DARJA POTOƒAR, FMF

7. ²olska ura Tema: Ponovitev Oblika: vaje B 1 Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku: A V α A 1 B 1 sin α = AA 1 V A = BB 1 V B cos α = V B 1 V B = V A 1 V A tan α = sin α cos α cos α cot α = sin α = 1 tan α Slika 1 Zveze med kotnimi fumkcijami: sin α + cos α = 1 1 + cot α = 1 sin α 1 + tan α = 1 cos α V pravokotnem trikotniku opazimo: sin α = cos(90 α) cos α = sin(90 α) Primeri: V pravokotnem trikotniku meri osnovnica c = 8cm, stranica a = 4cm. Koliko merijo koti v trikotniku? [R : α = 30, β = 60 ] Poenostavi (kolikor se da): a) sin 3 α + sin α cos α b) cos β cos β sin β cos 3 β [R : a) sin α, b)0] Imamo enakokrak trikotnik z osnovnico AB = c in kotom γ pri vrhu. Dolo i obseg kroga, ki se dotika obeh krakov in ima sredi² e v razpolovi² u stranice AB. [R : ob = πr, r = c cos(γ/) ] DARJA POTOƒAR, FMF. 9. 005

Tema: Prehod na ostri kot, periodi nost,... cos α α sin α 8. ²olska ura + + - + - - - + Slika Slika 3 Zaloga vrednosti sin in cos: sin α 1, cos α 1. Periodi nost: cos(α + πk) = cos α sin(α + πk) = sin α tan(α + πk) = tan α cot(α + πk) = cot α Sodost, lihost: cos( α) = cos α... cos je soda funkcija sin( α) = sin α... sin je liha funkcija tan, cot( α) = tan, cot α... tan in cot sta lihi funkciji Prehod na ostri kot (α): sin(π α) = sin α cos(π α) = cos α sin(π + α) = sin α cos(π + α) = cos α Tabela ostrih kotov: 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ cos α 1 3/ / 1/ 0 1 0 sin α 0 1/ / 3/ 1 0 1 Primeri: Naj bo π < α < 3π/ in sin α = 0, 8. Dolo i cos α! (Pomagaj si s sliko B.) [R : cos α = 0, 6] Naj bo sin α + cos α = 4/3. Dolo i sin α cos α! [R : (4+ )(0 6) ] 18 sin (0π/3)+cos (19π/4) Izra unaj =? sin ( 11π/3) cos (19π/6) [R : 4 6+6 3 6 1] 3 DARJA POTOƒAR, FMF 15. 9. 005

9. ²olska ura Tema: Adicijski izreki T (cos β, sin β) Izpeljava adicijskih izrekov: g β α β α f T 1 (cos α, sin α) g f = g f cos(α β); ker imamo enotsko kroºnico, sta g = f = 1. g = (cos α, sin α), f = (cos β, sin β) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β Slika 4 ƒe upo²tevamo cos(α +β) = cos(α ( β)), sin α = cos(π/ α) in tan(α +β) = sin(α+β) cos(α+β), dobimo adicijske izreke: A-1 cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β A- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β A-3 tan(α ± β) = tan α±tan β 1 tan α tan β Primeri: Izpelji adicijski izrek za tangens! Izra unaj sin 75! [R : + 6] 4 Dolo i sin(π/3 α), e je 0 < α < π in cos α = 3/5. [R : 3 3 4] 10 Poenostavi izraz sin(α + β) cos α cos(α + β) sin α. [R : sin β] ƒe so α, β, γ koti v trikotniku, pokaºi, da je cos α + cos β + cos γ + cos α cos β cos γ = 1. Izra unaj cos(α β +γ), e je cos α = 1/13, sin β = 8/17, sin γ = 3/5 in so koti α, β, γ ostri. 943 [R : ] 1105 DARJA POTOƒAR, FMF 15. 9. 005

30. ²olska ura Tema: Dvojni in polovi ni koti Dvojni koti Kako bi z dosedanjim znanjem izpeljali formulo za sin α? Morda z adicijskimi izreki? sin α = sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = sin α cos α cos α = cos α cos α sin α sin α = cos α sin α sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α Polovi ni koti Upo²tevajmo, da je cos α = 1 sin α in cos α = cos α sin α = 1 sin α sin α. Tako je sin α = 1 cos α. Zamenjamo α z α/ in dobimo formulo sin α = ± 1 cos α. Predznak je odvisen od intervala, na katerem leºi α/. Podobno lahko iz cos α = cos α (1 cos α) dobimo cos α = cos α = ± 1+cos α. 1+cos α in od tod Primeri: Poenostavi izraz cos (x) sin (x). [R : cos 4x] Naj bo sin x = 1/ 5 in π/ < x < π. Dolo i sin x, cos x. [R : sin x = 4/5, cos x = 3/5] Poenostavite [R : tan x] sin x sin x 1+cos x cos x Poenostavite (4 tan α 4 sin3 α cos α [R : ] ) : sin α DARJA POTOƒAR, FMF 16. 9. 005

31. ²olska ura Tema: Vaje Oblika: vaje 1. Izra unaj natan no (brez kalkulatorja), rezultat racionaliziraj! a) [R : 3/3] tan(945 ) cos ( 600 ) sin (34π/6) b) (cos π 4 sin 750 ) : (1 + 4 cos 13π ) tan( 0π/3) cot 1140 4 [R : 6 ] 7. Poenostavi: a) cos 1 x (1 + cot x) 1 + sin x tan 1 x [R : 1/ cos x] b) 1/ sin(5π x) : cot x + sin (5π/ x) [R : 1] c) [R : 1/ cos x] sin 1 x sin x cot x + (1 + tan x) 3. Naj bo cos α = 3/5, π/ < α < π. Izra unaj: sin α, cos α, sin(α + π). [R : sin α = 4/5, cos α = 7/5, sin(α + π) = 4/5] cos x 1 + cot x 4. Izra unaj cos(π/3 x), e velja cot x = 3/4, π/ < x < π. [R : 7 4 3 50 ] 5. Ugotovi sodost oz. lihost funkcije: [R : f(x) je liha] f(x) = sin x tan x x 3 cos x. DARJA POTOƒAR, FMF 15. 9. 005

3. ²olska ura Tema: Faktorizacija Izpeljava: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β Se²tejemo in dobimo: sin(α + β) + sin(α β) = sin α cos β. Denirajmo: α + β = γ, α β = δ = α = γ+δ, β = γ δ. Tako dobimo naslednji dve enakosti: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin γ + sin δ = sin( γ + δ ) cos(γ δ ) sin γ sin δ = sin( γ δ ) cos( γ + δ ) ƒe zgornji dve vrstici se²tejemo in upo²tevamo, dobimo enakost cos γ + cos δ = cos( γ+δ γ δ ) cos( ). ƒe pa zgornji dve vrstici od²tejemo in zopet upo²tevamo, pa dobimo cos γ cos δ = sin( γ+δ γ δ ) sin( ). Primeri: sin x + cos 4x =?, cos 105 cos 75 =? [R : sin 3x cos x, 1] Poenostavi 1+sin x 1 sin x. Dokaºi: cos(α + π/6) + cos(α π/6) = 3 cos α. ƒe je α oster kot, dokaºi, da je 1 + sin α 1 sin α = sin α. DARJA POTOƒAR, FMF 16. 9. 005

33. ²olska ura Tema: Raz lenitev produkta Izpeljava: sin(α + β) + sin(α β) = sin α cos β sin α cos β = 1 [sin(α + β) + sin(α β)] cos(α + β) + cos(α β) = cos α cos β cos α cos β = 1 [cos(α + β) + cos(α β)] cos(α + β) cos(α β) = sin α sin β sin α sin β = 1 [cos(α + β) cos(α β)] Primeri: Poenostavi: [R : tan(x y)] Poenostavi: sin(3x y) sin(3y x) cos x + cos y sin(30 x) cos x sin x cos(30 x) = = [R : 3] Poenostavi: tan α cot α! sin α [R : ] sin α Poenostavi: sin α + sin β + sin γ, kjer so α, β, γ koti v trikotniku. Izpeljimo naslednji dve formuli: tan α ± tan β in cot α ± cot β! [R : tan α + tan β = sin(α±β) sin(α±β), cot α + cot β = ± ] cos α cos β sin α sin β Dokaºi, da velja: cos(α + β) cos(α β) = cos β sin α! Dokaºi: 4 sin(π/4 + α) sin(π/4 α) cos α = 1 + cos 4α. DARJA POTOƒAR, FMF. 9. 005

34. ²olska ura Tema: Graf funkcije f(x) = sin x ravnilo f(x) = sin x... SINUSOIDA sin( x) = sin x... prezrcalimo ez izhodi² e sin(x + πk) = sin x... perioda je π! Najve ja vrednost: sin x = 1 = x = π + πk, k Z Najmanj²a vrednost: sin x = 1 = x = π + πk, k Z Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Slika 5: sinusoida Primeri: Nari²i graf funkcije f(x) = 1 + sin x. Dolo i najve jo in najmanj²o vrednost funkcije f(x) = 3 + sin x. [R : max = 4, min = ] Za kak²ne x ni deniran izraz sin x 1 sin x? [R : x = ± π + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF. 9. 005

Tema: Graf funkcije f(x) = cos x ravnilo 35 (1). ²olska ura f(x) = cos x... KOSINUSOIDA cos( x) = cos x... simetri na glede na x - os cos(x + πk) = cos x... perioda je π! Najve ja vrednost: cos x = 1 = x = 0 + πk, k Z Najmanj²a vrednost: cos x = 1 = x = π + πk, k Z Ni le: cos x = 0 = x = π + πk, k Z sin(x + π/) = cos x Slika 6: kosinusoida Primeri: Nari²imo graf funkcije f(x) = cos x. Nari²imo graf funkcije f(x) = cos x + 1. V istem koordinatnem sistemu nari²i graf funkcije f(x) = cos x 1 in premico y = 1/ ter zapi²i njuna prese i² a. [R : ( π + kπ, 1), ( π + kπ, 1 ), k Z] 3 3 DARJA POTOƒAR, FMF 8. 9. 005

Tema: Graf funkcije f(x) = tan x, cot x ravnilo 35 (). ²olska ura f(x) = tan x tan( x) = tan x tan(x + πk) = tan x... perioda je π tan x = sin x... racionalna funkcija cos x Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Poli: cos x = 0 = x = π + πk, k Z Slika 7: tangens f(x) = cot x cot( x) = cot x cot(x + πk) = cot x... perioda je π cot x = cos x... racionalna funkcija sin x Ni le: cos x = 0 = x = π + πk, k Z Poli: sin x = 0 = x = 0 + πk, k Z Slika 8: kotangens DARJA POTOƒAR, FMF 04. 10. 005

36. ²olska ura Tema: Risanje grafov kotnih funkcij, vaje ravnilo Vaja: Dolo i denicijsko obmo je funkcij: a) f(x) = 3 + sin x b) f(x) = 1 tan x 1+tan x. RISANJE GRAFOV: f(x) = A sin(ωx + ϕ) + c = A sin(ω(x + ϕ ω )) + c A... amplituda, razteg po y - osi ω... frekvenca nihanja, razteg po x - osi: ϕ ω ω < 1 razteg ω > 1 skr itev... premik po x - osi c... premik po y - osi T = π... perioda, na koliko se graf funkcije ponavlja ω 1. Nari²imo graf funkcije f(x) = sin x! Ni le: sin x = 0 = x = 0 + πk = x = π/k, k Z Najve ja vrednost: sin x = 1 = x = π/+πk = x = π/4+πk, k Z Perioda: T = π. f(x) = sin x = π Ni le: sin x = 0 = x Najve ja vrednost: sin x = 1 = x Perioda: T = π 1/ = 4π = 0 + πk = x = 0 + πk, k Z = π/ + πk = x = π + 4πk, k Z DARJA POTOƒAR, FMF 04. 10. 005

37. ²olska ura Tema: Risanje grafov kotnih funkcij, vaje ravnilo Nari²imo grafe naslednjih funkcij: 1. f(x) = sin( x π 4 ) = sin( 1 (x π ))! a) Najprej nari²emo funkcijo sin x. b) sin 1 x... razteg po x - osi c) sin( 1 (x π ))... premik po x - osi za π/ v desno! d) T = 4π... perioda. f(x) = cos(π x) = cos(x π) = cos (x π ) a) cos x b) cos x... skr itev po x - osi c) cos (x π )... premik po x - osi za π/ v desno d) cos (x π )... razteg po y - osi e) T = π... perioda 3. f(x) = cos( x + π 4 ) = cos 1 (x + π ) a) Nari²imo najprej f(x) = cos x : cos x = 0 cos x = 1 cos x = 1 x = π + πk x = 0 + πk x = π + πk x = π + πk x = 0 + 4πk x = π + 4πk b) cos 1 (x + π )... premik po x - osi za π/ v levo c) cos 1 (x + π )... zrcaljenje preko x - osi 4. f(x) = 3 cos(x π 4 ) DARJA POTOƒAR, FMF 04. 10. 005

38. ²olska ura Tema: Vaje - risanje grafov kotnih funkcij Oblika: vaje ravnilo 1. f(x) = sin x + 1 a) sin x b) sin x... kar je negativnega, prezrcalimo ez x - os c) sin x + 1... premik po y - osi za 1 gor. f(x) = 1 cos x + 1 3. f(x) = sin x sin x = sin x sin x = 1 (cos x cos 0) = 1 cos x + 1 cos 0 = 1 cos x + 1 Torej, risali bomo funkcijo f(x) = 1 cos x + 1. 4. A sin(ωx + ϕ) = A sin(ωx) cos ϕ + A cos(ωx) sin ϕ a = A cos ϕ b = A sin ϕ a + b = A in tan ϕ = b a f(x) = a sin(ωx) + b cos(ωx) Primer: Kako nari²emo funkcijo f(x) = 3 sin x cos x? a = 3, b = 1, A = 4, A = ± tan ϕ = 3 3 ϕ = π/6 f(x) = ± sin(x π/6) in ker je sin( π/6) = 1/, je 5. f(x) = sin 3x + 3 cos 3x [R : f(x) = +4 sin(3x + π/3)] f(x) = + sin(x π/6). DARJA POTOƒAR, FMF 04. 10. 005

39. ²olska ura Tema: Vaje Oblika: vaje ravnilo 1. Izra unaj brez kalkulatorja: [R : 1] sin π 3 cos 5π 6 cos 15π 4 sin 5π 4 =. Poenostavi: [R : tan x sin x] cos 1 x cos x sin x cos 1 x 1 sin 1 x sin x = 3. Faktoriziraj(poenostavi): [R : 3 3 ] sin(30 x) cos x sin x cos(30 x) 4. Dolo i denicijsko obmo je funkcije f(x) = 3 sin x 1 + cos x! [R : D f = [ π 6 + kπ, 5π 6 + kπ], k Z] 5. Nari²i graf funkcije f(x) = cos( x + π) + 1. 3 6 Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti! [Ni le: x = 3π + 6kπ, k Z] 6. Poenostavi in nari²i: [R : f(x) = sin x] f(x) = cos( 5π 4x ) sin(4π x). DARJA POTOƒAR, FMF 04. 10. 005

40. ²olska ura Tema: f(x) = arcsin x Poglavje: Kroºne funkcije ravnilo f(x) = arcsin x Naj bo y R med -1 in 1. Ena ba sin x = y ima neskon no re²itev (glejmo graf sin x). Izkaºe se: e poznamo eno re²itev ena be, vse druge re²itve lahko s to dano preprosto izrazimo. ƒe je 0 y 1, ima ena ba sin x = y natanko eno re²itev na intervalu [0, π ]. ƒe pa je 1 y 0, ima ena ba sin x = y natanko eno re²itev na intervalu [ π, 0]. Zdruºimo oba primera: Naj bo 1 y 1. Ena ba sin x = y ima na intervalu [ π, π ] natanko eno re²itev, ki jo ozna imo z arcsin y. Denicija: arcsin y je tak kot med π in π, da je njegov sinus enak y. arcsin y [ π sin(arcsin y) = y π ], Funkcija arcsin : [ 1, 1] [ π, π ] je bijektivna. arcsin x je inverzna funkciji sin x, zato jo dobimo tako, da graf sin x preslikamo ez simetralo lihih kvadrantov.(nari²i graf!) Primeri: Izra unaj arcsin 0! Re²itev: Ena ba sin x = 0 ima re²itev x = 0. Zato je arcsin 0 = 0. Izra unaj na pamet: arcsin 3, arcsin(tan π 4 ). [R : π 3, π ] Dana je funkcija f(x) = arcsin(x + 1) + π 4. a) Izra unajte f(0), f( 1/). b) Izra unajte ni lo funkcije f in nari²ite njen graf. c) Zapi²ite denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. [R : a) f(0) = 3π, 4 f( 1) = 5π, 1 b) x = 1, c) D f = [, 0], Z f = [ π, 3π]] 4 4 DARJA POTOƒAR, FMF 05. 10. 005

41. ²olska ura Tema: f(x) = arccos x, f(x) = arctan x Poglavje: Kroºne funkcije ravnilo f(x) = arccos x Ena ba cos x = y ( 1 y 1) ima na intervalu [0, π] natanko eno re²itev, ki jo ozna imo z arccos y. Denicija: arccos y je tak kot med 0 in π, da je njegov kosinus enak y. arccos y [0, π], cos(arccos y) = y Funkcija arccos : [ 1, 1] [0, π] je bijektivna. arccos x je inverzna funkciji cos x.(nari²i graf!) f(x) = arctan x Ena ba tan x = y ima na intervalu ( π, π ) natanko eno re²itev, ki jo ozna im z arctan y. Denicija: arctan y je tak kot ( π, π ), da je njegov tangens enak y. arctan y [ π, π ], tan(arctan y) = y Funkcija arctan : R ( π, π ) je bijektivna. arctan x je inverzna funkciji tan x. (Nari²i graf!) Primeri: Izra unaj arccos( cot π 4 ), arctan(sin 3π ). [R : π, π 4 ] Za funkcijo f(x) = arctan x + π 6 [R : ni la: x = 3 3, asimptoti: y = π 3, y = π 3 ] zapi²ite ni lo, ena bi asimptot in nari²ite njen graf. DARJA POTOƒAR, FMF 05. 10. 005

4. ²olska ura Tema: Kot med dvema premicama ravnilo Kot med dvema premicama: 3x + 1 y = 5 4x + y 3 = 0 Izra unaj kot, pod katerim se sekata zgornji premici! Izpeljava: p 1 α p α α 1 α = α 1 + α α = α α 1 Slika 9 tan α = tan α tan α 1 tan α = sin α cos α sin α 1 cos α 1 = sin α cos α 1 sin α 1 cos α cos α cos α 1 = tan α tan α 1 1 + tan α tan α 1 y T y 1 T 1 x 1 x tan α = y y 1 x x 1 = k Slika 10 Na² primer: k 1 = 3 = tan α 1 k = = tan α = tan α = 3 1+( ) 3 = 1 = α = π/4 Primeri: Izra unaj kot med premicama y 1 + 5x = 0 in 5y + 10x = 0. [R : α = 37 5 ] Dolo i implicitno ena bo premice, ki poteka skozi to ko T (, 1) in seka premico x y = pod kotom α = π/4. [R : 3y x + 5 = 0] DARJA POTOƒAR, FMF 06. 10. 005

Tema: Polarni koordinatni sistem Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 43. ²olska ura Slika! 1. Pretvarjanje iz kartezi nih v polarne koordinate T (x, y) T (r, ϕ): r = x + y, tan ϕ = y x Primer: Spremeni to ki T (3, 3) in T (, ) v polarni koordinati.. Pretvarjanje iz polarnih v kartezi ne koordinate T (r, ϕ) T (x, y): x = r cos ϕ, y = r sin ϕ Primer: Spremeni to ko T (, 330 ) v kartezi ne koordinate. Polarni zapis C ²tevil: z = a + bi z = a + b... absolutna vrednost kompl. ²tevila, tan ϕ = b a... argument kompl. ²tevila, a = z cos ϕ, b = z sin ϕ = z = z cos ϕ + i z sin ϕ oz. z = z (cos ϕ + i sin ϕ) zapis kompleksnega ²tevila v polarnem Primeri: z = 1 i in z = 3 + i zapi²i v polarni obliki. [R : z 1 = (cos π 4 i sin π 4 ), z = (cos π 6 i sin π 6 )] Kaj predstavlja mnoºica to k z =? [R : kroºnica: S(0, 0), r = ] Predstavi v polarni obliki: a) cos π 10 i sin π 10 b) 3(cos π 5 + i sin π 5 ) DARJA POTOƒAR, FMF 06. 10. 005

Tema: Ra unanje v C - Moivrova formula Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 44. ²olska ura z = z (cos ϕ + i sin ϕ) w = w (cos ψ + i sin ψ) 1. Produkt: z w = z w (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)) = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)). Inverz: z 1 = 1 z = z z = z (cos ϕ i sin ϕ) z = 1 (cos ϕ i sin ϕ) z 3. Potenciranje: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ), n Z (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ Moivrova formula Primer: z = 1 + i, z 10 =? [R : 3i] 4. Kvocient: Primer: (3 3i) 10 (+i) =? [R : 4 3 10 ] z w = z (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)) w 5. Koreni enote: Re²itvam ena be z n = 1 pravimo n-ti koreni enote. Te re²itve pa sestavljajo oglji² a pravilnega n-kotnika in to so ²tevila z k = cos kπ n kπ + i sin n, kjer je k = 0, 1,,..., n 1. Primer: Poi² i korene enote ena b x 4 = 1 in x 3 = 1. [R : x k = cos kπ + i sin kπ, k = 0, 1,, 3 4 4 x k = cos kπ + i sin kπ, k = 0, 1, ] 3 3 Primeri: Dolo i vse z, ki re²ijo ena bo z 3 = 1 i. [R : z 0 = 6 (cos 7π 7π + i sin ) 1 1 z 1 = 6 (cos 15π 1 z = 6 (cos 3π 1 15π + i sin ) 1 3π + i sin 1 )] DARJA POTOƒAR, FMF 06. 10. 005

Tema: Ra unanje v C - Vaje Oblika: vaje Poglavje: Polarni zapis C ²tevil 45. ²olska ura 1. Izra unaj: [R : 1] ( i + )1.. Zapi²i v polarni obliki kompleksna ²tevila: [R : cos π 1 i sin π 1 ] 3. Re²i ena bo: ix 8 = 0. [R : z 0 = (cos 3π + i sin 3π) 6 6 z 1 = (cos 7π + i sin 7π) 6 6 z = (cos 11π + i sin 11π)] 6 6 (1 + i 3) 5 (1 i) 10. 4. Re²i ena bo in nari²i re²itve: z 3 = 64i [R : z k = 1(cos( π + kπ) + i sin( π + kπ )), k = 0, 1, ] 4 6 3 6 3 5. Imamo ²tevili z 1 = 1 + i 3 in z = 1 + i. a) Zapi²i ²tevili v polarni obliki. b) Ugotovi absolutno vrednost in argument ²tevila w = z 1 z. c) Izra unaj od tod cos 75, sin 75. [R : z 1 = (cos 5π + i sin 5π), z 3 3 = (cos π + i sin π), 4 4 w =, ϕ = 17π, 1 cos 75 = 6, sin 75 = 6+ ] 4 4 DARJA POTOƒAR, FMF 10. 10. 005

Tema: Ena be: sin x = y, cos x = y Poglavje: Trigonometri ne ena be 46. ²olska ura 1. sin x = y y [ 1, 1] Eno re²itev ºe poznamo: x 1 = arcsin y, x 1 [ π, π ]. Ker je sin(π x) = sin x, je tudi x = π x 1 re²itev ena be (slika!). Vse druge re²itve dobimo tako, da tema dvema pri²tejemo ve kratnike ²tevila π. Re²itve ena be so torej: x 1 = arcsin y + kπ, x = π arcsin y + kπ, k Z. Primer: sin x = 1 x 1 = arcsin 1/ + kπ = π/6 + kπ, k Z x = π π/6 + kπ = 5π/6 + kπ, k Z. cos x = y y [ 1, 1] x 1 = arccos y, x 1 [0, π] Ker je cos soda funkcija, je tudi x = x 1 = arccos y re²itev ena be (slika). Re²itve ena be cos x = y so: x 1 = arccos y + kπ, x = arccos y + kπ, k Z. Primer: cos x = 3 x 1 = arcsin 3/ + kπ = π/6 + kπ, k Z x = π/6 + kπ, k Z 3. sin x = cos α Prepi²emo v sin x = sin( π α.) Od tod je x 1 = π/ α + kπ in x = π (π/ α) + kπ = π/ + α + kπ, k Z. DARJA POTOƒAR, FMF 10. 10. 005

Tema: Ena be tan x = y, cot x = y Poglavje: Trigonometri ne ena be 47. ²olska ura 1. tan x = y Edina re²itev na ( π/, π/) je x 1 = arctan y. Ker ima tangens periodo π, dobimo vse re²itve tako, da pri²tejemo x 1 ve kratnike ²tevila π. Vse re²itve ena be so torej x = arctan y + kπ, k Z. Primer: tan x = 1 x = arctan( 1) + kπ = π/4 + kπ, k Z. cot x = y Vse re²itve te ena be so (z istim premislekom kot zgoraj): x = arccot y + kπ, k Z. Primer: cot x = 3 tan x = 1/ 3 x = arctan( 3/3) + kπ = π/6 + kπ, k Z Primeri: Re²i ena be: a) sin x = 3/ [R : x 1 = π + kπ, x 6 = π + kπ] 3 b) cot(3x + π/4) = 1 [R : x = π + kπ] 6 3 c) cos 3x + 1 = 0 [R : x 1 = π + kπ, x 9 3 = π + kπ] 9 3 d) sin(x + 7π) 1 = 0 6 [R : x 1 = π + kπ, x = π + kπ] 3 Kje ni denirana funkcija f(x) = 1 1+ sin x? Re²i ena bi: a) cos x = cos π 5 [R : x 1, = ± π 5 + kπ] b) cot x = tan 10 [R : x = 80 + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF 11. 10. 005

Tema: Uvedba nove neznanke Poglavje: Trigonometri ne ena be 48. ²olska ura 1. Re²imo ena bo: sin x 3 sin x + 1 = 0 sin x = t... uvedemo novo neznanko Ena ba se spremeni v kvadratno ena bo: t 3t + 1. Re²itvi: t 1 = 1, t = 1/ Re²itvi : t 1 = 1 = x 1 = π/ + kπ t = 1/ = x = π/6 + kπ x 3 = 5π/6 + kπ, k Z. sin x = cos x + 1 sin cos x 1 = 0 (1 cos x) cos x 1 = 0 cos x cos x + 1 = 0... uvedemo novo neznanko t = cos x t + t 1 = 0 Resitve: t 1 = 1 = x 1 = π + kπ t = 1/ = x = π/3 + kπ x 3 = π/3 + kπ 3. Re²i ena bo sin 1 x cot x = 1 3 tan x [R : x 1, = ± π 3 + kπ] 4. Re²i ena bo [R : x 1 = kπ, x,3 = ± π 6 + kπ, x 4 = 5π 6 + kπ, x 5 = 7π 6 + kπ] 3 sin x 4 sin 3 x = 0 DARJA POTOƒAR, FMF 11. 10. 005

Tema: Homogene ena be Poglavje: Trigonometri ne ena be 49. ²olska ura 1. Re²imo ena bo 3 sin x 4 sin x cos x + cos x = 0 Ena bo delimo s cos x. Kaj pa e je cos x = 0? Potem iz ena be vidimo, da je tudi sin x = 0, to pa ne more biti, saj velja zveza sin x + cos x = 1. Z deljenjem dobimo ena bo 3 tan x 4 tan x + 1 = 0 Uvedemo novo neznanko tan x = t. Re²itvi ena be : t 1 = 1, t = 1/3. Re²itvi prvotne ena be: x 1 = π/4 + kπ x = arctan 1 3 + kπ, k Z. sin x + cos x = 3 sin x Upo²tevamo formulo za dvojne kote: sin x = sin x cos x sin x + cos x = 3 sin x cos x Po premisleku od prej²njega primera lahko ena bo delimo s cos x, preuredimo in dobimo ena bo tan x 3 tan x + 1 = 0 Uvedemo novo neznanko tan x = t in dobimo re²itvi t 1 = 1, t = 1/. Re²itvi prvotne ena be: x 1 = π/4 + kπ x = arctan 1 + kπ, k Z 3. Re²i ena bo 5 cos x + 1 sin x = 13 Namig: Pomagaj si s polovi nimi koti. [R : x = arctan(/3) + kπ] cos x = cos ( x ) sin ( x ) sin x = sin x cos x 1 = cos ( x ) + sin ( x ) 4. Re²imo ²e ena bo 1 + tan x 1 tan x = 1 + sin x DARJA POTOƒAR, FMF 17. 10. 005

Tema: Adicijski izreki, faktorizacija,... Poglavje: Trigonometri ne ena be 50. ²olska ura Ponovimo adicijske izreke, formule za faktorizacijo in raz lenitev produkta!!! Re²imo naslednje ena be: 1. cos x sin x = cos 4x Ena bo prevedemo na cos x cos 4x = 0, uporabimo faktorizacijo cos α cos β = sin α+β sin α β in zgornja ena ba se prevede na sin 3x sin x = 0 sin 3x = 0 = 3x = 0 + kπ = x 1 = 0 + kπ/3, k Z. sin x = 0 = x = 0 + kπ, k Z.. Ena bo delimo z in dobimo sin x 3 cos x = 1 1 3 sin x cos x = 1. ƒe upo²tevamo, da je 1/ = cos π/3 in 3/ = sin π/3 in tako nastane ena ba cos π 3 sin x sin π 3 cos x = 1. ƒe dobro pogledamo zgornjo formulo, vidimo, da je to ravno adicijski izrek za sinus. sin(x + π 3 ) = 1 x π/3 = π/6 + kπ = x 1 = π/ + kπ x π/3 = π π/6 + kπ = x = 7π/6 + kπ, k Z 3. cos 4x cos x = cos 5x cos x [R : x 1 = π 6 + kπ 6, x = π + kπ] 4. [R : x = π + kπ] 1 + cos x sin x = cos x 1 cos x DARJA POTOƒAR, FMF 17. 10. 005

Tema: Vaje Oblika: vaje Poglavje: Trigonometri ne ena be 51. ²olska ura Re²imo naslednje ena be: 1. Najprej dam besedo dijakom za vpra²anja, ki so jim nerazumljiva.. 4 sin x sin x = 1 [R: x 1 = π/4 + kπ, x = 3π/4 + kπ, x 3 = π/4 + kπ, x 4 = 5π/4 + kπ] 3. sin x = cos x [R: x = π/4 + kπ] 4. sin x sin x = 1 a) sin x = 1 x = π/ + kπ sin x = 1 x = π/ + kπ = x = π/4 + kπ = nima re²itve b) sin x = 1 x = π/ + kπ Ena ba 3. nima re²itve!!! sin x = 1 x = π/ + kπ = x = π/4 + kπ = nima re²itve 5. cos x + cos 3x = cos x + cos 4x [R: x 1 = π/ + kπ, x = kπ, x 3 = kπ/5] 6. sin(cos x) = 1 Namig: Nova neznanka! [R: x 1 = arccos(π/4) + kπ, x = π arccos(π/4) + kπ, x 3 = arccos(3π/4) + kπ, x 4 = π arccos(3π/4) + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF 17. 10. 005

5. ²olska ura Tema: Vaje za kontrolno nalogo Oblika: vaje 1. Natan no izra unaj cos(17π/3 x), e velja π/ < x < 3π/ in cot x = 3. [R: 4+3 3 10 ]. Poenostavi izraz sin x 1. sin x [R: cot x] 3. Dolo i denicijsko obmo je funkcije f(x) = 3 sin x 1 + cos x. [R: x [π/6 + kπ, 5π/6 + kπ]] 4. Faktoriziraj: [R: cos x] sin(x + 15 ) cos(x 15 ) 1 tan x 5. Nari²i graf funkcije f(x) = cos( x 3 + π 6 ) + 1. Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. 6. Re²i ena be: a) sin x = tan x [R: x 1, = ±π/3 + kπ, x 3 = kπ] b) tan 3x = cos 675 tan( 5π sin( 16π 3 6 ) ) cot( 11π 4 ) [R: x = 1/3 arctan( /3) + kπ/3] c) 3 cos(x π/3) + 3/ = 0 [R: x 1 = 7π/1 + kπ, x = π/4 + kπ] DARJA POTOƒAR, FMF 18. 10. 005

53. ²olska ura Tema: Kontrolna naloga Vzorec kontrolne naloge: 1. Natan no izra unaj tan(y x), e je cot y = 5 in cot x = 1/. [R : 19/]. a) α = z 3w, kjer je z = +i 3 i Izra unaj α 10! [R : 15 ] b) Re²i ena bo z 4 = 8 8i 3. in w = 1 + i. [R : z 0 = (cos 5π 5π + i sin ), 1 1 z 1 = (cos 11π 11π + i sin ), 1 1 z = (cos 17π 17π + i sin ), 1 1 z 3 = (cos 3π 3π + i sin ).] 1 1 3. Nari²i graf funkcije f(x) = sin(x/ π/) +. Dolo i ni le, denicijsko obmo je in zalogo vrednosti. [R : Ni le:/, D f = R, Z f = [1, 3]] 4. Poenostavi izraz sin α sin α 1 + cos α cos α. [R : tan α] 5. Re²i trigonometri ni ena bi: a) 4 cos x 3 tan x + 1 = 0 [R : x 1, = ± π 4 + kπ, x 3,4 = ± 3π 4 + kπ] b) 3 sin x + cos x = 3 [R : x 1 = π + kπ, x = arctan(1/5) + kπ, k Z] DARJA POTOƒAR, FMF 18. 10. 005

54. ²olska ura Tema: Poprava kontrolne naloge Razdelim kontrolne, da jih dijaki pregledajo. Naredimo popravo in dam poudarek na najpogostej²e napake. V primeru prevelikih negativnih ocen se dogovorimo za popravljanje kontrolne naloge, druga e pa lahko manj²e ²tevilo dijakov, ki so pisali negativno oceno, ustno popravijo oceno med teko o ²olsko uro. DARJA POTOƒAR, FMF 19. 10. 005

55. ²olska ura Tema: Ustno spra²evanje ƒe kdo ºeli popraviti negativno oceno, doseºeno na kontrolni nalogi, se lahko javi. Druga e spra²ujem po dogovorjenem vrstnem redu. DARJA POTOƒAR, FMF 19. 10. 005