Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο δύο µη πραγµατικών µιγαδικών αριθµών και w είναι πραγµατικοί αριθµοί, να δείξετε ότι οι,w είναι συζυγείς β Αν το άθροισµα δύο µιγαδικών αριθµών είναι πραγµατικός αριθµός και η διαφορά τους είναι φανταστικός αριθµός, να δειθεί ότι οι αριθµοί αυτοί είναι συζυγείς µιγαδικοί x yi 4 Να βρείτε τους,ψ R για τους οποίους ισύει = i i i 4 Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ ο αριθµός α πραγµατικός, β φανταστικός; = ( λ i ( i είναι 5 Αν =-λi, =λi (λ R δύο µιγαδικοί αριθµοί, να βρείτε τον αριθµό λ ώστε ο αριθµός να είναι α πραγµατικός β φανταστικός 6 Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί,ψ για τους οποίους οι µιγαδικοί αριθµοί =( ψ4i και w=- ψi είναι συζυγείς 7 Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α,β για τους οποίους οι µιγαδικοί αριθµοί =(-αβ-(αβi και w=(βα(β-αi είναι συζυγείς 8 Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς α,β,γ, µε γ 0 αποδειθεί ότι 4(α-β(α-βγi=α-0i α β ισύει: = =, να γ 00 9 (α Να αποδείξετε ότι ο αριθµός = ( i είναι πραγµατικός και µάλιστα αρνητικός (β Να γράψετε στη µορφή αβi, α,β R τον αριθµό w=(-i 45 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
0 ίνεται ο µιγαδικός αριθµός f(ν=, i ν ν Ν, C α Να βρείτε το f(0f(7f(0f(9, β Να λυθεί ως προς εξίσωση f(4κ=, κ Ν Για τις διάφορες τιµές του φυσικού αριθµού ν, να βρεθούν οι τιµές της παράστασης: Α=-ii -i (- ν i ν α Αν οι φυσικοί αριθµοί κ,λ,µ,ν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν µε κ λ µ ν το 4, να δειθεί ότι i i i i = β Αν οι φυσικοί αριθµοί λ,µ,ν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν µε λ µ ν το 4, να δειθεί ότι i = i = i Να υπολογίσετε το γινόµενο Α= i i i i 00 4 α Να λύσετε την εξίσωση ( (- = 0 στο σύνολο C β Αν, είναι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης [Im( >0], να γράψετε τον i µιγαδικό αριθµό στη µορφή αβi, µε α,β R 5 Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α,β αν γνωρίζουµε ότι οι εξισώσεις αβ=0 και i 00 -(i= έουν κοινή ρίζα 6 Έστω ο µιγαδικός 8i = 6 w, -6 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μ( των µιγαδικών στις παρακάτω περιπτώσεις: α w R β w I γ w R δim(w<0 7 Να αποδείξετε ότι αν ισύει w 8 Αν = είναι φανταστικός ai = ai = και, α R, δείξτε ότι α R, β =, τότε ο αριθµός φανταστικός Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
9 Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις να προσδιορίσετε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο: i =(λ(λ-i, λ R, ii =(λλi, λ R, iii =λ λ i, λ>0, iv =συνθ-(ηµθi, θ R, v =, λ R λ i β ai 0 Αν α,β,γ R * να δείξετε ότι ο αριθµός u= είναι φανταστικός αν και µόνο βγi αν οι αριθµοί α,β,γ είναι διαδοικοί όροι γεωµετρικής προόδου i Αν ο αριθµός u = είναι πραγµατικός, να αποδειθεί ότι η εικόνα Μ του 5 κινείται σε µια ευθεία (ε Μπορεί το σηµείο Μ να πάρει οποιαδήποτε θέση πάνω στην ευθεία (ε; ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί και w οι οποίοι συνδέονται µε την σέση w= Αν A,B είναι οι εικόνες των και w αντίστοια στο µιγαδικό επίπεδο (α να δειθεί ότι η ευθεία ΑΒ διέρεται από την αρή των αξόνων, (β (i αν το Α κινείται στην ευθεία ψ=, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του Β, (ii αν το B κινείται στην ευθεία ψ=, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του A ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,w οι οποίοι συνδέονται µε τη σέση : w = ( Αν η εικόνα Μ του ανήκει στον κύκλο (- ψ =, να αποδειθεί ότι η εικόνα του w ανήκει επίσης σε κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε την εξίσωση 4 Από τους µιγαδικούς αριθµούς, σηµατίζουµε τους αριθµούς: =, = i ω Να δειθεί ότι αν οι, µιγαδικοί, τότε οι,ψ,ω είναι πραγµατικοί αριθµοί ψ και = είναι συζυγείς 5 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των µη πραγµατικών αριθµών για τους ποίους οι εικόνες των αριθµών, και στο µιγαδικό επίπεδο είναι συνευθειακά σηµεία Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
6 Να βρείτε δευτεροβάθµια εξίσωση µε πραγµατικούς συντελεστές που να έει ρίζα τον µιγαδικό αριθµό -i 7 Να αποδειθεί ότι η εξίσωση (β-αα β -αβ=0 µε α,β R, έει ρίζες τις =αβ, =αβ, όπου, είναι οι ρίζες της εξίσωσης =0 (Υπόδ Χρησιµοποιήστε τους τύπους του Vieta 8 ίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο µιγαδικοί αριθµοί,,, 4 και έστω w =, w = και w = Να αποδειθεί ότι αν οι w 4 4,w 4 είναι φανταστικοί, τότε και ο w είναι φανταστικός 9 ίνεται η συνάρτηση f(=-i-(i α να υπολογίσετε τους αριθµούς f(i και f(i, β αν =αβi, να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α,β ώστε να ισύει f(=f(i, γ να αποδείξετε ότι: γ f ( = f (, γ αν ο f( είναι φανταστικός τότε και ο είναι φανταστικός, γ αν f(= f ( τότε ο είναι πραγµατικός 0 ίνεται η εξίσωση (συν θ -(ηµθ -συν π π θ=0 ( µε < θ < α να λυθεί η εξίσωση, β αν Μ είναι η εικόνα στο µιγαδικό επίπεδο εκείνης της ρίζας της ( της οποίας το φανταστικό µέρος είναι θετικό, να δείξετε ότι το Μ κινείται στην υπερβολή ψ - = ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ i ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί = και w=i Να βρείτε τα µέτρα 9 των µιγαδικών αριθµών:, w, -4, w, w,, w 4 w Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 4 από 0
Να βρεθεί το σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α 5 i = 0, β 5 i=0, γ = 0, δ(- i= 7 Αν =-συνθiηµθ, τότε το ( α β γ δ είναι ίσο µε: ε 4 Το i w,,w C, είναι ίσο µε: α w β w γ i w δ i w ε i w 5 Αν C*, αποδείξτε ότι ο αριθµός w= είναι φανταστικός και ότι w 6 Αν =, i = ψ i (,ψ R και 4i = να βρείτε την απόσταση των εικόνων των µιγαδικών, 7 Αν ο είναι µιγαδικός και όι φανταστικός, τότε οι ρίζες της εξίσωσης ( 4 =0 είναι : α θετικές β αρνητικές γ πραγµατικές και άνισες δ φανταστικές ε τίποτε από τα προηγούµενα 8 Έστω η εξίσωση α β α =0, µε α >β>0, που έει ρίζες τις, Nα σηµειώσετε το γράµµα που αντιστοιεί στη σωστή απάντηση α, R β = -4 γ = δ = = ε τίποτε από τα προηγούµενα 9 Για τους µιγαδικούς αριθµούς και να αποδείξετε ότι: ( ( 40 Για τους µιγαδικούς αριθµούς και να αποδείξετε ότι: = ( ( 4 Έστω οι µιγαδικοί,w µε = και w=-4i Να αποδείξετε ότι w 7 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 5 από 0
4 Αν για τον µιγαδικό ισύει --i=5, να αποδείξετε ότι 8 4 6i 8 4 Να αποδείξετε ότι αν για τους µιγαδικούς, ισύει =, τότε = ή =, και αντίστροφα 44 Αν =, να δειτεί ότι = 45 Αν C, να δειθεί ότι: 4= = 46 Αν ισύει =0 να αποδείξετε ότι == και αντίστροφα 47 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί =α -βαi και =βi-, όπου α,β R α να βρείτε τους αριθµούς α,β ώστε οι παραπάνω µιγαδικοί να είναι συζυγείς, β για τις παραπάνω τιµές των α,β που βρήκατε δείξτε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγαδικών για τους οποίους ισύει ia =β i είναι δύο ευθείες παράλληλες 48 Έστω Β,Γ οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών w = i και u= i αντίστοια α να δείξετε ότι τα Β,Γ ανήκουν σε κύκλο κέντρου Ο(0,0 και ακτίνας 4, β έστω Α η εικόνα του uw µιγαδικού = Υπολογίστε τα w-u, u- και w- γ προσδιορίστε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ 49 Αν 005 =i(- 005 να δείξετε ότι Re(= 50 Αν C και ισύει (i 999 =(-i 999, να δείξετε ότι R i 5 είξτε ότι η εξίσωση (i 005 = δεν έει πραγµατική ρίζα i 5 Αν =-i, =4i τότε: α αν = kλi, να αποδείξετε ότι κ=- και λ=, Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 6 από 0
β αν µια ρίζα της εξίσωσης βγ=0, β,γ R, είναι η δείξτε ότι β <8γ και βρείτε τους αριθµούς β,γ, γ να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών για τους οποίους ισύει - = = Να βρείτε i τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο, όταν ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι: α ο πραγµατικός άξονας, β ο φανταστικός άξονας, γ ο κύκλος w= 5 Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση w 54 Έστω οι µιγαδικοί =ψi και w=(-4i (4i, όπου,ψ R Α Να δειθεί ότι w R Β Να βρεθεί ο µιγαδικός, αν ισύει w= 5 Γ Έστω w=50 α να βρεθεί το σύνολο των σηµείων Μ( που είναι εικόνες των µιγαδικών β να βρεθεί ο µιγαδικός που έει το µικρότερο µέτρο 55 ίνεται η συνάρτηση f(=, να αποδείξετε ότι: ( α f(=f(, για κάθε 0 β αν C µε = και τότε να δειθεί ότι f( R 56 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(,ψ του επιπέδου όταν ισύει -i=, όπου =(-(ψ-i µε,ψ R 57 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(,ψ του επιπέδου όταν ισύει i=, όπου =(-(ψ-i µε,ψ R i 5 (, όπου =ψi, τότε: α να βρείτε τα Re(f(, Im(f( ως συνάρτηση των,ψ 58 ίνεται η συνάρτηση f(= i Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 7 από 0
β να δείξετε ότι f(=-ψ 5, γ να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών =ψi αν ισύει f(= 5 i 59 ίνεται η συνάρτηση f(=, όπου C* α αν ισύει f ( = f ( δείξτε ότι R, β αν ισύει f ( = να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο, γ αν ισύει Re(f(= δείξτε ότι οι εικόνες του βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα i 4i 60 ίνεται η συνάρτηση f(=, όπου i και α,β µιγαδικοί αριθµοί µε i α=-i και β= f(-i α να δείξετε ότι αβ= - 4i β να βρείτε τον α όταν α=β γ να λύσετε την εξίσωση f(= -i δ αν f( R, να δείξετε ότι η εικόνα Μ( του στο µιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο µε εξαίρεση το σηµείο (0, 6 Nα αποδειθεί για τους µιγαδικούς αριθµούς,w ότι: 4 w w 4 6 Αν ν φυσικός αριθµός και =(-i(-i (-i 50, να αποδείξετε ότι: 5 5 6 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί =αβi, όπου α,β R, και = i 4 w α να αποδείξετε ότι Re(w=α-β4 και Im(=β-α β να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση ψ=-, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία ψ=- γ να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση ψ=-, έει το ελάιστο µέτρο 64 Να βρεθεί το σύνολο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των µιγαδικών για τους οποίους ισύει η σέση: log(-<0 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 8 από 0
65 Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης 48=0 και Α,Β αντίστοια οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο 4i α να γράψετε τον µιγαδικό αριθµό w= στη µορφή αβi (όπου 8i α,β πραγµατικοί β να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, (όπου Ο η αρή των αξόνων γ να βρείτε την εξίσωση του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΟΒ 66 Να βρεθεί το σύνολο των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των µιγαδικών οι οποίοι έουν την εξής ιδιότητα: ο λόγος των αποστάσεών τους από τα σταθερά σηµεία =0 και = είναι σταθερός και ίσος µε 67 Αν ο µιγαδικός u= ww είναι πραγµατικός, δείξτε ότι w R ή = 68 Αν για τον µιγαδικό ισύει -i=-4 να βρείτε: a Τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων του µιγαδικού, b Τον µιγαδικό µε το ελάιστο µέτρο, c Την ελάιστη τιµή του 69 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στον κύκλο ψ ( ( ( = Να αποδείξετε ότι ο αριθµός w= είναι φανταστικός 70 ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί,, οι οποίοι έουν ίσα µέτρα Αν οι εικόνες των,, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών,, είναι επίσης κορυφές ισόπλευρου τριγώνου 7 Αν ο µιγαδικός αριθµός i w = είναι φανταστικός, δείξτε ότι --i= i i 7 Αν C\{-i} αποδείξτε ότι < Im( > 0 7 είξτε ότι για κάθε,, µιγαδικούς αριθµούς ισύουν οι σέσεις: α Im( Re(, Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 9 από 0
β Im = Re(, γ [ Re( ] = (, δ = Re(, ε i = Im( 74 Για οποιουσδήποτε µιγαδικούς αριθµούς α,β να αποδείξετε ότι β α ( β α = αβ Re( αβ 75 α Αν για τον µιγαδικό ισύει = να δείξετε ότι =, β Αν = και = = = να δείξετε ότι =, γ Αν =0 και = = = να δείξετε ότι =0, = να δ Αν = = = και w ( ( δείξετε ότι w R 76 Aν για τον µιγαδικό ισύουν -= και -, αποδείξτε ότι 77 Για τους µιγαδικούς αριθµούς, ισύει = Να αποδείξετε ότι ο αριθµός είναι φανταστικός 78 Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς και ( 0 ισύει = -, να δειθεί ότι ο αριθµός είναι φανταστικός 79 Έστω λ R και ο µιγαδικός αριθµός λ i = λi α να γράψετε τον στη µορφή αβi, (α,β R β δείξτε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του είναι κύκλος ο οποίος και να βρεθεί, γ αν, δύο τυαίοι µιγαδικοί από τον παραπάνω κύκλο, δείξτε ότι - 4 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 0 από 0
80 ίνεται η εξίσωση -( θ συνθ θ =0, θ [0,π α να βρεθούν οι ρίζες, β Αν Α,Β είναι οι εικόνες των ριζών, αντίστοια στο µιγαδικό επίπεδο, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές (όπου Ο η αρή των αξόνων γ να βρεθεί η τιµή του θ έτσι, ώστε το παραπάνω τρίγωνο ΟΑΒ να είναι ισόπλευρο 8 Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών, αντίστοια στο µιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι: ( ο αριθµός είναι πραγµατικός { = ΟΜ ΟΜ ή τα σηµεία Ο, Μ, Μ είναι συνευθειακά} (όπου Ο η αρή των αξόνων Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ/ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 8 Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( συν α f ( =, 6 β g ( =, ηµ γ h ( =, ln ( 5 δ σ ( = e e, ε 7 5 6 φ ( = Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
8 ίνονται οι συναρτήσεις: f(= αβ και g(=(α -α -6 Nα προσδιορίσετε τις τιµές των α,β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g να έουν κοινά σηµεία πάνω στον άξονα ψψ και στην ευθεία = α α (α α 84 (α ίνονται οι συναρτήσεις: f ( = και g ( = Να α α βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός α για τον οποίο να ισύει f =g ( ( λ λ λ (β ίνονται οι συναρτήσεις: f ( = και g ( = λ λ 5 Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός λ για τον οποίο να ισύει f =g 85 (α Αν για τις συναρτήσεις f,g:r R ισύει: ( f g( [( f g( ] = [( f g( ], για κάθε R, να αποδειτεί ότι f =g (β Να βρεθούν οι συναρτήσεις f,g:r R για τις οποίες ισύει: [( f g( ] ( f g( [ f ( ηµg( συν] = 0, για κάθε R 86 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: (f( 7 7 =, για κάθε R Να αποδειτεί ότι f f = Ι, όπου Ι(=, για κάθε R 87 Αν οι συναρτήσεις f,g:r R είναι γνησίως µονότονες στο R, να αποδειθεί ότι η συνάρτηση g f είναι i γνησίως αύξουσα, αν οι f,g έουν το ίδιο είδος µονοτονίας, ii γνησίως φθίνουσα, αν οι f,g έουν διαφορετικό είδος µονοτονίας Τι συµπεραίνετε για το είδος της µονοτονίας της συνάρτησης F(=-( 5 99 7; 88 (α Αν οι συναρτήσεις f,g:r R είναι «-» να αποδειθεί ότι και η συνάρτηση g f είναι «-» (β Αν η συνάρτηση f:r R είναι «-» να δείξετε ότι το ίδιο συµβαίνει και για την συνάρτηση F(=(f( f(- 89 ίνονται οι συναρτήσεις f:[0, R µε f(= και g:(-,5] R µε g(= - Να βρεθούν, αν υπάρουν, οι συναρτήσεις fof, fog Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
90 ίνονται οι συναρτήσεις f:[, R µε f(= -67 και g:[-,7 R µε f(=µ (µ R (α Να βρεθεί, αν υπάρει, η συνάρτηση gof, (β Να βρεθούν οι τιµές του µ για τις οποίες να ορίζεται η σύνθεση fog 9 ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(= 7 7-7 (α να δειτεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της, (β να λυθεί η ανισότητα: (fof(< 9 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: ( f f ( =, για κάθε R Να αποδειθεί ότι: (α η f δεν είναι «-», (β f(=, (γ η συνάρτηση g(= -f( δεν είναι «-» 9 (α Να δειθεί ότι αν οι συναρτήσεις f,g:r R είναι γνησίως φθίνουσες, τότε και η fg είναι γνησίως φθίνουσα (β Αν α (0, να βρεθούν οι τιµές του αριθµού λ εάν ισύει: α λ 4λ α 5λ0 = λ 9λ 0 94 ίνεται ο πραγµατικός αριθµός α 0 και η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: ( f f ( = α f ( για κάθε R Να αποδειθεί ότι: (α η f είναι «-» (β f(0=0 95 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: f(f(=9-8, για κάθε R (α να δειθεί ότι η f είναι «-», (β να δειθεί ότι f(9-8=9f(-8, για κάθε R, (γ να βρεθεί η τιµή f(, (δ αν η f είναι γνησίως αύξουσα και f(=αβ, να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α,β 96 Να βρεθεί «-» συνάρτηση f:r R για την οποία να ισύει: ( fofof ( = ( fof (, για κάθε R 97 ίνονται οι αριθµοί α,β για τους οποίους ισύει α <4β Υπάρει συνάρτηση f:r R τέτοια, ώστε: f ( f ( ψ a f ( ψ β = 0, για κάθε,ψ R; Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
98 Αν α R, να αποδειθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f α : R R µε f α (=(α- α-(α- διέρονται από δύο σταθερά σηµεία, τα οποία και να βρεθούν 99 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: (f( -f(=, για κάθε R Να δειθεί ότι η f είναι «-» και να βρεθεί η f - 00 Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις f,g:r R ώστε για κάθε R να ισύει: f(>0 και g(<0 f (α να δειθεί ότι η συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη και να βρεθεί το g είδος της µονοτονίας της, (β να λυθεί η ανισότητα: f ( g( f ( g( > 0 0 Να µελετηθούν ως προς την µονοτονία οι συναρτήσεις: α f ( =, =, αν < 0 f ( =, αν 0, αν < 0 f ( =, αν 0 f ( = β f (, γ, δ, ε 0 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύουν: (α f(ψ=f(f(ψ, για κάθε,ψ R, (β f(0 0, (γ η γραφική παράσταση της f τέµνει την ευθεία µε εξίσωση ψ= σε ένα µόνο σηµείο Να αποδειθεί ότι: η γραφική παράσταση της f δεν έει κοινά σηµεία µε τον άξονα, η f είναι «-», για κάθε,ψ f(r ισύει ψ f(r και f - (ψ=f - (f - (ψ 0 Να βρεθεί συνάρτηση f: R R για την οποία να ισύει: f(f(-=, για κάθε R Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 4 από 0
5 Να γίνει το ίδιο για την συνάρτηση g: R * R αν ισύει 4g( g( =, για 4 κάθε 0 04 Να αποδειθεί ότι οι παρακάτω συναρτήσεις αντιστρέφονται και να βρεθεί η αντίστροφή τους α ( =, f β f ( =, γ f ( = 5 6 05 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: α f ( ψ = f ( f ( ψ, για κάθε,ψ R, (όπου α R σταθερά, να δειθεί ότι: (α a, (β αν α= τότε η f είναι σταθερή 06 Αν f(=(α-β- ( a, β R, a, να δειτεί ότι η f αντιστρέφεται Για ποιες τιµές των α,β ισύει f=f ; e e 07 Έστω οι συναρτήσεις f(=-ln και g(= (αν υπάρει η συνάρτηση g - of Να βρεθεί 08 Έστω α R σταθερά Αν η συνάρτηση f:r R είναι γνησίως αύξουσα και g:r R συνάρτηση µε: ( fog ( α f ( f ( g( x α, για κάθε R, να βρεθεί η συνάρτηση g 09 ίνονται οι συναρτήσεις f(=ln και g( Να βρεθεί (αν υπάρει η συνάρτηση gof e = e 0 Να βρεθούν (αν υπάρουν τα ακρότατα των συναρτήσεων: α f ( = 0, β g ( = 4, γ h ( = 4, δ σ ( = 5, [-,, ε φ( 9 =,, > Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 5 από 0
, Να δειθεί ότι η συνάρτηση f:r R µε f(=, > φθίνουσα στο R Είναι η f «-» ; είναι γνησίως ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ οεr Να αποδείξετε ότι: i ii iii = 4 6 4 4 = 4 ( 4 = Να βρεθούν όσα από τα παρακάτω όρια υπάρουν: i ii iii iv v 6 9 6 6 5 4 Αν α,β µη µηδενικοί πραγµατικοί αριθµοί µε a β, αποδείξτε ότι 0 συνασυνβ β α = 5 Να αποδείξετε ότι: 5 4 i = 4 ii 0 ( = Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 6 από 0
6 Να αποδείξετε ότι: i 0 4 = 6 ii = 7 7 Να αποδειθεί ότι για κάθε ν =,, ισύει: i 0 ηµ ηµ ηµ ηµν ν ν = ηµ ηµ ηµ ηµν = ν ν ii! 0 8 ίνεται η συνάρτηση f:r R µε α β, αν f ( =, αν < < β α, αν Να βρεθούν οι τιµές των πραγµατικών αριθµών α,β ώστε να υπάρουν τα f ( και f ( 9 Να βρεθούν τα όρια: i 5 εφ( π 5 ( (4 ηµ π ii ηµ π 0 Να βρεθούν τα όρια: i ηµ ( ηµ ( ( ηµ ηµ ii 0 συν (συν iii 0 Να αποδείξετε ότι: i = 5 6 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 7 από 0
Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 8 από 0 ii 9 4 = iii 4 = Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός α αν είναι γνωστό ότι 9 4 = α α Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού α να βρεθεί το όριο α α α α α 4 Να αποδείξετε ότι: 5 Να βρεθεί το όριο 6 ίνεται η συνάρτηση f:r R η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες: f(αβ=f(αf(β-αβ, για κάθε α,β R 4 ( 0 = f Να βρεθεί το, ( ( ο ο ο f f όπου ο σταθερός πραγµατικός αριθµός 7 Να βρεθούν (αν υπάρουν τα όρια i ii 7 8 8 Να βρεθεί (αν υπάρει το όριο 4 6 6 5 ( π π ηµ =
ηµ ( π 9 Να αποδείξετε ότι: = π συν ( 6 6 0 Να βρεθεί το όριο Αν για τις συναρτήσεις f,g:r R ισύει ότι (f( (g( =f(, για κάθε R, να δειθεί ότι f ( = g( =0 0 0 Αν για τις συναρτήσεις f,g:r R ισύει ότι ( ( g( = = ( f ( g( 4, να βρεθούν τα όρια: i f ( ii g( f ( iii ( f f και f ( ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: f (, για κάθε R f ( f (0 Να βρεθεί το ηµ 0 4 ίνεται η συνάρτηση f:r R η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες: 0 f ( = λ R ηµ f ( ηµ, για κάθε R * Να βρεθεί το λ 5 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισύει: ηµ f (, για κάθε R f ( ( f (0 000 Να δειθεί ότι δεν υπάρει το ηµ 0 6 Αν για την συνάρτηση f:r R ισύει f ( =, να βρεθεί το f ( Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 9 από 0
ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ οεr 7 Να βρεθούν, εφόσον υπάρουν, τα παρακάτω όρια: i 6 9 ii 7 9 iii 0 iv ( 7 v συν 0 ηµ 8 Να βρεθεί, αν υπάρει, το 0 9 Αν για τις συναρτήσεις f,g:r R ισύει: (f ( g( = και (f ( g( =, να βρεθούν τα f ( ηµ 40 Να βρεθεί το 0 4 4 Να βρεθεί, εφόσον υπάρει, το και g( λ 4 Για τις διάφορες τιµές του λ R να βρεθεί, αν υπάρει, το ( 4 Να εξετασθεί αν η συνάρτηση ο = συν ( π f ( = έει όριο στο σηµείο ( 4( 7 4α 44 Για τις διάφορες τιµές του α R να βρεθεί, αν υπάρει, το 0 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ AΠΕΙΡΟ 45 Να βρεθούν, εφόσον υπάρουν, τα παρακάτω όρια: i ( 4 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 0 από 0
ii ( 9 iii ( 4 5 46 Να βρεθεί, εφόσον υπάρει, το 4 8 47 Να βρεθεί το ( 4 ηµ 48 Να βρεθεί το 49 Να βρεθεί το f (, όπου f(=(λ -5λ6 (λ- (λ R 50 Για τις διάφορες τιµές του α R να βρεθεί, αν υπάρει, το ( 4 5 7 α κ 5 (α Να βρεθεί το ( ηµ, για κ =,, ν (β Να βρεθεί το [ ( ηµ ηµ ηµ ] ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Να αποδεθεί ότι η εξίσωση -5=- έει τουλάιστον µια ρίζα στο διάστηµα (0, 5 Να αποδειθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(= 4 - και g(= - 4 5 έουν τουλάιστον ένα κοινό σηµείο µε τετµηµένη ο (0, Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
54 Αν µια συνάρτηση f είναι συνεής στο [α,β] και f(α f(β, να αποδειθεί ότι f ( α f ( β υπάρει ο (α,β: f ( ο = 55 Έστω f,g: R R δύο συναρτήσεις Αν οι συναρτήσεις f(g( και f(- g( είναι συνεείς να αποδειθεί ότι και οι συναρτήσεις f,g είναι συνεείς 56 Αν µια συνάρτηση f:[α,β] R είναι συνεής και ισύει f(α 0, να αποδειθεί ότι f ( ο f ( α f ( β υπάρει ο (α,β τέτοιο,ώστε = ο α β α 57 ίνεται η συνάρτηση f(= ηµ ( π 7 Να εξετασθεί αν η f παίρνει την τιµή 7 στο διάστηµα [-4,4] 6 εφ 4π σφ π 58 Να αποδειθεί ότι η εξίσωση = 0 π π στο διάστηµα (, 4 έει τουλάιστον µια ρίζα 59 Αν µια συνάρτηση f: R R είναι συνεής, γνησίως φθίνουσα και επιπλέον ισύει 0<f(<, για κάθε R, να αποδειθεί ότι υπάρει µοναδικό ο (,e: f(ln ο =ln ο 60 Αν µια συνάρτηση f:[α,β] R είναι συνεής, 0<α<β και α ( β α β R, να αποδειθεί ότι υπάρει ο [α,β]: f( ο = ο f για κάθε 6 Να προσδιορισθεί το σύνολο τιµών των συναρτήσεων: (α f ( = µε [,] (β π f ( = ηµ εφ µε [0, ] 4 (γ f ( = 4 µε [,] (δ π f ( = συν µε [0, ] 6 Να αποδειθεί ότι υπάρει ο (0, π τέτοιο, ώστε: ηµ(συνο συν(ηµ ο = ο Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
6 Αν µια συνάρτηση f: [0,] R είναι συνεής, γνησίως αύξουσα και f (=, να αποδειθεί ότι υπάρει ο (0,: ο f ( e = e ο ο ο 64 Να αποδειθεί ότι αν α,β>0 τότε η εξίσωση =α ηµ β έει τουλάιστον µια θετική ρίζα µικρότερη ή ίση του αβ 65 Να προσδιορισθεί, αν υπάρει, η τιµή του α R για την οποία η συνάρτηση f: R R µε α 4, αν 4 ( = 8, αν > 4 4 f να είναι συνεής 66 Να βρεθούν, αν υπάρουν, οι πραγµατικοί αριθµοί α,β (β 0 ώστε η συνάρτηση f: R R µε τύπο f ( α β ηµ, αν = β, αν = 0, αν β < 0 > 0 να είναι συνεής 67 Να αποδειθεί ότι η εξίσωση = 68 Να αποδειθεί ότι η εξίσωση = έει µοναδική θετική ρίζα έει µοναδική ρίζα 69 Να προσδιορισθεί, αν υπάρει, η τιµή του α R για την οποία η συνάρτηση f: 4 α, αν R R µε f ( = ( να είναι συνεής στο ο = 4, αν = ( εφ 70 Έστω συνάρτηση f: R R µε f(0= και 5 (α (β f Τότε: = να δειθεί ότι η f είναι συνεής στο µηδέν και να βρεθούν τα όρια Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ από 0
Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 4 από 0 (i ( 0 f (ii ( 0 f 7 Να µελετηθεί ως προς την συνέεια η συνάρτηση f: R R µε > = 0, 0, ( αν α αν f (α R
Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 5 από 0
Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ 6 από 0