Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α στο χ πρέπει: - το χ να ανήκει στο πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης και να υπάρχουν σημεία του Α κοντά στο χ. - το χ να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης αλλά να υπάρχουν σημεία του Α κοντά στο χ. Δηλαδή : το χ να είναι τουλάχιστον ανοικτό άκρο του πεδίου ορισμού της f. y yf() - O ΜΕΘΟΔΟΣ. Εντοπίζουμε χαρακτηριστικά σημεία της καμπύλης της συνάρτησης, όπως: σημεία όπου οι καμπύλες της συνάρτησης συναντιούνται ή ακόμη σημεία όπου αρχίζουν ή τελειώνουν οι καμπύλες της συνάρτησης.. Η τετμημένη του κάθε σημείου όπου οι καμπύλες της συνάρτησης συναντιούνται είναι το χ και η τεταγμένη είναι το όριο της συνάρτησης f στο χ, δηλ. f χ y χ χ. Για τα σημεία όπου οι καμπύλες δεν συναντιούνται στο χ, υπάρχουν πλευρικά όρια. (η συνάρτηση ορίζεται αριστερά και δεξιά του χ ).. Αν η συνάρτηση ορίζεται μόνο από αριστερά ή μόνο δεξιά του χ τότε ορίζεται ένα πλευρικό όριο που είναι και το όριο της συνάρτησης f στο χ.
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ η Υπολογισμός ορίου στη θέση χ με το χ να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ΜΕΘΟΔΟΣ η Αντικαθιστούμε όπου χ το χ και εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων. Τότε το όριο είναι πραγματικός αριθμός. 9. +. Ασκήσεις i,ii,iii σελίδα 7 σχολ. βιβλίου ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ η Υπολογισμός ορίου στη θέση χ με το χ να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αν η συνάρτηση είναι ρητή και δεν μηδενίζεται ο αριθμητής στη θέση χ, ενώ μηδενίζεται ο παρονομαστής. Τότε το όριο είναι + ή ή δεν υπάρχει. ΜΕΘΟΔΟΣ η Εξετάζουμε το πρόσημο της συνάρτησης κοντά στο χ. Αν το πρόσημο αλλάζει τότε υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια. Ισχύει: f(χ) και f(χ)> τότε + f(χ) f(χ) και f(χ)< τότε χ χ χ χ f(χ) χ χ χ χ. Άσκηση i) σελίδα 8 ( έκδοση ) 5+ 6. Να βρεθεί το όριο Επειδή και > κοντά στο είναι ( + ) είναι ( 5 6) 5 6 + 5+ 6 + + και
Αν η συνάρτηση είναι ρητή και μηδενίζεται ο αριθμητής και ο παρονομαστής στη θέση χ. Τότε το όριο είναι απροσδιόριστη μορφή. Τούτο σημαίνει ότι το όριο μπορεί να είναι + ή ή πραγματικός αριθμός ή να μην υπάρχει. ΜΕΘΟΔΟΣ η Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή και απλοποιούμε τον παράγοντα που δημιουργεί την απροσδιοριστία.. Εφαρμογή ii) σελίδα 68.. Να βρεθεί το όριο 6 Για χ μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Για 8 6 ( + )( + ) ( + )( + ) έχουμε: f. 8 + + + + ( ) + + 8 8 Άρα f + +. Άσκηση σελίδα 7 ΜΕΘΟΔΟΣ η Αν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει ριζικά τότε πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με την κατάλληλη συζυγή παράσταση ώστε να εφαρμόσουμε την ν ν ν ν ν ταυτότητα α β ( α β) ( α + α β + α β +... + β ν ). Εφαρμογή iii) σελίδα 68.. Να βρεθεί το όριο 9 9 9 9 9 + + 6. ( )( )( + 6 + + 6+ ) + 6 ( + 6 )( + 6 + + 6+ ) ( )( )( + 6 + + 6+ ) 6. Άσκηση σελίδα 75
ΜΕΘΟΔΟΣ 5 η Αν ο τύπος της συνάρτησης περιέχει απόλυτες τιμές --- και το χ μηδενίζει τις απόλυτες τιμές παίρνουμε πλευρικά όρια --- και το χ δεν μηδενίζει τις απόλυτες τιμές, υπολογίζουμε τις απόλυτες τιμές σύμφωνα με το πρόσημο που έχουν κοντά στο χ σχηματίζοντας πίνακα τιμών που περιέχει το χ.. Άσκηση ii, iii σελίδα 76. Είναι: Επειδή η - δεν μηδενίζεται για, σχηματίζουμε πίνακα τιμών κοντά στο. ¾ - - + + Για > είναι > δηλ. ->. Άρα Άρα ( ) + ( )( ) ( ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ η Υπολογισμός ορίου στη θέση χ στην περίπτωση που η συνάρτηση έχει κλάδους. ΜΕΘΟΔΟΣ 6 η Για να υπολογίσουμε το όριο στο σημείο χ αλλαγής του κλάδου υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια.. Εφαρμογή σελίδα 69 +, αν. Αν f αν > να εξετάσετε αν έχει όριο στο ημ ( π ) + 8 6, Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια στο + ( ) [ ημ π ] + 8 6 ημπ + 8 6 + Επειδή f f +. Άσκηση 5 σελίδα 75, είναι f
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ η Τριγωνομετρικά όρια ΜΕΘΟΔΟΣ 7 η Χρησιμοποιούμε τους τύπους των τριγωνομετρικών ορίων. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε αλλαγή μεταβλητής.. Να βρεθεί το όριο ημ5χ ημ5χ ημ5χ ημω 5 5 5 5 5 χ χ χ 5χ χ 5χ ω ω (Θέσαμε ω5χ και επειδή χτ και ωτ.). Να βρεθεί το όριο: συν συν ( συν συν )( συν + συν ) ημ ημ συν + συν ( ) συν συν συν συν ημ ημ συν + συν ημ συν + συν συν συν + ημ συν ημ + ημ ημ συν συν ημ ( + ) ( συν + συν ) συν ( συν + συν ) ΜΕΘΟΔΟΣ 8 η Ορισμένα τριγωνομετρικά όρια δεν μπορούν να υπολογιστούν εύκολα. Τότε είναι πολύ χρήσιμο το ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ.. Παράδειγμα σελίδα 7. Να βρείτε το όριο f, αν f + Είναι ( ) και ( ) + άρα και f. Να βρείτε το όριο: ημ ημ Είναι () Για τη συνάρτηση ημ ισχύει ημ ημ ημ. Οπότε:. Λόγω της () άρα σύμφωνα με το κριτήριο ημ ημ ημ ημ παρεμβολής θα είναι: ημ ημ
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 5 η Υπολογισμός ορίου συνάρτησης με τη βοήθεια άλλης συνάρτησης της οποίας γνωρίζουμε το όριο. ΜΕΘΟΔΟΣ 9 η Θέτουμε g() την συνάρτηση και εκφράζουμε την γνωστή συνάρτηση με τη βοήθεια της g(). f ημ. Αν να βρεθεί το f + f Θέτουμε g() ( ) ημ +, [, ) (, + ) με g + Για κοντά στο ισχύει g + f f g ημ Είναι ημ ( + )( + + ) ημ ( + + ) + f ημ + ημ( + + ) ημ ( + + ) ημ > ( + + ) f. Άσκηση σελίδα 76. Άσκηση σελίδα 8 Άρα το
ΜΕΘΟΔΟΣ η Μετασχηματίζουμε την παράσταση του αριθμητή συνήθως με προσθαφαίρεση. (Δίνεται το όριο παράστασης που περιέχει το f() και ζητείται το όριο παράστασης που περιέχει πάλι το f()). f f Αν 5 να βρεθεί το όριο 5+ 6 f Θέτω g Τότε f ( 5+ 6 ) g + οπότε f 5 +. 5 + 6 f f Έτσι για το έχουμε απροσδιοριστία. Το κλάσμα f f + f + γράφεται: f ( ) f + + ( ) 5+ 6 f Επομένως 5( ) + ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 η Υπολογισμός ορίου σύνθετης συνάρτησης fog στο χ. ΜΕΘΟΔΟΣ η Θέτουμε ug(). Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u g( χ ) χ χ Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το l f ( u) u u Τότε αν κοντά στο χ, το ζητούμενο όριο είναι ίσο με l, δηλ. f ( g( χ)) f ( u) χ χ u u. Παράδειγμα σελίδα 7 f f ημ. Αν 5 να βρεθεί το ημ f ημ f ημ Είναι: ημ ημ f f ( u) Αν όπου u και επειδή τότε u. Είναι: 5 u ημ και. Άρα το ζητούμενο όριο είναι: 9
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 7 η Τεχνικές μορφοποίησης ή διαχωρισμού ΜΕΘΟΔΟΣ η Διαχωρισμός του κλάσματος σε άθροισμα δύο κλασμάτων (Ο αριθμητής είναι άθροισμα δύο ριζικών και αριθμού ή τριών ριζικών εκ των οποίων το ένα να έχει πολλαπλασιαστεί με το,,, ). Να βρεθεί το όριο 8+ + Διαχωρισμός του κλάσματος 8+ + 8+ + 8+ Βρίσκω το όριο κάθε κλάσματος ( )( + ) ( ) ( ) ( 8 )( 8 + ) + + + 8 8 8 6 + 8 + + 8 + ( ) 8 8 ( )( + )( 8 + ) ( + )( 8 + ) 8+ + Άρα 8 8. Παράσταση με δύο τουλάχιστον ριζικά και επι πλέον όρους χωρίς ριζικά. Διαχωρίζουμε (συνήθως) τον όρο που δεν έχει ριζικά σε δύο προσθετέους και βρίσκουμε το όριο αθροίσματος. Να βρεθεί το όριο ( 9 ) + + + Η παράσταση γράφεται: ( 9 ) + + + ( 9 + ) + + 9+ + ( + ) + + + + Έτσι το όριο είναι ( ) 6 9 + + +
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ ± y y y C h Cg C f O (a) O (β) O (γ) Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο, Στο σχήμα (γ) f προσεγγίζει όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό. Στην περίπτωση το + f αυτή λέμε ότι η f έχει στο όριο το και γράφουμε + Στο σχήμα (β) το g αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο + όριο το + και γράφουμε g + + το h μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο + όριο το και γράφουμε h. + Παρατηρούμε ότι καθώς το μειώνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο, Στο σχήμα (β) το g μειώνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει στο + όριο το Στο σχήμα (α) + και γράφουμε g το h αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η h έχει στο + όριο το και γράφουμε h +. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης f στο +, πρέπει η f να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( α, + ). Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν, όταν για μια συνάρτηση που είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής (, β ).
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ο υπολογισμός των ορίων στο άπειρο γίνεται με τους ίδιους κανόνες με τους οποίους υπολογίζουμε όρια συνάρτησης σε πραγματικό αριθμό, εφόσον οι οριακές πράξεις που παρουσιάζονται είναι επιτρεπτές. Για τον υπολογισμό του ορίου στο + ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: ν + + + ν * και, ν ν +, -, αν αν ν ν άρτιος περιττός και ν *, ν. + Για τα όρια στο, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο προϋπόθεση ότι: οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή. με την Για τις πολυωνυμικές παίρνουμε το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου Για τις ρητές παίρνουμε το όριο του λόγου των μεγιστοβάθμιων όρων.. + + +.. + ) ( + + + + + + + + + + + + + Αν έχουμε άθροισμα πολυωνυμικής και ρητής ή δύο ρητών και καταλήγουμε σε απροσδιοριστία της μορφής + τότε προσθέτουμε τις δύο συναρτήσεις και μετά βρίσκουμε το όριο.. ( )( + + ). Άσκηση iv σελίδα 86.
Όταν έχουμε απροσδιοριστία σε κλασματική μορφή με ριζικά βγάζουμε κοινό παράγοντα το χ κ, όπου κ δείκτης της ρίζας.. 5 5 8 + + + 5 8 + + + + + + + + + 5 Άρα 8 + + + + + + 5 5 5 8+ + + + + +. Άσκηση v σελίδα 87 Τεχνικές μορφοποίησης f. Αν και f f + 5 + f + να δειχτεί ότι είναι Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με χ, οπότε f + 5 + 5 + + + f + + f + +.Να βρεθεί το όριο f όταν 5 + f + + Θέτουμε g a + b +. Λύνουμε ως προς f(). + g + + f + g Έτσι είναι f + 5 7 Προσδιορισμός παραμέτρων σε πολυωνυμικές ή ρητές συναρτήσεις.άσκηση Β ομάδα σελίδα 87.Άσκηση Β ομάδα σελίδα 87