1. Με τη χρήση ενός block «Discrete Transfer Fcn». Για να υπολογίσετε τους συντελεστές των πολυωνύµων της συνάρτησης µεταφοράς µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τη συνάρτηση poly. 2. Mε τη χρήση ενός block «Discrete Zero-Pole», δίνοντας τα µηδενικά και τους πόλους της συνάρτησης µεταφοράς. 3. Με τη χρήση 2 block «Discrete Transfer Fcn» τα οποία θα συνδέσετε παράλληλα. 4. Επιβεβαιώστε πως όλα τα παραπάνω συστήµατα έχουν την ίδια κρουστική απόκριση. Να πειραµατιστείτε µε την περίπτωση όπου η συνάρτηση µεταφοράς έχει µιγαδικούς συζυγείς πόλους. Τι µορφή έχουν τότε τα «απλούστερα» κλάσµατα; Τι συµβαίνει όταν ο βαθµός του πολυωνύµου του αριθµητή γίνει ίσος ή µεγαλύτερος από το βαθµό του πολυωνύµου του παρονοµαστή;. Απευθείας Υλοποίηση (Direct Form) Ως γνωστόν, η συνάρτηση µεταφοράς ενός γραµµικού συστήµατος ταυτίζεται µε το λόγο του µετασχηµατισµού Ζ µιας οποιασδήποτε εξόδου του προς το µετασχηµατισµό Ζ της αντίστοιχης εισόδου του: Έτσι έχουµε: δηλαδή: Λαµβάνοντας τώρα αντίστροφο µετασχηµατισµό Z και στα δυο µέλη της παραπάνω σχέσης θα έχουµε: και τελικά: Η τελευταία σχέση οδηγεί στην υλοποίηση του εποµένου σχήµατος την οποία ονοµάζουµε «απευθείας» υλοποίηση,
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 14 Εικόνα 13: Απευθείας υλοποίηση συστήµατος Το αρχείο makemod.m που έχετε κατεβάσει αποτελεί µια συνάρτηση η οποία δέχεται ως είσοδο ένα όνοµα αρχείου, τους συντελεστές του πολυωνύµου Α και τους συντελεστές του πολυωνύµου Β και παράγει ως έξοδο ένα µοντέλο Simulink το οποίο υλοποιεί την αντίστοιχη συνάρτηση µεταφοράς µε χρήση της απευθείας υλοποίησης. Για παράδειγµα, µε τις ακόλουθες εντολές: >> [B,A]=butter(4,0.5); >> makemod('test1.mdl',b,a); >> test1 Λαµβάνουµε: Εικόνα 14: Απευθείας υλοποίηση ενός κατωπερατού ψηφιακού φίλτρου Butterworth τάξης 4
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 15 Το παραπάνω µοντέλο Simulink το οποίο δηµιουργήθηκε αυτόµατα µπορούµε να το εξοµοιώσουµε άµεσα και να δούµε στην έξοδό του την κρουστική του απόκριση. Παρόµοια, µε τις εντολές: >> makemod('test2.mdl',poly([-0.3]),poly([0.2 0.5])); >> test2 Λαµβάνουµε: Εικόνα 15: Απευθείας υλοποίηση ενός συστήµατος µε συγκεκριµένα µηδενικά και πόλους Το οποίο µπορεί άµεσα να εξοµοιωθεί κα να δούµε την κρουστική του απόκριση. Με χρήση της συνάρτησης makemod δηµιουργείστε µοντέλα για διάφορες συναρτήσεις µεταφοράς και εξοµοιώνοντας τα δείτε τις αντίστοιχες κρουστικές αποκρίσεις. Υλοποιήστε κάθε συνάρτηση µεταφοράς µε ένα block «Discrete Transfer Fcn». Συγκρίνετε τις διαφορετικές υλοποιήσεις ως προς την έξοδό τους. Τι γίνεται στην περίπτωση όπου σχεδιάσουµε ένα ασταθές σύστηµα; Σχεδιάστε ένα ασταθές σύστηµα και οδηγήστε την είσοδό του µε ένα φραγµένο σήµα. Προσπαθήστε µε τη βοήθεια ενός Scope να βρείτε σε ποια σηµεία του κυκλώµατος έχουµε φραγµένο σήµα και σε ποια σηµεία το σήµα δεν φράσσεται. Ε. Απευθείας Υλοποίηση, πρώτα ο παρονοµαστής (Direct Form II) Αν στην υλοποίηση Direct Form αλλάξουµε τη σειρά µε την οποία υπολογίζουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή, τότε προκύπτει η υλοποίηση του ακόλουθου σχήµατος:
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 16 Εικόνα 16: Απευθείας υλοποίηση, πρώτα ο παρονοµαστής Την ανωτέρω υλοποίηση την ονοµάζουµε υλοποίηση Direct Form II. Χρησιµοποιώντας το αρχείο makemod.m µπορούµε πολύ εύκολα να δηµιουργήσουµε και υλοποιήσεις τύπου Direct Form II. Η µόνη τροποποίηση που πρέπει να κάνουµε στα µοντέλα εξόδου είναι η αλλαγή στη σειρά υπολογισµού αριθµητή και παρονοµαστή. Για παράδειγµα από το µοντέλο test1.mdl το οποίο δηµιουργήσαµε νωρίτερα (φίλτρο Butterworth) µπορούµε εύκολα να δηµιουργήσουµε το ακόλουθο µοντέλο: Εικόνα 17: Direct Form II υλοποίηση ενός κατωπερατού ψηφιακού Butterworth φίλτρου Εξοµοιώνοντας το παραπάνω µοντέλο µπορούµε να επιβεβαιώσουµε πως η κρουστική του απόκριση είναι ίδια µε εκείνη του µοντέλου από το αρχείο test1.mdl το οποίο δηµιουργήσαµε προηγούµενα. Να δηµιουργήσετε την υλοποίηση Direct Form ΙΙ του συστήµατος του µοντέλου test2.mdl και να επιβεβαιώσετε την ίδια συµπεριφορά τους. ΣΤ. Υλοποίηση µε το ελάχιστο πλήθος στοιχείων µνήµης Από τα τελευταία 2 σχήµατα που παρουσιάσαµε παραπάνω γίνεται αντιληπτό πως τα στοιχεία µνήµης που χρησιµοποιούµε µπορούν να ενωθούν, αφού και
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 17 οι δύο σειρές στοιχείων µνήµης καθυστερούν το ίδιο σήµα. Με βάση την παρατήρηση αυτή, οδηγούµαστε εύκολα στην επόµενη υλοποίηση του µοντέλου µας: Εικόνα 18: Υλοποίηση µε το ελάχιστο πλήθος στοιχείων µνήµης Να υλοποιήσετε τη συνάρτηση µεταφοράς µε µηδενικά 0.2 0.3 0.4 και πόλους 0.1, 0.6, 0.8 και 0.5 µε τον ελάχιστο αριθµό στοιχείων µνήµης. Να επιβεβαιώσετε τη σωστή λειτουργία του µοντέλου σας συγκρίνοντας τα αποτελέσµατά σας µε αυτά που δίνει ένα block «Discrete Zero-Pole». Ζ. Μετασχηµατισµός Αναστροφής Τα σχήµατα τα οποία παρουσιάσαµε στα προηγούµενα, µπορούν να θεωρηθούν ως ειδικού τύπου γραφήµατα. Τα γραφήµατα αυτά έχουν σαν κόµβους τα στοιχεία: 1. Στοιχεία µνήµης 2. Αθροιστές και πολλαπλασιαστές 3. Σταθερές 4. Κόµβους διαµοιρασµού σηµάτων Οι ακµές του γραφήµατος αποτελούν τις γραµµές σύνδεσης ανάµεσα στους κόµβους του γραφήµατος. Ένα τέτοιου είδους γράφηµα ονοµάζεται «Γράφηµα Ροής Σήµατος» (Signal Flow Graph). Σε κάθε γράφηµα ροής σήµατος το οποίο έχει µια είσοδο και µια έξοδο (SISO, Single Input Single Output) µπορούµε να εκτελέσουµε τον ακόλουθο µετασχηµατισµό και να οδηγηθούµε σε ένα νέο γράφηµα το οποίο έχει την ίδια ακριβώς λειτουργία µε το αρχικό γράφηµα: 1. Αντιστρέφουµε όλες τις ακµές του γραφήµατος (εκτός φυσικά από αυτές οι οποίες εξέρχονται από σταθερές) 2. Μετασχηµατίζουµε όλους τους κόµβους άθροισης σε κόµβους διαµοιρασµού σήµατος 3. Μετασχηµατίζουµε όλους τους κόµβους διαµοιρασµού σήµατος σε αθροιστές 4. Εναλλάσσουµε την είσοδο µε την έξοδο Στο επόµενο σχήµα δίνουµε ένα παράδειγµα εφαρµογής του µετασχηµατισµού αναστροφής:
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 18 Εικόνα 19: Μετασχηµατισµός αναστροφής Η. Συνδυασµοί Υλοποιήσεων Όπως είδαµε στα προηγούµενα, µια συνάρτηση µεταφοράς µπορούµε γενικά να την απλοποιήσουµε ως άθροισµα ή γινόµενο «απλούστερων» συναρτήσεων µεταφοράς. Είδαµε τότε πως µπορούµε να την υλοποιήσουµε σε παράλληλη ή σε σειρά σύνδεση απλούστερων υποσυστηµάτων. Τα υποσυστήµατα αυτά, είναι µε τη σειρά τους συναρτήσεις µεταφοράς οι οποίες µπορούν να υλοποιηθούν µε κάποια από τις µορφές που είδαµε στα προηγούµενα: 1. Απευθείας υλοποίηση 2. Απευθείας υλοποίηση, πρώτα ο παρονοµαστής 3. Υλοποίηση µε το ελάχιστο πλήθος στοιχείων µνήµης Για παράδειγµα η διάσπαση οδηγεί όπως είδαµε νωρίτερα στην υλοποίηση του ακόλουθου µοντέλου το οποίο βρίσκεται στο αρχείο series.mdl: Εικόνα 20: Σε σειρά υλοποίηση συστήµατος
Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 19 Φυσικά, τα υποσυστήµατά του µπορούµε να τα υλοποιήσουµε µε βάση την υλοποίηση Direct Form. Για να δηµιουργήσουµε αυτές τις υλοποιήσεις δίνουµε: >> makemod('system1.mdl',poly(-0.3),poly(0.2)); >> makemod('system2.mdl',poly(0.3),poly(0.5)); >> system1 >> system2 ηµιουργούµε έτσι τις Direct Form υλοποιήσεις των υποσυστηµάτων και τις αποθηκεύουµε ως µοντέλα στα αρχεία system1.mdl και system2.mdl. Από τα αρχεία αυτά τώρα, µπορούµε να επιλέξουµε όλα τα στοιχεία του δεύτερου υποσυστήµατος και να τα αντιγράψουµε (copy/paste) στο αρχείο του πρώτου υποσυστήµατος. Συνδέοντάς τα δυο υποσυστήµατα σε σειρά, έχουµε υλοποιήσει το σύστηµά µας ως σε σειρά συνδεσµολογία απλούστερων συστηµάτων, όπου τα υποσυστήµατα αυτά είναι υλοποιηµένα σε µορφή Direct Form: Εικόνα 21: Υλοποίηση σε σειρά µε όλα τα υποσυστήµατα να είναι υλοποιηµένα σε µορφή Direct Form I Να υλοποιήσετε τη συνάρτηση µεταφοράς µε µηδενικά 0.2 0.3 0.4 και πόλους 0.1, 0.6, 0.8 και 0.5 σε παράλληλη συνδεσµολογία. Για την ανάλυση σε απλά κλάσµατα χρησιµοποιήστε τη συνάρτηση residuez και ως στοιχεία υλοποίησης χρησιµοποιήστε 4 blocks «Discrete Transfer Fcn». ηµιουργήστε τις Direct Form Υλοποιήσεις των τεσσάρων υποσυστηµάτων µε χρήση της συνάρτησης makemod ηµιουργήστε ένα νέο µοντέλο στο οποίο να συνδέσετε τα υποσυστήµατα που σχεδιάσατε στο προηγούµενο βήµα σε παράλληλη συνδεσµολογία. Επιβεβαιώστε πως η τελευταία υλοποίηση δίνει τα ίδια αποτελέσµατα µε την προηγούµενη όπου χρησιµοποιήσατε τα blocks «Discrete Transfer Fcn».