1 Ponovitev mtemtike z kemijske inženirje 1.1 Vektorji Vektor v 3-rzsežnem prostoru lhko npišemo kot trojico števil: = 1,, 3. Števil 1,, 3 po vrsti oznčujejo komponente vektorj v, y in z smeri krtezičneg koordintneg sistem. Vektorje si intuitivno predstvljmo kot puščice v 3-rzsežnem prostoru. Če želimo poznti nek vektor, mormo poznti tko njegovo velikost kot smer. Vektor rzstvimo n komponente z Dogovor z risnje vektorjev v rvnini 3 y vektor iz list vektor v list 1 Ničelni vektor: 0 = 0, 0, 0 Seštevnje in odštevnje vektorjev: ± = 1 ± 1, ±, 3 ± 3 Množenje vektorj s sklrjem relnim številom α: α = α 1,, 3 = α 1, α, α 3 Norm velikost vektorj: = 1 + + 3 = Sklrni produkt: produkt velikosti prveg vektorj in velikosti projekcije drugeg vektorj n prveg Vektorski produkt: po velikosti enk ploščini prlelogrm n sliki proj φ φ 1
Sklrni prodkut dveh vektorjev: = 1,, 3 1,, 3 = 1 1 + + 3 3 komuttivnost : = distriutivnost : + c = + c = cos ϕ = proj = proj = 0 0 = 0 = 0 = 0 kot med vektorjem: ϕ = rccos Vektorski produkt: če izeremo ortonormirno zo î = 1, 0, 0 ĵ = 0, 1, 0 ˆk = 0, 0, 1 velj î ĵ ˆk = 1,, 3 1,, 3 = 1 3 1 3 = 3 3, 1 3 + 3 1, 1 1 ntikomuttivnost : = distriutivnost : + c = + c velikost : smer : = sin ϕ prvilo desneg vijk Vektorski produkt je po velikosti enk ploščini prlelogrm, ki g določt vektorj in, smer p določimo s prvilom desneg vijk: s prsti desne roke zkrožimo od prveg vekorj proti drugemu vektorju v smeri mnjšeg kot; smer desneg vijk je definirn s smerjo plc pri omenjenem giu. Vektorski produkt je vedno prvokoten tko n kot n. Prvilo desneg vijk Pri sklrnem produktu dveh vektorjev doimo sklr število, pri vektorskem produktu p je rezultt vektor. Opom: v nekterih učenikih se vektorji nmesto s puščico oznčujejo z odeeljenim tiskom npr. nmesto. Norm vektorj se včsih oznčuje z dvojno črto, torej nmesto.
1. Kvdrtn enč Kvdrtn enč v relnih številih je enč olike + + c = 0, kjer so, in c nek reln števil, p neznnk. Kvdrtn enč im z kompleksne vedno dve rešitvi 1 in ne nujno rzlični, ki jih lhko zpišemo z nslednjim predpisom: 1 = + 4c = 4c Iz teh predpisov tudi vidimo, d je število relnih rešitev odvisno od vrednosti izrz pod korenom D 4c; prvimo mu diskriminnt kvdrtne enče. 1. Če je D < 0, kvdrtn enč nim relnih rešitev im kompleksni rešitvi.. Če je D = 0, st rešitvi 1 in enki, in sicer /. 3. Če je D > 0, im kvdrtn enč dve rzlični relni rešitvi 1 in. Rzloge z rzlično število rešitev kvdrtne enče si lhko predstvljmo tudi geometrično. Kvdrtno enčo prepišemo v drugčno oliko: = + c. Če si levo in desno strn predstvljmo kot funkciji spremenljivke, n levi prepoznmo prolo, n desni p linerno funkcijo premico. Točke, ki djo enko vrednost n oeh strneh, so presečišč omenjenih funkcij. S kvdrtno enčo torej iščemo presečišč prole in premice: immo 0, 1 li presečišči, kot prikzuje spodnj slik; to rvno ustrez primerom D < 0, D = 0 in D > 0. Ni rešitev 1 rešitev: 1 = rzlični rešitvi: 1 in + c - 1 + c - 1 + c - D < 0 D = 0 D > 0 3
1.3 Odvodi Nj o f funkcij, ki slik iz relnih števil v reln števil: f : R R. Vsk R funkcij f preslik v f, kr zpišemo kot f. Množico vseh prov, f imenujemo grf funkcije f. Odvod funkcije f v točki 0 R oznčimo z f 0 li df d 0 in je definirn z limito: f f 0 + ε f 0 0 = lim. ε 0 ε Odvod funkcije f v točki 0 si intuitivno lhko predstvljmo kot nklon tngente n grf f v točki 0, kr je hitrost spreminjnj funkcije f v točki 0 ; tngent n f skozi točko 0 je premic, ki se v točki 0, f 0 dotik grf funkcije f. To lhko vidimo, če v definiciji odvod nmesto 0 pišemo 1, nmesto 0 + ε pišemo, ter z generičnim zpisom y = f definirmo y = f in y 1 = f 1. Potem velj f 1 = y y 1 lim = tn α 1 1 Izrz v limiti je enk nklonu premice, ki gre skozi točki 1, y 1 in, y n grfu funkcije f, torej nklonu seknte. Ko točko pomikmo vedno ližje 1, se seknt vedno olj priližuje tngenti; v limiti 1 seknt postne tngent. f Grf funkcije Odvod: v limiti ε 0 seknt postne tngent f f 0 +ε f 0 α ε y Enč seknte: y = f 0 + k - 0 k = f 0+ε-f 0 ε 0 0 +ε Z odvjnjem iz funkcije f doimo novo funkcijo f, ktere vrednost f je enk odvodu funkcije f v točki. Primer izrčun odvod prek definicije: z f = je f f + ε f + ε ε + ε = lim = lim = lim = lim + ε = ε 0 ε ε 0 ε ε 0 ε ε 0 Nekj prvil odvjnj in tel odvodov pogostih funkcij ooje skupj v prksi zdošč z odvjnje poljune funkcije: vsot/rzlik : f ± g = f ± g produkt s konstnto : f = f produkt : f g = f g + f g kvocient : f f g fg = g g kjer je g 0 kompozitum : fg = f g g Ekstremi funkcije: f n sin cos e ln f 0 1 n n 1 cos sin e ln 1/ Potreni pogoj, d im funkcij f v točki 0 loklni ekstrem, je f 0 = 0. Zdostni pogoj z loklni mksimum v 0 : f 0 = 0, f 0 < 0. Zdostni pogoj z loklni minimum v 0 : f 0 = 0, f 0 > 0. Zdostni pogoj z prevoj v 0 : f 0 = 0, f 0 = 0, f 0 0. Primeri onkrj zgornjih zdostnih pogojev: 4 im v 0 minimum, 5 im v 0 prevoj. 4
f Zveznost in odvedljivost f Ekstremi in prevoji lok. mksimum funkcij tu ni zvezn funkcij je tu zvezn, ni odvedljiv ker je zlomljen lok. minimum prevoj 1.4 Integrli Če immo funkciji f in F prvimo, d je F nedoločen integrl funkcije f, kdr je F = f. Pišemo: F = f d. Vidimo, d je integrl po d inverzn funkcij odvjnj po. Nedoločen integrl je v resnici nedoločen do konstnte, sj z poljuno konstnto C velj F + C = F = f, torej je tudi F + C nedoločen integrl funkcije f. Zto generično pišemo f d = F + C. Prvil integrcije in tel nedoločenih integrlov pogostih funkcij pisno rez generične konstnte C: f vsot/rzlik : ± g d = f d ± g d produkt s konstnto : A f d = A f d f 1 n 1/ sin cos e f d / n+1 n+1 ln cos sin e Osnovni izrek nlize: f d = F F, kjer je F eden od nedoločenih integrlov f. Določeni integrl funkcije f nm pove ploščino lik pod krivuljo grf. Integrl je enk ploščini pod krivuljo f Porvni del: Omočj, kjer je f < 0, fd = F-F k integrlu prispevjo negtivno. + + - - 5
1.5 Kotne funckije Kote lhko merimo v stopinjh li rdinih. Slednji so nrvne enote z merjenje kotov, sj se velikost kot v teh enoth ujem z dolžino lok pri krožnici z rdijem 1. Polni kot je enk 360 ozirom π rdinov, zto se iz rdinov v stopinje pretvori tko, d se število rdinov množi s 180 /π. Zirk formul z kotne funkcije: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, cos ϕ = 1 eiϕ + e iϕ, sin ϕ = i eiϕ e iϕ, tn ϕ = sin ϕ cos ϕ = ieiϕ e iϕ e iϕ + e iϕ, sin ϕ = cos π ϕ, 1 = sin ϕ + cos ϕ, sinα ± β = sin α cos β ± sin β cos α, cosα ± β = cos α cos β sin α sin β, tnα ± β = cos α + cos β = cos cos α cos β = sin sin α ± sin β = sin tn α ± tn β 1 tn α tn β, α+β α+β α±β cos sin cos α β α β α β,,, 1.6 Tylorjev vrst Z nlitične funkcije f : R R lhko z dovolj lizu nprvimo rvoj v Tylorjevo vrsto okrog je neko relno število: f = f + 1 1! f + 1! f + 1 3! 3 f +... Nekj primerov rzvoj z = 0: e = 1 + + 1! + 1 3! 3 +... sin = 1 3! 3 + 1 5! 5... cos = 1 1! + 1 4! 4... 1 1 = 1 + + + 3 +... < 1. Z mjhne lizu 0 ozirom 1 zto veljjo nslednji priližki: e 1 + sin, cos 1 /, 1 1 1 +. 6