ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από τον Φοιτητή: 5 εκεµβρίου 006 Οι ασκήσεις της εργασίας αναφέρονται στα θέµατα : Κεφάλαιο (Χώροι εσωτερικού γινοµένου) Κεφάλαιο 4 (Γραµµικοί µετασχηµατισµοί) Κεφάλαιο 5 5 (Χαρακτηριστικά µεγέθη- ιαγωνοποίηση ) του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Γραµµική Άλγεβρα» των Μ Χατζηνικολάου και Γρ Καµβύσα Βοηθητικό υλικό: Για την εργασία µπορείτε να συµβουλευθείτε το υλικό που υπάρχει στη διεύθυνση http://edueapgr/pli/pli/studentshtm Από το Ε Υ: Κεφ 7 Βάση και ιάσταση Κεφ 8 Γραµµικές Απεικονίσεις Κεφ 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφ 0 ιαγωνοποίηση Από το ΣΕY: Οι Χώροι R^n ιανυσµατικοί Χώροι Γραµµικές απεικονίσεις Ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα ιαγωνοποίηση ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ

ech and Math wwwtechandmathgr ( 5 µον) 0 ίνεται ο πίνακας A = 0 και θεωρούµε το σύνολο 5 4 4 { X AX 0} N( A) = R : = i) Να αποδείξετε ότι το σύνολο N( A ) είναι υπόχωρος του 4 R και να βρείτε µία βάση του (5 µον ) N A χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο των ii) Να βρείτε µια ορθοκανονική βάση του ( ) Gram-Schmidt (5 µον ) A X = ; (5 µον ) iii) Έχει λύση το σύστηµα [ ] Λύση XY N A AX= 0 και A Y= 0 Έτσι για κάθε k λ R έχουµε i) Αν ( ) ( + λ ) = ( ) + λ( ) = ( ) AkX Y k AX AY 0 N A υπόχωρος Η κλιµακωτή µορφή του πίνακα A είναι Συνεπώς το σύστηµα A X= 0 0 0 0 0 0 5 4 0 0 0 0 0 0 είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα x + x x = 0 x = x + x x + x + x = 0 x = x x 4 4 4 4 Από όπου έχουµε ότι x x + x 4 x x x 4 x x 4 x x 0 x4 x4 0 X = = = + είναι η γενική λύση του συστήµατος και συµπεραίνουµε ότι τα διανύσµατα η = [ 0] η = [ ] είναι βάση του N( A ) ii) Θέτουµε = = [ ] 0 ξ η 0 και ξ = η + λξ η η Από την ισότητα ξ ξ = 0 λ = = Συνεπώς η η ξ 8 = [ 0 ] + [ 0] =

ech and Math wwwtechandmathgr Η ορθοκανονική βάση είναι : ξ ξ = 0 ξ ξ 8 8 = 75 = 75 75 75 75 0 iii) Ο επαυξηµένος πίνακας 0 έχει κλιµακωτή µορφή 5 4 0 0 Το σύστηµα είναι συµβιβαστό και έχει λύση : 0 0 0 0 0 x = x+ x4 x = x x4 για κάθε x x4 R ( 0 µον) ------------------------------------------------------------ Θεωρούµε την απεικόνιση f : R R f( x y z) = ( x+ y+ z y a + b x+ y+ z) Α) Να βρεθούν : i) οι τιµές των ab R ώστε η f να είναι γραµµική ( µον ) Για τις τιµές αυτές των a b να προσδιορισθούν: ii) ο πίνακας της f ως προς την κανονική βάση του R και η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα αυτού (5 µον ) iii) βάση και διάσταση των υπόχωρων ker f και Im f (5 µον ) iv) οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της f (5 µον ) Β) Είναι η f αντιστρέψιµη; Είναι η f επί; ( µον) Υπόδειξη: οι απαντήσεις στο Β) µπορούν να βασιστούν στα αποτελέσµατα του Α) Λύση : Α) i) Από την ισότητα όπου w = ( x y z ) i i i i έχουµε ( ) f( kw + λw ) = kf( w ) + λ f w a a a ( λ ) λ ( λ) ky + y + b = ky + y + k + b για κάθε k λ R η οποία ισχύει ακριβώς όταν a= b= 0

ech and Math wwwtechandmathgr ii) Επειδή f ( e) = ( 0 ) = e+ e f ( e) = ( ) = e+ e + e f ( e) = ( 0 ) = e+ e ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης είναι F = 0 0 Η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του είναι : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ker f = x: f x = 0 = x: Fx= 0 iii) { ( ) } { } = : 0 0 x x= 0 0 = : 0 0 x x= 0 = 0 0 0 x: = 0 + = 0 { x x x } = { x: x= c[ 0 ] c R} και από εδώ συµπεραίνουµε ότι dim( ker f ) = Από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πινακα F έχουµε ότι οι δύο πρώτες στηλες του πινακα Φ αποτελουν βάση του χώρου στηλών Αρα { f ( ) f ( ) } Im f και συνεπώς dim( Im f ) = iv) Οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της f είναι εκείνα του πίνακα F Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του F είναι e e είναι βάση του λ λ det ( F λi) = 0 λ 0 = ( λ) = λ( λ)( λ ) λ λ και οι ρίζες του είναι οι ιδιοτιµές : λ = 0 λ = λ = Για λ = 0 το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα που προκύπτει από τη λύση του συστήµατος x 0 = [ ] F = x 0 Για λ = το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα που προκύπτει από τη λύση του συστήµατος ( F I) x= 0 = [ ] x 4 4

ech and Math wwwtechandmathgr Για λ = το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα που προκύπτει από τη λύση του συστήµατος ( F I) x= 0 = [ ] x 0 Β) Επειδή ker f 0 η απεικόνιση f είναι ιδιάζουσα (Ορισµός 4 σελ 9) και από το θεώρηµα 45 συµπεραίνουµε ότι η f είναι µη αντιστρέψιµη Επιπλέον επειδή η f δεν αντιστρέφεται δεν είναι και επί (βλέπε ισοδυναµίες του θεωρήµατος 47 σελ ) ------------------------------------------------------------ (5 µον) Α) (0 µον) Να δείξετε ότι η απεικόνιση f : M ( ) M ( ) που ορίζεται από τη σχέση f ( A) = A+ A είναι γραµµική και να βρείτε βάση του πυρήνα και της εικόνας της f Β) (5 µον) είξτε ότι κάθε πίνακας A M ( ) µπορεί να γραφεί ως το άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντισυµµετρικού πίνακα (Συµµετρικός είναι ένας πίνακας Β µε στοιχεία bi j= bj iκαι αντισυµµετρικός είναι ένας πίνακας C µε στοιχεία ci j= cj i) Λύση : Α) Αν AB M ( ) η f είναι γραµµική διότι f ( ka + λb) = ( ka + λb) + ( ka + λb) = k ( A + A ) + λ( B + B ) = kf ( A) + λ f ( B) Για τον πυρήνα έχουµε: 0 a ker f = { A: f ( A) = O} = { A: A+ A = O} = : a a 0 R 0 Προφανώς ο πίνακας 0 είναι βάση του ker f Για την εικόνα a b+ c Im f = { A+ A : A M ( ) } = : a b c d b c d R + 0 0 0 0 = a d ( b c) 0 0 + + + 0 0 0 Οι πίνακες 0 0 0 0 0 και 0 0 είναι βάση του υποχώρου Im f Β) Έστω A= X + Y όπου X = X Y = Y Τότε A = X + Y = X Y µε συνέπεια X = A+ A X = ( A+ A ) και Y = A A Y = ( A A ) ------------------------------------------------------------ 5

ech and Math wwwtechandmathgr 4 ( 5 µον) Α) ( 0 µον ) Για τον πίνακα A = να αποδείξετε ότι : 4 i) αντιστρέφεται και να υπολογίσετε τον A ii) διαγωνοποιείται και να βρείτε τη διαγώνια µορφή του D και έναν πίνακα P που διαγωνιοποιεί τον Α µέσω της σχέσης P AP= D k iii) Να υπολογίσετε τον A k N και µε βάση το αποτέλεσµα αυτό να 006 υπολογίσετε τον πίνακα I + A+ A + + A 5 4 Β) ( 5 µον ) Έστω ο πίνακας A = 6 5 Nα αποδείξετε ότι για κάθε km N Λύση : ( ) k m+ A A I I A + = Α) i) O πίνακας A αντιστρέφεται διότι det A = 4 + = 0 Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε αν εφαρµόσουµε τη σχέση (5) της σελίδας 68 αφού υπολογίσουµε πρώτα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο οπότε η (5) δίνει ( ) ( A λi) λ λ det = = det A = 0 άρα ο πίνακας A αντιστρέφεται Από το θεώρηµα 5 (Cayley Hamilton σελ 7) έχουµε Πολλαπλασιάζοντας την ισότητα επί A έχουµε λ ( ) ( ) 4 4 4 A A = O A = A A = A = A = A = I = I A I =O ii) Επειδή ο πίνακας A έχει διακεκριµένες ιδιοτιµές λ = και λ = διαγωνοποιείται (Παρατήρηση σελ 84) Για x 0 x λ = έχουµε το σύστηµα ( A I) = x = x = [ ] αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα Για λ = έχουµε το σύστηµα ( A+ I) = y = y = [ ] αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα Συνεπώς P = D 0 = 0 y 0 y 6

ech and Math wwwtechandmathgr iii) Επειδή D A = A A= A Συνεπώς = I από την ισότητα 4 A = A A = I και γενικά A PDP A PD P PIP I = = = = k A = I A = A k N k ( ) 006 I + A+ A + + A = I + A+ I + A+ + A+ I = I + 00 A+ I = 00A+ 004I Β) Έχουµε ( A λi) 5 λ 4 det = = 6 5 λ Συνεπώς από το θεώρηµα Cayley Hamilton έχουµε λ A I = O και επιπλέον k m ( ) ( ) ( ) k m+ A A I I I A I I A I A + = + = = ------------------------------------------------------------ 5 ( 5 µον) 6 A) ( 0 µον) Βρείτε λύσεις της εξίσωσης X = A όπου A = 7 Υπόδειξη: Βρείτε έναν πίνακα Ρ που διαγωνιοποιεί τον Α µέσω της σχέσης P AP= D Κατόπιν ορίστε έναν πίνακα Y = P XPκαι δείξτε ότι Y = D Προσδιορίστε έτσι κάποιες λύσεις για το Υ και από αυτές υπολογίστε τα αντίστοιχα Χ B) ( 5 µον) Να βρείτε έναν ορθογώνιο πίνακα A µε η γραµµή και βρείτε 5 5 ορθοµοναδιαίο πίνακα P τέτοιον ώστε A= PDP όπου D είναι διαγώνιος πίνακας Υπόδειξη: Για την επίλυση του ερωτήµατος B) θα πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τις u u του πίνακα A Στη συνέχεια θα ιδιοτιµές { λ λ } και τα ιδιοδιανύσµατα { } πρέπει να δηµιουργήσετε µια ορθοκανονική βάση τα διανύσµατα της οποίας θα αποτελέσουν τις στήλες του πίνακα P Λύση : Α) Ο πίνακας A διαγωνοποιείται διότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι ( A I) 6 λ λ λ λ 7 λ det = = + 6 άρα οι ρίζες του είναι διακεκριµένες λ = 4 λ = 9 Για λ = 4 αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα και λ = 9 αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα x = y = Συνεπώς 4 0 A = 0 9 και οι 4 πίνακες 7

ech and Math wwwtechandmathgr επαληθεύουν την εξίσωση X ± 0 = 0 ± Β) Αν [ a b ] είναι η η γραµµή του πίνακα A πρέπει αυτή να είναι κάθετη στην η γραµµή και να έχει µέτρο Έτσι έχουµε [ ] a b = 0 a+ b= 0 [ a b] = b[ ] Για b = η η 5 5 5 γραµµή είναι 5 5 Για τον πίνακα A = 5 το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι det ( A λi) = λ λ+ = 0 άρα οι ιδιοτιµές του A είναι λ = ( + i) 5 5 λ = ( i) και αντίστοιχα µοναδιαία ιδιοδιανύσµατα 5 i y = Συνεπώς i P = i + i 0 D = 5 0 i i x = και ------------------------------------------------------------ 6 (0 µον) Αφού µελετήσετε τις παραγρ 5 του Κεφαλαίου του βιβλίου απαντήστε στα ακόλουθα ζητήµατα: Α) (4 µον) Επαληθεύστε τον κανόνα του παραλληλογράµµου a+b + a-b = a + b για δύο διανύσµατα ενός n διάστατου Ευκλείδειου διανυσµατικού χώρου: a= ( a a an) b = ( b b bn) Β) (6 µον) Αν ισχύει για τα δύο διανύσµατα του Α) ότι a = b : είξτε ότι τα διανύσµατα a+bκαι a-bείναι µεταξύ τους ορθογώνια Κατόπιν θέτοντας n = και υποθέτοντας ότι τα διανύσµατα a= ( a a) b = ( b b) είναι διαδοχικές πλευρές ενός ρόµβου δείξτε ότι οι διαγώνιοι του ρόµβου είναι κάθετοι µεταξύ τους και ότι διχοτοµούν την γωνία µεταξύ των διανυσµάτων 8

ech and Math wwwtechandmathgr n Λύση : Α) Για ab R σύµφωνα µε την (0) σελ 5 και την (0) σελ 46 έχουµε διότι ab=ba=ab Όµοια ( ) ( ) ( ) ( ) a+b = a+b a+b = a+b a+b = a a+b a+a b+b b= a + b + a b ( ) ( ) ( ) ( ) a b = a b a b = a b a b = aa ba ab+bb=a + b ab Προσθέτοντας συµπεραίνουµε άµεσα τον κανόνα του παραλληλογράµµου Β) Πράγµατι τα διανύσµατα a+b a b είναι ορθογώνια διότι ( ) ( ) ( ) ( ) a+b a b = a+b a b =a a+b a a b b b= a b = 0 Αν a = ( a a ) = ( b b ) b είναι διαδοχικές πλευρές ρόµβου τότε a = b και οι διαγώνιοι του ρόµβου είναι τα διανύσµατα a+b και είναι κάθετα Επειδή και ( a+b) ( a a) ( a b a b) ( ) ( ) a = + + = a a + b + a a + b = a + ab + a b + a ( a+b) ( b b) ( a b a b) ( ) ( ) b = + + έχουµε a ( a+b) = b ( a+b ) διότι ( a a+b) = ( b a+b) = b a + b + b a + b = b + ba + b a + b a b που όπως αποδείχθηκε a = b a + a = b + b Συνεπώς δηλαδή a+b διχοτοµεί τη γωνία των ab Όµοια αποδεικνύεται ότι ( ) + ( ) = 0 a a b b a b δηλαδή ότι a b διχοτοµεί την παραπληρωµατική γωνία των ab 7 (0 µον) ------------------------------------------------------------ Στην ιστοσελίδα της θεµατικής µας ενότητας υπάρχει υλικό σχετικό µε το MALAB Βοήθεια για τη χρήση µίας εντολής πχ της inv( ) µπορεί να βρεθεί µε τη χρήση της εντολής help inv 9

ech and Math wwwtechandmathgr Στη άσκηση που ακολουθεί θα παραδώσετε ως λύση τόσο τις εντολές που πληκτρολογήσατε όσο και τα αποτελέσµατα που σας επέστρεψε το πρόγραµµα όπου χρειάζεται συµπληρώστε τα σχόλιά σας Ορίστε στο MALAB ή στην Octave τον πίνακα 0 5 6 4 0 A = 0 0 4 6 0 0 0 5 0 0 0 6 5 Με τη χρήση της συνάρτησης poly( ) να βρεθούν οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του πίνακα Στη συνέχεια µε τη χρήση της εντολής roots( ) να υπολογιστούν οι ρίζες του δηλαδή οι ιδιοτιµές του πίνακα Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα µε τη χρήση της συνάρτησης eig( ) Nα δηµιουργήσετε έναν πίνακα P o οποίος να έχει στήλες τα ιδιοδιανύσµατα που υπολογίσθηκαν Τι συµπέρασµα προκύπτει για τη διαγωνοποίηση του πίνακα; Με βάση τα αποτελέσµατα της eig( ) και τη χρήση της εντολής inv( ) που υπολογίζει τον αντίστροφο πίνακα να υπολογιστεί ο πίνακας B =Α P D P Είναι το αποτέλεσµα το αναµενόµενο; Λύση : Στο MALAB ή στην Octave ορίζουµε τον πίνακα >> A=[ 0 5 -; 6-4 0;0 0 4 6 0;0 0 - -5 0;0 0 - -6-5] Το περιβάλλον µας παρουσιάζει A = 0 5-6 -4 0 0 0 4 6 0 0 0 - -5 0 0 0 - -6-5 Με τη χρήση της poly( ) µας δίνονται οι συντελεστές του χαρακτηριστικού 5 4 πολυωνύµου που στην περίπτωσή µας είναι το px ( ) = x+ x x x + 6x 40 > >p=poly(a) p = 0000 0000-0000 -0000 60000-400000 0

ech and Math wwwtechandmathgr Η εντολή roots( ) υπολογίζει τις ρίζες ενός πολυωνύµου οπότε εδώ θα είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα A >> roots(p) ans = -50000 40000-0000 0000 0000 Η εντολή eig( ) υπολογίζει τις ιδιοτιµές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα ενός τετραγωνικού πίνακα A όταν γράφεται µε την ακόλουθη µορφή : >> [P D]=eig(A) P = -08944-0707 -08944-076 04056 0447-0707 0447 05789-00507 0 0-00000 -07 00000 0 0 00000 07-00000 0 0-00000 -07 096 D = 0000 0 0 0 0 0 40000 0 0 0 0 0 0000 0 0 0 0 0-0000 0 0 0 0 0-50000 Ο πίνακας D είναι διαγώνιος µε διαγώνια στοιχεία την ιδιοτιµές του πίνακα Ο πίνακας P περιέχει τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα επειδή κάθε στήλη του αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή της αντίστοιχης στήλης του D Ο πίνακας έχει πέντε ιδιοτιµές µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα γραµµικώς εξαρτηµένα παρατηρήστε ότι ο πίνακας P έχει την η και την η στήλη ίσες άρα η ορίζουσα του πίνακα είναι µηδέν

ech and Math wwwtechandmathgr Σύµφωνα µε την µεθοδολογία διαγωνοποίησης σελίδα 86 ο πίνακας A δε διαγωνοποιείται Ωστόσο αν πληκτρολογήσουµε την εντολή >> d=det(p) d = -5997e-07 το τελευταίο αποτέλεσµα δίνει στo MALAB τη δυνατότητα να υπολογίσει και αντίστροφο πίνακα στον P όπως παρατηρούµε στη συνέχεια Φυσικά ο πίνακας Β δεν ορίζεται µια και ο P δεν είναι αντιστρέψιµος ωστόσο λόγω σφαλµάτων της προσέγγισης και της αριθµητικής του υπολογιστή αν πληκτρολογήσουµε την εντολή >> d=det(p) d = -5997e-07 το οποίο σηµαίνει ότι η ορίζουσα του P είναι σχεδόν µηδέν αυτό το αποτέλεσµα δίνει στο MALAB τη δυνατότητα να υπολογίσει και αντίστροφο πίνακα στον P αφού βέβαια µας προειδοποιήσει όπως παρατηρούµε στη συνέχεια >> inv(p) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled Results may be inaccurate RCOND = 7869e-07 ans = 0e+06 * -00000 00000 749 749-00000 -00000-00000 -00000-00000 00000 0 0-749 -749 0 0 0 00000 00000 0 0 0 00000 00000 00000 Οπότε >> B=A-P*D*inv(P)

ech and Math wwwtechandmathgr B = 0 0-44444 -8889-78 00000 0 0556 069 0 0 00000 00000 00000 0 0-00000 -00000-00000 0 0-00000 -00000 0 -----------------------------------