ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε τον υπολογιμό ανάλογα με το εάν ο επενδυτής χρηιμοποιεί ιτορικά τοιχεία ή αναμενόμενα τοιχεία τα οποία προάπτει μια πιθανότητα πραγματοποίηης. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται υνοπτικά οι διαφορές τους οριμούς και τους τύπους υπολογιμού ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Μέη Απόδοη = i ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Αναμενόμενη Απόδοη E( i) = π i i ιακύμανη αποδόεων Τυπική απόκλιη (κίνδυνος) Συνδιακύμανη αποδόεων δύο αξιογράφων Α και Β Συντελετής μεταβλητότητας (κίνδυνος ανά μονάδα απόδοης) Συντελετής υχέτιης των αποδόεων δύο αξιογράφων Α και Β ΑΒ = = = ( ) i ( )( Αi Α Βi Β) ΣΜ = ΑΒ ραβ = * Α Β ιακύμανη αποδόεων Τυπική απόκλιη (κίνδυνος) Συνδιακύμανη αποδόεων δύο αξιογράφων Α και Β Συντελετής μεταβλητότητας (κίνδυνος ανά μονάδα απόδοης) Συντελετής υχέτιης των αποδόεων δύο αξιογράφων Α και Β = πi( i E( i) ) = = π[( i E ( )( i E ( )] ΑΒ i Α Α Β Β i = ΣΜ = Ε ( ) ρ ΑΒ ΑΒ = * Α Β

.. Απόδοη και κίνδυνος ε ιτορικά τοιχεία Όταν γνωρίζουμε τα ιτορικά τοιχεία για τις τιμές και τα μερίματα ενός αξιογράφου τότε μπορούμε να υπολογίουμε την πραγματοποιηθεία απόδοη του αξιογράφου ως Dt + Pt- Pt- = HP = t t Pt Για παράδειγμα ας υποθέουμε ότι μας δίνονται τα παρακάτω ιτορικά τοιχεία για την τιμή και τα μερίματα της μετοχής Α. Μετοχή Α Χρόνος (ε έτη) Τιμή Μέριμα 57.75 59.87 0.65 3 55.37 0.73 4 55.50 0.75 5 56.5 0.7 6 59 0.70 7 60.5 0.7 Η απόδοη κάθε έτος θα υπολογίζεται από τον τύπο t = D + P-P P t t t- t Ειδικότερα οι αποδόεις τους έτη, 3,4,5,6 & 7 υπολογίζονται όπως παρακάτω ( ΠΡΟΣΟΧΗ! Για να υπολογίω την απόδοη ε κάποια χρονική τιγμή θα πρέπει να γνωρίζω την τιμή τη προηγούμενη χρονική περίοδο. Αυτός είναι ο λόγος που δεν μπορώ να υπολογίω απόδοη το έτος ) D + P -P 0,65 + 59,87 57,75 P 57,75 = = = = 0,0480 4,80%

D + P-P 0, 73 + 55,37 59,87 3 3 3 = = = = P 59,87 0,0630 6,30% 4 D + P -P 0,75 + 55,50 55,37 P 55,37 4 4 3 = = = = 3 0,059,59% D + P-P 0,7 + 56,5 55,50 5 5 4 5 = = = = P4 55,50 D + P-P 0,70 + 59 56,5 6 6 5 6 = = = = P5 56,5 0,065,65% 0,063 6,3% 7 D + P -P 0, 7 + 60, 5 59 P 59 7 7 6 = = = = 6 0,0334 3,34% Επομένως για τη μετοχή Α υπολογίαμε τις ετήεις αποδόεις Μετοχή Α Χρόνος (ε έτη) Τιμή Μέριμα Ετήιες Απόδοη 57.75 59.87 0.65 4.80% 3 55.37 0.73-6.30% 4 55.50 0.75.59% 5 56.5 0.7.65% 6 59 0.70 6.3% 7 60.5 0.7 3.34% Η μέη απόδοη της μετοχής θα δίνεται από = Συνεπώς i = + + + + + 7 3 4 5 6 6 Εάν αντικατατήουμε τις αποδόεις η μέη απόδοη θα είναι 3

0,0480 + ( 0,0630) + 0,059 + 0,065 + 0,063 + 0,0334 = = 0, 003 =, 03% 6 Προκειμένου να βρούμε τον κίνδυνο των αποδόεων πρέπει να βρούμε αρχικά τη διακύμανη των αποδόεων Η διακύμανη των αποδόεων θα βρεθεί από Επομένως = ( ) i ( ) + ( 3 ) + ( 4 ) + ( 5 ) + ( 6 ) + ( 7 ) = 6 Εάν αντικατατήουμε τις αποδόεις η μέη διακύμανη των αποδόεων θα είναι (0, 0480 0, 003) + ( 0, 063 0, 003) + (0, 059 0, 003) + (0, 065 0, 003) + (0, 063 0, 003) + (0, 0334 0, 003) = = 0,0064 5 Ο κίνδυνος των αποδόεων μετράται από την τυπική απόκλιη = = = = 0,0064 0,0405 4,05% Ο κίνδυνος των αποδόεων ανά μονάδα κινδύνου μετράται με το υντελετή μεταβλητότητας ΣΜ ΣΜ = 0,0405, 99 = 0,003 = ΠΡΟΣΟΧΗ! Όταν είναι να επιλέξουμε μεταξύ αξιόγραφων θα επιλέγουμε αυτό με τον μικρότερο υντελετή μεταβλητότητας 4

Εάν έχουμε τις ιτορικές αποδόεις αξιόγραφων θα είματε ε θέη να υπολογίουμε τη υνδιακύμανη και το υντελετή υχέτιης μεταξύ των αποδόεων αξιογράφων. Παράδειγμα Έτω ότι οι ετήιες αποδόεις των μετοχών Α και Β δίνονται τον παρακάτω πίνακα Έτος Απόδοη μετοχής Α ( ia) Απόδοη μετοχής Β ( ib ) 004 5% % 005 0% 5% 006 3% 5% 007-5% -0% 008 -% -8% 009 9% 4% Να υπολογιτεί η υνδιακύμανη και ο υντελετής υχέτιης των αποδόεων των μετοχών Αρχικά υπολογίζουμε τη μέη απόδοη κάθε μετοχής Η μέη απόδοη της μετοχής Α είναι A ia 0,5 + 0,0 + 0,03 + ( 0,05) + ( 0,) + 0,09 = = = 0,0333 6 Η μέη απόδοη της μετοχής Β είναι B ib 0, + 0,5 + 0,05 + ( 0,0) + ( 0,08) + 0,04 = = = 0,03 6 Ο κίνδυνος κάθε μετοχής δίνεται από την τυπική απόκλιη των αποδόεων Προκειμένου να βρούμε την τυπική απόκλιη των αποδόεων αρχικά βρίκουμε τη διακύμανη των αποδόεων κάθε μετοχής. 5

( ia A) (0,5 0,0333) + (0,0 0,0333) + 0,05 +... + (0,09 0,0333) = = = 0,00866 6 A ( ib B ) (0, 0,03) + (0,5 0,03) + 0,05 +... + (0,04 0,03) = = = 0,00866 6 B H τυπική απόκλιη κάθε μετοχής δίνεται από = Α = = A 0, 00866 0, 093 = = 0, 00866 = 0, 093 Β Β Η υνδιακύμανη των αποδόεων των μετοχών είναι ίη με AΒ ΑΒ ( ia A)( iβ Β) = (0,5 0,0333)*(0, 0,03) +... + (0,09 0,0333)*(0,04 0,03) = = 0, 00646 6 Ο υντελετής υχέτιης των αποδόεων των μετοχών είναι ΑΒ 0,00646 ραβ = = = 0,74 * 0,093*0,093 Α Β Παρατηρήεις για το υντελετή υχέτιης. Ο υντελετής υχέτιης μας δείχνει το κατά πόο υπάρχει γραμμική χέη μεταξύ μεταβλητών. Στην περίπτωη του παραδείγματος ο υντελετής υχέτιης μας δείχνει κατά πόο ευταθεί μια εξίωη της μορφής A = α + β * Β. Οι τιμές του υντελετή υχέτιης κυμαίνονται από ρ Εάν ρ=- υπάρχει τέλεια αρνητική γραμμική χέη μεταξύ των αποδόεων ρ=0 δεν υπάρχει γραμμική χέη μεταξύ των αποδόεων ρ= υπάρχει τέλεια θετική γραμμική χέη μεταξύ των αποδόεων. 6

.. Απόδοη και κίνδυνος ε αναμενόμενα τοιχεία Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε πως υπολογίζουμε την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός αξιογράφου όταν μας δίνεται η κατανομή πιθανοτήτων χετικά με τις αποδόεις του. Στην περίπτωη αυτή υπολογίζουμε την απόδοη που αναμένουμε το μέλλον γι αυτό και προάπτουμε πιθανότητες για κάθε πιθανή απόδοη. πιθανότητα Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης (Αγορά) Κρατικό Ομόλογο 0. -5% % -8% 5% 0.3 0% 5% 4% 5% 0.5 5% -5% 0% 5% Να βρεθεί η αναμενόμενη απόδοη, ο κίνδυνος, ο υντελετής μεταβλητότητας (χετικός κίνδυνος), η υνδιακύμανη και ο υντελετής υχέτιης των αξιογράφων Αναμενόμενη απόδοη Η αναμενόμενη απόδοη της μετοχής Α δίνεται από E ( ) = π = 0,0*( 0,5) + 0,3*0,0 + 0,5*0,5 = 0,5 Α i iα Η αναμενόμενη απόδοη της μετοχής Β δίνεται από E ( ) = π = 0,0*0, + 0,3*0,05 + 0,5*( 0,05) = 0,04 Β i iβ Η αναμενόμενη απόδοη του γενικού δείκτη ή αγοράς δίνεται από E ( ) = π = 0,0*( 0,08) + 0,3*0,04+ 0,5*0,0 = 0,046 Μ i iμ Η αναμενόμενη απόδοη του κρατικού ομολόγου είναι ίη με 7

E ( ) = π = 0,0*0,05+ 0,3*0,05+ 0,5*0,05= 0,05 Ο i iο ιακύμανη αποδόεων Η διακύμανη της απόδοης της μετοχής Α δίνεται από Α πi iα E Α = ( ( )) = 0,*( 0,5 0,5) + 0,3*(0,0 0,5) + 0,5*(0,5 0,5) = 0.03 Η διακύμανη της απόδοης της μετοχής Β δίνεται από Β πi iβ E Β = ( ( )) = 0,*(0, 0,04) + 0,3*(0,05 0,04) + 0,5*( 0,05 0,04) = 0.0046 Η διακύμανη της απόδοης του γενικού δείκτη (αγοράς) δίνεται από Μ πi iμ E Μ = ( ( )) = 0,*( 0,08 0,046) + 0,3*(0,04 0,046) + 0,5*(0, 0,046) = 0,0046 Η διακύμανη της απόδοης του κρατικού ομολόγου δίνεται από Ο = πi( iο E( Ο)) = 0, *(0, 05 0, 05) + 0,3*(0, 05 0, 05) + 0,5*(0, 05 0, 05) = 0 Τυπική απόκλιη ( κίνδυνος) Η τυπική απόκλιη (κίνδυνος) των αποδόεων της μετοχής Α δίνεται από Α = = 0.03 = 0,5 = 5, % Α Η τυπική απόκλιη (κίνδυνος) των αποδόεων της μετοχής Β δίνεται από Β = = 0,0046 = 0,068 = 6,8% Β Η τυπική απόκλιη (κίνδυνος) των αποδόεων της αγοράς δίνεται από Μ = = 0,0046 = 0,068 = 6,8% Μ Η τυπική απόκλιη (κίνδυνος) των αποδόεων του κρατικού ομολόγου δίνεται από Ο = = 0 = 0 Ο Συντελετής μεταβλητότητας ( χετική μέτρηη του κινδύνου κίνδυνος ανά μονάδα απόδοης) Ο υντελετής μεταβλητότητας της μετοχής Α είναι 8

Α 0,5 ΣΜ Α = = =, Ε( ) 0,5 Α Ο υντελετής μεταβλητότητας της μετοχής Β είναι Β 0,068 ΣΜ Β = = = 4,88 Ε( ) 0,04 Β Επομένως εάν ο επενδυτής έπρεπε να επιλέξει μεταξύ των μετοχών Α και Β θα έπρεπε να επιλέξει τη μετοχή Α που έχει το μικρότερο υντελετή μεταβλητότητας κίνδυνο ανά μονάδα απόδοης Συνδιακύμανη Η υνδιακύμανη των αποδόεων της μετοχής Α με τη μετοχή Β δίνεται από = π[( E( )( E( )] ΑΒ i Αi Α Βi Β = 0,0*(-0,5-0,5)*(0,-0,04) + 0,3*(0,0 0,5)*(0,05 0,04) + 0,5*(0,5 0,5)*( 0,05 0,04) = 0,000 Η υνδιαοκύμανη των αποδόεων της μετοχής Α με την αγορά δίνεται από = π[( E( )( E( )] ΑΜ i Αi Α Μi Μ = 0,0*(-0,5-0,5)*( 0,08-0,046) + 0,3*(0,0 0,5)*(0,04 0,046) + 0,5*(0,5 0,5)*(0,0 0,046) = 0,0035 Η υνδιακύμανη των αποδόεων της μετοχής Β με την αγορά δίνεται από = π[( E( )( E( )] ΒΜ i Βi Α Μi Μ = 0,0*(0,-0,04)*( 0,08-0,046) + 0,3*(0,05 0,04)*(0,04 0,046) + 0,5*(0,5 0,5)*( 0,05 0,064) = 0,0044 Τέλος οι υνδιακύμανεις της μετοχής Α με το κρατικό ομόλογο, της μετοχής Β με το κρατικό ομόλογ και της αγοράς Μ με το κρατικό ομόλογο είναι ίες με μηδέν ΑΟ = 0 9

ΒΟ = 0 ΜΟ = 0 Συντελετής υχέτιης Ο υντελετής υχέτιης της μετοχής Α με τη Β είναι ρ ΑΒ ΑΒ 0,000 = = = 0,97 * 0,5*0,068 Α Β Παρατηρούμε ότι οι μετοχές Α και Β έχουν χεδόν τέλεια γραμμική αρνητική υχέτιη. Αυτό ημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόεις της μετοχής Α μειώνονται οι αποδόεις της μετοχής Β Ο υντελετής υχέτιης της μετοχής Α με την αγορά είναι ρ ΑΜ ΑΜ 0,0035 = = = 0,99 * 0,5*0,068 Α M Παρατηρούμε ότι οι μετοχή Α και ο γενικός δείκτης (αγορά) έχουν χεδόν τέλεια γραμμική θετική υχέτιη. Αυτό ημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόεις της αγοράς (γενικού δείκτη) αυξάνονται οι αποδόεις της μετοχής Α - Η μετοχή Α ακολουθεί την αγορά Ο υντελετής υχέτιης της μετοχής Β με την αγορά είναι ρ BΜ BΜ 0,0044 = = = 0,957 * 0,068*0,068 B M Παρατηρούμε ότι η μετοχή Β και η αγορά έχουν χεδόν τέλεια γραμμική αρνητική υχέτιη. Αυτό ημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόεις της αγοράς (γενικού δείκτη) μειώνονται οι αποδόεις της μετοχής Β - Η μετοχή Β κινείται αντίθετα από την αγορά Τέλος οι υντελετές υχέτιης της μετοχής Α, Β και της αγοράς με το κρατικό ομόλογο μηδενικού κινδύνου είναι ίοι με μηδέν. Οι αποδόεις του κρατικού ομολόγου είναι ταθερές και δεν χετίζονται με τις αποδόεις των μετοχών και της αγοράς. ρ ΑΟ = 0 ρ ΒΟ = 0 ρ ΜΟ = 0 0

Τα αποτελέματα υνοψίζονται τον παρακάτω πίνακα ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΟΣΗ ΚΑΙ ΚΙΝ ΥΝΟΣ Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης Κρατικό Ομόλογο Αναμενόμενη,5%,4% 4,6% 5% Απόδοη Κίνδυνος 5,% 6,8% 6,8% 0% ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ - ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ Συνδιακύμανη Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης Κρατικό Ομόλογο Μετοχή Α 0,03-0,000 0,0035 0 Μετοχή Β -0,000 0,0046-0,0044 0 Γενικός είκτης 0,0035-0,0044 0,0046 0 Κρατικό Ομόλογο 0 0 0 0 ΠΡΟΣΟΧΗ! Η υνδιακύμανη των αποδόεων μιας μετοχής με τις αποδόεις της ι ίδιας της μετοχής μας δίνει τη διακύμανη των αποδόεων της δηλαδή Α = ΑΑ

. Απόδοη και κίνδυνος χαρτοφυλακίου Στην ενότητα αυτή θα εξετάουμε πως υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου τόο εάν μας δίνονται ιτορικά τοιχεία και έχουμε υπολογίει τις μέες αποδόεις και του κινδύνους των αξιογράφων που απαρτίζουν το χαρτοφυλάκιο όο εάν έχουμε τη διάθεη μας τις κατανομές των αποδόεων και έχουμε υπολογίει τις αναμενόμενες αποδόεις και κινδύνους των αξιογράφων που απαρτίζουν το χαρτοφυλάκιο. Με w θα υμβολίζουμε το ποοτό ( υντελετή τάθμιης) όπου κάθε αξιόγραφο υμμετέχει το χαρτοφυλάκιο. Σε ότι αφορά τα ιτορικά τοιχεία θα έχουμε Μέη απόδοη χαρτοφυλακίου w i i i = ιακύμανη αποδόεων χαρτοφυλακίου N N = j= ww ι j ij Για 3 αξιόγραφα η διακύμανη των αποδόεων ενός χαρτοφυλακίου είναι = w + w + w + w w + w w + w w 3 3 3 3 3 3 Για αξιόγραφα η διακύμανη των αποδόεων ενός χαρτοφυλακίου είναι = w + w + w w ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα μπορούε να μας έδινε αν δεδομένο το υντελετή υχέτιης και να μην ήταν αναγκαίο να αντικατατήουμε τη υνδιακύμανη. Θυμηθείτε ότι ο υντελετής υχέτιης είναι ίος με ρ = = ρ * *,, * Επομένως ο τύπος της διακύμανης μπορεί να γραφτεί και ως = w + w + w ρ w,

Τυπική απόκλιη ενός χαρτοφυλακίου (απόλυτη μέτρηη του κίνδυνου) = Παράδειγμα : Tα παρακάτω τοιχεία αφορούν τις ετήιες αποδόεις των μετοχών της Geeral Motors () και της Microsoft (MSFT) για τα έτη 990-999. Για να υπολογίουμε την μέη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από 50% επένδυη τη και 50% επένδυη τη ΜSFT θα ακολουθήουμε τα παρακάτω βήματα. Χαρτοφυλάκιο με μετοχές της ( Geeral Motors) και της MSFT (Microsoft) ποοτά υμμετοχής το χαρτοφυλάκιο ποοτό υμμετοχής - w 50% ποοτό υμμετοχής MSFT - w 50% Ημερομηνία Αποδόεις μετοχών Αποδόεις Χαρτοφυλακίου MSFT εκ-90 -.54% 7.99% 30.73% εκ-9 -.35%.76% 55.% εκ-9 6.54% 5.% 5.8% εκ-93 7.64% -5.56% 33.54% εκ-94 -.78% 5.63% 4.93% εκ-95 8.3% 43.56% 35.84% εκ-96 8.46% 88.3% 48.39% εκ-97 9.00% 56.43% 37.7% εκ-98.09% 4.60% 67.85% εκ-99.34% 68.36% 44.85% Μέη Απόδοη 4.5% 6.7% 38.49% 3

ιακύμανη αποδόεων 6.38% 4.43%.44% Τυπική απόκλιη 5.5% 37.99% 5.6% Συνδιακύμανη,,MSFT =Cov(r,r MSFT ) -5.5% Αρχικά υπολογίζουμε τη μέη απόδοη, τον κίνδυνο και τη υνδιακύμανη των μετοχών Μέες αποδόεις και ΜSFT H μέη απόδοη της μετοχής είναι i = = 4,5% Η μέη απόδοη της μετοχής MSFT είναι MSFT imsft = = 6,7% ιακυμάνεις αποδόεων και ΜSFT ( i ) = = 6,38% (imsft MSFT MSFT ) = = 4,43% Tυπικές αποκλίεις ( κίνδυνοι) αποδόεων και MSFT = = 0, 0638 = 5, 5% MSFT = = 0,443 = 37,99% MSFT Συνδιακύμανη αποδόεων και ΜSFT, MSFT ( i )( MSFTi MSFT ) = = 0,055 4

Η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου που αποτελείται από 50% επένδυη τη ( w = 50% ) και κατά το υπόλοιπο 50% από επένδυη τη ΜSFT ( w = 50% θα δίνεται από = w = w * + w * i i MSFT MSFT i = 0,5*0,45 + 0,5*0,67 = 0,3849 = 38, 49% Η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου θα δίνεται από = w + w + w w MSFT MSFT MSFT, MSFT MSFT = 0,5 *0, 0638 + 0,5 *0,443+ *0,5*0,5*( 0, 055) = 0, 044 ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα μπορούε να μας έδινε αν δεδομένο το υντελετή υχέτιης και να μην ήταν αναγκαίο να αντικατατήουμε τη υνδιακύμανη. Θυμηθείτε ότι ο υντελετής υχέτιης είναι ίος με ρ ρ, MSFT, ΜSFT =, MSFT =, ΜSFT * * MSFT * MSFT Επομένως ο τύπος της διακύμανης μπορεί να γραφτεί και ως = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT Η τυπική απόκλιη ( κίνδυνος) των αποδόεων του χαρτοφυλακίου είναι = = 0,044 = 0,56 = 5,6% Οι ίδιοι τύποι θα χρηιμοποιούνται και όταν μας δίνονται αναμενόμενες αποδόεις και κίνδυνοι ( μελλοντικά τοχεία). Συγκεκριμένα Αναμενόμενη απόδοη χαρτοφυλακίου ( με αξιόγραφα) Ε ( ) = ( ) = * ( ) + * ( ) we i i w E w E ιακύμανη αποδόεων χαρτοφυλακίου ( αξιόγραφα) = w + w + w w 5

ή = w + w + ww ρ,. Αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων Στο προηγούμενο παράδειγμα υπολογίαμε την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου με δεδομένο ότι έχουμε επενδύει 50% τη και 50% τη ΜSFT. Ο παραπάνω πίνακας μας δίνει την μέη απόδοη και τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου για διάφορα χαρτοφυλάκια που έχουν δημιουργηθεί από τις μετοχές και ΜSFT με διαφορετικά ποοτά επένδυης τις μετοχές ποοτό ποοτό επένδυης επένδυης τυπική Μέη τη τη MSFT απόκλιηαπόδοη 0% 00% 37.99% 6.7% 0% 90% 3.80% 57.87% 0% 80% 7.79% 53.03% 30% 70% 3.08% 48.8% 40% 60% 8.88% 43.33% 50% 50% 5.6% 38.49% 60% 40% 3.98% 33.64% 70% 30% 4.5% 8.79% 80% 0% 7.0% 3.95% 90% 0% 0.78% 9.0% 00% 0% 5.5% 4.5% Eαν αναπαρατήουμε γραφικά τη χέη μεταξύ της απόδοης και του κινδύνου (τυπική απόκλιη των αποδόεων) των παραπάνω χαρτοφυλακίων εξάγουμε το παρακάτω γράφημα Τα χαρτοφυλάκια που δημιουργήθηκαν είναι δυνατόν να διαχωριτούν ε αποτελεματικά και μη αποτελεματικά χαρτοφυλάκια. Αποτελεματικό είναι ένα χαρτοφυλάκιο που 6

Για το ίδιο επίπεδο κινδύνου αποδίδει μεγαλύτερη απόδοη από οποιοδήποτε άλλο χαρτοφυλάκιο Για το ίδιο επίπεδο απόδοης έχει το μικρότερο κίνδυνο ε χέη με οποιοδήποτε άλλο χαρτοφυλάκιο Το άνω τμήμα της καμπύλης που αποτελείται από τα αποτελεματικά χαρτοφυλάκια ονομάζεται αποτελεματικό ύνορο. Αναμενόμενη απόδοη, E(r ),700 Απόδοη και κίνδυνος χαρτοφυλακίου- Αποτελεματικό Σύνορο,600,500,400,300,00,00 Το χαρτοφυλάκιο ελάχιτης διακύμανης Tα χαρτοφυλακία το πάνω μέρος είναι αποτελεματικά - εμφανίζουν μια θετική χέη μεταξύ κινδύνου και απόδοης. Το τμήμα της καμπύλης με τα αποτελεματικά χαρτοφυλάκια είναι το αποτελεματικό ύνορο,000,000,050,00,50,00,50,300,350,400 Τυπική απόκλιη αποδόων χαρτουφυλακίου, Το χαρτοφυλάκιο ελάχιτης διακύμανης υπολογίζεται εάν ελαχιτοποιήουμε τη υνάρτηη της διακύμανης ως προς το ποοτό τάθμιης της μίας μετοχής Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι = w + w + w w MSFT MSFT MSFT, MSFT και ότι w + w = w = w MSFT MSFT Εάν αντικατατήουμε τη υνάρτηη της διακύμανης έχουμε = w + ( w ) + w *( w ) * MSFT, MSFT Μια υνάρτηη έχει ελάχιτο όταν ιχύουν οι παρακάτω υνθήκες 7

d Συνθήκη ά τάξης : dw = 0 Συνθήκη B τάξης d > 0 dw Ειδικότερα εάν υπολογίουμε τις παραγώγους έχουμε d dw = + w ( w ) MSFT ( 4 w ), MSFT d 4 MSFT, MSFT dw = + >0 Καθώς ύμφωνα με τα ευρήματα μας, MSFT <0 Θέτοντας την πρώτη παράγωγο ίη με το μηδέν και λύνοντας ως προς το ποοτό επένδυης της έχουμε w ( w ) MSFT ( 4 w ), MSFT MSFT, MSFT w = + MSFT, MSFT + = 0 Εάν αντικατατήουμε έχουμε ότι το χαρτοφυλάκιο ελάχιτης διακύμανης πρέπει να επενδύουμε τη w 0,443 ( 0, 055) = = = 0, 684 = 6,84% + 0, 0638 + 0,443 *( 0, 055) MSFT, MSFT MSFT, MSFT Και το ποοτό που πρέπει να επενδύουμε τη MSFT είναι w = w w = 0, 684 = 0,386 = 38,6% MSFT MSFT Στην περίπτωη αυτή η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου θα ήταν = w = w * + w * i i MSFT MSFT i = 0,684*0,45 + 0,386*0,67 = 0,374 = 3,74% 8

η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου θα ήταν = w + w + w w MSFT MSFT MSFT, MSFT = 0, 684 *0, 0638 + 0,386 *0,443+ *0, 684*0,386*( 0, 055) = 0, 093 Η τυπική απόκλιη ( κίνδυνος) του χαρτοφυλακίου ελάχιτης διακύμανης είναι = = 0,093 = 0,39 = 3,9%.3 Συντελετής υχέτιης, διαφοροποίηη και κίνδυνος χαρτοφυλακίου Στο προηγούμενο αριθμητικό παράδειγμα με τα προηγούμενα δεδομένα ο υντελετής υχέτιης ήταν αρνητικός ρ, ΜSFT 0,055 * 0,55*0,3799, MSFT = = = MSFT 0,57 Σε αυτή την ενότητα θα εξετάουμε κατά πόο ο υντελετής υχέτιης μεταξύ των αποδόεων των αξιογράφων έχει ημαία για τη μείωη του κινδύνου όλου του χαρτοφυλακίου Η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου δίνεται ως = w + w + w w MSFT MSFT MSFT, MSFT Εάν αντικατατήουμε τη υνδιακύμανη, MSFT ρ, Μ =, = ρ, Μ * * * SFT MSFT SFT MSFT MSFT Καταλήγουμε ότι η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT ιακρίνουμε τις παρακάτω τρεις περιπτώεις Έτω οι μετοχές έχουν θετική υχέτιη (ρ,msft =0,5) Στην περίπτωη αυτή όπως βλέπουμε το αποτελεματικό ύνορο έχει μετατοπιτεί προς τα δεξιά καθώς για όλα τα υπο εξέταη χαρτοφυλάκια έχει αυξηθεί ο κίνδυνος για δεδομένη απόδοη. 9

Έτω οι μετοχές έχουν τέλεια θετική υχέτιη (ρ,msft =) Στην περίπτωη αυτή όπως βλέπουμε το αποτελεματικό ύνορο είναι ευθεία γραμμή και όλα τα υπό εξέταη χαρτοφυλάκια έχουν το μέγιτο κίνδυνο για δεδομένη απόδοη.. Όπως θα δούμε η διαφοροποίηη δεν μειώνει τον κίνδυνο. Ο κίνδυνος του επενδυτή είναι ο ίδιος με αυτόν που θα είχε εάν επένδυε τις μετοχές ξεχωριτά. Γνωρίζουμε ότι = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT Για ρ,msft = καταλήγουμε = w + w + w w * * MSFT MSFT MSFT MSFT = ( w + w ) MSFT MSFT = w + w MSFT MSFT ηλαδή ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου είναι ο ταθμικός μέος των επι μέρους κινδύνων των μετοχών. εν υπάρχει κέρδος από την διαφοροποίηη 0

Έτω οι μετοχές έχουν τέλεια αρνητική υχέτιη (ρ,msft = -) Στην περίπτωη αυτή μπορούμε να χηματίουμε ένα χαρτοφυλάκιο που θα προομοιώνει μια επένδυη μηδενικού κινδύνου. Αυτό θα είναι το χαρτοφυλάκιο μηδενικού κινδύνου. Το χαρτοφυλάκιο μηδενικού κινδύνου τη περίπτωη αυτή θα βρεθεί εάν ελαχιτοποιήουμε τη υνάρτηη διακύμανης με δεδομένα ότι ρ = και w + w = w = w, MSFT MSFT MSFT Γνωρίζουμε ότι = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT Για ρ,msft =- καταλήγουμε = w + w w w * * MSFT MSFT MSFT MSFT = w + ( w ) w ( w ) * * MSFT MSFT Εάν ελαχιτοποιήουμε τη υνάρτηη διακύμανης καταλήγουμε ε w MSFT 0,67 = = = 0,60066 = 60,066% + 0,67 + 0,45 ΜSFT

Αντίτοιχα το ποοτό επένδυης τη MSFT για το οποίο έχουμε ελάχιτο κίνδυνο είναι w MSFT = w = 0, 60066 = 0,39934 = 39,934% Στην περίπτωη αυτή η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου θα ήταν = w = w * + w * i i MSFT MSFT i = 0,60066*0,45 + 0,39934*0,67 = 0,336 = 33,6% η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου θα ήταν = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT = 0, 60066 *0, 0638 + 0,39934 *0,443+ *0, 60066*0,39934*0, 55*0,3799*( ) = 0 Η τυπική απόκλιη ( κίνδυνος) του χαρτοφυλακίου ελάχιτης διακύμανης είναι = = 0 = 0 Επομένως όταν έχουμε τέλεια αρνητική υχέτιη μεταξύ των μετοχών. Η διαφοροποίηη μειώνει τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου. Είναι δυνατό να δημιουργήουμε ένα χαρτοφυλάκιο με μηδενικό κίνδυνο

Συμπεράματα Όταν έχουμε αρνητική υχέτιη των αποδόεων μετοχών (-<ρ<0) τότε η διαφοροποίηη της επένδυης μας ε ένα χαρτοφυλάκιο με τις αυτές μετοχές μειώνει τον κίνδυνο μας ε χέη με την μεμονωμένη επένδυη τις μετοχές Όταν έχουμε τέλεια αρνητική υχέτιη (ρ=-) μεταξύ των αυτών μετοχών τότε μπορούμε να πετύχουμε απόδοη με μηδενικό κίνδυνο, δηλαδή με τη διαφοροποίηη μειώνουμε τον κίνδυνο τον ελάχιτο βαθμό. Όταν έχουμε τέλεια θετική υχέτιη μεταξύ των αποδόεων των μετοχών (ρ=) τότε η διαφοροποίηη της επένδυης μας δεν μειώνει τον κίνδυνο.4 Απόδοη και κίνδυνος χαρτοφυλακίου με ακίνδυνο αξιόγραφο Έτω ότι κατακευάζουμε ένα χαρτοφυλάκιο με μία μετοχή Α και ένα αξιόγραφο μηδενικού κινδύνου F, όπως πχ ένα έντοκο γραμμάτιο του δημοίου Η αναμενόμενη απόδοη του χαρτοφυλακίου θα είναι Ε ( ) = we( ) = w * E( ) + w * i i Α Α f f Όπου E ( Α ) = αναμενόμενη απόδοη της μετοχής Α f = απόδοη μηδενικού κινδύνου ( δεν βάζουμε το ύμβολο της αναμενόμενης τιμής Ε γιατί η απόδοη είναι ίγουρη και όχι αναμενόμενη!) Η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου θα είναι = waa+ wff + wawfa, F Mε δεδομένο ότι το αξιόγραφο μηδενικού κινδύνου δεν έχει κίνδυνο θα έχουμε ότι F = 0 και, A F, = ρα, * Α* A F F F Επομένως η διακύμανη καταλήγει ε w = AA = wa Α =0 καθώς η υνδιακύμανη αναλύεται ε ηλαδή ο κίνδυνος του νέου χαρτοφυλακίου θα είναι ίος με το τι ποοτό επενδύαμε το επικίνδυνο αξιόγραφο επί τον κίνδυνο του επικίνδυνου αξιογράφου. 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΑ. Έτω τα παρακάτω δεδομένα για τις αναμενόμενες αποδόεις και κινδύνους των μετοχών Α και Β, του Γενικού είκτη και ενός κρατικού ομολόγου μηδενικού κινδύνου με απόδοη 5% ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΟΣΗ ΚΑΙ ΚΙΝ ΥΝΟΣ Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης Αναμενόμενη,5%,4% 4,6% Απόδοη Κίνδυνος 5,% 6,8% 6,8% ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ - ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ Συνδιακύμανη Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης Μετοχή Α 0,03-0,000 0,0035 Μετοχή Β -0,000 0,0046-0,0044 Γενικός είκτης 0,0035-0,0044 0,0046 Να βρεθεί η αναμενόμενη απόδοη και κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από α) 50% από τη μετοχή Α και 50% από τη μετοχή Β β) 50% από τη μετοχή Α και 50% από το κρατικό ομόλογο γ) 30% από τη μετοχή Α, 30 % από τη μετοχή Β και 40% από το κρατικό ομόλογο δ) 50% από τη μετοχή Α και 50% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη ε) 50% από τη μετοχή Β και 50% και 50% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη τ) 30% από τη μετοχή Α, 30 % από τη μετοχή Β και 0% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη και 0% από ένα κρατικό ομόλογο. Έτω ότι γνωρίζετε τα ακόλουθα τοιχεία για τις μετοχές των εταιριών Α και Β Μετοχή Α Μετοχή Β Αναμενόμενη απόδοη 5% 48% ιακύμανη αποδόεων 0,08 0,6 Συντελετής υχέτιης 0,03094 αποδόεων 4

α) Να βρείτε την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου όπου η μετοχή Α υμμετέχει κατά 90% και κατά το υπόλοιπο 0% η μετοχή Β β) Προτείνετε ένα υγκεκριμένο χαρτοφυλάκιο όπου βελτιώνεται η απόδοη ε χέη με το ερώτημα α) αλλά διατηρείται το ίδιο επίπεδο κινδύνου γ) Υπολογίτε τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου ελαχίτου κινδύνου. 3. Έτω ότι έχετε τα παρακάτω δεδομένα για τις μετοχές «ΑΒΓ» και «ΕΖ» Αναμενόμενη Απόδοη (%) Τυπική απόκλιη απόδοης (%) Μετοχή «ΑΒΓ» 5 33 Μετοχή «ΕΖ» 5 46 Συνδιακύμανη αποδόεων 0,0865 Α) Υπολογίτε την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται κατά 5% από τη μετοχή «ΑΒΓ» και κατά 75% από τη μετοχή «ΕΖ» Β) Υπολογίτε τις αποδόεις των χαρτοφυλακίων για υνδυαμούς των μετοχών με τους υντελετές τάθμιης να αυξάνονται με βήμα 0% ( από 0%,0%, 00%). Παρατήτε γραφικά αυτούς τους υνδυαμούς Γ) Βρείτε το χαρτοφυλάκιο ελάχιτης διακύμανης 4. ίνονται τα παρακάτω ιτορικά δεδομένα για 3 μετοχές Μετοχή Μετοχή Μετοχή 3 Χρόνος (ε μήνες) Τιμή Μέριμα Τιμή Μέριμα Τιμή Μέριμα 57.75 333 06.75 59.875 368 08.5 3 55.375 0.75 368.5.35 4 0.4 4 55.5 38.5.5 5 56.5 386 35.5 6 59 0.75 397.75.35 4.75 0.4 7 60.5 39 65.75 α) Να υπολογίετε την μηνιαία πραγματοποιηθεία απόδοη για κάθε μετοχή β) Να υπολογίετε την μέη απόδοη κάθε μετοχής, τον κίνδυνο και τον υντελετή μεταβλητότητας γ) Να υπολογίετε τον υντελετή υχέτιης μεταξύ και των τριών μετοχών 5

δ) Να βρείτε την μέη απόδοη, τον κίνδυνο των αποδόεων και των υντελετή μεταβλητότητας των αποδόεων που είχαν τα παρακάτω χαρτοφυλάκια Συμμετοχή το χαρτοφυλάκιο ΧΑΡTOΦΥΛΑΚΙΟ Μετοχή Μετοχή Μετοχή 3 Α 30% 40% 30% Β 40% 60% - Γ 45% - 55% 6