ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAT Νικόλαος ηµητρίου ρ.ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΕΙΤΕ ΤΟΥ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ... 5. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΊΑ... 5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ... 6.. ΘΕΜΑ ΓΕ56... 6 ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑ.... ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ.... ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ..... ΘΕΜΑ 6 ΓΕ 78..... ΘΕΜΑ ΓΕ4... 6.. Θέµα ΓΕ45... 8..4 ΘΕΜΑ 6 ΓΕ67... 9 ΕΝΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΕ ΙΩΝ ΧΡΟΝΟΥ & ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ..... ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ..... Ενδεικτικά µη εριοδικά σήµατα:.... ΠΙΝΑΚΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ OURIER... 6 Πίνακας Ιδιοτήτων / ΜΣ ourier Χαρακτηριστικών Σηµάτων... 7. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ..... ΘΕΜΑ 4 ΓΕ4..... Θέµα ΓΕ 45..... Θέµα 5 ΓΕ45... 5..4 ΘΕΜΑ 4 ΓΕ 56... 7..5 ΘΕΜΑ 5 ΓΕ56... 9..6 ΘΕΜΑ ΓΕ67... 4..7 ΘΕΜΑ ΓΕ 67... 4..8 ΘΕΜΑ ΓΕ67... 44..9 ΘΕΜΑ 4 Γε67... 46.. ΘΕΜΑ 6 ΓΕ5 45... 49.. ΘΕΜΑ 4 ΓΕ5 56... 5.. ΘΕΜΑ ΓΕ56... 56 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΌΣ ΙΣΧΎΟΣ Ή ΕΝΈΡΓΕΙΑΣ.... 58 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΊΑ... 58 4. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ... 59 4.. Παράδειγµα... 59 4.. ΘΕΜΑ 6 ΓΕ 56... 6 4.. Θέµα 4 ΕΞ4Α... 6 5 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΟ ΟΥ (ΑΝ ΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΞΟ ΟΥ Ή ΕΞΟ ΟΥ (ΑΝ ΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΙΣΟ ΟΥ... 6 Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 5.. Βασικές Σχέσεις για Γραµµικά Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήµατα:... 6 5.. Βαθυερατά φίλτρα... 6 5.. Υψιερατά φίλτρα... 6 5..4 Ζωνοερατά φίλτρα... 64 5..5 Ζωνοφρακτικά φίλτρα... 65 5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ... 67 5.. ΘΕΜΑ 7 ΓΕ 56... 67 5.. ΘΕΜΑ 7 ΓΕ 67... 7 5.. ΘΕΜΑ 5 ΓΕ5 56... 7 Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 αό 75 Ε ΙΣΑΓΩΓΗ ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΗΜΑΤΑ Στην κατηγορία αυτών των ασκήσεων, δίνεται η µαθηµατική έκφραση ενός ή ερισσοτέρων σηµάτων (είτε στο εδίο του χρόνου είτε στο εδίο των συχνοτήτων και µορούν να ζητούνται τα εξής: Σχεδίαση κυµατοµορφής στο εδίο του χρόνου είτε του φάσµατος στο εδίο των συχνοτήτων ιερεύνηση εριοδικότητας Μετασχηµατισµός στο εδίο του χρόνου (αν δίνεται το φάσµα του σήµατος ή των συχνοτήτων (αν δίνεται η χρονική κυµατοµορφή του σήµατος. Υολογισµός ισχύος ή ενέργειας. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στην κατηγορία αυτών των ασκήσεων δίνεται ένα σύστηµα και κάοια σήµατα στην είσοδο ή την έξοδο του συστήµατος και µορούν να ζητούνται τα εξής: Υολογισµός σηµάτων εισόδου (αν δίνεται το σήµα εξόδου ή εξόδου (αν δίνεται το σήµα εισόδου Υολογισµός της κρουστικής αόκρισης (στο εδίο του χρόνου ή της συνάρτησης µεταφοράς (στο εδίο των συχνοτήτων του συστήµατος. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 αό 75 Σ ΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΕΙΤΕ ΤΟΥ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΠΕ ΙΟ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ. Μεθοδολογία Βήµα. Εφόσον δίνεται το σήµα στο εδίο του χρόνου: ιερεύνηση εάν το σήµα είναι εριορισµένης ή άειρης διαρκείας Βήµα. Εφόσον δίνεται το σήµα στο εδίο των συχνοτήτων: ιερεύνηση εάν το σήµα είναι εριορισµένου ή άειρου εύρους ζώνης Βήµα.Ανεξαρτήτως εδίων (χρόνου ή συχνοτήτων: ιερεύνηση εάν η έκφραση του σήµατος εριέχει σηµεία ασυνεχείας. Αυτά τα σηµεία οριοθετούν υοδιαστήµατα στα οοία αντιστοιχεί διαφορετική έκφραση για το σήµα. Βήµα 4. Για κάθε υοδιάστηµα υολογισµός της αντίστοιχης έκφρασης του σήµατος. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 αό 75. Παραδείγµατα.. ΘΕΜΑ ΓΕ56 Να σχεδιασθούν τα αρακάτω σήµατα α. x(u(-u(-u(- β. y(u(-u(- γ. z(u(-u(- ΑΠΑΝΤΗΣΗ x( u -u - u - α. ( ( ( Βήµα. Εφόσον δίνεται το σήµα στο εδίο του χρόνου: ιερεύνηση εάν το σήµα είναι εριορισµένης ή άειρης διαρκείας Το σήµα εριγράφεται στο εδίο του χρόνου. Είναι γραµµικός συνδυασµός µοναδιαίων βηµατικών συναρτήσεων. Η µοναδιαία βηµατική συνάρτηση έχει τη µορφή: ( u, οταν <, οταν > και αριστάνεται γραφικά ως εξής: u(- ( u x x x x Η µοναδιαία βηµατική συνάρτηση εξ ορισµού έχει άειρη διάρκεια, όµως οι ράξεις µεταξύ ολλών βηµατικών συναρτήσεων µορεί να οδηγήσει σε σήµα εριορισµένης διάρκειας. Αυτό θα φανεί στο βήµα. Βήµα. Εφόσον δίνεται το σήµα στο εδίο των συχνοτήτων: ιερεύνηση εάν το σήµα είναι εριορισµένου ή άειρου εύρους ζώνης Η άσκηση δίνει την έκφραση του σήµατος στο εδίο του χρόνου και όχι των συχνοτήτων. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 αό 75 Βήµα.Ανεξαρτήτως εδίων (χρόνου ή συχνοτήτων: ιερεύνηση εάν η έκφραση του σήµατος εριέχει σηµεία ασυνέχειας. Αυτά τα σηµεία οριοθετούν υοδιαστήµατα στα οοία αντιστοιχεί διαφορετική έκφραση για το σήµα. Αναζητούµε τα σηµεία ασυνέχειας του x( u( - u( - u( - Κάθε όρος του αθροίσµατος εριέχει ένα σηµείο ασυνέχειας (ΠΡΟΣΟΧΗ! Για τον κάθε όρο του αθροίσµατος συµεριλαµβάνουµε το ρόσηµο και τον ολλαλασιαστικό συντελεστή του (αν υάρχει., όταν > - u (, όταν < - άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το, όταν > ( u άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το, όταν <, όταν > u (, όταν < άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το Βήµα 4. Για κάθε υοδιάστηµα υολογισµός της αντίστοιχηςέκφρασης του σήµατος. Κάτω αό έναν άξονα µε τα σηµεία ασυνέχειας καταστρώνουµε τον εξής ίνακα (η τελευταία γραµµή εριλαµβάνει το άθροισµα των ροηγουµένων ανά στήλη: -οο - οο u ( u( - - u( x( - Άρα το ζητούµενο σχήµα αεικονίζεται αρακάτω: x( - - - Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 8 αό 75 β. y( u( -u( - Βήµα. Εφόσον δίνεται το σήµα στο εδίο του χρόνου: ιερεύνηση εάν το σήµα είναι εριορισµένης ή άειρης διαρκείας Όµοια µε το Βήµα του ερωτήµατος α. Βήµα. Εφόσον δίνεται το σήµα στο εδίο των συχνοτήτων: ιερεύνηση εάν το σήµα είναι εριορισµένου ή άειρου εύρους ζώνης Όµοια µε το Βήµα του ερωτήµατος α. Βήµα.Ανεξαρτήτως εδίων (χρόνου ή συχνοτήτων: ιερεύνηση εάν η έκφραση του σήµατος εριέχει σηµεία ασυνέχειας. Αυτά τα σηµεία οριοθετούν υοδιαστήµατα στα οοία αντιστοιχεί διαφορετική έκφραση για το σήµα. Αναζητούµε τα σηµεία ασυνεχείας του y( u( -u( - Κάθε όρος του αθροίσµατος εριέχει ένα σηµείο ασυνέχειας (ΠΡΟΣΟΧΗ! Για τον κάθε όρο του αθροίσµατος συµεριλαµβάνουµε το ρόσηµο και τον ολλαλασιαστικό συντελεστή του (αν υάρχει., όταν > > u( άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το., όταν < <, όταν - > < -u( - άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το, όταν - < > Βήµα 4. Για κάθε υοδιάστηµα υολογισµός της αντίστοιχης έκφρασης του σήµατος. Κάτω αό έναν άξονα µε τα σηµεία ασυνέχειας καταστρώνουµε τον εξής ίνακα(η τελευταία γραµµή εριλαµβάνει το άθροισµα των ροηγουµένων ανά στήλη: -οο -/ οο u ( -u( - - - x( - - Άρα το ζητούµενο σχήµα αεικονίζεται αρακάτω: Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 9 αό 75 ΣΗΜΑ -/ - - γ. z( u( -u( - Βήµα. Εφόσον δίνεται το σήµα στο εδίο του χρόνου: ιερεύνηση εάν το σήµα είναι εριορισµένης ή άειρης διαρκείας Όµοια µε το Βήµα του ερωτήµατος α. Βήµα. Εφόσον δίνεται το σήµα στο εδίο των συχνοτήτων: ιερεύνηση εάν το σήµα είναι εριορισµένου ή άειρου εύρους ζώνης Όµοια µε το Βήµα του ερωτήµατος α. Βήµα.Ανεξαρτήτως εδίων (χρόνου ή συχνοτήτων: ιερεύνηση εάν η έκφραση του σήµατος εριέχει σηµεία ασυνεχείας. Αυτά τα σηµεία οριοθετούν υοδιαστήµατα στα οοία αντιστοιχεί διαφορετική έκφραση για το σήµα. Αναζητούµε τα σηµεία ασυνέχειας του z( u( -u( - Κάθε όρος του αθροίσµατος εριέχει ένα σηµείο ασυνέχειας (ΠΡΟΣΟΧΗ! Για τον κάθε όρο του αθροίσµατος συµεριλαµβάνουµε το ρόσηµο και τον ολλαλασιαστικό συντελεστή του (αν υάρχει., όταν > > u(, όταν < < άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το., όταν > > -u( άρα σηµείο ασυνέχειας είναι το, όταν < < Βήµα 4. Για κάθε υοδιάστηµα υολογισµός της αντίστοιχης έκφρασης του σήµατος. Κάτω αό έναν άξονα µε τα σηµεία ασυνέχειας καταστρώνουµε τον εξής ίνακα(η τελευταία γραµµή εριλαµβάνει το άθροισµα των ροηγουµένων ανά στήλη: -οο - οο u ( -u( - x( Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 Άρα το ζητούµενο σχήµα αεικονίζεται αρακάτω: ΣΗΜΑ - - - - Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑ. Μεθοδολογία Υολογισµός εριόδου (συνηµιτονικού σήµατος * Αναζητείται θετικό T τέτοιο ώστε να ισχύει, : x T x A cos T θ A cos θ ( ( ( cos( T θ cos( θ ( ( T θ θ k, k,,... Άρα, k T k T, k,,... Η θεµελιώδης ερίοδος λαµβάνεται για k και ισούται µε T ω Περιοδικότητα αθροίσµατος σηµάτων Το σήµα ου αοτελείται αό το άθροισµα δύο εριοδικών σηµάτων µε εριόδους Τ, Τ θα είναι εριοδικό εάν : * m, m τέτοιοι ώστε: m Τ m Τ mτ Τ m (µη αναγόµενο κλάσµα στο οοίο έχουν γίνει όλες οι δυνατές αλοοιήσεις ηλαδή θα ρέει ο λόγος των δύο εριόδων να είναι ρητός αριθµός. Η ερίοδος του συνολικού σήµατος θα ισούται µε το ελάχιστο κοινό ολλαλάσιο (ΕΚΠ των δύο εριόδων των συνιστωσών σηµάτων, δηλαδή: T mt m T Γενίκευση: Το σήµα ου αοτελείται αό το άθροισµα Ν εριοδικών σηµάτων µε εριόδους Τ, Τ,..., Τ Ν θα είναι εριοδικό εάν : * m, m,..., mn τέτοιοι ώστε: mτ m Τ... m T N N Η ερίοδος του συνολικού σήµατος θα ισούται µε το ελάχιστο κοινό ολλαλάσιο των εριόδων των συνιστωσών σηµάτων, δηλαδή: T mτ mτ... mntn Μεθοδολογία Περίτωση. Εφόσον δίνεται ένα σήµα (όχι άθροισµα ή γινόµενο, γίνεται διερεύνηση * εάν αυτό είναι εριοδικό, δηλ. αν ισχύει ότι υάρχει θετικό τέτοιο ώστε ( (,,... T x kt x k Προσοχή! Το σήµα στο εδίο του χρόνου ρέει να είναι άειρης διαρκείας ώστε να ισχύει η εριοδικότητα. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 Περίτωση : Εφόσον δίνεται άθροισµα σηµάτων, γίνεται για καθένα αό τα ειµέρους σήµατα η διερεύνηση ου εριγράφεται στην Περίτωση. Αν όλα τα ειµέρους σήµατα είναι εριοδικά, στη συνέχεια γίνεται διερεύνηση αν ισχύει η αραάνω συνθήκη εριοδικότητας αθροίσµατος εριοδικών. Περίτωση : Εφόσον δίνεται γινόµενο σηµάτων, µε κατάλληλες ράξεις µετατρέεται το γινόµενο σε ένα ισοδύναµο σήµα (.χ. γινόµενο σήµατος µε αλµό στο εδίο του χρόνου ή σε άθροισµα σηµάτων (.χ. µε χρήση τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων, οότε ακολουθείται η διαδικασία της ερίτωσης ή της ερίτωσης αντίστοιχα. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75. Παραδείγµατα.. ΘΕΜΑ 6 ΓΕ 78 ίνονται τα εξής σήµατα: x( cos( x( 6 cos( x( 8sin ( όου khz, khz, 4kHz. (α Να βρεθεί η ερίοδος και η συχνότητα του σήµατος: y ( ( ( ( x x x (β Να διερευνηθεί αν είναι εριοδικά τα αρακάτω σήµατα και, αν είναι, να βρεθεί η ερίοδός τους (ροτείνεται να σχεδιάσετε ρόχειρα τις κυµατοµορφές των σηµάτων (i y ( x ( u( u(, όου sec y x y4 x (ii ( και ( Υόδειξη Υενθυµίζεται ότι u( ΑΠΑΝΤΗΣΗ, όταν >, όταν < (α Το ερώτηµα ανήκει στην Περίτωση : Είναι ( ( ( ( y x x x ( cos( 6 cos( 8 sin ( cos( ( cos( ( 6 ( ( ( ( cos 64 y ( ( ( 64 sin 8 cos cos ( ( khz ( ( khz cos ( 8 ( khz khz 8 cos cos 8 ( ( ( 8 cos 48 cos 8 ( khz Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 αό 75 Καταλήγουµε σε ένα άθροισµα εριοδικών σηµάτων και ενός σταθερού όρου (Περίτωση Η ερίοδος του ου συνηµιτονικού όρου είναι (Περίτωση : T msec khz Η ερίοδος του ου συνηµιτονικού όρου είναι(περίτωση : T msec 8kHz 8 Ο λόγος τους είναι: T msec T msec 8 εφόσον είναι ρητός, το σήµα είναι εριοδικό µε ερίοδο (Περίτωση : T T T ολ msec.5msec 4 και συχνότητα: ολ 4kHz T.5msec (β y( x( u( u(, όου sec Το σήµα είναι µηδενικό στο διάστηµα (, συνθήκη ( ( ολ οότε δεν είναι εριοδικό αφού δεν ισχύει η, T τέτοιο ώστε x kt x για k,,... (Σηµείωση Περίτωσης y x 8sin 8sin Το σήµα είναι εριοδικό µε ερίοδο: T msec (Περίτωση 4kΗz 4 ( ( y4( x 8sin 8sin ( Το σήµα άλι είναι εριοδικό αλλά µε ερίοδο ίση µε το ήµισυ της εριόδου του y( x, διότι αίρνει µονίµως θετικές τιµές, σε αντίθεση µε το y (, ου εναλλάσσεται σε κάθε ηµιερίοδο µεταξύ αρνητικών και θετικών τιµών. T Άρα T msec 8 y, y, y Παρακάτω δίνεται ένα σχήµα στο οοίο αεικονίζονται τα σήµατα ( ( ( 4 Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 αό 75 6 y ( - -6 8 y ( -8.8 y 4 ( Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 αό 75.. ΘΕΜΑ ΓΕ4 Θεωρείστε τα σήµατα x ( 4cos6 8cos x ( cos 8, (α Αξιολογήστε αν τα σήµατα x(, x(, y(x(*x( και y(x(x( είναι εριοδικά ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α για το x ( έχουµε (Περίτωση : x( 4cos6 8cos 8 4cos6 8 ( cos6 4cos6 4 ( cos6 4 ( cos6 cos6 4 ( cos cos 8 (.α. Το σήµα x ( εκφράζεται σαν ειµέρους άθροισµα εριοδικών σηµάτων, του cos µε συχνότητα και ερίοδο T, και του cos 8 µε συχνότητα 8 και ερίοδο T. 8 Σύµφωνα µε την άσκηση αυτοαξιολόγησης. το x ( είναι εριοδικό αφού ο λόγος των εριόδων T 8 T είναι ρητός αριθµός. 8 Η βασική ερίοδος του x ( είναι το ελάχιστο κοινό ολλαλάσιο των Τ και Τ δηλαδή Τ x. για το x ( έχουµε : (Περίτωση x ( cos cos 5 είναι εριοδικό σήµα µε συχνότητά 5 και ερίοδο T x /5 για το σήµα y( ισχύει : (Περίτωση y x ( x ( ( αό τη (.α. έχω ότι το σήµα x ( 4( cos6 cos6 άρα y ( 4( cos 6 cos6 cos 4cos6 cos 4cos6 cos 4cos ( cos6 cos 4 ( cos 6 cos6 4cos cos6 cos 4 cos 6 cos6 4cos ( cos6 cos 4 cos 6 cos6 cos Εξετάζουµε τα ειµέρους σήµατα. Συγκεκριµένα : cos6 cos4 µε εριόδους Τ και Τ αντίστοιχα και βασική ερίοδο Τ. cos6 cos 8 T 8 cos 4 cos T T ο λόγος 8 T 8 4 ου είναι ρητός αριθµός. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 αό 75 Η βασική ερίοδος Τ ΕΚΠ(Τ,Τ cos 6 cos, εοµένως T T ο λόγος ου είναι ρητός αριθµός. T Τ ΕΚΠ, cos 6 cos εοµένως T 4 T ο λόγος ου είναι ρητός. T 4 Τ ΕΚΠ, cos cos 5 T 5 5 T ο λόγος 5 ου είναι ρητός. T 5 5 Η βασική ερίοδος Τ y ΕΚΠ(T,T,T,T 4,T 5 ΕΚΠ, 8 Άρα το σήµα y ( είναι εριοδικό µε ερίοδο Τ y.,,, 5 Για το σήµα y( x ( x ( ισχύει : Αφού το x ( είναι εριοδικό µε ερίοδο Τ x, Tx και το x ( είναι εριοδικό µε ερίοδοt x εξετάζω το λόγο 5 5 T x 5 ου είναι ρητός αριθµός, άρα το y ( είναι εριοδικό σήµα. Η ερίοδος του T y είναι το Ε.Κ.Π., T y 5 Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 8 αό 75.. Θέµα ΓΕ45 Για κάθε ένα αό τα αρακάτω σήµατα εξετάστε αν είναι εριοδικό και αν ναι, οια είναι η ερίοδός του. (α x( cos( (β x( e j(- (γ x( sin (/ (δ x( sin( cos(9εε (ε x( cos( sin(/ (στ x( cos( sin(/ Λύση (α Το σήµα x( cos( συνηµιτονικού cos( δηλ. της µορφής cos( ω θ αοτελείται αό το γινόµενο ενός σταθερού όρου ( κι ενός ερίοδο ίση µε T sec ω, ου εξ ορισµού είναι εριοδικό µε (β Το σήµα x( j( e είναι µιγαδικό εκθετικό της µορφής j( e ω θ µε ερίοδο T sec ω. Το ρόσηµο - δε λαµβάνεται υόψη διότι σχετίζεται µε τη φορά εριστροφής του στρεφόµενου διανύσµατος ου αντιστοιχεί στην έκφραση του σήµατος, και όχι µε την ερίοδο εριστροφής του. (γ Είναι εριοδικό µε Τ αφού sin (/ ½ - ½cos(/ (δ Μη εριοδικό, αφού το sin( έχει ερίοδο Τ και το cos( έχει Τ και ο λόγος είναι άρρητος ( (ε Μη εριοδικό, αφού cos( sin sin - sin sin - sin και T και T ( - ( T ( - ( και ο λόγος είναι άρρητος. T ( - ( (στ Είναι εριοδικό αφού cos( sin(/ ½ sin(/- ½ sin(/ και Τ/(/ και Τ/(5/, και ο λόγος Τ/Τ5/. Η ερίοδος είναι 4. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 9 αό 75..4 ΘΕΜΑ 6 ΓΕ67 ίνεται το σήµα s ( ( 5, όου ( x cos( x. (α Να εξεταστεί αν είναι εριοδικό και αν ναι να βρεθούν η ερίοδος και η συχνότητά του. (β Να εαναληφθεί το ερώτηµα (α για το σήµα s ( ( g(, όου d g( (. d 5 (γ Να εαναληφθεί το ερώτηµα (α για το σήµα s ( ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α 5 cos 5 cos (Περίτωση Είναι s ( ( ( Υολογίζουµε την ερίοδο καθενός αό τα ειµέρους εριοδικά σήµατα: Για το cos( 5 η ερίοδος είναι Τ sec ω 5 5 Για το cos η ερίοδος είναι Τ 4sec ω Ο λόγος των εριόδων είναι σήµα ( Τ 5 Τ 4 s είναι εριοδικό µε ερίοδο Τ βτ ατ 4sec Η συχνότητα του s ( (β Για το σήµα ( ( έχουµε: είναι το αντίστροφο της εριόδου: d s g(, όου g( ( d α µε α,β φυσικούς, άρα ρητός οότε το β.5sec T d s ( cos( cos( d (Περίτωση cos( sin( Υολογίζουµε την ερίοδο καθενός αό τα ειµέρους εριοδικά σήµατα: Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 Για το cos( η ερίοδος είναι Τ sec ω Για το sin( η ερίοδος είναι Τ sec ω Ο λόγος των εριόδων είναι Τ Τ, άρρητος οότε το σήµα s ( δεν είναι εριοδικό. 5 (γ Για το σήµα s ( ( έχουµε: 5 s ( cos cos( (Περίτωση Υολογίζουµε την ερίοδο καθενός αό τα ειµέρους εριοδικά σήµατα: Για το 5 cos η ερίοδος είναι Τ sec ω 5 5 Για το cos( η ερίοδος είναι Τ sec ω. Ο λόγος των εριόδων είναι σήµα ( Τ 5 Τ 5 s είναι εριοδικό µε ερίοδο Τ βτ ατ sec α µε α,β5 φυσικούς, άρα ρητός οότε το β Η συχνότητα του s ( είναι το αντίστροφο της εριόδου: Hz T 4 Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 Ε ΝΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΞΥ ΠΕ ΙΩΝ Χ ΡΟΝΟΥ & Σ ΥΧΝΟΤΗΤΩΝ. Στην ερίτωση αυτή, δίνεται η έκφραση ενός σήµατος στο εδίο του χρόνου (ή στο εδίο των συχνοτήτων και ζητείται η αντίστοιχη έκφρασή του στο εδίο των συχνοτήτων (ή στο εδίο του χρόνου αντίστοιχα.. Μεθοδολογία Περίτωση η : Το σήµα αυτό µορεί να αντιστοιχηθεί µε κάοιο αό τα σήµατα των οοίων είναι γνωστό το ζεύγος ΜΣ ourier αό ίνακες. Τότε, ξεκινάµε µε το δεδοµένο µετασχηµατισµό ourier και µε χρήση των γνωστών ιδιοτήτων ΜΣ ourier (άλι αό ίνακες καταλήγουµε στο ζητούµενο. Περίτωση η : Εφόσον η άσκηση δεν ειτρέει τη χρήση ινάκων ΜΣ ourier, ή το σήµα ου δίνεται δεν µορεί να αντιστοιχηθεί µε κάοιο αό τα σήµατα των οοίων είναι γνωστό το ζεύγος ΜΣ ourier αό ίνακες, τότε γίνεται η χρήση του ορισµού µε τον τύο της ολοκλήρωσης: Μετάβαση αό το εδίο του χρόνου x( στο εδίο των συχνοτήτων G( : j G( x( e d Μετάβαση αό το εδίο των συχνοτήτων G( στο εδίο του χρόνου x( : x G e d j ( ( Περίτωση η : ίνεται ένα εριοδικό σήµα και ζητείται το µονόλευρο ή το αµφίλευρο φάσµα λάτους του. Έστω ότι δίνεται το εριοδικό σήµα n ( cos( sin ( x C S i i l l i l m Το µονόλευρο φάσµα λάτους του σήµατος µορεί να αρασταθεί γραφικά σε ένα σύστηµα αξόνων συχνοτήτων και λάτους, όου σε κάθε συχνότητα k σχεδιάζεται ένα ευθύγραµµο τµήµα λάτους αντίστοιχου µε τον συντελεστή C (αν σχεδιάζεται όρος της µορφής ( Ck cos k ή µε τον συντελεστή k Με χρήση εξισώσεων Euler το σήµα x( γράφεται: n ( cos( sin ( x C S i i l l i l j j m j j m k S (αν σχεδιάζεται όρος της µορφής S sin ( k. n i i l l e e e e Ci Sl i l j οότε µορεί να αρασταθεί γραφικά το αµφίλευρο φάσµα λάτους του σήµατος σε ένα σύστηµα αξόνων συχνοτήτων και λάτους, όου σε κάθε συµµετρικό ζεύγος συχνοτήτων k, k σχεδιάζεται ένα ευθύγραµµο τµήµα λάτους αντίστοιχου µε το ήµισυ του συντελεστή j k j k e e C k (αν σχεδιάζεται όρος της µορφής Ck ή µε το ήµισυ του συντελεστή S k j k j k e e (αν σχεδιάζεται όρος της µορφής Sk. j k Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 Είσης, το σήµα x( έχει ΜΣ ourier n m X ( Ci ( δ ( i δ ( i Sl ( δ ( l δ ( l i l j Οότε το φάσµα λάτους ου ροκύτει είναι αρόµοιο µε το αµφίλευρο φάσµα λάτους ου εριγράφηκε ροηγουµένως, µε µόνη διαφορά την αντικατάσταση των ευθυγράµµων τµηµάτων αό αλµούς δ ( k.. Ενδεικτικά µη εριοδικά σήµατα:... Ορθογώνιος ή ΤετραγωνικόςΠαλµός Ο ορθογωνικός αλµός ορίζεται ως:, όταν < δηλ. < < < Π rec, όταν > δηλ. ή >,όου > όου Ο αλµός αυτός αριστάνεται γραφικά ως εξής: x x rec x -/ x x / x Σχήµα - Αεικόνιση Τετραγωνικού Παλµού Προκειµένου να σχεδιαστεί ένας αλµός ου αντιστοιχεί σε έναν δεδοµένο τύο, x x έστω rec ( ( x, θα ρέει να γραφεί στη µορφή rec ώστε να ροσδιοριστούν το εύρος ( και το κέντρο του ( x.... Τριγωνικός Παλµός Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 Ο τριγωνικός αλµός ορίζεται ως:, όταν < δηλ. < < Λ ri <, όταν > δηλ. ή >,όου > Ο αλµός αυτός αριστάνεται γραφικά ως εξής ri x x x - x x x Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 αό 75 Σχήµα - Αεικόνιση Τριγωνικού Παλµού Προκειµένου να σχεδιαστεί ένας αλµός ου αντιστοιχεί σε έναν δεδοµένο τύο ri ( ( x, θα x x ρέει να γραφεί στη µορφή ri κέντρο του ( x.... Συνάρτηση sinc Η συνάρτηση sinc ορίζεται ως εξής: sin ( x sinc( x x όου x. ώστε να ροσδιοριστούν το εύρος ( και το Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 αό 75...4 Μοναδιαίο Βηµατικό Σήµα Το µοναδιαίο βηµατικό σήµα ορίζεται ως εξής: ( x u x, οταν x < x, οταν x > x Η συνάρτηση ορθογωνικού αλµού µορεί να εριγραφεί µε τη µοναδιαία βηµατική συνάρτηση ως εξής: x x rec u x x u x x...5 Πραγµατικό Εκθετικό σήµα Το σήµα αυτό δίνεται αό τη σχέση: σ x (, οου, x c e c σ...6 Κρουστική Συνάρτηση δ(x (Dirc Για την κρουστική συνάρτηση δ ( ισχύουν οι εξής ιδιότητες: δ (, οταν δ (, οταν δ ( δ ( δ ( δ ( δ ( d δ ( d δ ( δ ( d d ( δ ( d ( ( δ ( ( δ ( ( * δ ( ( Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 αό 75. Πίνακες Μετασχηµατισµών ourier Πεδίο Χρόνου ( rec( sinc( ri( sinc ( Πεδίο Συχνότητας ( sinc( rec( sinc ( ri( Νίκος ηµητρίου /6/8
Πίνακας Ιδιοτήτων / ΜΣ ourier Χαρακτηριστικών Σηµάτων ΠΙΝΑΚΑΣ A Ιδιότητες του µετασχηµατισµού ourier. Ιδιότητα Πεδίο του χρόνου Πεδίο κυκλικής συχνότητας (Ω Πεδίο συχνότητας ( Συζυγία στο χρόνο x ( ( X X Ω ( Συζυγία στη συχνότητα x ( X ( Ω X ( Ανάκλαση x( X ( Ω X ( Γραµµικότητα x( bx( X( Ω bx( Ω X( bx ( Άρτιο µέρος σήµατος ( ( ( Re{ X( Ω } R ex { ( } Πραγµατικό µέρος φάσ/τος Περιττό µέρος σήµατος Φανταστικό µέρος φάσ/τος Χρονική µετατόιση x ( [ ] xe x x [ ] xo x x ( ( ( ji m{ X( Ω } ji m X ( { } jω o e X( Ω j e X ( Ολίσθηση συχνότητας jω j ( e x e x( X Ω Ω ( Ολοκλήρωση ( X x( τ dτ X ( X ( δ ( X ( X ( δ ( Πραγµατικό σήµα ( ( x x jω Ω Ω Ω X Ω X Ω ReX { ( Ω } ReX { ( Ω } ImX { Ω } ImX { Ω } ( ( rg ( ( ( Ω X ( Ω ( Ω rg X Ω X { X } { ( } j X ( X ( R ex { ( } ReX { ( } I mx { } ImX { } rg ( ( ( ( ( rg X X { X } { X ( }
ΕΑΠ/ΠΛΗ 8 αό 75 Συνέλιξη x ( h ( X( Ω H( Ω X ( H( ιαµόρφωση x ( y ( [ ( ( ] X Ω Y Ω X ( Y ( dx( jω X( Ω j X ( Παραγώγιση στο χρονικό εδίο Παραγώγιση στο εδίο συχνοτήτων d Αλλαγή κλίµακας: ( υϊσµός αν x ( X( Ω ή x ( X ( Θεώρηµα Prsevl x( ( j dx Ω dω x X Ω ( dx j d X Y x ( X ( Y( Ω x( Ω ( ( y x ( d X( Ω dω ( X d Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 9 αό 75 ΠΙΝΑΚΑΣ B Μετασχηµατισµοί ourier µερικών βασικών συναρτήσεων Πεδίο του χρόνου Πεδίο κυκλικής συχνότητας (Ω Πεδίο συχνότητας ( δ( x ( ( δ u ( δ( e j Ω e jω δ ( Ω Ω δ Ω ( δ ( Ω δ ( j Ω j j e δ ( cos( Ω δ [ ( Ω Ω δ( Ω Ω ] δ ( δ ( sin( Ω δ ( ΩΩ δ ( Ω Ω δ δ j [ ] jkω k e kδ( Ω kω k n δ ( nt, < T rec Π T T, > T W W sin c ( W sin k j ( ( kδ ( k k δ Ω T T k ΩT T sinc sin ( ΩT Ω Ω Ω, Ω < W rec Π W W, Ω > W k k δ T k T sin T Tsinc( T ( W, < rec Π W W W, > Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75, < T ri Λ x( T ΩT T c T T, > T W ( W sin Ω Ω Ω, Ω < W W ri Λ W W W, Ω> W e u(, R e{} > jω e u(, R e{ } > n e u(, R e{} > ( n! ( j n ( j cos( Ω u( [ δ ( Ω Ω δ ( Ω Ω ] ( T sin c T Ω ( j Ω ( j j Ω Ω sin( Ω u( δ ( Ω Ω δ ( Ω Ω [ ] j Ω Ω Ω Ω W, < W ri Λ W W W, > j n j ( ( 4 δ δ 4 4 ( ( 4j δ δ 4 4 e, R e{ } > Ω 4 Νίκος ηµητρίου /6/8
. Παραδείγµατα.. ΘΕΜΑ 4 ΓΕ4 (α Να υολογίσετε το µετασχηµατισµό ourier της κάτωθι συνάρτησης x(exp(5 όου < (βνα υολογίσετε το µετασχηµατισµό ourier της συνάρτησης exp( 8 > g exp(8 < (γνα υολογίσετε το µετασχηµατισµό ourier της συνάρτησης y( cos ( β exp(, < ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α Το ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στο συνδυασµό των Περιτώσεων & Εστω ότι το y(exp( Με βάση τον ορισµό του ΜΣ ourier: { y( } j e e d e ( j d j Με βάση την ιδιότητα αλλαγής κλίµακας θα έχουµε : I { x (} I { y(5 } 5 j 5 j 5 (β ίνεται ότι exp( 8 > g( exp(8 < Το ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στο συνδυασµό των Περιτώσεων & Εστω ότι το q(exp( Με βάση τον ορισµό του ΜΣ ourier: { q( } j e e d e ( j d j Με βάση την ιδιότητα αλλαγής κλίµακας θα έχουµε: I { y ( } I{exp( 8 } I {exp(8 } 8 8 j j 8 j4 8 j4 8 8 (γ ίνεται ότι
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75 y( cos ( β exp(, < Το ερώτηµα αυτό αντιστοιχεί στο συνδυασµό των Περιτώσεων & Θέτουµε ( ( g, e < g < e, Γνωρίζουµε ότι (αό ίνακες ΜΣ ourier e, R e {} > 4 Συνεώς θα ισχύει ότι 5 g e G 4 4 5 ( ( Είσης, µε βάση την ιδιότητα της µετατόισης φάσµατος θα έχουµε ότι: ( cos( β ( y g β β β cos g( G G 5 5 y 5 5 ( β β Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ αό 75.. Θέµα ΓΕ 45 (α Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ourier του σήµατος x(u(-u(-, > u(, < (β Αν για το σήµα g( ισχύει ότι G(ω, για ω > ωc, να βρεθεί για οιές τιµές του α ισχύει ότι sin ( g( g(. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α ος τρόος Με βάση τον ορισµό jω j j ' X ( x( e d e d ( e d j j j j ( e e e j j j j e e sin ( sin ( sinc ( j ος Τρόος Με βάση στοιχειώδη σήµατα: Είναι, x( u( u( rec Συνεώς, εργαζόµαστε µα βάση τος ίνακες ΜΣ ourier: rec ( sinc( x rec X ( sinc( ( (β Αό το (α δείξαµε ότι x rec X Με βάση την ιδιότητα του υϊσµού θα ισχύει ότι ( sinc( ( X ( sinc( x ( rec rec Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 αό 75 Είσης, ισχύει ότι ( g sin ( sin ( G( I sin sin ( α α I I I sinc α Γνωρίζουµε ότι: sinc( rec( sinc rec sinc rec Συνεώς έχουµε: sin ( g( G( rec Προκειµένου το αοτέλεσµα του ανωτέρω γινοµένου στο εδίο των συχνοτήτων να ταυτίζεται µε rec το φάσµα G(, θα ρέει ο τετραγωνικός αλµός να έχει εύρος µεγαλύτερο ή ίσο µε το εύρος του φάσµατος του σήµατος, δηλ. c c Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 αό 75.. Θέµα 5 ΓΕ45 (α Να αοδειχθεί η αρακάτω ιδιότητα της συµµετρικότητας του µετασχηµατισµού ourier x X > X x ( ( ( ( (β Να βρεθεί το σήµα x( στο εδίο του χρόνου λαµβάνοντας υόψιν ότι ο µετασχηµατισµός ourier του σήµατος x( [X(] φαίνεται στο αρακάτω σχήµα (γ Να δείξετε ότι το σήµα x( ροκύτει αό τη συνέλιξη ενός τετραγωνικού αλµού µε τον εαυτό του. X( - Λύση (α Εφαρµόζοντας τον τύο του µετασχηµατισµού ourier έχουµε x( x X ( e j j ( X ( e d (β d > x j ( X ( e d > x( X ( e j d > Το εικονιζόµενο φάσµα µορεί να εκφραστεί ως: X ( ri Η έκφραση του σήµατος στο εδίο του χρόνου ροσδιορίζεται ως εξής: sinc ( ri( sinc ( ri x ri X ( sinc ( ( (γ Αό την αάντηση του ερωτήµατος (β αρατηρούµε ότι το σήµα x( µορεί να γραφεί ως : Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 αό 75 ( sinc ( sinc( sinc( ( sinc( x δηλαδή ως γινόµενο του σήµατος g µε τον εαυτό του, ου στο εδίο των συχνοτήτων αντιστοιχεί σε συνέλιξη του φάσµατος του σήµατος G( µε τον εαυτό του. Αρκεί να βρεθεί ο ΜΣ ourier του σήµατος g( sinc( sinc ( rec( sinc( rec g rec G ( sinc( ( Άρα ισχύει ότι ( sinc ( sinc( sinc( ( ( x g g rec * rec G * G ri X X( G( * / ( ( ( G( / - -/ / -/ / Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 αό 75..4 ΘΕΜΑ 4 ΓΕ 56 α. Βρείτε το ΜΣ ourier του µισού συνηµιτονικού αλµού ου φαίνεται στο σχήµα (. β. Βρείτε το ΜΣ ourier του µισού ηµιτονικού αλµού ου φαίνεται στο σχήµα (b. g( g( A A -T/ T/ T ( (b (Υόδειξη: Ισχύει η σχέση c ( T ( ± sin c[ T ( ± ] sin δ o o γ. Υολογίστε το ΜΣ ourier µιας εκθετικά αοσβενυόµενης ηµιτονικής κυµατοµορφής ου ορίζεται ως:, g( e sin( c u(, µε u (., < ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. Γνωρίζουµε ότι ο ΜΣ ourier τετραγωνικού αλµού διάρκειας Τ και λάτους r( είναι: -T/ T/ rec T sin c( T T Ο αλµός του σχήµατος ( µορεί να θεωρηθεί ως το γινόµενο ενός τέτοιου τετραγωνικού αλµού και ενός ηµιτονικού σήµατος Αcos(/Τ. Γνωρίζουµε είσης ότι: Acos T A δ T δ T Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 8 αό 75 Νίκος ηµητρίου /6/8 Εοµένως, [ ] T T A T c T T A T rec G ( sin cos ( δ δ Χρησιµοοιώντας την υόδειξη: sin sin ( T c T c AT G β. Μορούµε να άρουµε τον αλµό του µισού ηµιτονικού σήµατος του σχήµατος (b αν ολισθήσουµε τον αλµό του µισού συνηµιτονικού σήµατος του σχήµατος ( κατά Τ/. Εοµένως σε αυτή την ερίτωση, εφαρµόζοντας την ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης του ΜΣ ourier: exp( sin sin ( T j T c T c AT G γ. Χρησιµοοιούµε τη σχέση [ ] exp( exp( sin( j j j c c c και έτσι αίρνουµε: ( ( exp( exp( exp( ( u j j j G c c Χρησιµοοιώντας την ιδιότητα της ολίσθησης συχνότητας στο ζευγάρι ΜΣ ourier [ ] j u ( exp(, έχουµε: ( ( ( ( ( c c c c j j j j G
ΕΑΠ/ΠΛΗ 9 αό 75..5 ΘΕΜΑ 5 ΓΕ56 Να υολογιστεί ο µετασχηµατισµός ourier της συνάρτησης x (,., αλλού ΑΠΑΝΤΗΣΗ ος Τρόος Με τον Ορισµό Το σήµα γράφεται: (,,, x (,,, αλλού,αλλού,αλλού Οότε, µε βάση τον ορισµό έχουµε: j j j j ( ( ( ( ( X x e d x e d e d e d j j j j e d e d e d e d Παρατηρούµε ότι έχουµε ουσιαστικά τύους ολοκληρωµάτων, τους οοίους υολογίζουµε αραµετρικά: b b j j j (, ( ' I b e d e d e j j e e j j b j b b j j ' I (, b e d ( e d j b b b b ' b j j j j e ( e d e e d j j j b { e I (, b } j j b j j b j be e e e j j j b j e b e j j j Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 αό 75 Συνεώς έχουµε: ( j j j j X e d e d e d e d (, (, (, (, I I I I j ( j j e e ( e e ( j j j e e j j j j j j j j e e j j j j j j e e e j j j j j e j j j j e e j j j j j j j e e j j j j j e e j j j j j j j j e e e e e j j 4 j 4 j j j j e j j ( e e 4 4 4 4 4 4 4 cos( ( cos( ( sin ( sin sin ( sinc 4 ( Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 αό 75..6 ΘΕΜΑ ΓΕ67 Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ourier του σήµατος x ( e u (, >, x > όου u( x., x < Υόδειξη: Iσχύουν τα εξής (για τυχαία b,c,d και συναρτήσεις (, g(: d b b d bd bc e d e e e b c b c d d d d d ( ( ( ( ( ( c d d c c g d g g d ΑΠΑΝΤΗΣΗ lim, c > ( oo e c jd ( ( j ( j X x e d e u e d e e j d ( j e Εειδή, d d d d d d ( ( ( ( ( ( c d d c c έχουµε, g d g g d ( j ' X( e d ( j ( j ( j ( j ( j e e d ( j ' lim e d ( j ( j e ( j [ ] ( j ( j [ ] ( j ( j ( j e Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 αό 75 Νίκος ηµητρίου /6/8..7 ΘΕΜΑ ΓΕ 67 Να υολογίσετε το µετασχηµατισµό ourier του γινοµένου cos( ( 5 cos( b, α>, b>. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ζητάω τον µετασχηµατισµό ourier της συνάρτησης 5cos( ( cos( b Oότε θα έχω ( ( { } b b b y 5 cos 5 cos cos( 5 ( cos( ( α α Eοµένως: ( { } ( [ ] ( [ ] { } ( b b b b y 5 cos 5 cos 5 cos 5 cos α α Υολογίζουµε τους δύο ΜΣ ourier Κατ αρχήν µε b c : ( { } [ ] [ ] ( ( [ ] j c j c j j j j j j c e e e e e e e e c c c c 5 5 5 5 5 ( 5 ( 5 cos δ δ αντικαθιστώντας b c : j j e b e b b 5 5 5 cos δ δ Παρόµοια µε b c για τον ο ΜΣ ourier: j j e b e b b 5 5 5 cos δ δ Άρα τελικά έχουµε:
ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 αό 75 Νίκος ηµητρίου /6/8 ( { } ( δ δ δ δ δ δ δ δ α α 4 4 4 4 5 cos 5 cos 5 5 5 5 5 5 b b e b b e e b e b e b e b b b y j j j j j j
ΕΑΠ/ΠΛΗ 44 αό 75..8 ΘΕΜΑ ΓΕ67 Να υολογιστούν οι µετασχηµατισµοί ourier για τα αρακάτω σήµατα: (α x( (β x( rec( rec( (γ x( ri( ri( (δ x ( sin c( ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α Χρησιµοοιούµε το ζεύγος µετασχηµατισµού: e ( 4 4 και την ιδιότητα της δυαδικότητας έχουµε: e I 4 α 4 µε α: I (β e ( ( ( j j ( e sinc( e ( ( I x I rec rec sinc sinc cos (γ Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 45 αό 75 ( ( ( I x I ri ri I ri ri sinc e sinc e j j (δ I j [ sin c( ] I[ sin( ] δ δ Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 46 αό 75..9 ΘΕΜΑ 4 Γε67 Να υολογιστούν οι µετασχηµατισµοί ourier για τα αρακάτω σήµατα: x( - - - - - (α x( (β - - (γ ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 47 αό 75 ( j j j x e d ( e d ( e d j ' j ' ( ( e d ( ( e d j j j ' j ( ( e ( e d j j ' j ( ( e ( e d j ( ' j j j ( ( e ( ( e ( e d j j j j j ' ( ( e ( ( e ( e d j j [ ] j j j e [ ( ] j j j j j e j j ( j j e e j j e e j j e e j j j j j j e e j j j j ( ( j j e e j j ( j ( j ( j ( j j j j e e jsin ( j ( ( j ( j j j j sin ( sin ( sinc j ( ( ( (β Μορούµε να γράψουµε το x(: x ( ri ( ri ( άρα: Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 48 αό 75 j j ( sinc ( sinc ( sinc ( sin ( X e e j (γ Μορούµε να γράψουµε το x(: x( ri( ri( ri( άρα: j j ( ( e e ( ( ( sinc sinc cos Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 49 αό 75.. ΘΕΜΑ 6 ΓΕ5 45 Να υολογισθεί ο µετασχηµατισµός ourier των κατωτέρω σηµάτων:. x( A. x( A T T -A Λύση. x( P T ( A -T/ T/ ος Τρόος Με τον ορισµό: Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 αό 75 ( j j ' j j j Α j j j X A e d A e d A e e e e e A j j j Αντικαθιστώντας:, εχουµε e e A j j j j j j e e j j e e A j j j j e e A e j A e ( sin ( ( ( ( j j Ae ( ( ( j A e sin sin Ae Ae c ( ( sin ( ( j j ος Τρόος Με βάση στοιχειώδη σήµατα και ιδιότητες ΜΣ ourier. Είναι: x( Arec Arec b Γνωρίζουµε ότι: rec sinc ( ( j ( e sinc( rec j Arec Ab e sinc b, όου και b ( b x Arec A e sinc X j ( ( ( Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 αό 75. x( A -T -A T ος Τρόος Με τον ορισµό: ( T T j j j j X A e d A e d A e d A e d T T T j ' A j ' j j A T e d e d A e A e j j j T j T j T j T A e A e A j T j T ( e e j j j A A A ( cos( T ( cos( T sin ( T j j j ( ( AT sin T sin T jat sin T sinc T j T ( ( ος Τρόος Με βάση στοιχειώδη σήµατα και ιδιότητες ΜΣ ourier. Είναι: T T x( Arec Arec T T Γνωρίζουµε ότι: Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 αό 75 rec ( sinc( T T j rec e sinc( T T j rec Te sinc( T T T T j Arec ATe sinc T T και rec ( sinc( ( T T j rec e sinc( T T j rec Te sinc( T T T T j Arec ATe sinc( T T οότε, T T ( x Arec Arec T T T T j j ( sinc( ATe sinc T ATe T j T j T ( ( ( ( ATsinc T e e jatsinc T sin T Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 αό 75.. ΘΕΜΑ 4 ΓΕ5 56 (α Να δείξετε ότι ο ΜΣ ourier της δ ( δ ( είναι cos( (β Με βάση την ιο άνω σχέση να δείξετε ότι: (i { cos( } δ ( δ ( j j ΛΥΣΗ (ii { sin( } δ ( δ ( (α Γνωρίζουµε αό ίνακες ΜΣ ourier ότι cos δ δ ( ( ( ( Θέτοντας Hz θα έχουµε: cos δ δ Στο ίδιο αοτέλεσµα οδηγούµαστε εργαζόµενοι ως εξής: Γνωρίζουµε αό ίνακες ΜΣ ourier ότι cos δ δ ( ( ( ( Με χρήση της ιδιότητας αλλαγής κλίµακας x( ( ( δ ( δ ( X έχουµε: cos ( δ ( δ ( cos Είσης, ισχύει η εξής ιδιότητα για τη συνάρτηση Dirc: δ ( ( x x δ ( x x οότε ο ανωτέρω ΜΣ ourier γράφεται: Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 54 αό 75 cos( δ δ δ ( δ ( δ δ δ δ x Y Y x έχουµε: Με βάση την ιδιότητα του δυϊσµού (αν ( ( τότε ( ( δ δ cos( ( cos( οότε ο ζητούµενος αντίστροφος µετασχηµατισµός ourier του φάσµατος X( είναι x( δ δ ος τρόος j I δ δ δ δ e d j j e d e d δ δ j j j j e e e e cos ( (β Χρησιµοοιώντας την ιδιότητα δυϊσµού του ΜΣ ourier (αν x ( Y ( Y ( x( αίρνουµε (i τότε I cos( I cos ( δ δ (ii αφού sin ( cos Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 55 αό 75 I sin ( I cos j I cos( δ δ e j j δ e δ e j j δ e δ e j δ e δ e j δ j δ j Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 56 αό 75.. ΘΕΜΑ ΓΕ56 ( x x, και (β του σήµατος y( x( z( όταν A x, x 5 και z ( (4cos6 8cos 8 Είσης να σχεδιασθεί το αµφίλευρο και µονόλευρο φάσµα του y(. Υόδειξη : Το (α ερώτηµα να λυθεί µε τη θεωρία µετατόισης φάσµατος και θεωρώντας ότι Να βρεθεί (α ο µετασχηµατισµός ourier του σήµατος x A cos( e j d δ ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ jθ jθ e e (α Γνωρίζουµε αό τις ταυτότητες Euler ότι cosθ, οότε συνδυάζοντας τον ορισµό του µετασχηµατισµού ourier θα έχουµε j x j x j e e j X ( [ x( ] Α ( e d A x cos x x e d A ( ( x j x j x X ( e d e d Για να µορέσουµε να υολογίσουµε το ολοκλήρωµα, θα χρησιµοοιήσουµε τον ορισµό της συνάρτησης δέλτα αλλά και την ιδιότητα της συµµετρίας. Οότε ( δ ( j j ( ω δ( e d e e Εοµένως { δ ( } Αό την ιδιότητα του δυϊσµού γνωρίζουµε ότι x( X τότε X ( x( ω ( Όµως ω και εοµένως µε αλλαγή µεταβλητής θα έχουµε X ( x( Είσης η συνάρτηση δέλτα είναι άρτια συνάρτηση, οότε j Εοµένως {} e d δ ( Κατ αναλογία, εφαρµόζοντας τον ροηγούµενο τύο στην συνάρτηση Χ( και θεωρώντας και την ιδιότητα της µετατόισης θα έχουµε το ακόλουθο Ax X ( [ δ ( x δ ( x ] (β Εφαρµόζοντας τις αριθµητικές τιµές στην δοσµένη εξίσωση θα έχουµε y( cos *( 4cos6 8cos 8 Οότε ο µετασχηµατισµός ourier θα δίνεται ως Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 57 αό 75 y( 4cos *cos6 8cos *cos 8 y( 4 ( cos6 cos4 8cos * ( cos6 y( cos6 cos4 4cos 4cos *cos6 y( cos6 cos4 4cos 4 ( cos6 cos6 y( cos6 cos4 4cos cos 6 cos6 ( 8 cos( 4cos( 5 cos( cos( y( cos Εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό ourier και γνωρίζοντας το αοτέλεσµα του (α θα έχουµε Υ( [ δ ( 8 δ ( 8 ] [ δ ( δ ( ] 4 [ δ ( 5 δ ( 5 ] [ δ ( δ ( ] [ δ ( δ ( ] Y ( δ 8 δ 8 δ δ δ 5 δ 5 [ ( ( ] [ ( ( ] [ ( ( ] [ δ ( δ ( ] [ δ ( δ ( ] Το αµφίλευρο φάσµα του δίνεται αµέσως αρακάτω - -8-5 - - 5 8 Το µονόλευρο φάσµα, σύµφωνα µε την αράγραφο.. θα δίνεται αό συντελεστές ου είναι διλάσιοι αό τους αντίστοιχους του αµφίλευρου φάσµατος 4 5 8 Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 58 αό 75 4 Υ ΠΟΛΟΓΙΣΜΌΣ ΙΣΧΎΟΣ Ή ΕΝΈΡΓΕΙΑΣ. 4. Μεθοδολογία Περίτωση η : Ζητείται η µέση ισχύς εριοδικού σήµατος: Έστω σήµα x( εριοδικό µε ερίοδο Τ τέτοια ώστε να ισχύει x( nt x(, n Για τα εριοδικά σήµατα η σχέση υολογισµού της µέσης ισχύος τους (µε βάση την έκφραση τους στο εδίο του χρόνου είναι η εξής: T ( Px x d T Στο εδίο των συχνοτήτων, τα εριοδικά σήµατα, ου γράφονται µε τη µορφή µιγαδικής σειράς ourier ως: T T j n x ( Ve jn jn n, όου Vn x( e d x( e d T T m και έχουν ΜΣ ourier: X ( Vn δ ( n, n T η µέση ισχύς µορεί να γραφεί ως ταυτότητα Prsevl: P x n V n Η αραάνω σχέση ονοµάζεται (ταυτότητα Prsevl για εριοδικά σήµατα. ηλαδή, βρίσκοντας την έκφραση του εριοδικού σήµατος στο εδίο των συχνοτήτων, µορούµε να ροσδιορίσουµε τη µέση ισχύ του υολογίζοντας το άθροισµα των τετραγώνων των λατών καθεµιάς αό τις συχνότητες ου εριλαµβάνει το σήµα. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 59 αό 75 4. Παραδείγµατα 4.. Παράδειγµα Να υολογιστεί η µέση ισχύς του σήµατος x( Acos(. α! Τρόος: Υολογισµοί µε ολοκλήρωση στο εδίο του χρόνου Το x( έχει ερίοδο T. Η µέση ισχύς σύµφωνα µε την αραάνω ενότητα θα ισούται µε: T T T Px x( d Acos( d Acos( d T T T T T T A A ( cos 4 A cos ( ( d cos d d T T T cos( 4 A T ' d d [] ( sin ( 4 d T 4 T [ T ] sin ( 4 sin 4 ( T sin 4 4 4 T A sin( 4 ( sin( 4 ( T A 4 T T T T A T A A T ( ( ( T T A T β! Τρόος: Υολογισµοί αό τη σειρά ourier µε την ταυτότητα Prsevl To x( µορεί να γραφεί σε µορφή σειράς ourier µε τη χρήση της σχέσης Euler: j j e e A j A j x( Acos( A e e A A Είσης, ο ΜΣ ourier του x( ισούται µε: X ( δ ( δ ( οότε η µέση ισχύς υολογίζεται (µε χρήση της ταυτότητας Prsevl ως εξής: A A A A A Px 4 4 Περίτωση η : Ζητείται η ενέργεια µη εριοδικού σήµατος (ενέργειας. Μορεί να εφαρµοστεί το θεώρηµα Prsevl, µε βάση το οοίο η ενέργεια ενός σήµατος ενεργειας (σήµατος µε εερασµένη ενέργεια ισούται µε την ολοκλήρωση του τετραγώνου του µέτρου της έκφρασής του είτε στο εδίο του χρόνου είτε στο εδίο των συχνοτήτων. ( ( ( ( x X E x d X d x Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 αό 75 4.. ΘΕΜΑ 6 ΓΕ 56 4 ίδεται το σήµα Χ ( ου είναι είσοδος σε βαθυερατό φίλτρο µε συνάρτηση 4 µεταφοράς Η ( e και µε µέγιστη συχνότητα αοκοής. Για οια τιµή του η ισχύς του σήµατος εξόδου ισούται µε 4 Joule; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γνωρίζουµε αό ίνακες µετασχηµατισµών ότι αν g ( e α g( e G ( α 4 α g( e G α 4 α e α α α 4, G(. Σύµφωνα µε την ιδιότητα δυϊσµού θα έχουµε: 4 4 4 e e, άρα x( e. 4 Στο εδίο των συχνότητων, η έξοδος του φίλτρου Υ(ω θα δίνεται αό Y( ω Η ( ω x( ω Αό το θεώρηµα του Prsevl, η ενέργεια εξόδου θα δίνεται αό W Η( x( d ou Λαµβάνοντας υ όψη τη συµµετρία του φάσµατος x( και του Η(, η ενέργεια δίνεται αό τη σχέση: 4 4 4 W e x( d e e d 4 d 4 ou Άρα θα ρέει 4 4 Hz. Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 αό 75 4.. Θέµα 4 ΕΞ4Α - Το σήµα, ( { < x e, ερνά αό ένα ιδανικό βαθυερατό φίλτρο, ( { H, > Α. Υολογίστε την ενέργεια του x( Β. Ποια ρέει να είναι η συχνότητα αοκοής του φίλτρου ω ώστε η ενέργεια του σήµατος στην έξοδο του φίλτρου να ισούται µε το µισό της ενέργειας στην είσοδο; Υόδειξη: Αό τη σχέση του Prsevl, η ενέργεια ενός σήµατος x( µε µετασχηµατισµό ourier Χ(ω ισούται µε x( d X( d Αάντηση: Α E x( d e d Β Αό ίνακες ΜΣ ourier έχουµε: {, < x( e u X e, j ( ( οότε η ενέργεια του σήµατος είναι: E X( d ( d d 4 4 n ( Για να ισούται η ενέργεια µε το µισό της ενέργειας εισόδου, θα ρέει n ( n ( Hz 4 4 Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 αό 75 5 Σ ΥΣΤΗΜΑΤΑ: Υ ΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΟ ΟΥ ( ΑΝ ΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΞΟ ΟΥ Ή ΕΞΟ ΟΥ ( ΑΝ ΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ΣΗΜΑ ΕΙΣΟ ΟΥ Υολογισµός της κρουστικής αόκρισης (στο εδίο του χρόνου ή της συνάρτησης µεταφοράς (στο εδίο των συχνοτήτων του συστήµατος. 5.. Βασικές Σχέσεις για Γραµµικά Χρονικά Αναλλοίωτα Συστήµατα: Για ένα Γραµµικό Χρονικά αναλλοίωτο Σύστηµα µε κρουστική αόκριση h( είσοδο x( και έξοδο y( ισχύουν τα εξής: y x * h ( ( ( ( ( ( Y X H Τα φίλτρα είναι γραµµικά χρονικά αναλλοίωτα συστήµατα ου ειτρέουν τη διέλευση σηµάτων ου ανήκουν σε µια συγκεκριµένη εριοχή συχνοτήτων (ου καλείται ζώνη διέλευσης και αοκότουν τα σήµατα ου ανήκουν στο υόλοιο µέρος του φάσµατος (ου λέγεται ζώνη αοκοής. Ανάλογα µε το µέρος του φάσµατος ου ανήκει στη ζώνη διέλευσης, τα φίλτρα χωρίζονται στα εξής είδη: 5.. Βαθυερατά φίλτρα Στα βαθυερατά φίλτρα (ή εριορισµένου εύρους ζώνης ή κατωδιαβατά η ζώνη διέλευσης είναι µια εριοχή γύρω αό την αρχή των αξόνων:, όταν < δηλ. - < < > H(, όταν > δηλ. ή < - Η συνάρτηση µεταφοράς µορεί να εκφραστεί και ως: H( rec και µορεί να αρασταθεί γραφικά ως εξής: Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 αό 75 H ( - Σχήµα 5- Συνάρτηση Μεταφοράς Βαθυερατού Φίλτρου 5.. Υψιερατά φίλτρα Στα υψιερατά φίλτρα (ή ανωδιαβατά η ζώνη αοκοής είναι µια εριοχή γύρω αό την αρχή των αξόνων: H ( >, όταν > δηλ. ή < -, όταν < δηλ. - < < Η συνάρτηση µεταφοράς µορεί να εκφραστεί και ως: H rec u u ( ( ( και µορεί να αρασταθεί γραφικά ως εξής Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 64 αό 75 H ( - Σχήµα 5- Συνάρτηση Μεταφοράς Υψιερατού Φίλτρου 5..4 Ζωνοερατά φίλτρα Στα ζωνοερατά φίλτρα (ή ζωνοδιαβατά η ζώνη διέλευσης αοτελείται αό δύο συγκεκριµένες συµµετρικές ζώνες στο θετικό και τον αρνητικό ηµιάξονα των συχνοτήτων: < <, όταν < <, δηλ. ή < < H( <, δηλ. - < <, όταν ή > >, δηλ. ή < Η συνάρτηση µεταφοράς µορεί να εκφραστεί και ως: H ( rec rec και µορεί να αρασταθεί γραφικά ως εξής Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 65 αό 75 H ( - - Σχήµα 5- Συνάρτηση Μεταφοράς Ζωνοερατού Φίλτρου 5..5 Ζωνοφρακτικά φίλτρα Στα ζωνοφρακτικά φίλτρα η ζώνη αοκοής αοτελείται αό δύο συγκεκριµένες συµµετρικές ζώνες στο θετικό και τον αρνητικό ηµιάξονα των συχνοτήτων: <, δηλ. - < <, όταν ή > H( >, δηλ. ή < < <, όταν < <, δηλ. ή < < Η συνάρτηση µεταφοράς µορεί να εκφραστεί και ως: ( H rec rec u( ( rec u( και µορεί να αρασταθεί γραφικά ως εξής Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 66 αό 75 H ( - - Σχήµα 5-4 Συνάρτηση Μεταφοράς Ζωνοφρακτικού Φίλτρου Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 67 αό 75 5. Παραδείγµατα 5.. ΘΕΜΑ 7 ΓΕ 56 Θεωρείστε το σήµα x( cos( 5cos(4 όου KHz. Το σήµα αοστέλλεται µέσω ενός γραµµικού και αµετάβλητου κατά την µετατόιση συστήµατος (LTI µε κρουστική αόκριση h( όταν [, ms] και µηδενική εκτός αυτού του διαστήµατος. Έστω y ( η έξοδος του LTI συστήµατος Υολογίστε:. Τον ourier µετασχηµατισµό του x (. Την συνάρτηση µεταφοράς της. Το σήµα εξόδου y ( ΑΠΑΝΤΗΣΗ H ( του γραµµικού συστήµατος σχεδιάζοντας το διάγραµµά Είναι I cos( δ ( δ ( του µ/σ ourier (όως ροκύτει αό τα τυολόγια Οότε X ( { δ ( δ ( } 5 { δ ( δ ( } 5 { δ ( δ ( } Κατά συνέεια το αντίστοιχο φάσµα είναι 5. 5..5.5 - - Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 68 αό 75 Αό την εκφώνηση γνωρίζουµε ότι η κρουστική αόκριση του συστήµατος είναι ένας τετραγωνικός αλµός, ο εξής h( T ms ms Έχουµε ότι H(, ου είναι o µ/σ ourier της h(, δίδεται αό την σχέση sin ( j T/ H( e, όου T το λάτος του αλµού οότε > H( sin ( ( λάτους της h( εις το τετράγωνο είναι και κατά συνέεια το αντίστοιχο σχεδιάγραµµα του φάσµατος -/Τ -/Τ -/Τ /Τ /Τ /Τ Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 69 αό 75 Είναι ( ( ( { 5 δ ( δ (.5 δ ( δ ( } Y X H sin e Y( H( X( 5 {δ(- δ( } sin( /( e (-j ( /.5 {δ( - δ( } sin( /( e (-j Το σήµα y( αντίστροφος µ/σ ourier {Y(} Y( e d j T j {5{ δ ( - δ ( }sin( /( e(-j.5 { δ ( - ( }sin( /( e(-j }e j d δ λόγω της γνωστής ιδιότητας της συνάρτησης δ( (σελ. 6 βιβλίου ΕΑΠ - δ ( d δ ( d, > x ( δ ( d x(, - 5 { sin( /( e (j -j sin(- /(- e (-j j }.5 { sin( /( e (j 4 - j sin(- /(- e (-j 4 j } 5 { sin( /( ( e (j ( - e (-j (- }.5 { sin( /( ( e (j (- e (-j (- } 5 { sin( /( cos( (-}.5 { sin( /( cos( (-} /( { sin( cos( (-} 5/( { sin( cos( (-} Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 αό 75 5.. ΘΕΜΑ 7 ΓΕ 67 ίδεται το σήµα x( 4 sinc(4- sin( sin(6 7 cos(5 u(. Το σήµα αυτό εισάγεται στο φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς:, για H (, αλλού και κατόιν η έξοδος του φίλτρου εισάγεται στο φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς:, για.6 H (., αλλού (α Να υολογιστεί το φάσµα του σήµατος x(. (β Να υολογισθούν τα φάσµατα των σηµάτων εξόδου των δύο φίλτρων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πρώτα ρέει να ευρεθεί το φάσµα του σήµατος x( 4 sinc(4- sin( sin(6 7 cos(5 u(. x ( 4sinc(4 sin( sin(6 7cos(5 u ( Αό τις ιδιότητες και τα ζεύγη του µετασχηµατισµού ourier λαµβάνουµε, δίνοντας έµφαση όµως στην σειρά εφαρµογής των ιδιοτήτων ως εξής. sinc(4- sinc(4(- sinc(4(- g(- 4,όου θεωρούµε g( sinc(4 Γνωρίζουµε ότι sinc( rec( Aρα g( sin c(4 rec ( (µε την ιδιότητα αλλαγής κλίµακας 4 4 Οότε µε βάση την ιδιότητα χρονικής µετατόισης θα έχουµε: (- j ( (- j g( - e rec ( e rec ( 4 4 4 4 Είσης, ισχύει ότι j - j 4 sin c(4- sin( 4 sin c(4- ( ( e - e j j - j 4 ( sin c(4- e -4 ( sin c(4- e j j ( - / ( / (/ j rec( e - (/ j rec( e 4 4 - j ( - / - j( / Όλα τα ανωτέρω ροκύτουν αό το ολοκλήρωµα ourier. Για > o ΜΣ ourier σήµατος ( b ισούται µε : / ( b e ( e j d j (-b/ ( y e d (/ e j (y-b/ j b/ ( d[( y b / ] / /, ( y e j (y-b/ dy Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 αό 75 Όου ( o o ΜΣ ourier της (. ηλαδή, η σειρά εφαρµογής των ιδιοτήτων Μ.Σ ourier ροσδιορίζεται αό την σειρά εφαρµογών της γνωστής ιδιότητας της αντικατάστασης µεταβλητής στο ολοκλήρωµα ourier. εδοµένου ότι rec( {, για < ½, οουδήοτε αλλού} > rec(( - //4 {, για ( - //4 < ½, οουδήοτε αλλού} {, για ( - / <, οουδήοτε αλλού} {, για -/ < <7/, οουδήοτε αλλού} και οµοίως rec(( //4 {, για -7/ < </, οουδήοτε αλλού} Είσης, sin(6 -> - j/ (δ(-- δ( και 7 cos(5 -> 7/ (δ(-.5 δ(.5 Τέλος, u( -> {δ( /(j} e j6 To ρώτο φίλτρο H ( είναι ιδανικό ζωνοερατό φίλτρο (το φάσµα λάτους του είναι το ίδιο µε του σχήµατος.γ του βιβλίου, H (, -.<< -. και.<<.. Εοµένως τα φάσµατα σηµάτων εισόδου του µεταξύ συχνοτήτων -.<< -. και.<<. ερνούν στην έξοδο του ρώτου φίλτρου ενώ οι υόλοιες συχνότητες αοκότονται. To δεύτερο φίλτρο H ( είναι ιδανικό βαθυερατό φίλτρο (το φάσµα λάτους του είναι το ίδιο µε του σχήµατος.α του βιβλίου, H (, -.6<<.6. Εοµένως τα φάσµατα εξόδου του ρώτου φίλτρου µεταξύ συχνοτήτων -.6<<.6 ερνούν στην έξοδο του δεύτερου φίλτρου ενώ οι υόλοιες συχνότητες αοκότονται. Κατά συνέεια το ζητούµενο φάσµα για το ρώτο φίλτρο είναι (/j rec((- //4 e -j4(- / - (/j rec(( //4 e -j4( / 7/ (δ(-.5 δ(.5 /(je j6 - j/ (δ(-- δ(, για -.<< -. και.<<. και οουδήοτε αλλού Ενώ το ζητούµενο φάσµα για το δεύτερο φίλτρο είναι (/j rec((- //4 e -j4(- / - (/j rec(( //4 e -j4( / 7/ (δ(-.5 δ(.5 /(je j6, -.6<< -. και.<<.6 και οουδήοτε αλλού Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 αό 75 5.. ΘΕΜΑ 5 ΓΕ5 56 Να θεωρήσετε το σήµα ( εριορισµένης ζώνης το φάσµα του οοίου φαίνεται στο σχήµα. Το σήµα αυτό µεταδίδεται σε ένα τηλεικοινωνιακό κανάλι του οοίου τα χαρακτηριστικά φαίνονται στο σχήµα. (α Να σχεδιάσετε το φάσµα του σήµατος s( στην έξοδο του τηλεικοινωνιακού καναλιού. (β Να ροτείνετε ένα τηλεικοινωνιακό σύστηµα ου ανακτά το αρχικό σήµα ( αό το σήµα s(. Σχήµα Σχήµα Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 αό 75 ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α Το σήµα m( µορεί να εριγραφεί στο εδίο του χρόνου ως εξής: m((*cos(4 Με βάση την ιδιότητα του µετασχηµατισµού ourier για µετατόιση του σήµατος στο εδίο της συχνότητας το σήµα m( µορεί να εριγραφεί Μ( ω ( ω 4 ( ω 4 Είσης S(ωΜ(ωΗ(ω (β To αρχικό σήµα µορεί να ροκύψει ως εξής; Το σήµα G(ω µορεί να ροκύψει Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 74 αό 75 G ( ω S( ω 4 S( ω 4 Το φάσµα του σήµατος φαίνεται στο σχήµα ου ακολουθεί Υ(ωG(ωΗ(ω Το φάσµα του Υ(ω είναι το ακόλουθο Νίκος ηµητρίου /6/8
ΕΑΠ/ΠΛΗ 75 αό 75 Νίκος ηµητρίου /6/8