ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ασκήσεις στο ορισμό και τις ιδιότητες 0) Να βρείτε το μέτρο τω μιγαδικώ αριθμώ α) 3i = ε) ( ) 5 β) = 7 στ) γ) = 4 3i ζ) δ) = 4+ 3i η) = = i θ) 3 = + i 3 = i ( α βi) ( α + βi) 007 ) Α για το μιγαδικό αριθμό ισχύει + λi = λi ι) ( )( 008 = 3 4 i i) όπου θετικός ακέραιος κ) = ( 3i ) > α δείξετε ότι Re( ) ) Α, τότε α δείξετε ότι ισχύει η παρακάτω ισοδυαμία: ( + )( + ) = = λ) ( 5 ) + i = i <. 3) Α για τους μιγαδικούς,,..., ισχύει = =... = = α αποδείξετε ότι: α) + +... + = + +... + β) + + 3 = + 3+ 3 = = = = 4) Α για τους μιγαδικούς,, ισχύει = = 3 =, α αποδείξετε ότι + + + + 9. 3 ( ) 3 3 Ασκήσεις στη τριγωική αισότητα 5) Α ισχύει = α αποδείξετε ότι + 3 4 6) Α δίεται ότι 5i = 3 α αποδείξετε ότι i+ 8.
7) Έστω ο μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε + 3i, α αποδείξετε ότι 4 4 6. 8) Να αποδείξετε ότι ισχύει + + + + +3 για κάθε μιγαδικό αριθμό. Ασκήσεις που ζητείται α αποδείξουμε ότι ο είαι πραγματικός ή φαταστικός Έας γεικός τρόπος σκέψης είαι ο παρακάτω: Ότα ζητείται α αποδείξουμε ότι R αρκεί α αποδείξουμε ότι: α) Im( ) = 0 ή β) = ο δεύτερος τρόπος έχει συχα λιγότερες πράξεις. Ατίστοιχα ότα ζητείται α αποδείξουμε ότι I Αρκεί α αποδείξουμε ότι α) Re( ) = 0 ή β) = και πάλι ο δεύτερος τρόπος συήθως έχει λιγότερες πράξεις. 9) Α ισχύει ότι i = + i τότε ο ειαι πραγματικός αριθμός. 30) Α, { } είαι φαταστικός. 0 είαι τέτοιοι ώστε α ισχύει + =, τότε ο αριθμός 3) Α είαι = όπου τότε ο αριθμός + w = είαι φαταστικός. Ασκήσεις στους Γεωμετρικούς Τόπους. 3) Να βρείτε το σύολο τω σημείω του μιγαδικού επιπέδου, στο οποίο αήκου οι εικόες τω μιγαδικώ που είαι τέτοιοι ώστε α ισχύει: α) = ε) + + 3i = 4 θ) = β) 3 = στ) + 4i = ι) + i = + i γ) i = ζ) < κ) < i δ) + i = 33) Α C και + 9 = 3 +, τότε α δείξετε ότι οι εικόες του κιούται σε κύκλο με κέτρο τη αρχή τω αξόω Ο ( 0,0) και ακτία ρ = 3. 34) Α δίεται ( ) + i =3 α βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω τω. + 3i
35) Δίεται ότι για το μιγαδικό ισχύει 6 3i = 5 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω του. β) Να βρείτε τη ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του. 36) Α + 3i = α βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω του μιγαδικού w= + 4 i. (απάτηση: κύκλος με κέτρο Κ(3,) και ακτία ρ=) 37) Έστω ότι ισχύει + 3 = 3, α βρείτε τη εξίσωση της γραμμής στη οποία κιούται οι εικόες του μιγαδικού αριθμού. Να βρείτε τη μέγιστη και τη ελάχιστη τιμή που μπορεί α πάρει το μετρο του. (Απατηση:κύκλος με κέτρο Κ(5,0) και max =9, min =). i x 38) Έστω = + i+α με α>0, x R.Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος τω i+ x εικόω του είαι κύκλος με κέτρο Κ(,) και ακτία α. 39) Έστω οι μιγαδικοί που ορίζοται από τη σχέση () t =, t R. + it Να αποδείξετε ότι: α) ( t) + ( t) = 4( t) ( t) β) Ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω του ειαι κύκλος με κέτρο Κ(,0) και 4 ακτία ρ=, εκτός του σημείου Ο(0,0). 4 4 γ) Οι εικόες τω () t και t με t R { 0} είαι ατιδιαμετρικά σημεία κύκλου, του β) ερωτήματος. δ) Οι εικόες τω μιγαδικώ (), (, ) ( 4) και ( ) σχηματίζου ορθογώιο. 40) Δίεται η εξίσωση x 4x+ 3= 0, () α) Να λύσετε τη εξίσωση στο. β) Α, είαι ρίζες της (), τότε α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 006 Α= + 3 +i γ) Α = + 3i α βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω τω μιγαδικώ για τους οποίους ισχύει = 5.
4) Δίοται οι μιγαδικοί,, τέτοιοι ώστε: Να αποδείξετε ότι α) 3 () + + 3 = 0 () = = 3 = α + + = + Α9 σελ.0 σχολ. Βιβλίου) β) = α 3 (όμος του παραλληλογράμου, βλέπε άσκηση γ) Οι εικόες τω μιγαδικώ,, είαι κορυφές ισόπλευρου τριγώου. 3 4) Α για τους μιγαδικούς, και 3 ισχύου οι σχέσεις: + + 3 = 0 () και + + 3 = 0 (), α αποδείξετε ότι: α) = = 3 β) Οι εικόες τω μιγαδικώ,, είαι κορυφές ισόπλευρου τριγώου. 3 43) Έστω οι w, μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει ( ) 3 + Re = 5+ 6i+ w. x y A οι εικόες τω μιγαδικώ w κιούται στη έλλειψη + =, α βρείτε τη 5 9 εξίσωση της γραμμής στη οποία κιούται οι εικόες τω μιγαδικώ. Ασκήσεις στη ιδιότητα : α = w ττε ό = w Η ιδιότητα δε ισχύει ατιστρόφως. Συήθως τη χρησιμοποιούμε ότα δίοται ισότητες που τα μέλη τους είαι υψωμέα σε εκθέτες (βλέπε άσκηση 6 από τις γεικές του σχολ. Βιβλίου). 44) Έστω μιγαδικός αριθμός 0 τέτοιος ώστε 4 α) = και β) =. 9 5 =, α αποδείξετε ότι: 45) Α δίεται ότι ισχύει ( ) 3+ = 3 i α βρείτε το θετικό ακέραιο αριθμό. 46) Έστω μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε ( ) 008 = ( ) 008 α αποδείξετε ότι οι εικόες του κιούται στο μοαδιαίο κύκλο. + i = w( i), όπου θετικός 47) Α πραγματική ρίζα της εξίσωσης ( ) 0 ακέραιος, τότε: α) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A= w+ + w. (απάτηση: Α=4) β) Α Im w τότε α ερμηευτεί γεωμετρικά το συμπέρασμα. ( ) 0
48) Δίοται οι, μη πραγματικές ρίζες της εξίσωσης + a = 0, a R. α) α δείξετε ότι α>0. β) Α = τότε: ) Να δείξετε ότι α= ) Να βρεθού οι, 008 008 γ) Α ( w ) ( w ) α βρεθεί ο Γ.Τ. τω εικόω του w. = Ερωτήσεις τύπου (Σ) ή (Λ) ) Α = τότε R ) Α = τότε ο είαι φαταστικός. 3) Α = τότε = ή = 4) Α = τότε όπου =, 5) Α + w = 0 τότε = 0 και w = 0 όπου w, 6)Α, τότε = 7) Α + i = + + i τότε ο είαι φαταστικός. 8) A ισχύει 3i = + 3i τότε ο ειαι πραγματικός. 9) Α ( i) ( + ) =0 τότε i ή = = 0) A μιγαδικός αριθμός τέτοιος ώστε α ισχύει Re( ) Im ( ) εικόες του στο μιγαδικό επίπεδο αήκου στη ευθεία y = τότε οι = x. ) Α οι εικόες του μιγαδικού αριθμού είαι σημεία της μορφής x,x, x R τότε αήκου στη ευθεία y x = x+ x i. ( ) = και είαι ( ) ) Α δίεται ότι για το μιγαδικό αριθμό ισχύει i > τότε οι εικόες του αήκου στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απο τη αισότητα y < x. 3) Οι μιγαδικοί αριθμοί της μορφής = ημx+ iσυx, x R έχου εικόες που αήκου στο κύκλο = 4) Οι μιγαδικοί αριθμοί της μορφής = ημ3x i συ3x, x R έχου εικόεςπου αήκου στο κύκλο =.