ΜΑΘΗΜΑ 6. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Θεωρί Μέθοδος Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός. Έστω συνάρτηση y f( πργωγίσιµη στο. Ρυθµός µετβολής του y ως προς στο σηµείο λέγετι η πράγωγος f ( κι Ρυθµός µετβολής του y ως προς λέγετι η πράγωγος f (.. Ορισµός. Έστω S S(t η συνάρτηση που εκφράζει τη θέση κινητού σε άξον ως προς το χρόνο t. Στιγµιί τχύτητ υ( t 0 κτά τη χρονική στιγµή t λέγετι ο ρυθµός 0 µετβολής S ( t. ηλδή υ( t S ( t. Γενικότερ, τχύτητ είνι η πράγωγος του διστήµτος ως προς το χρόνο, δηλδή υ(t S (t. Ορισµός. Έστω υ υ(t η συνάρτηση που εκφράζει την τχύτητ κινητού σε άξον ως προς το χρόνο t. Στιγµιί επιτάχυνση ( t κτά τη χρονική στιγµή t λέγετι ο ρυθµός µετβολής υ ( t. ηλδή ( t υ ( t S ( t. Γενικότερ, επιτάχυνση είνι η πράγωγος της τχύτητς ως προς το χρόνο, ή η δεύτερη πράγωγος του διστήµτος ως προς το χρόνο. ηλδή (t υ (t S (t. Ορισµός. Έστω Κ Κ( η συνάρτηση που εκφράζει το κόστος πργωγής Κ συνρτήσει της ποσότητς του πργόµενου προϊόντος. Ορικό κόστος στο λέγετι ο ρυθµός µετβολής Κ ( Γενικότερ, ορικό κόστος είνι η πράγωγος του κόστους.
5. Ορισµός. Έστω Ε Ε( η συνάρτηση που εκφράζει την είσπρξη Ε συνρτήσει της ποσότητς του πργόµενου προϊόντος. Ορική είσπρξη στο λέγετι ο ρυθµός µετβολής E ( Γενικότερ, ορική είσπρξη είνι η πράγωγος της είσπρξης. 6. Ορισµός. Έστω Ρ Ρ( η συνάρτηση που εκφράζει το κέρδος Ρ συνρτήσει της ποσότητς του πργόµενου προϊόντος. Oρικό κέρδος στο Γενικότερ, ορικό κέρδος είνι η πράγωγος του κέρδους. λέγετι ρυθµός µετβολής P ( ΜΕΘΟ ΟΣ Σε κάθε πρόβληµ ρυθµού µετβολής κολουθούµε µε κρίβει τις πρκάτω ενέργειες.. ικρίνουµε το πρωτοµετβλλόµενο στοιχείο, δηλδή την νεξάρτητη µετβλητή που συνήθως είνι ο χρόνος t.. Εκφράζουµε µε συνάρτηση το δευτεροµετβλλόµενο στοιχείο του προβλήµτος, το τρίτο... κ.λ.π. Περνάµε τις υποθέσεις κι το ζητούµενο στις συνρτήσεις του (. Βρίσκουµε τις σχέσεις που συσχετίζουν τ µετβλλόµεν στοιχεί.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η ολική επιφάνει ενός κύβου υξάνετι µε ρυθµό c m /sec. Τη στιγµή κτά την οποί η κµή του κύβου είνι,8 m, ν βρείτε το ρυθµό µετβολής του όγκου του κύβου. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. Έστω t η στιγµή κτά την οποί η κµή του κύβου είνι 80 cm.. Έστω (t η συνάρτηση που εκφράζει την κµή. Ε Ε(t η συνάρτηση που εκφράζει την επιφάνει. V V(t η συνάρτηση που εκφράζει τον όγκο. ίνετι Ε (t κι ( t,8 m 80 cm Θέλουµε ν βρούµε το ρυθµό µετβολής V ( t. Είνι Ε 6 6 Ε V V Ε V Ε 6 6 6 Άρ V(t Ε (t V (t ( Ε (t 6 6 6 6 V (t Ε (t Ε (t 6 6 V ( t Ε ( t 6 Αλλά Ε( t 6 ( t 6 80, οπότε V ( t 6 80 6 V ( t 90 m /sec 6 Ε
. Σε ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων (Οy δίνετι το σηµείο Β(0, 0. Σηµείο Μ κινείτι στο θετικό ηµιάξον Ο µε τχύτητ µονάδες µήκους/sec. i Ν βρείτε το ρυθµό µετβολής της γωνίς OBM ως προς το χρόνο t, τη στιγµή κτά την οποί το Μ έχει συντετγµένες (0, 0. ii Ποιος είνι ο ρυθµός µετβολής της περιµέτρου του τριγώνου ΟΜΒ, ως προς το χρόνο t, ότν το Μ έχει συντετγµένες (0, 0; i. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. Έστω t η στιγµή κτά την οποί το Μ έχει συντετγµένες (0, 0.. (t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Μ θ θ(t η συνάρτηση που εκφράζει τη γωνί OBM. ίνετι (t κι ( t 0 Θέλουµε ν βρούµε το ρυθµό µετβολής θ ( t. Είνι εφθ ( ΟΜ ( ΟΒ εφ θ(t 0 0 (t y O B(0, 0 θ (εφ θ(t ( συν θ(t συν θ(t 0 συν θ(t 0 0 (t θ (t 0 (t θ ( t 0 ( t θ ( t ( 0 M Ότν ( t 0 τότε (ΒΜ ( 5 θ ( t 0 άρ συν θ( t 0 + 0 500 0 5 ( ΟB ( ΒM 0 0 5 5 θ ( t 50 rad/sec ii. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. t η στιγµή κτά την οποί το Μ έχει συντετγµένες (0, 0.. (t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Μ ω ω(t το µήκος της υποτείνουσς ΒΜ Π Π(t η συνάρτηση που εκφράζει το την περιµέτρου του τρ, ΟΜΒ. ίνετι (t κι ( t 0 Θέλουµε ν βρούµε το ρυθµό µετβολής Π ( t
5. Είνι (ΒΜ (ΟΒ + (ΟΜ [ω(t ] 0 + [(t ] ([ω(t ] ( 0 + [(t ] ω(t ω (t (t (t ω( t ω ( t ( t ( t ω( t ω ( t 0 ( Ότν ( t 0 τότε (ΒΜ 0 δηλδή ω( t 0 ( 0 ω ( t 0 ω ( t Είνι Π(t (ΟΒ + (t + ω(t Π (t 0 + (t + ω (t Π ( t ( t + ω ( t Π ( t + µονάδες µήκους/sec
6. Σηµείο Μ κινείτι στη γρφική πράστση της υπερβολής y έτσι, ώστε η τετγµένη του ν υξάνετι µε ρυθµό 6 µονάδες µήκους/sec. Βρείτε το ρυθµό µετβολής της τετµηµένης του Μ, ότν το Μ έχει τετµηµένη. i. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. t η στιγµή κτά την οποί το Μ έχει τετµηµένη.. (t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Μ y y(t η συνάρτηση που εκφράζει την τετγµένη του Μ. ίνετι y (t 6 κι ( t Θέλουµε ν βρούµε το ρυθµό µετβολής ( t. Είνι [(t ] [y(t ] ([(t ] [y(t ] 0 Ότν ( t, πό την (t (t y(t y (t 0 (t (t y(t y (t ( t y( t 6 ( t y( t ( [( t ] [y( t ] πίρνουµε [y( t ] [y( t ] 6 y( t 6 ή y( t 6 ( ( t ± 6 ( t ±
7. ίνετι η πρβολή y. Σηµείο Α(, µε > 0 κινείτι πάνω στην πρβολή µε ρυθµό µετβολής του µονάδες µήκους/sec. Άλλο σηµείο Β κινείτι πάνω στην πρβολή έτσι, ώστε OB 90 ο. Ν βρείτε το ρυθµό µετβολής του εµβδού του τριγώνου ΑΟΒ τη στιγµή κτά την οποί µονάδες µήκους. Κτ ρχήν θ βρούµε τις συντετγµένες του Β κι το εµβδόν (ΑΟΒ συνρτήσει του. λ ΟΑ ΟΒ ΟΑ λοβ Ευθεί ΟΒ : y λ λ ΟΑ ΟΒ B y O Σύστηµ y y y 0 ή y 0 y 0 ή y Άρ Β(, (ΟΑ + ( + + (ΟΒ ( ( + + + (ΑΟΒ ( ( ΟΑ ΟΒ +. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. t η στιγµή κτά την οποί + + +. (t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Α Ε Ε(t η συνάρτηση που εκφράζει το εµβδόν (ΑΟΒ. ίνετι (t κι ( t Θέλουµε ν βρούµε το ρυθµό µετβολής Ε ( t. Είνι Ε(t ( (t + Ε (t ( (t (t + (t ( +
8 Ε ( t 9 8 9 Ε (t (t (t [ (t] Ε ( t (t (t [ (t ] Ε ( t [] τετργωνικές µονάδες µήκους /sec 5. Σηµείο Α((t, y(t κινείτι πάνω στην πρβολή f ( όπου t ο χρόνος, έτσι ώστε ν ισχύει (t (t. Αν η εφπτοµένη της C στο Α τέµνει τον f άξον σε σηµείο Β, ν βρείτε το ρυθµό µετβολής της τετµηµένης του Β τη στιγµή κτά την οποί το Α έχει συντετγµένες (,. Έστω Α(, y Α(, το τυχίο Α. Η εφπτοµένη στο Α θ είνι y y f ( ( κι επληθεύετι πό τις συντετγµένες του Β, δηλδή 0 y f ( ( ( B Αλλά f ( (, οπότε f ( Η ( ( B ( B B B, οπότε (t B (t (t. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. t η στιγµή κτά την οποί το Α έχει συντετγµένες (,.. (t y y(t y (t. ίνετι (t (t ( t, y( t ( y Ο Β Α. Η ( (t (t B Γι t t έχουµε ( t B (t (t
9 6. Σώµ Σ έλκετι µε σχοινί ΣΛΜ, µε ποτέλεσµ ν σύρετι επί του εδάφους πλησιάζοντς τη βάση Κ του στήλου ΚΛ m (σχήµ. Αν η τχύτητ της άκρης Μ του σχοινιού είνι 8 m/sec, ν βρείτε την τχύτητ του σώµτος Σ τη στιγµή κτά την οποί είνι ΣΚ m. Σ Λ Κ Μ. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. t η στιγµή κτά την οποί (ΣΚ. (t η συνάρτηση που εκφράζει το µήκος (ΣΛ y y(t η συνάρτηση που εκφράζει το µήκος (ΣΚ. ίνετι (t 8 κι y( t Θέλουµε ν βρούµε το ρυθµό µετβολής y ( t. Είνι (ΣΛ (ΣΚ [(t ] [y(t ] 9 ([(t ] [y(t ] 0 (t (t y(t y (t 0 ( t ( t y( t y ( t 0 ( t 8 y ( t 0 ( t y ( t 0 ( Αλλά [y( t ] + [( t ] + [( t ] 5 [( t ] ( t 5 ( 5 y ( t 0 y ( t 0 m/sec
0 7. Η τροχιά κινητού Μ είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης f( Ότν το Μ έχει τετµηµένη, ν ποδείξετε ότι, ο ρυθµός µετβολής της πόστσης του Μ πό την ρχή των ξόνων Ο, είνι µηδέν.. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. t η στιγµή κτά την οποί η τετµηµένη του Μ είνι.. (t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Μ y y(t η συνάρτηση που εκφράζει την τετγµένη του Μ d d(t η συνάρτηση που εκφράζει την πόστση του Μ πό την ρχή των ξόνων Ο. ίνετι ( t άρ κι y( t Θέλουµε ν ποδείξουµε ότι d ( t 0. Είνι y(t (t y (t ( Είνι [d(t ] [(t ] + y(t ] ([d(t ] ([(t ] + y(t (t (t y (t [(t] y ( t [(t ] (t ( t y ( t ( t y ( t ( ] d(t d (t (t (t + y(t y (t t ( d( t d ( t ( t ( t + y( t y ( t λλά d( t + d ( t ( t + y ( t ( d ( t ( t ( t 0 άρ d ( t 0
8. Έστω η πρβολή f( β +, όπου β µετβλλόµενο µέγεθος που υξάνει µε ρυθµό µονάδες/sec. Κάποι στιγµή t η κορυφή Μ της πρβολής έχει τετγµένη µηδέν. Ν βρείτε το ρυθµό µετβολής της πόστσης του Μ πό την ρχή των ξόνων Ο κτά τη στιγµή t. Τετµηµένη του Μ : Τετγµένη του Μ : M y M β β Απόστση d του Μ πό το Ο : d ( β γ ( y M M β β β + ( β + ( β 6 8β +β + 6 β + 6 8β +β 6. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. β β + 6 (. β β(t η συνάρτηση που εκφράζει το µετβλλόµενο µέγεθος β. (t η συνάρτηση που εκφράζει την τετµηµένη του Μ. M M y M y (t η συνάρτηση που εκφράζει την τετγµένη του Μ. M d d(t η συνάρτηση που εκφράζει την πόστση ΟΜ.. ίνετι β (t κι y ( t M 0 Θέλουµε ν βρούµε τη d ( t. ( d(t β (t β (t + 6 d (t β (t β (t + 6 [β (t β (t +6] β (t β (t + 6 [β (tβ (t 8 β(t β (t] Άρ d ( t β (t β (t + 6 ( ( y M ( t β (t Γι β( t, η ( [β ( t β ( t 8 β( t β ( t ] β (t 0 d ( t + 6 β( t ή [ 8 ]
Γι β( t, η ( (96 8 6 6+ 6 8 8 8 d ( t........ 9. Οι δύο πράλληλες πλευρές ορθογωνίου υξάνοντι µε ρυθµό cm/sec, ενώ οι δύο άλλες µειώνοντι έτσι, ώστε το εµβδόν του ορθογωνίου ν είνι στθερό 50 cm. Ν βρείτε : i Το ρυθµό µετβολής της περιµέτρου του ορθογωνίου ότν το µήκος της υξνόµενης πλευράς είνι 5 cm. ii Τις διστάσεις του ορθογωνίου τη στιγµή που ο ρυθµός µετβολής της περιµέτρου είνι µηδέν. i. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. t η στιγµή κτά την οποί το µήκος της υξνόµενης πλευράς είνι 5. (t η συνάρτηση που εκφράζει το µήκος της υξνόµενης πλευράς y y(t η συνάρτηση που εκφράζει το µήκος της µειούµενης πλευράς Π Π(t η συνάρτηση που εκφράζει το µήκος της περιµέτρου. ίνετι (t κι ( t 5 Θέλουµε ν βρούµε τον Π ( t. Είνι (t y(t 50 ((t y(t 0 (t y(t + (t y (t 0 ( t y( t + ( t y ( t 0 y( t + 5y ( t 0 ( Κτά τη στιγµή t, το εµβδόν πρµένει 50, άρ ( t y( t 50 5y( t 50 y( t 0 ( 0 + 5y ( t 0 y ( t Είνι Π(t (t + y(t Π (t (t + y (t Π ( t ( t + y ( t Π ( t + ( 8 ii Έστω t η στιγµή που συµβίνει Π ( t 0.
Είνι Π(t (t + y(t Π (t (t + y (t Π ( t ( t + y ( t 0 + y ( t y ( t Είνι (t y(t 50 ((t y(t 0 (t y(t + (t y (t 0 ( t y( t + ( t y ( t 0. y( t + ( t ( 0 y( t ( t 0 y( t ( t λλά ( t y( t 50 άρ ( t ( t 50 [( t ] 50 ( t 50 άρ κι y( t 50
0. Σε έν κύκλο µε κτίν R m θεωρούµε στθερό σηµείο Α κι δύο µετβλητά σηµεί Β, Γ ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ ν πρµένει ισοσκελές µε βάση ΒΓ. Αν τ Β, Γ ποµκρύνοντι πό το Α µε στθερή τχύτητ m/sec, ν βρείτε το ρυθµό µετβολής του εµβδού του τριγώνου ΑΒΓ, τη στιγµή κτά την οποί το τρίγωνο είνι ισόπλευρο.. Ανεξάρτητη µετβλητή ο χρόνος t. t η στιγµή κτά την οποί το τρίγωνο είνι ισόπλευρο.. β β(t η συνάρτηση που εκφράζει το µήκος της πλευράς ΑΒ Ε Ε(t η συνάρτηση που εκφράζει το εµβδόν (ΑΒΓ. ίνετι β (t κι β( t 0 λ R Θέλουµε ν βρούµε το ρυθµό µετβολής E ( t 0 βγ ββ. Στο τρίγωνο γνωρίζουµε ότι Ε R Θ εκφράσουµε την πλευρά συνρτήσει του β. Φέρνουµε το ύψος ΑΟ κι την ΟΖ ΑΒ Πυθγόρειο στο τρ. ΖΟΑ: ΟΖ ΟΑ ΑΖ Τρ. ΑΖΟ όµοιο του Α Β Άρ ΟΖ ( β β β β Β ΖΟ ΑΒ ΑΟ β β β Β ( β Ζ άρ β Α Ο β β Γ Η ( Ε Άρ β β β Ε(t β (t β β β (t Ε (t ( (t β β (t + β (t( β (t (t (t (t (t ( (t β β β + β β β (t (t (t (t (t ( (t (t β β β + β β β β (t
5 (t (t (t (t (t β β β β β β (t Οπότε Ε ( t β (t β (t β (t β (t β (t β (t 8 8 0