ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1)

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.1) Εξίσση γραµµής C του πιπέδου: Είναι µια ξίσση µ δύο αγνώστους x, που έχι τις ιδιότητς i) Oι συντταγµένς κάθ σηµίου της γραµµής C παληθύουν την ξίσση και αντίστροφα: ii) Αν οι συντταγµένς νός σηµίου παληθύουν την ξίσση, τότ το σηµίο ανήκι στην γραµµή C ηλαδή αν συµβολίσουµ φ(x, )=, την ξίσση της γραµµής C,τότ: Aν το Μ(x 1, 1 ) ίναι σηµίο της C, θα ισχύι φ(x 1, 1 )= Αν ισχύι φ(α, β)=,τότ το Ν(α, β) ίναι σηµίο της C C M( x1, 1) ο N(α,β) C :φ(x,)= Στα πόµνα θα µλτήσουµ τις ιδιότητς της απλούστρης τν γραµµών που ίναι η υθία Συντλστής διύθυνσης υθίας Γνία της υθίας µ τον άξονα χ χ: Λέγται η κυρτή γνία που διαγράφι ο άξονας χ χ στρφόµνος κατά τη θτική φορά γύρ από το σηµίο τοµής του µ την υθία και µέχρι να συµπέσι µ αυτή. Ισχύι < 18 ή σ ακτίνια <π. Αν // χ χ τότ = χ χ χ χ χ χ χ χ <9 >9 = =9 Συντλστής διύθυνσης λ υθίας: Λέγται η τριγνοµτρική φαπτοµένη της γνίας που σχηµατίζι η υθία µ τον άξονα χ χ. ηλαδή λ=φ συντλστής διύθυνσης λέγται και κλίση της υθίας, γιατί καθορίζι πλήρς την διύθυνση της υθίας Αν = τότ λ = φ = Αν οξία γνία τότ λ > χ λ=φ χ Αν αµβλία γνία τότ λ < Αν χ χ δν ορίζται συντλστής διύθυνσης της υθίας

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο Σχέση τν συντλστών διύθυνσης υθίας και παράλληλου διανύσµατος «Μία υθία και ένα παράλληλο διάνυσµα έχουν ίσους συντλστές διύθυνσης» ηλ. αν //δ τότ Απόδιξη λ =λ δ δ φ φ= δ φ φ=π+ Συντλστής διύθυνσης υθίας από δύο σηµία της Αν υθία διέρχται από τα σηµία Α(x 1, 1 ) και Β(x 2, 2 ), µ x 1 2 1 x 2 τότ έχι συντλστή διύθυνσης λ= x x 2 1 Απόδιξη B 2 A 1 x 1 x 2 Συνθήκς καθτότητας και παραλληλίας υθιών Έστ οι υθίς 1, 2 µ συντλστές διύθυνσης λ 1, λ 2 αντίστοιχα ύο υθίς ίναι παράλληλς όταν έχουν ίσους συντλστές διύθυνσης (και αντιστρόφς) δ1 δηλαδή: 1 // 2 λ 1 =λ 2 1 δ2 2 ύο υθίς ίναι κάθτς όταν οι συντλστές διύθυνσης (φόσον υπάρχουν) έχουν γινόµνο -1 (και αντιστρόφς) δηλαδή 1 2 λ 1 λ 2 = -1 1 δ1 2 δ2

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο Εξίσση υθίας Ένας τρόπος για να ορίσουµ µία υθία ίναι να γνρίζουµ δύο σηµία της Α, Β. Επιδή όµς το διάνυσµα ΑΒ καθορίζι τον συντλστή διύθυνσης λ, δηλαδή την κλίση της υθίας, µπορούµ να πούµ ότι η υθία ορίζται από ένα σηµίο της π.χ. το Α και τον συντλστή διύθυνσής της λ. Και για τις δύο αυτές πριπτώσις θα δώσουµ την ξίσση της υθίας Η υθία που διέρχται από το σηµίο Α(x, ) και έχι συντλστή διύθυνσης λ, έχι ξίσση: - = λ(x-x ) Aπόδιξη M(x,) A(x, ) φ Η µη κατακόρυφη υθία που διέρχται από τα σηµία Α(x 1, 1 ) και Β(x 2, 2 ), έχι ξίσση: = (x x ) 2 1 1 1 x2 x1 A(x 1, 1) φ B(x2, 2) Η υθία που διέρχται από το σηµίο Α(x, ) και ίναι κάθτη στον άξονα χ χ έχι ξίσση: x =x (κατακόρυφη υθία) Ειδικά ο άξονας έχι ξίσση x= Α(x, ) x Ειδικές πριπτώσις ξίσσης υθίας Η υθία που διέρχται από το σηµίο Α(, β) του άξονα και έχι συντλστή διύθυνσης λ, έχι ξίσση: =λx+β φ λ=φφ Α(,β) 9 ο 3

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο Η υθία που διέρχται από την αρχή τν αξόνν και έχι συντλστή διύθυνσης λ, έχι ξίσση: =λx λ=φφ φ (,) i) Η διχοτόµος της 1 ης και 3 ης γνίας, έχι ξίσση: =x ii) Η διχοτόµος της 2 ης και 4 ης γνίας, έχι ξίσση: =-x χ 45 =x χ =-x χ 135 χ H υθία που διέρχται από το σηµίο Α(x, ) και ίναι παράλληλη στον άξονα Α(x, ) x x, έχι ξίσση: = (οριζόντια υθία) Ειδικά ο άξονας χ χ έχι ξίσση = Άσκηση 1 ίνονται τα σηµία Α(2,-1), Β(4,1), Γ(5,). α) Να βρθί ο συντλστής διύθυνσης της υθίας ΑΓ Αν γνρίζουµ το λ µπορούµ να βρούµ την γνία από την σχέση φ=λ β) Να δίξτ ότι η υθία ΑΓ ίναι παράλληλη στο διάνυσµα δ =(6α 2, 2α 2 ), α γ) Να βρθί η γνία κάθ µιας από τις υθίς ΑΒ και ΒΓ µ τον χ χ Αν το γινόµνο τν συντλστών ίναι -1, τότ οι υθίς ίναι κάθτς Βρίσκουµ την ξίσση υθίας όταν δ) Να διχθί ότι οι υθίς ΑΒ και ΒΓ ίναι κάθτς Γνρίζουµ ένα σηµίο της υθίας και τον συντλστή διύθυνσής της ή ) Να βρθούν οι ξισώσις τν υθιών ΑΒ και ΒΓ Γνρίζουµ δύο σηµία της στ) Ποιά υθία διέρχται από το Α και ίναι παράλληλη στον χ χ; ζ) Ποιά υθία διέρχται από το Γ και ίναι κάθτη στον χ χ; η) Ποιά υθία πρνά από την αρχή τν αξόνν και το σηµίο Β; θ) Να βρθί η ξίσση της υθίας που διέρχται από το Α και ίναι παράλληλη στην υθία =-2x+1 ι) Να βρθί η ξίσση της υθίας που διέρχται από το Γ και ίναι κάθτη στην υθία = 1 3 x συντλστής διύθυνσης µιας υθίας µπορί να βρθί έµµσα: Από µια υθία παράλληλη στην Από µια υθία κάθτη στην Θέτοντας στην ξίσση της υθίας: x=, βρίσκουµ την τοµή της µ τον =, βρίσκουµ την τοµή της µ τον χ χ ια) Να βρθούν τα σηµία τοµής της υθίας ΑΒ µ τους άξονς ιβ) Να βρθί το σηµίο τοµής της υθίας ΒΓ µ την 1 η διχοτόµο. ιγ) Να δίξτ ότι τα σηµία Α, Β και (1, -2) ίναι συνυθιακά. Τρία σηµία ίναι συνυθιακά όταν το ένα ανήκι στην υθία που ορίζουν τα άλλα δύο

ιδ) Αν το σηµίο Ε(-1,β) ανήκι στην υθία ΑΓ να βρθί το β. ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο Άσκηση 2 ίνται τρίγνο ΑΒΓ µ κορυφές τα σηµία Α(2, 1), Β(-1, -1), Γ(-3, 2). Να βρθούν οι ξισώσις : i) Tου φορέα του ύψους Β. ii) Tου φορέα της διαµέσου ΑΜ iii) Της µσοκαθέτου της πλυράς ΒΓ. Άσκηση 3 Έστ ΑΒΓ παραλληλόγραµµο µ κέντρο το σηµίο Κ(2,1) και ξισώσις τν πλυρών ΑΒ, ΑΓ τις =x+1 και =-2x+4 αντιστοίχς. Να βρθούν οι ξισώσις τν άλλν δύο πλυρών. Άσκηση 4 Έστ η υθία : =x+1 και το σηµίο Α(2, 1) α) Να βρθούν οι συντταγµένς της προβολής του σηµίου Α πάν στην. β) Να βρθούν οι συντταγµένς του συµµτρικού του Α ς προς την. Άσκηση 5 Να βρίτ τις ξισώσις τν πλυρών του ττραγώνου του οποίου οι διαγώνις βρίσκονται πάν στους άξονς και η πλυρά του έχι µήκος ίσο µ 2. Άσκηση 6 Tα σηµία Α(2, ) και Β(-1, 4) ίναι διαδοχικές κορυφές ττραγώνου. Να βρθούν οι ξισώσις τν πλυρών του. Άσκηση 7 Να βρίτ τις ξισώσις τν υθιών που διέρχονται από το σηµίο Μ(1, 2) και σχηµατίζουν µ τους άξονς ισοσκλές τρίγνο. Άσκηση 8 Να βρίτ την ξίσση της υθίας που διέρχται από το σηµίο Μ(1, 4) και τέµνι τις υθίς 1 : =-x+4 και 2 : =2x+3 στα σηµία Α και Β αντιστοίχς, έτσι ώστ το Μ να ίναι το µέσο του ΑΒ. Άσκηση 9 Να βρίτ την ξίσση της υθίας που διέρχται από το σηµίο Μ(, 1) και τέµνι τις υθίς 1 : = 1 2 x και 2: = 1 x+1 στα σηµία Α και Β αντιστοίχς, έτσι ώστ να 2 Εύρση υθίας που διέρχται από ισχύι ΑΒ=1. γνστό σηµίο Κάθ υθία που διέρχται από το σηµίο Α(x, ) έχι ξίσση της µορφής: - = λ(x-x ) ή x =x Έτσι λοιπόν πρέπι Να βρούµ το λ, άρα και την υθία Να ξτάσουµ αν η υθία x =x ίναι λύση του προβλήµατος

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ΓΕΝΙΚΗ ΜΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ( 2.2) Όλς οι πριπτώσις ξίσσης υθίας µπορούν να πάρουν µια νιαία µορφή, την οποία συνηθίζουµ να λέµ: γνική ξίσση υθίας i) Κάθ υθία του πιπέδου έχι ξίσση της µορφής Αx+B+Γ=, µ Α ή Β ii) H ξίσση Αx+B+Γ=, µ Α ή Β παριστάνι υθία του πιπέδου ( ηλαδή µία ξίσση 1 ου βαθµού ς προς x, παριστάνι υθία όταν δν µηδνίζονται συγχρόνς οι συντλστές τν αγνώστν) Απόδιξη Σ(,β) Ρ(x, ) Παρατήρησις Η ξίσση Αx+B+Γ=, µ Α ή Β στην ιδική πρίπτση που: i) Α= παριστάνι υθία παράλληλη στον χ χ. ii) Β= παριστάνι υθία παράλληλη στον. Για να βρούµ τον συντλστή διύθυνσης της υθίας Αx+B+Γ=, λύνουµ την ξίσση ς προς και την φέρνουµ στην µορφή =λx+β Άσκηση 1 Να δίξτ ότι, η ξίσση (λ+2)x+( λ-3)+(3λ 2-8λ+5)= για κάθ λ Rπαριστάνι υθία. Πότ η υθία ίναι παράλληλη στον χ χ, πότ παράλληλη στον και πότ διέρχται από το (,); Αν δίξουµ ότι οι συντλστές τν x, δν µηδνίζονται ταυτόχρονα, τότ η ξίσση παριστάνι υθία Άσκηση 11 Να ξτάστ για ποιές τιµές του λ R η ξίσση (λ 2 -λ)x+( λ 2-1)+(λ+3)= παριστάνι υθία. Πότ η υθία αυτή ίναι παράλληλη στον χ χ και πότ ίναι παράλληλη στον ; ιρύνηση της παραµτρικής ξίσσης Αx+B+Γ= Αν µηδνίσουµ ταυτόχρονα τους συντλστές τν x και, θα βρούµ για ποιές τιµές της παραµέτρου λ η ξίσση δν παριστάνι υθία

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο Άσκηση 12 Να βρθί η ξίσση της µσοπαράλληλης τν υθιών 1 : 2x+-8= και 2 : 4x+2-8=. Άσκηση 13 Τριγώνου ΑΒΓ η κορυφή Α έχι συντταγµένς (1,2), η υθία του ύψους ΒΕ έχι ξίσση 1 : x+3=3 και η υθία της διαµέσου ΓΜ έχι ξίσση 2 : x--11=. Να βρίτ τις δύο άλλς κορυφές του Άσκηση 14 Να δίξτ ότι για κάθ α Rοι υθίς:(2α 2 +α+1)x-(α 2 -α+1)-(α 2 +2α)= (1), διέρχονται από το ίδιο σηµίο. Μσοπαράλληλη δύο υθιών 1, 2 Παίρνουµ δύο σηµία Α, Β πάν στις 1, 2 Βρίσκουµ το µέσο Μ του τµήµατος ΑΒ Η µσοπαράλληλη τν 1, 2 διέρχται από το Μ και έχι το ίδιο λ µ τις 1, 2 Παραµτρική υθία διρχοµένη από σταθρό σηµίο i) ίνουµ δύο αυθαίρτς τιµές στην παράµτρο και βρίσκουµ δύο υθίς 1, 2 ii) Βρίσκουµ το σηµίο τοµής A τν υθιών 1, 2 iii) ίχνουµ ότι οι συντταγµένς του Μ παληθύουν την παραµτρική ξίσση Άσκηση 15 Nα δίξτ ότι για κάθ τιµή του λ R, η ξίσση (x+2-5)+λ(3x-2+1)= (1) παριστάνι υθία. Στη συνέχια να δίξτ ότι όλς οι υθίς που ορίζονται από την (1) πρνάν από το ίδιο σηµίο. Τέλος να βρίτ ποιά από τις παραπάν υθίς της ξίσσης (1) : i) ιέρχται από το σηµίο Α(3,-1) ii) Είναι παράλληλη στον χ χ iii) Είναι παράλληλη στον iv) Είναι παράλληλη στην υθία 4x+3-5= v) Είναι κάθτη στην υθία x+3+7=. Η δέσµη υθιών 1 +λ 2 Αν 1, 2 οι ξισώσις δύο υθιών τότ: Για να δίξουµ ότι η ξίσση 1 +λ 2 παριστάνι υθία, την φέρνουµ στην µορφή Αx+Β+Γ= κ.λ.π. Για να δίξουµ ότι οι υθίς 1 +λ 2 διέρχονται από το ίδιο σηµίο: 1 ος τρόπος: Όπς στην Άσκ. 14 2 ος τρόπος: Η ξίσση 1 +λ 2 ισχύι για κάθ λ R (ταυτότητα) άρα πρέπι να µηδνίζονται συχρόνς οι συντλστές 1 και 2 Η λύση του συστήµατος τν ξισώσν τν 1 και 2 ίναι το σηµίο από το οποίο διέρχονται όλς οι υθίς. Παρατήρηση ι ξισώσις ς προς x, µ βαθµό µγαλύτρο του πρώτου γνικώς παριστάνουν καµπύλς γραµµές. Είναι δυνατόν όµς να παριστάνουν και µία ή πρισσότρς υθίς Άσκηση 16 Να βρίτ τις γραµµές που παριστάνουν οι ξισώσις : α) x= β) x 2-5x+6= γ) x - = δ) x 2-2 = ) x 2-4 2-2x+12-8=

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο Πώς βρίσκουµ ένα παράλληλο και ένα κάθτο διάνυσµα σ υθία Ένα διάνυσµα παράλληλο στην υθία Αx+Β+Γ= ίναι το δ =(Β,-Α). Απόδιξη Ax+B+Γ= δ=(β,-α) Ένα διάνυσµα κάθτο στην υθία Αx+Β+Γ= ίναι το η =(Α,Β) Απόδιξη Ax+B+Γ= η=(α,β) Άσκηση 17 Να βρθί η οξία γνία τν υθιών 1 : x=3 και 2 : x++1= Εύρση της Γνίας δύο υθιών Παίρνουµ δύο διανύσµατα παράλληλα στις υθίς Η γνία τν διανυσµάτν ίναι και η γνία τν υθιών Άσκηση 18 M τη βοήθια τν διπλανών σχηµάτν : α) Να κφράστ την γνία τν υθιών 1 και 2 συναρτήσι τν γνιών τους 1 και 2 β) Να κφράστ την φ συναρτήσι τν 1 1 2 2 2 2 1 1 συντλστών διύθυνσης λ 1, λ 2 τν υθιών 1, 2 Σχτική θέση δύο υθιών ι υθίς 1 : Α 1 x+β 1 +Γ 1 = και 2 : Α 2 x+β 2 +Γ 2 = Α1 Β1 Τέµνονται αν και µόνον αν Α Β 2 2 Α1 Β1 Γ1 Είναι παράλληλς αν και µόνον αν = Α Β Γ 2 2 Α1 Β1 Γ1 Συµπίπτουν αν και µόνον αν = = Α Β Γ 2 2 Άσκηση 19 α) Για τις διάφορς τιµές του λ να βρθούν οι σχτικές θέσις τν υθιών 1 : λx-(λ+1)-1=, 2 : x-2+λ-2= β) Αν οι υθίς τέµνονται να δίξτ ότι το σηµίο τοµής τους Α κινίται σ υθία 2 2 Για τις σχτικές θέσις δύο παραµτρικών υθιών κάνουµ διρύνηση στο σύστηµα τν ξισώσών τους

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ΑΠΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΥ ΑΠ ΕΥΘΕΙΑ ( 2.3) Η απόσταση του σηµίου Μ (x, ) από την υθία : Αx+Β+Γ= συµβολίζται d(m, ) και δίνται από τον τύπο: Αx +B +Γ d(m,)= 2 2 Α +Β d Μ (x, ) Αx+B+Γ= Άσκηση 2 α) Να βρθί η απόσταση του σηµίου Μ(2, -3) από την υθία 4 2 = x+ 3 3 ίδια υθία β) Να βρθί η απόσταση της αρχής τν αξόνν από την 4 2 = x+ 3 3 Φέρνουµ την υθία στην µορφή Αx+Β+Γ= και φαρµόζουµ τον τύπο της απόστασης Άσκηση 21 Να βρθί το σηµίο του άξονα χ χ που ισαπέχι από την αρχή τν αξόνν και από την υθία : 3x-4-24=. Άσκηση 22 Να βρίτ τις ξισώσις τν υθιών που ιέρχονται από την αρχή (,) και απέχουν από το σηµίο Α(1, 2) απόσταση ίση µ 1. Άσκηση 23 Να βρθί η ξίσση της υθίας που διέρχται από το σηµίο Α(-2, 1) και απέχι από την αρχή τν αξόνν 2 µονάδς. Προσδιορισµός σηµίου Θέτουµ Μ(x,) το ζητούµνο σηµίο και κφράζουµ αναλυτικά τις συνθήκς Εύρση υθίας που διέρχται από γνστό σηµίο Κάθ υθία που διέρχται από το σηµίο Α(x, ) έχι ξίσση της µορφής: - = λ(x-x ) ή x =x Έτσι λοιπόν πρέπι Να βρούµ το λ, άρα και την υθία Να ξτάσουµ αν η υθία x =x ίναι λύση του προβλήµατος Άσκηση 24 Να βρίτ την απόσταση τν υθιών 1 : 4x -6+5= και 2 : = 2 3 x+1. Απόσταση δύο παραλλήλν υθιών Παίρνουµ ένα τυχαίο σηµίο στη µία υθία και βρίσκουµ την απόστασή του από την άλλη ΕΜΒΑ ΤΡΙΓΩΝΥ ( 2.3) Το µβαδό του τριγώνου µ κορυφές Α(x 1, 1 ), B(x 2, 2 ), Γ(x 3, 3 ) δίνται από τον τύπο: (ΑΒΓ)= 1 det(αβ, A Γ) 2 Α(x, ) 1 1 B(x2, 2) Γ(x, ) 3 3

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο Άσκηση 25 Ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ οι τρις κορυφές του έχουν συντταγµένς (-3, 1), (-2, 3) και (4, -5). Να υπολογίστ το µβαδό του παραλληλογράµµου. Άσκηση 26 Έστ τα σηµία Α(1,1) και Β(5,5) και η υθία : x-2-1=. Nα βρθί σηµίο Γ της υθίας, ώστ το µβαδό του τριγώνου ΑΒΓ να ίναι ίσο µ 4. Άσκηση 27 Έστ τα σηµία Α(1,2), Β(-3,4), Γ(2λ+1,-λ+1), λ R. i) Να διχθί ότι τα σηµία Α, Β, Γ ίναι κορυφές τριγώνου µ σταθρό µβαδό για κάθ λ R. ii) Nα δίξτ ότι το σηµίο Γ κινίται πάν σ υθία της οποίας να βρίτ την ξίσση iii) Nα βρίτ το λ R ώστ το σηµίο Γ(2λ+1, -λ+1) να απέχι από την αρχή τν αξόνν την λάχιστη απόσταση Άσκηση 28 α) Να βρθούν οι ξισώσις της διχοτόµου τν γνιών που σχηµατίζουν οι υθίς: 1 : 3x-4+1= και 2 : 5x+12+4= β) Να βρθί η ξίσση της µσοπαράλληλης τν υθιών 1 : 2x+-8= και 2 : 4x+2-8= Γµτρικοί τόποι i) Θρούµ τυχαίο σηµίο Μ(x,) του γ. τόπου ii) Εκφράζουµ µ αλγβρικές σχέσις την ιδιότητα που έχι το σηµίο Μ iii) Εκτλούµ τις πράξις και παίρνουµ µία ξίσση ς προς x, Άσκηση 29 Να δίξτ ότι οι υθίς λx+(λ-2)=λ-1 και (λ+2)x+λ=λ τέµνονται για όλς τις τιµές του λ R. Στη συνέχια να βρίτ τον γµτρικό τόπο του σηµίου τοµής τους Άσκηση 3 Σ ορθογώνιο σύστηµα αναφοράς x δίνται το ορθογώνιο ΑΒΓ, του οποίου οι κορυφές Α και Γ κινούνται στους θτικούς ηµιάξονς Ox και O αντίστοιχα και ίναι Β (α, β) µ α-β=1. Να δίξτ ότι η κάθτη που φέρουµ από το Β στην ΑΓ διέρχται από σταθρό σηµίο το οποίο και να βρθί. Παραµτρικές ξισώσις γραµµής του πιπέδου Όταν οι συντταγµένς νός σηµίου Μ(x,) της γραµµής C δίνονται ς συναρτήσις µιας µταβλητής t ( η οποία καλίται παράµτρος), τότ λέµ ότι έχουµ τις παραµτρικές ξισώσις της γραµµής C ηλαδή οι παραµτρικές ξισώσις έχουν µορφή: x=x(t), =(t), όπου η µταβλητή t ανήκι σ ένα σύνολο Α Από τις παραµτρικές ξισώσις µ απαλοιφή του t βρίσκουµ µία ξίσση ς προς x, που ίναι η αναλυτική ξίσση της γραµµής C. Άσκηση 31 Να δίξτ ότι τα σηµία Μ(2t-1, 5-6t), t Rανήκουν σ υθία της οποίας να βρίτ την ξίσση.

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο ν ίναι δυνατόν! Κι άλλς ασκήσις 32. ίνονται τα σηµία Α(7, 5), Β(6, -7) και Γ(2, 3). Να αποδίξτ ότι το τρίγνο ΑΒΓ ίναι ορθογώνιο. 33. Σ τρίγνο ΑΒΓ έχουµ: Α (-8, 2), Β (7, 4), και Η (5, 2) το ορθόκντρό του. Να βρίτ : α) την ξίσση της πλυράς ΒΓ β) τις συντταγµένς της κορυφής Γ γ) τις ξισώσις τν πλυρών του 34. Να βρίτ τις ξισώσις τν υθιών που ίναι παράλληλς προς την υθία : 2x 3 12= και οι οποίς ορίζουν µ τους άξονς τρίγνο µ µβαδόν 12 τ.µ. 35. ίνται η υθία : =3x-2. Na βρθί η συµµτρική της : i) ς προς τον άξονα xx ii) ς προς τον άξονα iii) ς προς το σηµίο (,) iv) ς προς την υθία δ : 2x+-3= και v) ς προς το σηµίο Κ(2,1) 36. ίνονται τα σηµία Α (λ,). Β(2λ,3λ), λ. Αν η κάθτη στην ΑΒ στο σηµίο Α τέµνι την υθία x= -2λ στο Γ, να αποδιχθί ότι το τρίγνο ΑΒΓ ίναι ισοσκλές. [ Απ: ΑΒ=ΑΓ ] 37. ίνονται οι υθίς 1 : (λ+2)x+λψ+3λ-1= και 2 : (λ-1)x+λ+5=. Nα βρίτ τον λ ώστ να ίναι: 1 // 2. 38. ίνονται οι υθίς 1 : (µ+1)x+(µ+2)ψ= και 2 : µx-(3µ+2)+7=. Nα βρίτ το µ ώστ η γνία τν 1 και 2 να ίναι 9 ο. 39. Να βρθί ο γµτρικός τόπος τν σηµίν Μ(λ-1, 2λ+3), λ R 4. Έστ οι υθίς 1 : 2x-3+1=, 2 : -x+4+3= και το σηµίο Α (1,-2). Να βρθί σηµίο Μ της 2, ώστ το µέσο του ΑΜ να ανήκι στην 1. [ Απ : M(-49/5, -16/5) ] 41. ίνονται τα σηµία A(4, 2), B(3, -1) και η υθία : =-3x. Να βρθί σηµίο Γ της υθίας, ώστ το τρίγνο ΑΒΓ να ίναι ισοσκλές µ κορυφή το Β. 42. Na βρίτ τις ξισώσις τν πλυρών νός τριγώνου ΑΒΓ όπου Α(4, 1) και ένα ύψος του και µια διάµσός του από διαφορτικές κορυφές του έχουν ξισώσις =-x-1 και 1 3 2 19 11 = x+ αντίστοιχα. [ Απ : = x+, = 2 2 11 11 37 x+123 37, =x-3 ] 43. Να αποδιχθί ότι η ξίσση x 2 2 4λ 2λx- 3λ 2 = παριστάνι δύο υθίς κάθτς µταξύ τους. Να βρθί ο γµτρικός τόπος του σηµίου τοµής τν δύο αυτών υθιών.

ΚΕΦ 2 ο : H υθία στο πίπδο 44. Να αποδίξτ ότι η ξίσση: 2 2 3x 2x 2 = παριστάνι ζύγος δύο υθιών. Ποια ίναι η σχτική θέση τν δύο υθιών που βρήκατ; 45. ίνονται τα σηµία Α(4,2) και Β(3,-5) και η υθία : 7x+-23=. Na βρθί σηµίο Μ της τέτοιο ώστ το τρίγνο ΑΜΒ να ίναι ορθογώνιο στο Μ. 46. Φτινή ακτίνα διρχόµνη από το σηµίο Σ(2, 3) και προσπίπτουσα στην υθία x++1=, µτά την ανάκλασή της διέρχται από το σηµίο Μ(1, 1). Να βρθούν οι ξισώσις της προσπίπτουσας και της ανακλώµνης ακτίνας. 47. Τριγώνου ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α (1, 2) και οι ξισώσις : x 3 + 1 = και 1 = δύο διαµέσν του. Να βρίτ τις ξισώσις τν πλυρών του τριγώνου ΑΒΓ 48. Na βρθί η ξίσση της υθίας που διέρχται από το σηµίο Μ(2,-1) και σχηµατίζι µ 1 3 την υθία 2x-3-6= γνία 45 ο. [ Απ : =5x-11 ή = x- ] 5 5 49. Έστ Α(3,-2) και Γ(-5,4) οι δύο κορυφές ττραγώνου ΑΒΓ. Να βρθούν οι συντταγµένς τν κορυφών Β,. [Απ : B(2,5), (-4,-3) ] 5. Να βρθί το µβαδόν του ττραπλύρου που έχι κορυφές τα σηµία: Α(1, -2), Β(-2, 3), Γ(-1, -4), (5, ). 51. Να βρίτ το γµτρικό τόπο τν σηµίν του πιπέδου τν οποίν ο λόγος τν αποστάσν από τις υθίς 1 : x-2= και 2 : x+2= ίναι ίσος µ 2. 52. ίνονται τα σηµία Α(-1,2) και Β(3,-2). Να βρθί σηµίο Ρ της υθίας : 2x-+3=, ώστ να ίναι : Ε(ΡΑΒ)=Ε(ΑΒ). [Απ : (1/3, 11/3) ή (-5/3, -1/3) ] 53. Να αποδίξτ ότι η ξίσση x 2 + 2 +2x-3x-3+2= παριστάνι δύο παράλληλς υθίς και στη συνέχια να βρίτ το µβαδόν του τραπζίου που σχηµατίζουν οι υθίς αυτές µ τους άξονς. [ Ε=3/2 τµ. ] 54. Έστ Α(3, 5) η κορυφή ισοσκλούς τριγώνου ΑΒΓ µ Ε(ΑΒΓ)=2 τµ. και του οποίου η βάση ΒΓ βρίσκται πί της υθίας : x+2=3. Na βρθούν οι ξισώσις τν άλλν δύο πλυρών του τριγώνου. [Απ : =5, 3-4x=3 ]