.. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός λ 0 λ λ
. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y για τους οποίους ισχύει : () (x y) x x 6 ( γ) 9 7 () y x ) () (x y) () και x y () () () προκύπτει x x () () προκύπτει y 4 y x x 6 ( x ) x x 6 () και x (4) (4) x 4 x ή x Για x, η () γίνεται 6 8 άτοπο Για x, η () γίνεται ( ) 6 4 που ισχύει Άρα η ζητούµενη τιµή του x είναι. γ) 9 7 () y 9 και 7 y 9 x 54 και 7 y x 45 και 7 y x 5 και 7 y
. Στο µιγαδικό επίπεδο να σηµειώσετε τις εικόνες και τις διανυσµατικές ακτίνες των µιγαδικών αριθµών :,,,, 4, 4, 5, 0. y 4 4 0 5 x - - -4-4 4. Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, που ικανοποιούν τις σχέσεις : Το πραγµατικό µέρος του z είναι ίσο µε µηδέν. Το φανταστικό µέρος του z είναι ίσο µε µηδέν. γ) Το πραγµατικό µέρος του z είναι ίσο µε το φανταστικό του µέρος. Είναι τα σηµεία του άξονα y y Είναι τα σηµεία του άξονα x x γ) Είναι τα σηµεία της διχοτόµου ης ης γωνίας των αξόνων.
4 5. Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εκτελέσετε τις πράξεις που σηµειώνονται και να γράψετε το αποτέλεσµα στη µορφή α β. ( 4 6) (7 ) ( ) (6 4) γ) ( 4) ( 8 7) (5 ) δ) ( )(4 5) ε) (6 ) στ) (4 ) (4 ) ζ) ( )( ) ( 4 6) (7 ) 4 6 7 4 ( ) (6 4) 6 4 6 γ) ( 4) ( 8 7) (5 ) 4 8 7 5 0 0 δ) ( )(4 5) 5 8 0 ε) (6 ) 8 8 στ) (4 ) (4 ) 6 9 5 0 ζ) ( )( ) ( )( ) 6 7
5 6. Να γράψετε τους παρακάτω µιγαδικούς στη µορφή α β.. 6 γ) δ) ( ) ε) ( ) ( )( ) 6 4 ( ) 0 γ) 0 δ) ( ) στ) 6 ε) ( )( ) ( )( ) 6 4 5 5 5 στ) 6 (6 )( ) ( )( ) 6 6 4 7 4 7
6 7. Να βρείτε τους x, y R, για τους οποίους ισχύει : ( ) () x y ( ) x y γ) ( )(x y) (x y) ( ) () x y 9 4 x y x y 5 x x 5 x x και 0 αδύνατο. Είναι ( )( ) ( )( ) Η δοσµένη ισότητα γίνεται. x y x y x y ( )( ) 4 5 5 I x 5 και y 5 γ) ( )(x y) (x y) ( )(x y) (x y) (x y) ( ) (x y) ( ) ( ) x y x και y 0 x και y 0
7 8. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις 6 6 6 6 46 56 4 75 0 Είναι 6 4 6 άρα 6 4 4 0 άρα 6 4 6 άρα 6 4 9 0 άρα 46 4 άρα 56 4 4 0 άρα 6 6 6 46 56 0 0 0 Εποµένως 6 6 6 6 46 56 0 Είναι 4 άρα 4 4 0 άρα 75 4 8 άρα 4 75 Άρα 0 4 55 άρα 4 75 0 0. 9. Ποιος είναι ο z, όταν : z 5 7 z 4 9 γ) z 4 δ) z ε) z στ) z 0 z 5 7 z 4 9 γ) z 4 δ) z ε) z στ) z 0
8 0. Με ποιες συµµετρίες µπορούν να προκύψουν από την εικόνα του µιγαδικού z οι εικόνες των µιγαδικών z, z και z. Η εικόνα του z είναι συµµετρική της εικόνας του z ως προς τον άξονα x x. Η εικόνα του z είναι συµµετρική της εικόνας του z ως προς την αρχή Ο. Η εικόνα του z είναι συµµετρική της εικόνας του z ως προς τον άξονα y y.. Αν z 5 9 7 4 αριθµός, ενώ ο z και z 5 9 7 4 z φανταστικός αριθµός. Παρατηρούµε ότι z z, άρα, να δείξετε ότι ο z z είναι πραγµατικός z z z z Re( z ) που είναι πραγµατικός και z z z z Im( z ) που είναι φανταστικός.
9. Να περιγράψετε γεωµετρικά το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z, που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις : z z 6 z z γ) z z δ) z z Έστω z z z 6 y 6 y Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z είναι τα σηµεία της ευθείας που έχει εξίσωση y. z z ( ) (x y ) x xy y x xy y 4xy 0 xy 0 x 0 ή y 0. Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z είναι τα σηµεία των δύο αξόνων x x και y y. γ) z z (x y ) ( ) x xy y ( x xy x xy y x xy y x y x x y ή x y Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z είναι τα σηµεία των δύο διχοτόµων των τεσσάρων τεταρτηµορίων. δ) z z x y () x y x y x x. Άρα οι εικόνες των µιγαδικών z είναι τα σηµεία της ευθείας που έχει εξίσωση x. y y )
0. Να λύσετε στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών τις εξισώσεις : x x 0 x x 0 γ) x x 9 8, x ± ± ή 4 8, x ± 8 ± ± γ) Περιορισµός : x 0 x x x x x x 0 4, x ± 4. Αν µια ρίζα της εξίσωσης x βx γ 0, όπου β, γ R, είναι, να βρείτε τις τιµές των β και γ. ρίζα της εξίσωσης ( ) β( ) γ 0 (9 4) β β γ 0 0 4 β β γ 0 (0 β γ) (4 I 0 0 β γ 0 και 4 β 0 0 β γ 0 και β 0 γ 0 και β γ 6 και β
Β ΟΜΑ ΑΣ. Αν α, β, γ και δ είναι πραγµατικοί αριθµοί, να εξετάσετε πότε το πηλίκο είναι πραγµατικός αριθµός. αβ ( α( γ δ) Είναι γδ ( γδ)( γ δ) Άρα, ( αγβδ) γ δ αβ γδ R βγ αδ γ δ ( αγβδ ) ( βγ αδ) γ δ ( βγ αδ) γ δ 0 βγ αδ 0 αβ γδ. Αν z, να βρείτε την τιµή της παράστασης z z z 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) z z z z. Να βρείτε την τιµή της παράστασης ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 Άρα ( ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0
4. Πόσες διαφορετικές τιµές µπορεί να πάρει η παράσταση ν ν ; Είναι ν 4κ υ µε υ 0,,, Όταν υ 0, δηλαδή ν 4κ, τότε ν 0. Οπότε ν ν Όταν υ, δηλαδή ν 4κ, τότε ν. Οπότε ν ν 0 Όταν υ, δηλαδή ν 4κ, τότε ν. Οπότε ν ν Όταν υ, δηλαδή ν 4κ, τότε ν. Οπότε ν ν 0. Εποµένως, η παράσταση µπορεί να πάρει τρεις διαφορετικές τιµές 5. Να λύσετε την εξίσωση z Έστω z. z z x y ( ) x y (x x x x x x x x z x xy y y ) (y xy) 0 y 0 και y xy 0 y 0 και y( x) 0 y 0 () και (y 0 ή x 0) Για y 0, η () γίνεται x x 0 x( x) 0 x 0 ή x Εποµένως z 0 0 0 ή z 0 Για x 0 δηλαδή x δηλαδή x, η () γίνεται 4 y 0 Εποµένως z ± y 4 y ±
5. Να λύσετε την εξίσωση z Έστω z. z z x y ( ) x y x y z x x y x(y ) (y ) x x y x y (x x x y ) ( y x y y y ) 0 x x x y 0 και y x y x( x y ) 0 και y( y y 0 x ) 0 (x 0 ή x y 0) και (y 0 ή y x 0) Όταν x 0 και y 0, τότε z 0 0 0 Όταν x 0 και x 0 x 0 Εποµένως και και y x 0 y 0 y x 0 και y ± z 0 ± ± Όταν x y 0 και y 0 x 0 και y 0 x και y 0 x ± και y 0 Εποµένως z ± 0 ± Όταν x y 0 x y 0 και και x ( x ) 0 x 9 x 0 y x 0 y x και και y x y x 8 x 4 0 αδύνατη διότι x R
4 6. Έστω ο µιγαδικός z µε z 0. Να δείξετε ότι ο και ότι. Έστω z z z x y x y x y (x y) (x y) (x y)(x y) z z x xy y x xy y x x y y (x y ) R. (x y ) x y x y x y x x y x y και y x είναι πραγµατικός y x 0 x και 0 y που ισχύουν y 7. Να αποδείξετε ότι (α β ) 0 (β α ) 0 0, όπου α, β R (α β ) α αβ (β α ) β βα β () α () Από τις (), () (α β ) (β α ) [(α β ) 5 ] [(β α ) (α β ) 0 (β α ) 0 (α β ) 0 (β α ) 0 0 5 ]
5 8. Για ένα µιγαδικό z να αποδείξετε ότι : Ο z είναι πραγµατικός, αν και µόνο αν z z Ο z είναι φανταστικός, αν και µόνο αν z z Αν z z z z u Έστω z z z και z z και z. z, να αποδείξετε ότι ο αριθµός z z είναι πραγµατικός, ενώ ο αριθµός v x y y 0 y 0 z x πραγµατικός z z (x y) x 0 x 0 z y φανταστικός z z u z z z z z z v z z z z z z ( u z z v ( u πραγµατικός. v φανταστικός. είναι φανταστικός.
6 9. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει Re ( z z ) 5 Re(z) Περιορισµός : z 0 Έστω z, τότε z x y z z x y Re ( z ) Άρα Re ( z ) x x z 5 Re(z) x x 5x z x 4x x 4x 0 x ( 4) 0 x 0 ή 4 0 x 0 ή 4 x 0 ή x y 4 x 0 ή x Άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι ο άξονας y y εκτός της αρχής Ο, µαζί µε τον κύκλο που έχει κέντρο το Ο και ακτίνα. y ( )
7 9. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει Im ( z z ) Im(z) Περιορισµός : z 0 Έστω z, τότε z x y z z x y Άρα Im ( z z ) y y Im ( z z ) y Im(z) y y y 4y 0 y (4 ) 0 y 0 ή 4 0 y 0 ή 4 y 0 ή x y 4 y 0 ή x Άρα ο γεωµετρικός τόπος είναι ο άξονας x x εκτός της αρχής Ο, µαζί µε τον κύκλο που έχει κέντρο το Ο και ακτίνα. y ( )