4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, Βήμα : παίρνω περιορισμούς, δηλαδή 0 Βήμα : πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, Βήμα 4 : ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς.. (Άσκηση σελ. 5 Α Ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : ii. 4 Λύση : 4 4 Έχω :, ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) & Έπειτα κάνω απαλοιφή παρανομαστών : 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 4 0 0 0 0 Άρα : ( )( ),. ή, έ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι εξίσωσης που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα. Για να τις λύσουμε : Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζη ποσότητα 0), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, Βήμα : αν στο ο μέλος έχει άγνωστο τότε παίρνουμε περιορισμό και για το ο μέλος 0 Βήμα 4 : υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού του ου μέλους Βήμα 5 : τέλος λύνουμε την εξίσωση και εξετάζουμε ποιες από τις λύσεις είναι δεκτές και ποιες απορρίπτονται.. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 4 ii. iii. 6 4 Λύση : i. πρέπει 4 4 4 4 4 δεκτή ii. Έχω : πρέπει () και 0 (). Από ()&() ισχύει. ( ) (δεκτή) ή (απορ.) iii. Έχω : 6 4 6 4 πρέπει 6 () και 4 4 (). Από ()&() ισχύει. 6 4 6 4 4 4 εδώ επίσης πρέπει 0 (). Άρα από (), ()&() ισχύει. Οπότε : 4 4( 4) 5 5 (απορ.) (δεκτή) ή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Μια κλασματική ανίσωση της μορφής 0 ή 0 γράφεται ισοδύναμα ) 0 ή ) 0 [όπου ) 0 ] και αυτό γιατί το γινόμενο και το πηλίκο δυο αριθμών έχουν το ίδιο πρόσημο. Μια κλασματική ανίσωση της μορφής γράφεται : [ ] 0 και λύνεται όπως η προηγούμενη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 0 ii. 0 iii. 4 6 Λύση : i. Πρέπει 4 και 4 Έχω : ( ( 4) 0 4 ( ( 4) 0 ( ) 0, ή, ή 4 ή 4-0 4 + + 0-0 + + + 4 + + + 0-0 + Γινόμενο - Πηλίκο + 0-0 + - + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8 Άρα επειδή θέλω ( ( 4) 0 4 (Στο (,4) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) ii. Πρέπει 6 και Έχω : ( )( 6) 0 6 ( )( 6) 0, ύ ή 6 ή - + + + + 6 + 0-0 + Γινόμενο - Πηλίκο + 0-0 + τότε [,0] (,4 ). Άρα επειδή θέλω ( )( 6) 0 τότε,). 6 (Όταν μια παράσταση είναι πάντα θετική τότε δεν επηρεάζει το πρόσημο στην τελευταία σειρά στο πινακάκι. Οπότε θα μπορούσε να παραληφτεί εντελώς.) 8 iii. Έχω : ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) &. (Σε αυτό το σημείο όμως δεν κάνω απαλοιφή παρανομαστών όπως στις αντίστοιχες κλασματικές εξισώσεις, αλλά ομώνυμα κλάσματα. Αυτό γιατί η απαλοιφή παρανομαστών δεν επιτρέπεται στις ανισώσεις
καθώς η παράσταση με την οποία θα πολλαπλασιάσω κάθε όρο, δεν γνωρίζω αν είναι θετική ή αρνητική) 8 ( ) ( ) 8 8 ( )( ) ( )( ) 6 ( 6)( ) 0 Έχω : ( 6)( ) 6 ή ή ή - + 6 + 0 - - - 0 + + + 0-0 + + Γινόμενο Πηλίκο + 0 - + - 0 + 6 Άρα επειδή θέλω ( 6)( ) 0, ],) [, ). (Στο (-,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) τότε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΑΡΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι ανίσωσης που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα. Για να τις λύσουμε : ΜΟΡΦΗ : f ( g( ή f ( g( Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζες ποσότητες 0), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και το άλλο στο ο, Βήμα : υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού Βήμα 4 : τέλος λύνουμε την ανίσωση και συναληθευουμε με τους περιορισμούς. ΜΟΡΦΗ : f ( g( ή f ( g( Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζη ποσότητες 0), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, Βήμα : διακρίνουμε τις περιπτώσεις : g ( 0 και g ( 0 και εξετάζουμε για ποιες τιμές του ισχύουν 4. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 8 ii. 5 iii. 4 7 Λύση: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 4
() 8 8 i. Πρέπει : 8 8 Από () και () ισχύει : [,5) ή [,8] () 8 8 0 0 5 ii. Έχω : 5 5 () πρέπει : () Διακρίνω τις περιπτώσεις : 5 5 () άρα από () και () [,5) 5 5 (καλύπτει τον περιορισμό () : ). Τότε στην ανίσωση () και τα δυο μέλη είναι μη αρνητικά 0 άρα μπορώ να υψώσω στο τετράγωνο, έτσι έχω : 5 ( ) ( 5) 0 5 8 0 Είναι 8 7 ή 4-4 7 + 8 + 0-0 + Άρα επειδή θέλω 8 [4,7]. Συναληθευοντας τη λύση αυτή με τον περιορισμό 5 προκύπτει ότι [5,7] Άρα τελικά από τις παραπάνω περιπτώσεις προκύπτει ότι η ανίσωση ισχύει αν : [,5) ή [5,7], δηλαδή τελικά [,7] iii. Έχω : 4 7 4 7 () πρέπει : 4 4 () Διακρίνω τις περιπτώσεις : 7 7 () άρα από () και () η ανίσωση () είναι αδύνατη 7 7, τότε για [ 7, 4) η () δεν ορίζεται, ενώ για [ 4, ) τα δυο μέλη της ανίσωσης () είναι μη αρνητικά 0 άρα μπορώ να υψώσω στο τετράγωνο, έτσι έχω : 4 7 ( 4) ( 7) 4 4 49 45, άρα : - 45 + άρα 45 0 ισχύει για κάθε σε συνδυασμό με τον περιορισμό 4 ισχύει τελικά [ 4, ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. ii. 4 6. Να λυθούν οι εξισώσεις : 5 i. ii. 6 4 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 5
7. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 7 ii. 7 8. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 4 4 ii. 6 9. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 5 7 ii. 6 0. Να λυθεί η εξίσωση : 4 0 4 4. Να λυθεί η εξίσωση : 8. Να λυθεί η εξίσωση : 9, για κάθε. 4. Να λυθεί η εξίσωση : 5 8 7 4 0 4. Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( 4) 8 0 5. Να λυθεί η εξίσωση : 6 0 6. Να λυθούν οι ανισώσεις : i. ii. 4 6 7. Να λυθούν οι ανισώσεις : i. ii. 5 0 iii. 8. Να λυθούν οι ανισώσεις : i. ii. 8 5 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 6