Υποδίγµατα Απών Χρονοσιρών (Μονοµταβητών Χρονοσιρών) Μ βάση µια σιρά από αποποιήσις και υποθέσις για τις παραµέτρους νός Συστήµατος Ποαπών Χρονοσιρών µπορούν να προκύψουν τρία ίδη (υποδίγµατα ή σχήµατα) µονοµταβητών υποδιγµάτων χρονοσιρών. Τα σχήµατα αυτά ίναι τα ξής: ) Αυτοπαίνδροµα Σχήµατα (Auoregressive Processes) ) Σχήµατα Κινητού Μέσου (Moving Average Processes) ) Μικτά Σχήµατα µ Αυτοπαίνδροµα και Κινητού Μέσου Χαρακτηριστικά (ARMA: Auoregressive Moving Average Models). 4) Transfer Υποδίγµατα. 5) Transfer Συστήµατα Εξισώσων. Θα πρέπι να αναρθί ότι η παραπάνω «οικογένια» υποδιγµάτων τις πρισσότρς ορές ονοµάζονται και υποδίγµατα Bo & Jenkins. Πρόκιται για τα ονόµατα δύο ρυνητών οι οποίοι πρωτοπαρουσίασαν αυτά τα υποδίγµατα στις αρχές της δκατίας του 97. Από τότ µέχρι και σήµρα τα υποδίγµατα αυτά χρησιµοποιούνται µ µγάη πιτυχία κυρίως στην δινέργια (βραχυχρόνιων) προβέψων. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 5
() Αυτοπαίνδροµα (µονοµταβητά) Σχήµατα Χρονοσιρών. (Auoregressive AR P Σχήµατα. Processes) ( ) Πρόκιται για σχήµατα όπου η ρµηνυοµένη µταβητή ξαρτάται κυρίως από την συµπριορά της στο παρθόν δηαδή τις τιµές (,, Kκ..π). Ένα τέτοιο σχήµα µπορί να προκύψι από ένα διµταβητό σύστηµα χρονοσιρών: a a (5.) Υποθέτοντας ότι:,,, (για την πρώτη ξίσωση),,, (για την δύτρη ξίσωση) (5.) Μ βάση τις παραπάνω υποθέσις τα αυτοπαίνδροµα σχήµατα που αντιστοιχούν στις µταβητές και ίναι τα ξής: a a (5.) (5.4) ή a a ( ( ) ) a ή AR( P) ~, P ( ( ) ) a AR( P) ~, P (5.5) όπου Ρ ίναι ο βαθµός του σχήµατος και ίναι ο τστής των χρονικών υστρήσων, ο οποίος υπνθυµίζουµ ότι έχι την βασική ιδιότητα µια µταβητή j να την µτασχηµατίζι σ j. Ο βαθµός του AR( P) σχήµατος κράζι τον αριθµό των χρονικών υστρήσων της µταβητής στο σχήµα. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 5
Γνικύοντας µπορούµ να γράψουµ ένα αυτοπαίνδροµο σχήµα Ρ βαθµού ως ξής: 4 P ( ) a AR( P) 4 P ~ K (5.6) ή a K (5.7) Το παραπάνω σχήµα ίναι ένα αυτοπαίνδροµο Ρ βαθµού. Στο αυτοπαίνδροµο σχήµα Ρ βαθµού αντιστοιχί το γράηµα ξαρτήσων του Σχδιαγράµµατος 9. Σχδιάγραµµα 9. Γραική παρουσίαση των αηξαρτήσων µταξύ των µταβητών και όταν αυτές ξιδικύονται µ Αυτοπαίνδροµα Σχήµατα. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 54
REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 55 Όπως αίνται και στο Σχδιάγραµµα 9 η αηπίδραση των µταβητών και ίναι ανύπαρκτη. Έχουµ υποθέσι ότι οι δύο χρονοσιρές και δν συνδέονται αιτιωδώς µταξύ τους. Αυτό υσικά δν σηµαίνι ότι διαχρονικά µπορί να υίσταται κάποια στατιστική συσχέτιση στις µταβητικότητς τους. Η παραπάνω σχέση µπορί να γρατί ως ξής: ( ) a a ( ) a Φ όπου ( ) ( ) Φ
. Σχήµατα Κινητού Μέσου (Moving Averages Processes) MA( q) Σχήµατα. Τα σχήµατα αυτά µπορούν να προκύψουν από το διµταβητό σύστηµα χρονοσιρών (5.) υποθέτοντας ότι: (Πρώτη Εξίσωση) ( ύτρη Εξίσωση) (5.8) Αν ισχύσουν οι παραπάνω υποθέσις τότ προκύπτι ότι οι δύο χρονοσιρές µπορούν να γρατούν ως ξής: και (5.9) a a (5.) Αντικαθιστώντας τα και µ και αντιστοίχως, οι δύο παραπάνω σχέσις γράονται ως ξής: a (5.) a (5.) Γνικύοντας για q χρονικές υστρήσις των διαταρακτικών όρων και σχήµα να το παρουσιάσουµ ως ξής: µπορούµ ένα µονοµταβητό MA( q), a (5.) q q ή χρησιµοποιώντας τον τστή των χρονικών υστρήσων a q q (5.4) REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 56
P a ( q ) a Θ ( ) (5.5) (5.6) υποθέτοντας α ( ) Θ (5.7) και η αναογία για την δύτρη µταβητή ισχύι ότι: ( ) (5.8) REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 57
() Μικτά Σχήµατα Μονοµταβητών Χρονοσιρών. (Υποδίγµατα ARMA). ARMA(, q) Auoregressive Moving Averages Models. Και πάι µ βάση την (5,) µπορούµ µ διάορς υποθέσις για µρικές της παραµέτρους της να καταήξουµ σ ένα Μικτό Υπόδιγµα ως ξής: (Για την πρώτη ξίσωση) : a (5.9) (Για την δύτρη ξίσωση) : a (5.) Υοποιώντας τις (5.9) και (5.) κάθ ξίσωση της (5.) γράται ως ξής: a a (5.) (5.) Η (5.) µπορί να γρατί ως ξής: ( ) ( ) Γνικύοντας για και q χρονικές υστρήσις της και του διαταρακτικού όρου αντιστοίχως, προκύπτι το P q ( P ) ( q ) Ένα τέτοιο σχήµα συνήθως συµβοίζται µ ( q) ~ ARMA, ο βαθµός του αυτοπαίνδροµου σχήµατος q ο βαθµός του σχήµατος του κινητού µέσου. Ο βαθµός αυτοπαίνδροµου µέρους σχήµατος κράζι τον αριθµό των χρονικών υστρήσων µ τον οποίο η µταβητή ισέρχται στο σχήµα. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 58
Ο βαθµός q κράζι τον αριθµό των χρονικών υστρήσων µ τον οποιο ο διαταρακτικός όρος συνισέρι στην τική διαµόρωση της µταβητικότητας της µταβητής. Τα µικτά ή ARMAσχήµατα χρονοσιρών ίναι ένα µίγµα νός αυτοπαίνδροµου σχήµατος AR( ) και νός σχήµατος Κινητού Μέσου MA ( q). Στην γνική του µορή ένα ARMA(, q) σχήµα νσωµατώνι τις πιδράσις και των δύο αυτών σχηµάτων. 4444 44444 Αυτοπαίνδροµο. Σχήµα AR( P) q q 4444444 4444444 ΜΑ( q) 4444444444444 44 444444444444444 ARMA(, q) Σχήµα. Κινητού. Μέσου. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 59
REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 6 Υποδίγµατα Transfer. Πρόκιται για υποδίγµατα µονοµταβητών χρονοσιρών τύπου ), ( q ARMA όπου πιπέον έχουν µία ή πρισσότρς ρµηνυτικές µταβητές. Αν στο τριµταβητό σύστηµα των χρονοσιρών, και : a a a I C θέσουµ ότι προκύπτι για την µταβητή η σχέση: a ή ) ( ) ( Για αποποίηση των συµβοισµών µπορούµ να θέσουµ οπότ η παραπάνω σχέση γράται ως ξής: ( ) ( ) όπου ως γνωστόν ίναι ο τστής των χρονικών υστρήσων, ή γνικότρα P.
Η παραπάνω σχέση µπορί να γρατί και ως ξής: ( ) ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) ( ) (5) υπνθυµίζουµ ότι έχουµ αντικαταστήσι τα,, και τα. Το σύστηµα των ξισώσων (5) ίναι ένα Transfer σύστηµα χρονοσιρών όπου πέον συµµτέχουν και οι τρις µταβητές (, και ) µ την µόνη πέον διαορά ότι οι τυταίς δύο, ) µταβητές θωρούνται ότι ίναι ξωγνίς. ( ηαδή έχουµ κ των προτέρων υποθέσι ότι δν πηράζονται από την. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 6
Το γράηµα των αηξαρτήσων που αντιστοιχί σ ένα Transfer υπόδίγµα χρονοσιρών δίδται στο Σχδιάγραµµα 5. πρίοδος πρίοδος πρίοδος Σχδιάγραµµα 5. Γραική παρουσίαση των αηπιδράσων µταξύ των µταβητών, και στην πρίπτωση των σχηµατοποίησης των πιδράσων του µέσου νός TRANSFER υπόδιγµα. Η γνική µορή νός TRANSFER υποδίγµατος για µία ρµηνυτική µταβητή ίναι η ξής: ( ) d a P ( ) q P q n ( wo w wn ) M ( δ δ δ ) M Τστής χρονικών υστρήσων. Ο βαθµός των αυτοπαίνδροµου σχήµατος της q Ο βαθµός του σχήµατος κινητού µέσου. n Ο βαθµός του κινητού µέσου σχήµατος του. M Ο βαθµός του αυτοπαίνδροµου σχήµατος του. Τα υποδίγµατα TRANSFER όσον ξιδικυθούν και κτιµηθούν ίναι πού χρήσιµα για προβέψις αά και αναύσις. Ιδιαίτρα όσον αορά τις αναύσις έχουν µγάο νδιαέρον διότι µας δίδουν (µ κάποια προσέγγιση) υσικά τον τρόπο που µία µταβητή πιδρά διαχρονικά στην µταβητικότητα µιάς άης. 6 REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES
Η αρµογή των Transfer υποδιγµάτων έχι µγάο νδιαέρον στην σχηµατοποίηση του τρόπου που µία ξωγνής µταβητή πηράζι την µταβητικότητα µιάς άης (νδογνούς) µταβητής. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 6
Συστήµατα Transfer Στοχαστικών Εξισώσων. Τα συστήµατα αυτά αποτούν πέκταση των απών Transfer στοχαστικών ξισώσων σ πίπδο συστήµατος. Θα θωρήσουµ οιπόν ότι υπάρχι για κάθ µία από τις µταβητές, και µία ξίσωση Transfer, όπως αυτές έχουν ξιδικυθί στο προηγούµνο µέρος. ( ) ( θ) ( ) ( ) ( ) ( θ ) ( ) ( ) ( ) ( θ ) ( ) ( ) για. την. για. την. για. την. ή ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) e e όπου πέον θ θ θ, e και e. ei Τα συστήµατα αυτά ίναι πού χρήσιµα τόσο για αναύσις όσο και για προβέψις. Έστω και άν οι διαταρακτικοί όροι, και δν συσχτίζονται µταξύ τους τα υποδίγµατα αυτά αποτούν ένα «συµπαγές» σύστηµα ταυτοχρόνων υοµένων ξισώσων όπου η µταβητικότητα της κάθ χρονοσιράς ξαρτάται από τα αυτοπαίνδροµα χαρακτηριστικά της, του διαταρακτικού όρου αά και από την συµµταβοή των άων χρονοσιρών. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 64
Παράδιγµα Εαρµογή: Εόσον δν πιθυµούµ να σχηµατίσουµ τις δυναµικές και των αηπιδράσις µταξύ της Κατανάωσης ( ) Επνδύσων ( I ) C, του Εισοδήµατος ( ), µ ένα τριµταβητό σύστηµα χρονοσιρών, µπορούµ να χρησιµοποιήσουµ ένα Σύστηµα Transfer υποδιγµάτων, όπως αυτά ανπτύχθηκαν στο προηγούµνο µέρος. Το τριµταβητό σύστηµα των χρονοσιρών που αντιστοιχί στις τρις οικονοµικές µταβητές ίναι το ξής: C I C I C I a a a Αν το παραπάνω (, q ) VARMA σχήµα υποθέτουµ ότι τότ η πρώτη ξίσωση µπορί να γρατί ως ξής: C C I I a ή ( ) ( I I ) a C C 44 44 AR Χρησιµοποιώντας τον τστή των χρονικών υστρήσων, η παραπάνω σχέση γράται ως ξής: C C ) ( I I ) ( a MA ( ) C ( ) ( ) I ( ) REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 65
ή C ( ) ( ) ( ) I ( ) Η παραπάνω ξίσωση ίναι η µία από τις τρις Transfer ξισώσις του Transfer συστήµατος, το οποίο µπορί να προκύψι αρµόζοντας την παραπάνω διαδικασία και τις δύο υπόοιπς ξισώσις του συστήµατος. Εάν στην παραπάνω σχέση υποθέσουµ ότι τότ η ξίσωση γράται ως ξής: C ( ) ( ) I ( ) C ( ) ( ) C ( ) C το οποίο ίναι ένα µικτό ARMA(, q ) C σχήµα. Εάν πιπέον υποθέτουµ ότι τότ έχουµ ένα σχήµα κινητού µέσου της µορής: C Εάν πίσης υποθέσουµ ότι, τότ έχουµ την Κατανάωση C να ρµηνύται από C C C C το οποίο ίναι ένα Αυτοπαίνδροµο Σχήµα Πρώτου Βαθµού. REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 66
REGRESSION ANAYSIS OF TIME SERIES 67