ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ

Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ. Λύσις της ξίσωσης αυτής (αν υπάρχουν) ίναι κάθ ζύγος αριθμών (, ψ) που την παληθύι. Παράδιγμα: H ξίσωση: ψ = έχι άπιρς λύσις π.χ. τα ζύγη: (, ), (, ),... Όλα τα ζύγη αυτά απικονιζόμνα στο καρτσιανό πίπδο παρίστανται μ τα σημία της υθίας: : ψ = δηλαδή την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = μ. Ας δούμ όμως τις πριπτώσις των γραμμικών ξισώσων μ τη σιρά: η πρίπτωση: Aν α 0 ή β 0, δηλαδή αν oι συντλστές α,β δν ίναι συχρόνως μηδέν, τότ: Aν β 0 τότ η ξίσωση () γίνται: βψ = α + γ ψ = α β + γ β και έχι λύσις όλα τα ζύγη των αριθμών (, ψ) που ίναι συντταγμένς των σημίων της υθίας, μ συντλστή διύθυνσης: λ = φω = α και που β τέμνι τον άξονα ψψ στο σημίο Β(0, γ β ). Λέμ τότ ότι η υθία έχι ξίσωση την: α + βψ = γ ή ότι η ξίσωση α + βψ = γ παριστάνι την υθία. Προσοχή! Β Κώστα Βακαλόπουλου Αν β 0 και α = 0 τότ η ξίσωση () γίνται: ψ = γ β και παριστάνι υθία παράλληλη στον άξονα. Αν β = 0 τότ α 0 και η ξίσωση () γίνται: = γ α και παριστάνι υθία παράλληλη στον άξονα ψψ. η πρίπτωση: Aν α = 0 και β = 0 τότ η ξίσωση () γίνται: 0 + 0ψ = γ, () οπότ: Αν γ = 0 τότ η ξίσωση () γίνται 0 + 0ψ = 0 και παληθύται από οποιοδήποτ ζύγος αριθμών και παριστάνουν όλο το πίπδο. Αν γ 0 τότ η ξίσωση () γίνται 0 + 0ψ = γ και δν παληθύται από κανένα ζύγος αριθμών ίναι δηλαδή αδύνατη και παριστάνι το κνό σύνολο. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μια γραμμική ξίσωση α + βψ = γ, (μ δυο αγνώστους) παριστάνι υθία μόνο αν οι συντλστές α και β δν μηδνίζονται συγχρόνως δηλαδή αν α 0 ή β 0 δηλαδή αν α+β 0 Παράδιγμα: Η ξίσωση κ + (κ + )ψ = παριστάνι υθία για κάθ κ αφού τα κ, κ + δν μηδνίζονται συγχρόνως για καμία πραγματική τιμή του κ. Παρατήρηση: O καλύτρος τρόπος για να αποδώσουμ το σύνολο λύσων μιας γραμμικής ξίσωσης : α + βψ = γ μ α 0 ή β 0 ίναι μ τις συντταγμένς των σημίων της υθίας που παριστάνι. B. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Σύστημα δύο γραμμικών ξισώσων μ δύο αγνώστους ονομάζουμ δυο γραμμικές ξισώσις μαζί, των οποίων ζητάμ, αν υπάρχουν, τις κοινές Β Α Κώστας Βακαλόπουλος

Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. λύσις π.χ. το σύστημα (Σ): α β ψ γ α β ψ γ α, β, γ, α, β, γ Επίλυση νός γραμμικού συστήματος ίναι η διαδικασία ύρσης, αν υπάρχουν, των λύσών του. Αξιόλογς πισημάνσις: Αν οι ξισώσις του συστήματος παριστάνουν υθίς τότ αν : Oι υθίς τέμνονται, το σύστημα έχι μια μόνο λύση, τις συντταγμένς του κοινού σημίου των δύο υθιών. Οι υθίς ίναι παράλληλς, το σύστημα ίναι αδύνατο και δν έχι λύση. Οι υθίς ταυτίζονται, το σύστημα έχι άπιρς λύσις τις συντταγμένς των σημίων της μιας κ των δύο υθιών. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Σύμφωνα μ τα παραπάνω ένας τρόπος πίλυσης νός γραμμικού συστήματος του οποίου οι ξισώσις παριστάνουν υθίς ίναι ο γραφικός δηλαδή η παράσταση σ ένα καρτσιανό σύστημα συντταγμένων, των υθιών που παριστάνουν οι ξισώσις του και στη συνέχια, ίτ ο προσδιορισμός του κοινού τους σημίου ίτ η διαπίστωση ότι οι υθίς ίναι παράλληλς δηλαδή ότι το σύστημα ίναι αδύνατο ίτ ακόμη ότι οι υθίς ταυτίζονται δηλαδή ότι το σύστημα έχι άπιρς λύσις. Παράδιγμα Να λυθί (γραφικά) το σύστημα: Σύμφωνα μ τις γραφικές παραστάσις των γραμμικών ξισώσων του συστήματος (σχήμα), λύση του συστήματος ίναι οι συντταγμένς του κοινού τους σημίου δηλαδή:(, ψ) = (, ). μ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Επιδή η γραφική πίλυση νός γραμμικού συστήματος έχι το μιονέκτημα της έλλιψης ακρίβιας στον προσδιορισμό των λύσων υπνθυμίζουμ τις αλγβρικές μθόδους πίλυσης γραμμικών συστημάτων : Μέθοδος αντικατάστασης Μέθοδος αντιθέτων συντλστών και Μέθοδος οριζουσών MEΡΟΣ Α : MEΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Στις αλγβρικές μθόδους πίλυσης νός γραμμικού συστήματος, το μτατρέπουμ διαρκώς σ άλλο ισοδύναμό του, δηλαδή σ σύστημα μ τις ίδις ακριβώς λύσις μ το αρχικό. Αυτό πιτυγχάνται μ δύο τρόπους: Λύνουμ τη μια ξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμ στην άλλη Αντικαθιστούμ μια από τις ξισώσις του συστήματος μ το γραμμικό της συνδυασμό μ την άλλη. Γραμμικός συνδυασμός της ξίσωσης μ την ίναι η ξίσωση που θα προκύψι από την πρόσθση κατά μέλη των δυο ξισώσων και πολλαπλασιασμένς η κάθ μια μ έναν (κατάλληλο) αριθμό λ και λ μ λ 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Να λυθί το σύστημα: (MEΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ) ( ) Άρα: To σύστημα έχι μια μοναδική λύση την (, ) = (, ). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Να λυθί το σύστημα: : ψ = : + ψ = Κώστας Βακαλόπουλος

(MEΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ) ( ) + ( + ) + + + Άρα: To σύστημα έχι μια μοναδική λύση την (, ) = (, ). Παρατήρηση: Οι αριθμοί λ και λ πιλέγονται έτσι ώστ να προκύψουν αντίθτοι συντλστές σ έναν από τους αγνώστους. Στο προηγούμνο παράδιγμα ήταν λ = και λ =. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να λυθί το σύστημα: 4 = 40 6 4 = 40 ( ) +()( + 4) 6 +()40 + 4 40 8 48 4 = 40 6 46 = 40 6 = 8 Άρα: To σύστημα έχι μια μοναδική λύση την (, ) = (8, 6). ΑΔΥΝΑΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Όπως έχουμ αναλύσι πριν, ένα σύστημα του οποίου οι ξισώσις παριστάνουν υθίς ίναι αδύνατο όταν οι υθίς ίναι παράλληλς. Τι γίνται όμως όταν το λύνουμ αλγβρικά; ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 6 Να λυθί το σύστημα: 9 = 5 η μέθοδος: (Αντικατάστασης) 6 6 9 = 5 = 6 9 = 5 6 8 8 + =0 6 0 = (Aδύνατη) Άρα: To σύστημα ίναι ΑΔΥΝΑΤΟ. η μέθοδος: (Αντιθέτων συντλστών) 6 9 = 5 Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (6 ) + ()(9 ) + ()5 9 = 5 0 0 (Aδύνατη) 9 = 5 Άρα: To σύστημα ίναι ΑΔΥΝΑΤΟ. Παρατήρηση: Επιλύνοντας γραφικά το σύστημα παρατηρούμ ότι η πρώτη ξίσωση παριστάνι την υθία: : ψ = και η δύτρη την υθία : : ψ = 5 που ίναι παράλληλς οπότ το σύστημα ίναι Αδύνατο. ΑΟΡΙΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ (ή ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ) Όπως έχουμ αναλύσι πριν, ένα σύστημα του οποίου οι ξισώσις παριστάνουν υθίς έχι άπιρς λύσις όταν οι υθίς ταυτίζονται. Τι γίνται όμως όταν το λύνουμ αλγβρικά; ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Να λυθί το σύστημα: 9 6 = 8 η μέθοδος: (Αντικατάστασης) 9 6 = 8 9 6 = 8 9 ( +9) 6 = 8 9 0 = 0 (άπιρς λύσις) Άρα: To σύστημα έχι άπιρς λύσις της μορφής: (, ) = ( + 9, ),όπου. η μέθοδος: (Αντιθέτων συντλστών) 9 6 = 8 ( ) + ( + 6) 9 + (8) 9 0 0 0 (Άπιρς λύσις) 9 ( 9 + 9) Άρα: To σύστημα έχι άπιρς λύσις της μορφής: (, ) = ( + 9, ),όπου. Παρατήρηση: Επιλύνοντας γραφικά το σύστημα παρατηρούμ ότι η πρώτη ξίσωση παριστάνι την υθία: : ψ = και η Κώστας Βακαλόπουλος

δύτρη την υθία : : ψ = που ταυτίζονται οπότ το σύστημα έχι άπιρς λύσις της μορφής: (, ) = ( + 9, ),όπου ή της μορφής: :(, ψ) = (, ),. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Σωστό Λάθος. Το σημίο (, ) ανήκι στην υθία =. Σ. Η ξίσωση (λ + ) + (λ )ψ = παριστάνι υθία για κάθ λ Σ Λ. Υπάρχουν τιμές των α, β για τις οποίς το σύστημα: α ψ 0 β ψ = 0 δέχται πάντα άπιρς λύσις. Σ Λ Β. Πολλαπλής πιλογής. Η γραμμική ξίσωση που παληθύται μ κάθ ζύγος της μορφής: (, ψ) = (κ +, κ ) (κ) ίναι: A. ψ =, B. ψ =, Γ. ψ = 5 Δ. =, Ε. ψ = Γ. Ανάπτυξης (Συμπληρωματικές). Για ποις τιμές των α, β οι υθίς μ ξισώσις αντίστοιχα: :(α β) (α β)ψ 4β 6α, :(α β) (α β)ψ β τέμνονται στο σημίο Μ(, ).. Να λυθούν τα συστήματα: ψ 6 5 0,5,5ψ α),β) ψ 8 0,4 0,ψ 0,4. Σ μια έκθση αυτοκινήτων υπάρχουν συνολικά 7 αυτοκίνητα τρίθυρα και πντάθυρα. Αν όλα μαζί έχουν 67 πόρτς πόσα αυτοκίνητα μ πέντ πόρτς και πόσα μ τρις πόρτς υπάρχουν στην έκθση; 4. Σ ένα διψήφιο αριθμό το ψηφίο των δκάδων ίναι αριθμός μγαλύτρος κατά του ψηφίου των μονάδων. Αν διαιρέσουμ τον διψήφιο αριθμό αυτό μ το άθροισμα των ψηφίων Λ Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. δκάδων και μονάδων βρίσκουμ πηλίκο 6 και υπόλοιπο. Να βρθί ο διψήφιος αριθμός. (Υπόδιξη: Θυμίζουμ ότι αν και ψ τα ψηφία των δκάδων και μονάδων αντίστοιχα ο αριθμός ισούται μ: 0 + ψ) MEΡΟΣ Β : MEΘΟΔΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ α βψ γ Έστω το σύστημα: α β ψ γ Αν D = α α D γ γ Dψ α α β β = αβ βα, β β = γβ βγ και γ γ = αγ γα τότ: Αν D 0 τότ το σύστημα έχι μοναδική D λύση την: (, ψ) D, D ψ D (Παράδ.) Αν D 0 τότ το σύστημα ίναι Αδύνατο ή έχι Άπιρς λύσις (Αόριστο) Επισημαίνουμ ότι: Αν D = 0 και D 0 ή D ψ 0 τότ το σύστημα ίναι Αδύνατο (Παράδ.) Αν D = D D ψ 0 και υπάρχι ένας τουλάχιστον συντλστής αγνώστου, διάφορος του μηδνός το σύστημα έχι άπιρς λύσις. (Παράδ.) Αν D = D D ψ 0 και όλοι οι συντλστές των αγνώστων ίναι μηδέν τότ αν γ γ = 0 τότ το σύστημα έχι άπιρς λύσις οποιοδήποτ ζύγος αριθμών (, ) (Παραδ.5), νώ αν γ 0 ή γ 0 το σύστημα ίναι αδύνατο (Παραδ.4) Προσέξτ όμως! Στην πρίπτωση που ισχύι D 0 μπορούμ να λύνουμ το σύστημα μ έναν από τους αλγβρικούς τρόπους που προαναφέραμ και να διαπιστώνουμ έτσι αν ίναι αδύνατο ή έχι άπιρς λύσις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Να λυθί το σύστημα: D = D = =() = 0, = () =, 4 Κώστας Βακαλόπουλος

D = Άρα: = = Το σύστημα έχι μοναδική λύση την: (, ψ), = (, ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να λυθί το σύστημα: 9 = 5 D = 6 =6() 9() = 0 9, D = 5 =() 5() = 0 Άρα: To σύστημα ίναι Αδύνατο. Άλλωστ οι υθίς που παριστάνουν οι ξισώσις του συστήματος : ψ =, : ψ = 5 ίναι παράλληλς. Παρατηρίστ πίσης ότι: 6 9 = 5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθί το σύστημα: 9 6 = 8 D = D = D = 6 9 8 6 9 8 =6()() = 0, =96 (8)() = 0, =(8) 9() = 0 Επιδή υπάρχι τουλάχιστον ένας συντλστής μη μηδνικός το σύστημα έχι άπιρς λύσις. Άλλωστ οι υθίς που παριστάνουν οι ξισώσις του συστήματος : ψ =, : ψ = ταυτίζονται. Παρατηρίστ πίσης ότι: = 6 = 9 8 Άρα: To σύστημα έχι άπιρς λύσις, της μορφής (, ψ) = (, ),όπου. Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 0 0 0 Να λυθί το σύστημα: 0 0 = Προφανώς D = D D ψ 0 Όμως το σύστημα ίναι Αδύνατο αφού η ξίσωση: 0 0 = ίναι Αδύνατη. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 0 0 0 Να λυθί το σύστημα: 0 0 = 0 Προφανώς D = D D ψ 0 Όμως το σύστημα έχι άπιρς λύσις κάθ ζύγος αριθμών (, ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Την μέθοδο των οριζουσών την χρησιμοποιούμ για την πίλυση αριθμητικών συστημάτων όταν οι συντλστές ίναι δύσκολοι αριθμοί αλλά κυρίως για την διρύνηση παραμτρικών συστημάτων όπως το παράδιγμα που ακολουθί: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να λυθί το σύστημα: λ λ λ = πραγματική τιμή του λ. D = λ =λ =(λ )(λ + ) λ, D = D = λ λ λ λ l, για κάθ = λ λ = λ =(λ )( λ + λ + ) = λ λ = λ(λ ) D = 0 (λ )(λ + ) = 0 λ = ή λ = Διακρίνουμ τις παρακάτω πριπτώσις: Αν λ και λ τότ το σύστημα έχι μοναδική λύση την: (, ψ) λ + λ + λ +, λ λ + Αν λ = το σύστημα γίνται: = Οπότ έχι άπιρς λύσις της μορφής: (, ) = (, ),. Αν λ = το σύστημα ίναι αδύνατο αφού D = 0 (Επαληθύτ γραφικά τα συμπράσματά σας) 5 Κώστας Βακαλόπουλος

Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΟΜΟΓΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ α βψ 0 Έστω το σύστημα: α β ψ 0 Το σύστημα αυτό λέγται ομογνές (γ = γ = 0) Προφανώς έχι πάντα λύση τη μηδνική (, ) = (0, 0). Aν D 0 τότ έχι μία μόνο λύση την μηδνική και Aν D = 0 τότ έχι άπιρς λύσις συμπριλαμβανομένης και της μηδνικής. (Στα ομογνή συστήματα ισχύι: D D ψ 0) Παράδιγμα: Nα λυθί το ομογνές σύστημα μ δύο ξισώσις και δύο αγνώστους και μ ορίζουσς που ικανοποιούν τις συνθήκς: D D ψ D. Επιδή D D ψ 0 θα ισχύι: D = 0 άρα το σύστημα έχι μόνο μία λύση την μηδνική: (, ) = (0, 0). ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ () Αν D D 4 0 τότ το σύστημα έχι μοναδική λύση Σ Λ () Αν D D ψ 0 τότ το σύστημα έχι άπιρς λύσις Σ Λ () Αν D ( D ) 0, το σύστημα ίναι αδύνατο Σ Λ (4) Αν D D + D ψ ) = 0 το (Σ) ίναι αδύνατο Σ Λ (5) Αν D D ψ D 0 τότ το (Σ) έχι πάντα άπιρς λύσις Σ Λ. Αν D 0 και D D και D ψ D τότ η λύση του αντιστοίχου συστήματος ίναι: Α (, ), Β,, Γ 4,, Δ, 4, Ε, 4 + κψ. Αν το σύστημα:,κ ίναι ψ 4 αδύνατο, τότ το σύστημα: + ψ κ ίναι: Α. Αδύνατο, B.Έχι άπιρς λύσις Γ. Έχι μοναδική λύση την (,) = (,), Δ. Δν μπορούμ να απαντήσουμ. 4. Για ποια τιμή του λ το σύστημα: λψ 7 6 5ψ έχι άπιρς λύσις. 5. Για ποις τιμές του λ το σύστημα: ψ 7 ίναι αδύνατο. ψ λ 6. Yπάρχουν τιμές του λ για τις οποίς το σύστημα: λψ 4 έχι μοναδική 5ψ λύση; 7. Να λυθί το σύστημα: λ (λ + )ψ λ (λ + ) (λ + )ψ, λ. 8. Για ποις τιμές του λ το (ομογνές) λ λψ 0 σύστημα: έχι και (λ ) λ 0 άλλς λύσις κτός της μηδνικής. 9. Σ' ένα σύστημα δυο γραμμικών ξισώσων μ αγνώστους, ψ ισχύι: D D D ψ 6D D ψ 0. Να λυθί το σύστημα. 0. Σ' ένα σύστημα δυο γραμμικών ξισώσων μ αγνώστους, ψ ισχύι: D D ψ D D D ψ D Αν το σύστημα έχι μοναδική λύση να βρθί η λύση αυτή.. Σ' ένα σύστημα δυο γραμμικών ξισώσων μ αγνώστους,ψ ισχύι: D D ψ D D ψ Αν το σύστημα έχι μοναδική λύση και ψ 8 να βρθούν τα, ψ. 6 Κώστας Βακαλόπουλος