ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα φαίνονται στο διπλανό πίνακα Να βρείτε την τιµή του α Να βρείτε την µέση τιµή του αριθµού των βιβλίων i Να βρείτε την διάµεσο του αριθµού των βιβλίων iν) Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές ν) Να βρείτε την πιθανότητα ένας µαθητής να έχει διαβάσει το πολύ ένα βιβλίο α + + 5α + 8 + α + α + α 50 α Ο δοσµένος πίνακας γίνεται κ ixi 77 ν i Αριθµός βιβλίων Αριθµός βιβλίων x ν 50,5 i η η 5 παρ+ 6 παρ δ + iν) κ ixi S κ ν i ix 77 ν i (85 ),, ν i ν 50 50 Άρα S,,5 και CV,5 0,75 75% > 0% όχι οµοιογενές,5 7+ ν) 50 5 x i x i Αριθµός µαθητών ν i 0 α + 5α + 8 α α α Σύνολο 50 Αριθµός µαθητών ν i ν i x i ν i x i 0 7 0 0 8 6 8 6 96 Σύνολο 50 77 85

. Ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα πάνω σ έναν άξονα και η θέση του σε µέτρα συναρτήσει του χρόνου t σε sec δίνεται από την συνάρτηση S(t) t +α t +β t όπου α, β πραγµατικές σταθερές. Αν την χρονική στιγµή t sec το σώµα απείχε από την αρχή του άξονα 6 m και η στιγµιαία ταχύτητά του ήταν 8 m/sec, να βρείτε Τις τιµές των α και β Για τις παραπάνω τιµές των α και β να βρείτε πότε το σώµα είναι στιγµιαία ακίνητο. i Ποια χρονική στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας είναι ίσος µε m/sec ; Έχουµε ότι S (t) t + αt + β υ(t) t + αt + β Ισχύουν S() 6 και υ() 8 α + β και + α + β 8 β α και 8 + 6α + β 8 β α και 6α α 0 β α και 6α α 0 β α και α 6 β α και α β ( ) και α β και α υ(t) t t +, υ(t) 0 t t + 0 t sec i υ (t) t t sec

. x ίνεται η συνάρτηση f (x) ln x +λ 6λ+, x > 0 και λ R. Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα µονοτονίας της f Να µελετήσετε την συνάρτηση ως προς τα ακρότατα i Θεωρούµε ότι οι τιµές f(), f(), f(8), f(), f(5) είναι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ α) Aν R είναι το εύρος και δ η διάµεσος των παρατηρήσεων, να δείξετε ότι R + ln και δ ln + λ 6λ β) Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω {,,,,00}, οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόµενα. Αν το λ παίρνει τιµές στο δειγµατικό χώρο Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α {λ Ω/ R + δ < } f (x) x f (x) 0 x 0 x Πρόσηµο της f και η µονοτονία της f : x 0 + f + 0 f Βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει µέγιστο για x, το f() ln+λ 6λ + i Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ), οι δοσµένες τιµές σε αύξουσα σειρά είναι f(8), f(5), f(), f(), f(), τότε α) R f() f(8) ln + λ 6λ + ln8 + λ + 6λ ln ln8 + + ln + ln και δ f() ln + λ 6λ 8 β) R + δ < + Άρα Α {,, }, οπότε Ρ(Α) ln + ln + λ 6λ < + ln ln + ln + λ 6λ + < 0 λ 6λ + 5 < 0 λ (, 5) 00

. Σ ένα δείγµα 50 ατόµων µιας πόλης, οι ηλικίες τους έχουν οµαδοποιηθεί στις κλάσεις [0, 0), [0, 0), [0, 60), [60, 80), [80, 00). Οι γωνίες των κυκλικών τοµέων στο κυκλικό διάγραµµα είναι ίσες µε 86, ο, 5, ο, 08 ο, 6 ο,, ο αντίστοιχα Να κατασκευάσετε πίνακα της κατανοµής µε στήλες ν i, f i, fi%, F i %, ν i x i, ν i x i Να υπολογίσετε την µέση ηλικία των ατόµων του δείγµατος και να δείξετε ότι η διακύµανση είναι ίση µε 6,. i Να φτιάξετε το ιστόγραµµα των συχνοτήτων και των σχετικών αθροιστικών % συχνοτήτων και να υπολογίσετε την διάµεσο της κατανοµής. iν) Αν ο πληθυσµός της πόλης είναι 50000, να υπολογίσετε, µε βάση το παραπάνω δείγµα, τον αριθµό των κατοίκων που είναι µικρότεροι των είκοσι ετών, καθώς επίσης και τον αριθµό των κατοίκων που είναι µεγαλύτεροι των 0 και µικρότεροι των 0 ετών. ν) Αν επιλέξουµε έναν κάτοικο στην τύχη, ποια είναι η πιθανότητα να είναι µεγαλύτερος των 50 ετών ; α 60 ο f 86, 60 o f f 0, ν Οπότε f ν ν 0, 50 Οµοίως f 0, ν 6 f 0,0 ν 5 f 0,0 ν 5 f 5 0,0 ν 5 ν Κλάσεις Κεντ.τιµή Συχν. Σχ. σχ Σχ.σχ % Αθ. σχ συχ ν i x i ν i x i xi νi fi fi% Fi% [0, 0) 0 0, 0 00 [0, 0) 0 6 0, 56 80 00 [0, 60) 50 5 0,0 0 86 750 7500 [60, 80) 70 5 0,0 0 96 50 500 [80, 00) 90 0,0 00 80 600 Σύνολο 50 00 880 9800 κ ixi 880 ν i 50 x ν 7,6 έτη

5 S i ν κ ν x κ i i i ix ν i i ν 50 9800 880 50 6, Ιστόγραµµα συχνοτήτων Ιστόγραµµα και πολύγωνο Fi % Συχν. ν ι 6 0 8 6 F i% 00 80 60 50 0 0 0 0 0 60 80 00 Ηλικία x i 0 0 0 60 80 00 Ηλικία x i Η τιµή που αντιστοιχεί στο 50% και ισούται µε την διάµεσο είναι δ 5 έτη. iν) Μικρότερο των 0 ετών είναι το % του δείγµατος. Αν το µέγεθος είναι 50000, τότε κάτω των 0 ετών είναι : 50000 000 κάτοικοι 00 Μεγαλύτερο από 0 και µικρότερο από 0 ετών είναι το µισό του %, δηλαδή το 6%. Αυτό αντιστοιχεί σε 50000 6 8000 κατοίκους 00 ν) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε : 0 + 0 + 9%

6 5. ίνετε η συνάρτηση f(x) x 5 x + x + 0 Οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) δύο ενδεχοµένων Α και Β είναι ίσες µε τις τιµές του x στις οποίες η f έχει αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο και τοπικό µέγιστο. είξτε ότι Ρ(Α) και Ρ(Β) Για τις παραπάνω τιµές των Ρ(Α) και Ρ(Β), καθώς και για Ρ(Α Β), να βρείτε τις πιθανότητες Ρ( Α Β ), Ρ( Α Β ), Ρ( Α Β ), Ρ[( Α Β) ( Β Α )], Ρ(Α Β ) f (x) 6x 5x + f (x) 0 6x 5x + 0 x, x Πρόσηµο της f και µονοτονία της f : x / / + f + 0 0 + f Από τον άξονα βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει τοπικό µέγιστο για x και τοπικό ελάχιστο για x. Οπότε Ρ(Β) και Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 6 Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) 6 Ρ( Α Β ) Ρ(Α Β) Ρ[( Α Β) ( Β Α )] Ρ(A) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) + 6

7 Ρ(Α Β ) Ρ(Α ) + Ρ(Β ) Ρ(Α Β ) Ρ(Α ) + Ρ(Β ) [Ρ(Α ) Ρ(Α Β)] Ρ(Α ) + Ρ(Β ) Ρ(Α ) + Ρ(Α Β) Ρ(Β ) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) 6 5 6

8 6. Έστω η συνάρτηση f (x) [ Ρ( Α) Ρ( Β )]x + x, x R, όπου και Α, Β ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου µε τις ιδιότητες : ) Όταν πραγµατοποιείται το Α, πραγµατοποιείται και το Β ) Ρ( Α Β ) ) Ρ( Α Β ) Να αποδείξετε ότι f(x) x + x Να εξετάσετε την συνάρτηση ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. i Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων α) Πραγµατοποιείται µόνο το Β β) εν πραγµατοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β H φράση: Όταν πραγµατοποιείται το Α πραγµατοποιείται και το Β, σηµαίνει Α Β Τότε Α Β Α, οπότε Ρ( Α Β ) Ρ(Α) και Α B B, οπότε Ρ( Α Β ) Ρ(Β) Άρα f (x) x + x f (x) x + x f (x) x + f (x) 0 x Πρόσηµο της f και µονοτονία της f : x + f + 0 f Βλέπουµε ότι η f παρουσιάζει µέγιστο για x, το f() 7 i α) Ρ(Β Α) Ρ(Β) Ρ( Α Β ) β) Ρ (A B) Ρ( Α Β )

9 7. Στο διπλανό πίνακα χάθηκαν δύο συχνότητες. 7 Αν γνωρίζεται ότι x και S, 9 Να βρείτε τις συχνότητες που χάθηκαν Να βρείτε την διάµεσο της κατανοµής i Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές Έστω ν κ και ν λ, τότε S 9 5+ + κ+ λ+ 5 x 0+κ+λ 7 8+ κ+ λ 0+κ+λ κ + 5λ 6 () 7 7 7 7 7 5 5 + +κ +λ + 9 0+κ+λ 0κ λ 8 () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε κ και λ Ο δοσµένος πίνακας γίνεται δ 8 η παρατήρηση i S 9 CV 0,5 5% > 0%, x 7 7 το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. x i ν i 5. 5 x i ν i 5 5 Σύνολο 5

0 8. Έστω οι συναρτήσεις α +β + f (x), αν x x x, αν x, αx β, αν x [0, ) (, + ) g(x) x+, αν x Να βρείτε τα α και β ώστε η f να είναι συνεχής στο x και η g να είναι συνεχής στο x. Για τις τιµές των α και β που βρήκατε να υπολογίσετε το όριο f (x) g(x)(x+ ) + 7 lim x x i Aν Α, Β είναι όχι αδύνατα ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω,, µε Α Β Ω, Α Β, Ρ(Α Β) Ρ( Α Β ) και οι πιθανότητες Ρ(Α Β), Ρ(Ω), Ρ( Α Β ), Ρ( ) είναι στοιχεία του συνόλου { f ( ), g ( ), f ( ), g ( ), g( ) } 5 α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α Β), Ρ(Ω), Ρ( Α Β ), Ρ( ) β) Να βρείτε τη διάµεσο και τη µέση τιµή αυτών Πρέπει Τότε lim f (x) f () x lim g(x) g() x 6x x+ αν x f (x), αν x α+β+ α β α 6 και β 6x+ αν x [0, ) (, + ) g(x) x+ αν x f (x) g(x)(x+ ) + 7 lim x x 6x+ + + + lim x+ x x 6x x+ 6x + 7 lim x x 6x x (x ) 7 + 6x 0x lim x x (x )(6x ) lim x (x )(x + ) 6x lim x x +

i α) Είναι f ( ) ( ) 6 Αφού g( ) 0 >, το 0 6 + + + 8 ( ), f 0, g( ), g() 0 5 δεν είναι κάποια πιθανότητα. Γνωρίζουµε ότι Ρ( ) 0 και Ρ(Ω) Επειδή Α Β Α Β, θα είναι Ρ( Α Β) Ρ(Α Β) β) Η διάµεσος είναι : δ και η µέση τιµή είναι : + 8 άρα Ρ( Α Β ) 8 και Ρ(Α Β) 7 6 0+ + + x 8 5

9. Σε µία επιχείρηση εργάζονται άνδρες και γυναίκες. Ο µέσος µισθός όλων των υπαλλήλων είναι 800 ευρώ. Ο µέσος µισθός των ανδρών είναι 000 ευρώ και των γυναικών 500 ευρώ.να βρείτε : Ποιο ποσοστό των υπαλλήλων της επιχείρησης είναι άνδρες και ποιο ποσοστό γυναίκες. Αν οι υπάλληλοι της επιχείρησης είναι 500 να βρείτε πόσοι είναι οι άνδρες και πόσες οι γυναίκες. i Επιλέγοντας έναν υπάλληλο στην τύχη να βρείτε την πιθανότητα να είναι γυναίκα Έστω κ το πλήθος των ανδρών και λ το πλήθος των γυναικών. Τότε το σύνολο των υπαλλήλων είναι κ + λ α +α +... +ακ Αν α, α,, α κ οι µισθοί των ανδρών, τότε 000 κ α + α + + α κ 000κ () γ +γ +... +γλ γ, γ,, γ λ οι µισθοί των γυναικών, τότε 500 λ γ + γ + + γ λ 500λ () Αλλά 800 800 ( α +α +... +α ) + ( γ +γ +... +γ ) κ 000 κ+ 500 λ κ+λ 0 5 8 κ + λ κ+λ κ+λ κ+λ () λ ( ),( ) Αν α % είναι το ποσοστό των ανδρών υπαλλήλων και γ % το ποσοστό των γυναικών, τότε κ α κ+λ 00 και λ γ κ+λ 00 α γ Οπότε η () γίνεται 8 0 + 5 00 00 α γ 8 + 0 0 α + γ 60 () Ακόµα είναι α + γ 00 (5) Λύνοντας το σύστηµα των (), (5) βρίσκουµε α 60 και γ 0 Συνεπώς το 60% είναι άνδρες και το 0% γυναίκες

Αν οι υπάλληλοι είναι 500, τότε οι άνδρες είναι : 60 500 00 00 i 0 % και οι γυναίκες προφανώς 00 0. Έστω η συνάρτηση f(x) ln[(x + ) ] + αx + β Να βρείτε το πεδίο ορισµού αυτής Να βρείτε την f (x) i Να βρείτε τις τιµές των α και β, ώστε η ευθεία y x + 5 να είναι εφαπτοµένη στην γραφική παράσταση της f στο σηµείο Α(0, f(0)). iν) Να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης, όταν το x και α Πρέπει : f (x) (x + ) i (x +) > 0 πράγµα που ισχύει πάντα, άρα Α R ( x ) + + α ( x + ) ( x + ) + α (x + ) x + x + α x x + + α Πρέπει να ισχύουν f (0) και f(0) 5 iν) f ( ) ( ) ( ) 0 + + α και ln[(0 + ) ] + α 0 + β 5 0 α και β 5 + + α + + 9