. Αριθμητική ολοκλήρωση Η αριθμητική ολοκλήρωση αφορά την εύρεση της τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος. Η αρχή αυτής της προσπάθειας ανάγεται στην αρχαιότητα και ένα παράδειγμα είναι ο διαμερισμός (quadrature) του κύκλου με εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα που οδήγησε τον Αρχιμήδη στον καθορισμό των ορίων της τιμής του π που ως γνωστό είναι ατέρμων αριθμός. Από την εποχή του Αρχιμήδη και ιδιαίτερα μετά τον δέκατο έκτο αιώνα παρουσιάστηκαν πολλές μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης. Στα παρακάτω κεφάλαια θα ασχοληθούμε όμως με τους πλέον συνήθεις κανόνες ολοκλήρωσης που εφαρμόζονται στους υπολογισμούς που προκύπτουν σε κλάδους της επιστήμης των μηχανικών και σε άλλες εφαρμοσμένες επιστήμες. Georg Friedrich Berhard Riema ή Berhard Riema (86-866) είναι ένας από τους πιο γνωστούς μαθηματικούς του 9 ου αιώνα. Στην σύντομη σταδιοδρομία του εισήγαγε ιδέες βασικής σημασίας στην πραγματική και μιγαδική ανάλυση, την διαφορική γεωμετρία, και την θεωρία αριθμών. Η δουλεία του στην διαφορική γεωμετρία, όπως επεκτάθηκε από τον Herma Mikowski, απετέλεσε την βάση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας. Ο Riema άρχισε σπουδές θεολογίας στο Πανεπιστήμιο του Göttige αλλά γρήγορα μεταφέρθηκε στο τμήμα φιλοσοφίας, για να μελετήσει επιστήμες και μαθηματικά και υπήρξε μαθητής του Gauss. Μετά από ένα χρόνο Göttige πήγε στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου όπου υπήρξε μαθητής των Jacobi, Steier, Eisestei και Dirichlet, οποίος και τον επηρέασε σημαντικά στην επαγγελματική του σταδιοδρομία. Οι συναρτήσεις που θα διαπραγματευτούμε θεωρούνται ότι είναι ολοκληρώσιμες με την έννοια που καθόρισε ο Riema. Η συνάρτηση μιας μεταβλητής, y = f, φραγμένη στο πεπερασμένο διάστημα [ a, b] είναι ολοκληρώσιμη κατά Riema όταν θεωρώντας: () Τον διαμερισμό του διαστήματος [ a, b] σε υποδιαστήματα που ορίζονται από τα σημεία a = < < <... < = b και ένα σημείο ξ σε κάθε υποδιάστημα ξ + () Το άθροισμα S = f( ξ )( ), που ονομάζεται άθροισμα = Riema, και σχηματίζοντας τις σειρές αθροισμάτων S, S,..., S όπου ο δείκτης δηλώνει το μέγιστο μήκος του υποδιαστήματος Δ = ma ( + ) και θεωρήσουμε ότι στο όριο lim Δ =. Τότε εάν για κάθε σειρά και για την αντίστοιχη εκλογή του σημείου ξ η σειρά { S } έχει ένα κοινό όριο S. Το δε ολοκλήρωμα της συνάρτησης
f ( ) έχει τιμή, S, για το ολοκλήρωμα κατά Riema στο διάστημα[ a, b]. Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη του ολοκληρώματος κατά Riema είναι η συνάρτηση f ( ) να είναι συνεχής σχεδόν παντού. Εάν η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο διάστημα [ a, b] τότε είναι ολοκληρώσιμη κατά Riema. Επίσης όταν η συνάρτηση f ( ) είναι φραγμένη στο διάστημα [ a, b] και συνεχής εκτός από πεπερασμένο αριθμό σημείων ασυνέχειας, τότε πάλι είναι ολοκληρώσιμη κατά Riema. Η εύρεση της τιμής του ορισμένου ολοκληρώματος b f d (.) α μιας γνωστής συνάρτησης f ( ), που έστω ότι είναι ολοκληρώσιμη κατά Riema, με αναλυτικές μεθόδους είναι πολλές φορές δύσκολη ή ακόμη f είναι και αδύνατη, ακόμη και όταν η μορφή της συνάρτησης σχετικά απλή. Οι τιμές ορισμένων ολοκληρωμάτων και γενικότερα αόριστα ολοκληρώματα πολλών συναρτήσεων μπορεί να βρεθούν από πίνακες ολοκληρωμάτων ή και από προγράμματα στον υπολογιστή, όπως Mathematica, Maple κλπ., που παρέχουν δυνατότητες συμβολικής λογικής. Σε πολλές εφαρμογές η συνάρτηση f δεν είναι γνωστή με την αναλυτική της έκφραση αλλά δίνεται υπό μορφή πίνακα τιμών f ( ) σε ορισμένα σημεία,,,..., ab., Προφανής εναλλακτική λύση για την εύρεση της προσεγγιστικής τιμής του ορισμένου ολοκληρώματος της Εξ. (.) στις περιπτώσεις που η συνάρτηση είναι γνωστή μόνο σε διακριτά σημεία, ή όταν ο αναλυτικός προσδιορισμός του ολοκληρώματος δεν είναι δυνατός, αποτελεί η προσέγγιση της συνάρτησης ολοκλήρωσης με κάποιο πολυώνυμο. Ο αναλυτικός προσδιορισμός του ολοκληρώματος ενός πολυωνύμου είναι πάντα δυνατός και η διαδικασία αναλυτικής ολοκλήρωσης είναι ιδιαίτερα απλή. Όταν δε η πολυωνυμική προσέγγιση είναι σχετικά ακριβής η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος βρίσκεται με μικρό σφάλμα. Οι μέθοδοι παρεμβολής και προσέγγισης συναρτήσεων με πολυώνυμα αναπτύχθηκαν με λεπτομέρεια στο προηγούμενο κεφάλαιο και θα χρησιμοποιηθούν για την αριθμητική ολοκλήρωση που θα διαπραγματευτούμε στο κεφάλαιο αυτό. Η προσέγγιση μιας συνάρτησης με πολυώνυμο απεικονίζεται στο Σχ... = του διαστήματος [ ]
f() P4() f() P4() f() - P4() f(), P4(), f() - P4() 4 Σχήμα. Αριθμητική ολοκλήρωση με προσέγγιση συνάρτησης με πολυώνυμο τέταρτου βαθμού. Το πολυώνυμο τέταρτου βαθμού p 4 στο παραπάνω σχήμα αναπαριστά επ ακριβώς την συνάρτηση στους κόμβους,,,, 4. Η τιμή του ολοκληρώματος της συνάρτησης είναι το εμβαδόν κάτω από την συνεχή καμπύλη. 4 f d ενώ η προσεγγιστική τιμή του ολοκληρώματος είναι το εμβαδόν κάτω από την διακεκομμένη καμπύλη 4 p 4 d
Η διαφορά μεταξύ ακριβούς συνάρτησης και της πολυωνυμικής προσέγγισης είναι = e f p 4 και επίσης απεικονίζεται στο Σχ... Το συνολικό σφάλμα ολοκλήρωσης είναι 4 4 4 = e d f d p d 4 Παρατηρούμε ότι το συνολικό σφάλμα ολοκλήρωσης μπορεί να είναι μικρό ακόμα και όταν η παρεμβολή με πολυώνυμο δεν είναι πολύ καλή επειδή τα σφάλματα με θετικό πρόσημο εξουδετερώνονται από τα σφάλματα με αρνητικό πρόσημο. Αυτό είναι αναμενόμενο διότι όπως είναι γνωστό η ολοκλήρωση είναι μια διαδικασία εξομάλυνσης. Τα σημεία παρεμβολής που σχετίζονται με την ολοκλήρωση ονομάζονται σημεία ολοκλήρωσης και όπως θα δούμε μπορεί να είναι ομοιόμορφα ή μη ομοιόμορφα κατανεμημένα. Στην ολοκλήρωση τα σημεία έχουν ορισμένες ειδικές θέσεις που ονομάζονται σημεία ολοκλήρωσης ή σημεία διαμερισμού (quadrature poits από την διαμέριση του κύκλου που αναφέραμε στην αρχή) και η αντίστοιχη διαδικασία αριθμητικής ολοκλήρωσης αναφέρεται ως ολοκλήρωση Gauss (Gaussia quadrature). Η διαδικασία αριθμητικής ολοκλήρωσης με ισαπέχοντα διαστήματα είναι η απλούστερη και ονομάζεται Newto Cotes. Οι κανόνες ολοκλήρωσης τύπου Newto Cotes παρουσιάζονται αμέσως παρακάτω... Αριθμητική ολοκλήρωση με ισαπέχοντα σημεία ολοκλήρωσης, Newto-Cotes Έστω ότι η προσεγγιστική τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος βρίσκεται από το ολοκλήρωμα του πολυωνύμου παρεμβολής ου βαθμού. b b f d p d (.) a a Υπάρχουν πολλοί τρόποι επιλογής των άκρων του διαστήματος σε σχέση με τα σημεία του πολυωνύμου παρεμβολής όπως φαίνεται στο Σχ... Παραδείγματος χάριν, στο Σχ..a έχουμε παρεμβολή πολυωνύμου πρώτου βαθμού για τέσσερα ισαπέχοντα σημεία όπου τα όρια 4
ολοκλήρωσης δεν συμπίπτουν με το πρώτο και το τελευταίο σημείο παρεμβολής. Στο Σχ..b έχουμε πολυώνυμο κυβικής παρεμβολής που βρίσκεται από τις τέσσερις τιμές από τις οποίες η πρώτη και η τελευταία συμπίπτουν με τα άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης. Ενώ στο Σχ..c έχουμε πολυώνυμο παρεμβολής δεύτερου βαθμού που χρησιμοποιεί πιο λίγα σημεία από τα σημεία ολοκλήρωσης. Ενώ στο Σχ..d το πολυώνυμο παρεμβολής σχηματίζεται με τα επί πλέον σημεία και 4 πέραν των ορίων ολοκλήρωσης. Σχήμα. Αριθμητική ολοκλήρωση με προσεγγίσεις διαφορετικών μορφών. (b) κλειστού τύπου, (a, d) ανοικτού τύπου. Η αριθμητική ολοκλήρωση που πραγματοποιείται με πολυώνυμα που υπολογίζονται με σημεία που περιέχουν τα όρια ολοκλήρωσης (δες Σχ..b) ονομάζεται αριθμητική ολοκλήρωση κλειστού τύπου. Η αριθμητική ολοκλήρωση που βασίζεται σε πολυώνυμο παρεμβολής που βρίσκεται από εσωτερικά σημεία του διαμερισμού που δεν περιέχουν τα όρια ολοκλήρωσης (δες Σχ..d) είναι μορφές αριθμητικής ολοκλήρωσης ανοικτού τύπου. Η επέκταση σε τιμές της συνάρτησης έξω των ορίων ολοκλήρωσης έχει μικρή πρακτική σημασία διότι συχνά δεν είναι επιθυμητό να επεκτείνουμε την συνάρτηση έξω των ορίων ολοκλήρωσης. 5
.. Newto-Cotes για ολοκλήρωση ανοικτού τύπου Το πρόβλημα ολοκλήρωσης ανοικτού τύπου δείχνεται σχηματικά στο Σχ.., όπου κατασκευάζεται ένα πολυώνυμο παρεμβολής βαθμού χρησιμοποιώντας ισαπέχοντα σημεία,...,. Το κάτω όριο ολοκλήρωσης είναι α = h, όπου h είναι το μήκος του ομοιόμορφου διαμερισμού, ενώ το άνω όριο ολοκλήρωσης είναι b. Σχήμα. Γενική μορφή του προβλήματος αριθμητικής ολοκλήρωσης ανοικτού τύπου. Η προσέγγιση του ολοκληρώματος της συνάρτησης f ( ) είναι b b f d p d (.7) a a Έστω ότι το πολυώνυμο προσέγγισης κατασκευάζεται με κατάντη διαφορές (forward differeces) 6
( β ) ( β ) ( β )( b ) p + h = f + Δ f + Δ f! (.8) ( ) Δ f ( ) ( ) β β β β... β + + Δ f ( ) +... +!! Η προσεγγιστική τιμή του ολοκληρώματος στο διάστημα [ ab, ] με ανώτερο όριο b είναι b b bˆ a = ( + β ) f d p d h p h dβ (.9) ˆ = / = / h όπου b ( b ) h και β ( ) Αντικαθιστώντας στην Εξ. (.9) το πολυώνυμο παρεμβολής από την Εξ. (.8) βρίσκουμε ότι η προσεγγιστική τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος είναι: b bˆ f d h f + ( β ) Δ f +... dβ a β β β = h f + β Δ f + + β Δ f +... 6 4 (.) στο κατώτερο όριο ολοκλήρωση β = όλοι οι όροι μηδενίζονται οπότε b ˆ ˆ ˆ ˆ b ˆ b b ˆ f d h bf + b Δ f + + b Δ f +... 6 4 (.) το σφάλμα προσέγγισης είναι bˆ bˆ ( β )( b )...( β + ) ( ( + β ) = ) ( ξ) β, < ξ < (.) (! ) h R h d h f d b Όταν το άνω όριο ολοκλήρωσης στις Εξ. (.) και (.) συμπίπτει με το σημείο m, τότε έχουμε ολοκλήρωση για m συνολικά διαστήματα το καθένα από τα οποία έχει μήκος h. Επί πλέον, το μετασχηματισμένο άνω bˆ 7
όριο ολοκλήρωσης είναι b ( ) ˆ = / h και έχει ακέραιη τιμή. Η m εκλογή ˆb= αντιστοιχεί στην παρακάτω ομάδα κανόνων ολοκλήρωσης ανοικτού τύπου (ope-type Newto Cotes). ˆ h b=, f d= h f ( ) + f ( ) ( ξ ) ˆ h h b=, f d= f + f + f 4 ( ) ( ξ ) 4 5 ˆ 4h 4h b = 4, f d= f + f ( ) + f 45 ( 4 ) ( ξ ) 5 5 ˆ 5h 95h b= 5, f d= f + f + f ( ) + f ( 4) + f 4 44 ( 4 ) ( ξ ) 5 ˆ h b= 6, f d= f 4 f + 6 f 4 f 4h 4 + f 5 + f 4 ( 6 ) ( ξ ) Για άρτιες τιμές του μετασχηματισμένου άνω ορίου ολοκλήρωσης ˆb (άρτιο αριθμό διαστημάτων ή περιττό αριθμό σημείων βάσης) οι παραπάνω τύποι ολοκλήρωσης είναι ακριβείς για πολυώνυμα βαθμού bˆ ή μικρότερου. Όταν μετασχηματισμένο άνω ορίου ολοκλήρωσης ˆb είναι περιττός αριθμός οι κανόνες ολοκλήρωσης είναι ακριβείς για συναρτήσεις f ( ) που είναι πολυώνυμα βαθμού b ˆ ή μικρότερου. Όταν το άνω όριο ˆb είναι άρτιος αριθμός ο συντελεστής της κατάντη bˆ ( ) διαφοράς Δ f είναι μηδέν, δηλαδή το σφάλμα έχει μόνο παραγώγους τάξης ˆb αντί για bˆ. Γι αυτό τον λόγο προτιμώνται οι κανόνες ανοικτού τύπου ολοκλήρωσης για άρτιο ˆb. 8
. Newto Cotes για ολοκλήρωση κλειστού τύπου Η απλούστερη μορφή κλειστού τύπου αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι ο κανόνας του τραπεζίου που απεικονίζεται γραφικά στο Σχ..4. Σχήμα.4 Κανόνας αριθμητικής ολοκλήρωσης κλειστού τύπου δύο σημείων, κανόνας τραπεζίου. Στο Σχ..4 τα δυο σημεία βάσης που συμπίπτουν με τα άκρα του διαστήματος ολοκλήρωσης = α και = b χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό ενός πολυωνύμου παρεμβολής πρώτης τάξης, p = p + β h, δηλαδή ( + β ) = + β Δ + ( + β ) f f h f f R h o ( β ) ( β ) = p + h + R + h (.) όπου το σφάλμα της παραπάνω γραμμικής προσέγγισης είναι ( ξ ) f R( + β h) = h β( β ) = h β( β ) f [,, ], < ξ < (.4)! 9
β = / h για την αλλαγή της μεταβλητής ολοκλήρωσης από σε β και με αντικατάσταση του πολυώνυμου παρεμβολής p στην θέση της συνάρτησης βρίσκουμε Χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό b = = ( + β η) a f d f d p d h p dβ β = h f + Δf d β ( ) β Δf β = h f + Δ f = h f + (.5) ο ορισμός της πρώτης τάξης καταντή διαφοράς (forward differece) είναι Δ f = f + h f και η Εξ. (.5) γίνεται ( + ) f h f h b= f d h f + = f + f ( ) (.6) a= Η παραπάνω σχέση είναι όμως ο κανόνας αριθμητικής ολοκλήρωσης του τραπεζίου όπου το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη του Σχ..4 προσεγγίζεται με το εμβαδόν του τραπεζίου κάτω από την διακεκομμένη γραμμή. Σχήμα.5 Μείωση του σφάλματος αριθμητικής ολοκλήρωσης με την δεύτερης τάξης προσέγγιση της συνάρτησης f ( ).
Ο κανόνας αριθμητικής ολοκλήρωσης του τραπεζίου έχει όπως φαίνεται στο Σχ..5 μεγαλύτερο σφάλμα από την δεύτερης τάξης προσέγγιση της συνάρτησης f ( ). Το σφάλμα προσέγγισης είναι : = ( + ) R d h R b h dβ ( ξ ) f = h β( β ) dβ < ξ <! (.7) = είναι Όταν η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής τότε f ( ξ )! f [,, ] επίσης συνεχής αλλά άγνωστη συνάρτηση του. Εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής βρίσκουμε b = ( ξ ) q g d q g d b a που ισχύει για δυο συνεχείς συναρτήσεις q( ) και g( ) στο διάστημα α b όπου η συνάρτηση g() δεν αλλάζει πρόσημο και a< ξ < b g = β β είναι πάντοτε αρνητικός στην Εξ. (.7) όπου ο παράγων στο διάστημα < β < έχουμε ( ξ ) f ( ξ ) f h β( β ) dβ = h ( B β) db!! h = f ( ξ ) < ξ < και ο κανόνας ολοκλήρωσης τραπεζίου είναι h h f d= f f f ( ξ ) + < ξ < (.8) Δηλαδή το σφάλμα είναι μηδέν μόνο όταν η συνάρτηση f ( ) είναι γραμμική, δηλαδή πολυώνυμο πρώτου βαθμού.
Σχήμα.6 Αριθμητική ολοκλήρωση κλειστού τύπου. Το γενικό πρόβλημα αριθμητικής ολοκλήρωσης κλειστού τύπου με πολυώνυμα παρεμβολής ανώτερου βαθμού παρουσιάζεται γραφικά στο Σχ..6. Το πολυώνυμο παρεμβολής είναι βαθμού και προσδιορίζεται από τα + ισαπέχοντα σημεία βάσης,.... Η προσεγγιστική τιμή του ολοκληρώματος είναι b b bˆ = ( + ) f d p d h p Bh db bˆ ( ) β β = h f ( ) + β Δ f ( ) + Δ f! ( ) β β β β β... β + ( ) ] + Δ f +... + Δ f!! dβ (.9)
όπου το κάτω όριο ολοκλήρωσης α και το άνω όριο ολοκλήρωσης μετασχηματίζεται ως ˆ b o b =. Η αναλυτική ολοκλήρωση της Εξ. (.9) h είναι bˆ β β β 6 4 ( + β ) β = β + Δ + Δ h p h d h f f f 5 4 β β β β β β β 4 + + Δ f + + Δ f +... 4 6 6 6 7 8 (.9) όπου όλοι οι όροι είναι μηδέν στο κάτω όριο ολοκλήρωσης δηλαδή ˆ ˆ ˆ b ˆ b b b f d h bf ( o) + Δ f ( o) + Δ f ( ) +... 6 4 (.) a και το σφάλμα της αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι ( + ) ( ξ ) ( +! ) bˆ bˆ f + h R ( + β h) dβ = h β( β )( β )...( β ) dβ (.) Τα διαστήματα είναι ισαπέχοντα = =... = h και όταν το άνω όριο ολοκλήρωσης συμπίπτει με τα σημεία βάσης b, τότε το μετασχηματισμένο άνω όριο ολοκλήρωσης, bˆ = b / h, είναι ακέραιος αριθμός και όταν ακόμα b= τότε ˆb=. Στην γενική περίπτωση όμως που b,... m... το πολυώνυμο προσέγγισης προσδιορίζεται από σημεία που βρίσκονται έξω από το διάστημα ολοκλήρωσης a, b m. Όταν ˆb= m είναι άρτιος ακέραιος δηλαδή το χωρίο ολοκλήρωσης χωρίζεται σε άρτιο αριθμό διαστημάτων εύρους + τότε ο συντελεστής της κατάντη παραγώγου Δ f είναι μηδέν. Η h παραπάνω παρατήρηση δείχνεται για b ˆ = m=. + bˆ
f d h f +βh dβ = h f + Δ f + Δ f 4 + Δ f Δ f +... 9 ] (.) όπου ο συντελεστής b ˆ + f f Δ =Δ είναι μηδέν. Αντικαθιστώντας τις τιμές από τους ορισμούς των κατάντη διαφορών βρίσκουμε h f d f + 4 f + f ( ) (.4) Η παραπάνω σχέση ονομάζεται κανόνας αριθμητικής ολοκλήρωσης Simpso και χρησιμοποιείται πολύ συχνά για αριθμητική ολοκλήρωση. Η γραφική αναπαράσταση και η σύγκριση του κανόνα με τον κανόνα αριθμητικής ολοκλήρωσης του τραπεζίου φαίνεται στο Σχ..7. Είναι προφανές ότι η προσέγγιση με ένα πολυώνυμε δεύτερου βαθμού μειώνει σημαντικά το σφάλμα της αριθμητικής ολοκλήρωσης. Σχήμα.7 Σφάλμα αριθμητικής ολοκλήρωσης μα τον κανόνα Simpso και τον κανόνα τραπεζίου. Το σφάλμα της αριθμητικής ολοκλήρωσης με τον κανόνα Simpso ( = ) είναι πως αναφέρθηκε της ίδιας τάξης με εκείνο για = δηλαδή ( 4 ) ( ξ ) f h R + βh dβ = h β β β β dβ, < ξ < (.5) o 4! 4
που μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι αριθμητικής ολοκλήρωσης Simpso γίνεται. ( 4 ) 5 h f ξ 9 και ο κανόνας ( 4 ) ( ξ ) 5 h h f f d= f + 4 f + f, < 9 ξ < (.6) Και είναι ακριβής όταν η συνάρτηση f ( ) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού ή μικρότερου. Οι σχέσεις αριθμητικής ολοκλήρωσης που βρίσκουμε από την Εξ. (.9) ονομάζονται κανόνες ολοκλήρωσης κλειστού τύπου (close-type Newto Cotes) και για τιμές του άνω μετασχηματισμένου ορίου ολοκλήρωσης, b ˆ =,,...6, είναι b ˆ = (κανόνας τραπεζίου) h h f d= f + f f ( ξ ) b ˆ = ( ος κανόνας Simpso) 5 h h ( 4 ) f d= f + 4 f + f f ( ξ ) 9 b ˆ = ( ος κανόνας Simpso) 5 h ( ) 5 h f d= f f f f f ξ 8 + + + 8 ( 4 ) b ˆ = 4 4 h f d= 7f + f + f + f ( ) + 7f ( 4) 45 b ˆ = 5 5 5h f d 88 f f f = 9 + 75 + 5 8 945 7 75h + 5 f ( ) + 75 f ( 4) + 9 f ( 5) ] f 96 7 h f ξ ( 6 ) ( 6 ) ( ξ ) 5
ˆ 6 b = 6 h f d= 4 f + 6 f + 7 f + 4 + 7 f + 7 f + 6 f 4 5 9 9h + 4 f ( 6 ) f ξ 4 ( 8 ) Οι κανόνες άρτιας τάξης ολοκλήρωσης bˆ = k είναι ακριβείς για πολυώνυμα βαθμού b ˆ + ενώ οι κανόνες ολοκλήρωσης για ˆb περιττό bˆ = k + είναι ακριβείς για πολυώνυμα βαθμού ˆb.. Σύνθετη ολοκλήρωση Το σφάλμα ολοκλήρωσης είναι δυνατόν να μειωθεί ακόμη και όταν χρησιμοποιούμε χαμηλής τάξης τύπου ολοκλήρωσης όταν υποδιαιρέσουμε το διάστημα ολοκλήρωσης [ ab, ] σε μικρότερα υποδιαστήματα όπου εφαρμόζουμε αριθμητική ολοκλήρωση. Η διαδοχική εφαρμογή χαμηλότερης τάξης αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι συχνά προτιμότερη από την εφαρμογή υψηλότερης τάξης ολοκλήρωσης λόγω της απλότητας των χαμηλότερης τάξης τύπων αριθμητικής ολοκλήρωσης. Οι σχέσεις που προκύπτουν από την υποδιαίρεση του διαστήματος και διαδοχική εφαρμογή των χαμηλής τάξης τύπων ολοκλήρωσης ονομάζονται σύνθετοι τύποι ολοκλήρωσης. Ο απλούστερος σύνθετος τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης βρίσκεται από διαδοχική εφαρμογή του κανόνα τραπεζίου. Η διαδοχική εφαρμογή φορές για κάθε υποδιάστημα με εύρος h= ( b a)/ και σημεία βάσης = + h, =,,,... είναι 6
b a f d= f d=... = f d+ f d+ + f d h b h =... f + f + f + f + f + f h = f ( ) + f ( ) + f ( ) +... + f ( ) + f ( ) h f f h f ( ) + + = ( ) b a f a f b b a = + + f a+ = (.) Το σφάλμα στην παραπάνω σχέση σύνθετη ολοκλήρωσης είναι h f ( ξ ) < ξ < = ή (.4) ( b a) ( ξ) f a< ξ < b και είναι ανάλογο του / που σημαίνει ότι όταν διπλασιάζεται ο αριθμός διαστημάτων το σφάλμα αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι περίπου τέσσερις φορές μικρότερο. Το σφάλμα δεν μειώνεται ακριβώς ως / διότι η τιμή της δεύτερης παραγώγου f ( ξ ) διαφέρει για διαφορετικές τιμές διαστημάτων. Υποθέτουμε ότι η σύνθετη ολοκλήρωση της Εξ. (.) εφαρμόζεται για δυο διαφορετικές τιμές και. Τότε η ακριβής τιμή του ολοκληρώματος I είναι 7
I = I + E = I + E (.5) Το σφάλμα δίνεται από την Εξ. (.4) συνεπώς ( b a) E = E b a ( ) f f ( ξ ) ( ξ ) ( ), ξ, ξ ab, (.6) Υποθέτοντας ότι οι τιμές της δεύτερης παραγώγου είναι περίπου ίσες βρίσκουμε Ε = E (.7) και με αντικατάσταση στην Εξ. (.5) βρίσκουμε I I I = I + (.8) όταν = η παραπάνω σχέση γίνεται 4 I = I I (.9) Η διαδικασία προσέγγισης ενός ολοκληρώματος με δυο διαφορετικούς διαμερισμούς για να καταστεί δυνατή η εύρεση μιας τρίτης πιθανώς καλύτερης προσέγγισης ονομάζεται Richardso etrapolatio. Με διαδοχική εφαρμογή της Εξ. (.9) για διαμερισμούς = βρίσκουμε = I = 5 I I (.) 4 ή απ ευθείας εκτιμούμε ότι η βελτιωμένη πρόβλεψη είναι I = ( 4 I I ). Δηλαδή όταν υπολογίσουμε δυο προσεγγίσεις του ολοκληρώματος I και I με τον κανόνα τραπεζίου με διαμερισμούς και 8
και = μπορούμε να βρούμε μια καλύτερη προσέγγιση I που αντιστοιχεί σε αριθμό διαστημάτων =. Η διαδικασία σύνθετης ολοκλήρωσης μπορεί να εφαρμοσθεί και για τον κανόνα ολοκλήρωσης Simpso. Η εφαρμογή του κανόνα Simpso φορές απαιτεί + σημεία βάσης,,..., δηλαδή b a h f d f d f f f f = = + 4 + + 4 f ( 4) f ( ) f ( ) f ] 4 ( b a) 5 ( ξ) 4 f a b + +... + + 4 +, b a b a b a = f a + f b + f a+ + f a+ 6 = = = < ξ < 4 88 (.) Με εφαρμογή της διαδικασίας Richardso όπως και προηγουμένων βρίσκουμε I I I = I + 4 (.) όταν = η παραπάνω σχέση γίνεται 6 I = I I e (.) 5 5 Σύνθετοι κανόνες ολοκλήρωσης όπως αυτούς που αναπτύξαμε αναλυτικά για τον κανόνα τραπεζίου και Simpso μπορεί να βρεθούν και για ανώτερης τάξης κανόνες αριθμητικής ολοκλήρωσης. Η εύρεση της αναλυτικής μορφής δεν είναι αναγκαία διότι η εφαρμογή σύνθετων κανόνων ολοκλήρωσης είναι πολύ εύκολη στον προγραμματισμό της στον ηλεκτρονικό υπολογιστή 9
.4 Αριθμητική ολοκλήρωση με μη ισοκατανεμημένα διαστήματα Οι κανόνες ολοκλήρωσης που αναπτύξαμε στα προηγούμενα κεφάλαια έχουν την μορφή b f d w f ( ) (.) a = όπου οι τιμές των συντελεστών αντίστοιχων w είναι τα σχετικά βάρη των f σε + διακριτών τιμών της συνάρτησης ( ) + ισαπέχοντα διαστήματα. Υποθέτοντας ότι οι θέσεις των σημείων βάσης, =,,..., δεν είναι καθορισμένη τότε υπάρχουν ( ) + απροσδιόριστες παράμετροι, οι συντελεστές ή βάρη w και η θέση των σημείων ολοκλήρωσης. Από την θεωρία προσέγγισης του προηγούμενου κεφαλαίου γνωρίζουμε ότι + παράμετροι προσδιορίζουν ένα πολυώνυμο + βαθμού. Η βασική ιδέα της ολοκλήρωσης Gauss βασίζεται στην παραπάνω παρατήρηση και χρησιμοποιεί + μη ομοιόμορφα κατανεμημένα σημεία μαζί με + κατάλληλα εκλεγμένα βάρη w για να υπολογίσει ακριβώς την τιμή του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης f που είναι ένα πολυώνυμο βαθμού + ή μικρότερου. Η ανάπτυξη της θεωρίας της ολοκλήρωσης Gauss απαιτεί την χρήση των ορθογωνίων πολυωνύμων. Το απαραίτητο υπόβαθρο της θεωρίας ορθογωνίων πολυωνύμων αναπτύσσεται σύντομα στο παρακάτω κεφάλαιο και συνοψίζεται στο Παράρτημα Α..4. Ορθογώνια Πολυώνυμα Τα ορθογώνια πολυώνυμα ή γενικότερα οι ορθογώνιες συναρτήσεις. βάσης έχουν πολλές εφαρμογές σε αριθμητικές και σε αναλυτικές μεθόδους. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε το απαραίτητο υπόβαθρο της θεωρίας των ορθογωνίων συναρτήσεων που κατόπιν θα χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε κανόνες αριθμητικής ολοκλήρωσης για μη ισαπέχοντα σημεία βάσης. Τα ορθογώνια πολυώνυμα χρησιμοποιούνται επίσης και για να βελτιωθεί η παρεμβολή ελάχιστων τετραγώνων καθώς και σε άλλες περιοχές της αριθμητικής ανάλυσης.
Carl Gustav Jacob Jacobi (84-85) είναι Πρώσος μαθηματικός που θεωρείται ένας από τους καλύτερους δασκάλους της εποχής του που ενέπνευσε πολλούς μαθηματικούς και ένας από τους πιο σπουδαίους μαθηματικούς όλων των εποχών. Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου από όπου και έλαβε το διδακτορικό του το 85 το οποίο διαπραγματευόταν την θεωρία συναρτήσεων. Το 89 έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Köigsberg όπου και παρέμεινε μέχρι το 848 που έχασε την θέση του λόγω τηε εμπλοκής του στην επανάσταση του 848. k που είναι ουσιαστικά πολυώνυμα βαθμού k που εκ κατασκευής έχουν ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Τα πολυώνυμα Chebyshev όπως και τα πολυώνυμα Legedre είναι ιδικές περιπτώσεις της πιο γενικής οικογένειας πολυωνύμων Jacobi που παρουσιάζονται στο Παράρτημα Α. Θα δείξουμε παρακάτω τα πολυώνυμα Chedyshev είναι ορθογώνιες Στα προηγούμενα κεφάλαια τα πολυώνυμα Chebyshev T συναρτήσεις. Γενικεύοντας, θεωρούμε δυο συναρτήσεις g αυτές είναι ορθογώνιες στο διάστημα [, ] g m και που ανήκουν σε μια οικογένεια συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις ab όταν b m w g gm d (.4) a c = m όπου w( ) είναι μια συνάρτηση βάρους, που μπορεί να είναι μια σταθερά και c είναι μια σταθερά που γενικά μπορεί να εξαρτάται από την τάξη της συνάρτησης. Ορθογώνιες συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται ευρέως είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις si και cos που αποτελούν τις συναρτήσεις βάσης των σειρών Fourier. Οι συναρτήσεις βάσης,,... που χρησιμοποιήσαμε στις πολυωνυμικές παρεμβολές και συχνά ακόμη και στα πεπερασμένα στοιχεία δεν είναι όμως ορθογώνιες. Η ορθογωνιότητα μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενίκευση της καθετότητας διανυσμάτων σε πολυδιάστατους χώρους. Στο κεφάλαιο αυτό θα επικεντρωθούμε στην παρουσίαση μόνο ορισμένων ορθογωνίων πολυωνυμικών συναρτήσεων όπως Legedre, Laguerre, Chebyshev και
Hermite πολυωνύμων τις οποίες κατόπιν θα χρησιμοποιήσουμε για βρούμε κανόνες αριθμητική ολοκλήρωσης που υπερτερούν σε ακρίβεια από τους κανόνες Newto Cotes που βρήκαμε προηγουμένως..4. Πολυώνυμα Legedre P ( ) Τα πολυώνυμα Legedre είναι ορθογώνια στο διάστημα προς σταθερή συνάρτηση βάρους w( ) = [, ] ως Adrie-Marie Legedre (75 8) είναι μαθηματικός με σημαντική συνεισφορά στην θεωρία αριθμών, την άλγεβρα, την μαθηματική ανάλυση και την στατιστική. Ο Legedre σπούδασε φυσική και αρχικά δίδαξε από ενδιαφέρον και χωρίς να το θεωρεί βιοποριστικό επάγγελμα στην στρατιωτική ακαδημία όπου και ασχολήθηκε με βαλλιστική. Αργότερα ασχολήθηκε μόνο με τα μαθηματικά. Η δουλεία του για τις ρίζες των πολυωνύμων ενέπνευσε ένα άλλο σπουδαίο Γάλλο μαθηματικό τον Évariste Galois (8 8). Η πιο σημαντική συνεισφορά του Legedre θεωρείται η ανάπτυξη της μεθόδου των ελαχίστων τετράγωνων που ακόμα και σήμερα έχει πλήθος εφαρμογών. m P Pm d (.5) c m = Τα πολυώνυμα Legedre προκύπτουν με διαδοχική εφαρμογή της επαναληπτικής σχέσης ( ) P = P P (.6) όπου P ( ) = και P = Τα πρώτα πέντε πολυώνυμα της οικογένειας Legedre είναι
P P = = P = ( ) P 5 = ( ) P4 5 8 4 = ( + ) (.7).4. Πολυώνυμα Lagueree L () Τα πολυώνυμα Laguerre είναι ορθογώνια στο διάστημα προς συνάρτηση βάρους = e w [, ] ως m e L Lm d= (.8) c = m Τα πολυώνυμα Laguerre προκύπτουν από την επαναληπτική σχέση ( ) L = L L (.9) όπου L ( ) = και L =. Μερικά από τα αρχικά πολυώνυμα της οικογένειας Laguerre είναι L = L = + = 4 + L = + 9 8 +6 L (.4)
.4.4 Πολυώνυμα Chebyshev T ( ) Τα πολυώνυμα Chebyshev που αναφέρθηκαν και σε προηγούμενο, ως προς συνάρτηση κεφάλαιο είναι ορθογώνια στο διάστημα [ ] βάρους w = / m T Tm d= c = m (.4) Τα πολυώνυμα Chebyshev προκύπτουν από την επαναληπτική σχέση T T T όπου και = (.4) T = T =. Μερικά από τα πρώτα πολυώνυμα της οικογένειας Chebyshev είναι T T = = T = T = 4.4.5 Τα Πολυώνυμα Hermite H ( ) Τα πολυώνυμα Hermite είναι ορθογώνια στο διάστημα προς την συνάρτηση βάρους w = e (.4) (, ) ως m e H Hm = (.44) c = m Τα πολυώνυμα Hermite προκύπτουν από την επαναληπτική σχέση H H ( ) H( )( ) όπου H ( ) = και H = (.45) οικογένειας Hermite είναι =. Μερικά από τα πρώτα πολυώνυμα της H = H = H = 4 H = 8 (.46) 4
.4.6 Ιδιότητες των ορθογωνίων πολυωνύμων Οι οικογένειες ορθογωνίων πολυωνύμων,, p L T και H, που αναφέραμε παραπάνω και πολλές άλλες (δες Παράρτημα Α) είναι πολυώνυμα βαθμού ως προς με πραγματικούς συντελεστές και ρίζες στο διάστημα ορισμούς τους. Οι ρίζες των ορθογωνίων πολυωνύμων είναι ξεχωριστές δηλαδή δεν υπάρχουν πολλαπλές ρίζες. Παραδείγματος χάριν όλες οι ρίζες του πολυωνύμου Legedre βαθμού βρίσκονται στο ανοικτό διάστημα (,). Τα ορθογώνια πολυώνυμα είναι γραμμικοί σύνδεσμοι των μονονύμων, =,... N συνεπώς οποιοδήποτε πολυώνυμο ου βαθμού p α = = συνδυασμός ορθογωνίων πολυωνύμων, δηλαδή μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός β β... β β p = p + p + + p = p (.47) Παράδειγμα Το πολυώνυμο τέταρτου βαθμού p Legedre είναι 4 = εκπεφρασμένο με πολυώνυμα 4 p4 = a + a+ a + a + a4 = β + β+ β ( ) 4 + β ( 5 ) + β4 ( 5 + ) 8 συνεπώς 4 4 4 ( α ) β = 8/5 a, β = /5 a, β = / α + 6/7 β = a + /5 a, β = a + / a + /5 a 4 οπότε το πολυώνυμο p4 = + + είναι ισοδύναμο με τον παρακάτω γραμμικό συνδυασμό πολυωνύμων Legedre 5 9 6 6 8 p4 P P P P P 5 5 5 5 4 = + + + ( ) 4 5
.5 Gaussia Quadrature Joha Carl Friedrich Gauss (777 855) είναι μαθηματικός και επιστήμονας που είχε μεγάλη συμβολή στην θεωρία αριθμών, την στατιστική, μαθηματική ανάλυση, διαφορική γεωμετρία, αλλά και στην οπτική, την θεωρία του ήλεκτρο μαγνητικού πεδίου, και την αστρονομία. Θεωρείται ένας από τους μαθηματικούς που επηρέασαν σημαντικά την πορεία και εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης και ιδρυτής της σχολής των μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Göttige που μετέπειτα ανέδειξε πολλούς από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του ου αιώνα. Ο Gauss απέδειξε το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας που εγγυάται ότι ένα μιγαδικό πολυώνυμο μίας μεταβλητής έχει τουλάχιστο μία ρίζα. Η προσέγγιση της τιμής του ολοκληρώματος f όταν προσεγγίσουμε την συνάρτηση f b d βρίσκεται a με ένα πολυώνυμο παρεμβολής ου βαθμού το οποίο μπορεί να υπολογισθεί αναλυτικά και κατόπιν να προσεγγίσουμε το ολοκλήρωμα ως b b b f d= p d+ R d (.48) a a a όπου R ( ) είναι το σφάλμα προσέγγισης της συνάρτησης f πολυώνυμο p ( ) βαθμού. με ένα Στο προηγούμενο κεφάλαιο βρήκαμε ότι τα πολυώνυμα Lagrage παρεμβάλουν μια συνάρτηση που ορίζεται σε μη ισοκατανεμημένα διαστήματα διαστήματα δηλαδή αυθαίρετα εκλεγμένα σημεία. Η παρεμβολή με πολυώνυμα Lagrage έχει την μορφή f p R l f = = = + = + ( ) k l = a< ξ < b k= i k k ( + ) ( ξ ) ( +! ) f (.49) 6
Έστω ότι το διάστημα ολοκλήρωσης είναι [,]. Η υπόθεση αυτή δεν επηρεάζει την γενικότητα της παρουσίασης διότι όπως είναι γνωστό το διάστημα [ ab]. μπορεί να μετασχηματιστεί στο διάστημα [,]. Δηλαδή, ορίζοντας μια νέα μεταβλητή z έχουμε μια μετασχηματισμένη συνάρτηση με πεδίο ορισμού,. [ ] a+ b b a z+ a+ b z =, F( z) = f b a Έστω ότι η συνάρτηση f βαθμού +. Τότε ο όρος πολυώνυμο βαθμού είναι πολυώνυμο βαθμού ( ) είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση f ( + ) ( ξ )/( ) +! πρέπει να είναι το μέγιστο επειδή το ανάπτυγμα l f ( ) είναι πολυώνυμο βαθμού = Έστω ότι : = το μέγιστο. Επίσης, ο όρος του σφάλματος +. ( + ) ( ξ ) ( +! ) f = q ( ξ ) (.5) όπου q ( ξ ) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού. Η αρχική συνάρτηση είναι f = l f + q = = ( ) (.5) Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο διάστημα [,] είναι f d= li f d+ ( ) q d (.5) = = Τότε η προσέγγιση του ολοκληρώματος είναι ( ) = ( f d f l d w f (.5) = = ) 7
Στην παραπάνω σχέση σειρά ολοκλήρωσης και άθροισης εναλλάσσονται f είναι σταθερές και τα βάρη άθροισης w διότι οι τιμές ( ) ορίζονται ως k w = l d = d k= k k (.54) Ο κανόνας ολοκλήρωσης της Εξ. (.5) έχει όμως την ίδια μορφή με τους κανόνες ολοκλήρωσης που παρουσιάστηκαν και προηγουμένως, δηλαδή είναι της μορφής ( Εξ. (.5) είναι b f d w f ), ενώ το σφάλμα στην a = ( ) q d (.55) = Η εκλογή των σημείων βάσης της ολοκλήρωσης μπορεί λοιπόν να γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε το σφάλμα ολοκλήρωσης να μηδενίζεται όταν f είναι πολυώνυμο. Η κατάλληλη εκλογή των σημείων η συνάρτηση βάσης διευκολύνεται με την χρήση των ορθογωνίων πολυωνύμων όπως θα δείξουμε παρακάτω..5. Gauss-Legedre Quadrature Έστω ότι το πολυώνυμο q και ( γράφονται υπό μορφή αναπτύγματος πολυωνύμων Legedre. = ) του σφάλματος = ( ) = bopo + bp +... + bp + b+ P+ = + = bp (.56) 8
... q = c P + c P + + c P = c P (.57) o = τότε το σφάλμα πολυωνυμικής προσέγγισης είναι ( ) = + + + q b c P P b c p P k k = = k= = (.58) μετά από ολοκλήρωση στο διάστημα [,] όλοι οι όροι της μορφής P P d k για k μηδενίζονται και το σφάλμα ολοκλήρωσης είναι q ( ) d= bc P d (.59) = = Το σφάλμα αριθμητικής ολοκλήρωσης που δίνεται από την Εξ. (.59) μηδενίζεται όταν οι πρώτοι + συντελεστές b, =,,... είναι μηδέν, δηλαδή (δες Εξ..56) = ( ) = b+ P+ (.6) Έστω ότι =, τότε ο συντελεστής του όρου ανώτερης τάξης του πολυωνύμου Legedre P (δες Εξ. (.7) είναι 5/8. Αλλά ο 4 συντελεστής του όρου ανώτερης τάξης + στο γινόμενο ( ) = είναι μονάδα. Συνεπώς όταν = b4 = 8/ 5 και με ανάλογο σκεπτικό προκύπτει ότι είναι το αντίστροφο του συντελεστή του όρου ανώτερης τάξης στο P + πολυώνυμο Legetre. b + Επί πλέον το πολυώνυμο ( ) είναι ήδη σε μορφή γινομένου, δηλαδή έχει = + ρίζες, =,,..., οι οποίες (δες Εξ. (.6) είναι ταυτοχρόνως και οι ρίζες του πολυωνύμου P τα +. Δηλαδή + σημεία βάσης τα οποία πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να 9
μηδενίζεται το σφάλμα όταν η συνάρτηση f ( ) είναι πολυώνυμο βαθμού +, είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Legedre P βάρη w των πολυωνύμων Legedre, δίνονται από την σχέση +. Τα w = = ( + ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) + (.6) Δεδομένων των σημείων τα βάρη ολοκλήρωσης υπολογίζονται με αναλυτική ολοκλήρωση από την Εξ. (.54). Οι τιμές των ριζών και αντίστοιχων βαρών ολοκλήρωσης μπορεί να πινακοποιηθούν. Ο πίνακας ριζών και βαρών w για =,,, 4 προτίθενται στον Πίνακα..
Πίνακας.. Ρίζες των πολυωνύμων Legedre και βάρη για ολοκλήρωση f d w f ( ) = i= i i N ± ± 5 5 ± 5 55 7 ± 5 55 + 7 w 8 9 5 9 8 + 6 8 6 w ±.5775 69 ±.77495 6669 ±.998 45 ±.86 65.88888 88888.55555 55555.654 5548.4785 4845 4 ± 45 4 7 ± 45 + 4 7 8 55 9 9 ( + 7 ) ( 7 ) ±.5486 9 ±.967 98459.56888 88888.4786 8674.69 6885 Τα πολυώνυμα Legedre είναι ιδιοσυναρτήσεις της εξίσωσης ( ) L k + k( k+ ) Lk = (sigular Sturm-Liouville problem). Τα πολυώνυμα Legedre συνήθως κοινονικοποιούνται έτσι ώστε L () = k οπότε δίνονται από k [ k /] k k m Lk = ( k ) m= m k m k m Παράδειγμα Έστω ότι η συνάρτηση f ( ) ορίζεται σε τρία σημεία δηλαδή, =. Τότε η εφαρμογή του κανόνα ολοκλήρωσης που χρησιμοποιεί σαν σημεία βάσης τις ρίζες του πολυωνύμου Legedre P δίνεται από f d.55555 f.77459 +.88888 f() +.55555 f(.77459)
και ολοκληρώνει ακριβώς πολυώνυμο πέμπτου βαθμού μόνο με τρία σημεία βάσης ενώ ο κανόνας ολοκλήρωσης με ισαπέχοντα σημεία βάσης απαιτεί 6 σημεία.5.. Gauss-Lagurre Quadrature Κανόνες ολοκλήρωσης που μπορεί να χρησιμοποιηθούν για την προσέγγιση ολοκληρωμάτων της μορφής e f d w F (.6) = Βρίσκονται με την βοήθεια των πολυωνύμων Laguerre. Η διαδικασία εκλογής των βαρών w και σημείων βάσης στην Εξ. (.6) είναι ανάλογη της διαδικασίας που ακολουθήσαμε προηγουμένως με τον κανόνα ολοκλήρωσης με τα πολυώνυμα Legedre. Το πολυώνυμο παρεμβολής όπως και προηγουμένως είναι f = l f + = = l k= k k ( + ) ( ξ ) ( +! ) k = < ξ < f (.6) Υποθέτοντας και πάλι ότι η συνάρτηση f ( ) είναι πολυώνυμο βαθμού + + τότε f ( ξ ) είναι πολυώνυμο βαθμού, δηλαδή f l f q = = = + ( ) q = ( + f ) ( +! ) (.6) τότε
e f d f e l d = i = + = e q d (.64) Εκφράζοντας το γινόμενο ( ) και το πολυώνυμο = q σαν σειρά πολυωνύμων Laguerre και ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό όπως και προηγουμένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι : Τα σημεία βάσης είναι οι ρίζες των πολυωνύμων Laguerre και τα βάρη ολοκλήρωσης υπολογίζονται από την σχέση w = e d= e d k k= k k (.65) Τα σημεία βάσης και τα αντίστοιχα βάρη για τον κανόνα ολοκλήρωσης της Εξ. (.6) δίνονται στον Πίνακα.. Πίνακας. Ρίζες των πολυωνύμων Laguerre και βάρη για την ολοκλήρωση e f d= w f ( ) = Τύπος ολοκλήρωσης Ρίζες, Συντελεστές, w Δύο σημείων =.58578647.4456.8555 95.4644 6694 Τριών σημείων =.45774556.9486 6.899458.79 99.785 775.8 9565 Τεσσάρων σημείων =.547689.74576 4.56696 9.9579.65 44.574 8694.888 7985.5 9947 Παράδειγμα Αριθμητικός υπολογισμός της τιμής του ολοκληρώματος
e d= 5/ e Η αριθμητική ολοκλήρωση απαιτεί εφαρμογή του μετασχηματισμού = z + και χρήση των τιμών του Πίνακα.. e d e e z dz e w z e = z = ( + ) = ( + ) = 5/ που συμφωνεί με την αναλυτική τιμή επειδή το πολυώνυμο είναι δεύτερου βαθμού και ο κανόνας ολοκλήρωσης = είναι ακριβής για πολυώνυμο τρίτου βαθμού..5. Κανόνας ολοκλήρωσης Gauss Chebyshev Η διαδικασία που ακολουθήσαμε για την ανάπτυξη των κανόνων ολοκλήρωσης Gauss Legedre και Gauss Laguerre μπορεί να επαναληφθεί για να αναπτύξουμε τον κανόνα ολοκλήρωσης Gauss Chebyshev που είναι της μορφής f d= w f (.66) = Ο κανόνας ολοκλήρωσης Gauss Chebyshev είναι ακριβής όταν η συνάρτηση f ( ) είναι πολυώνυμο βαθμού + ή μικρότερου. Τα σημεία βάσης είναι οι ρίζες των πολυωνύμων Chebyshev ( + ) π z = cos, =,,... (.67) + π Τα βάρη ολοκλήρωσης έχουν αναλυτική έκφραση w = δηλαδή ο + κανόνας ολοκλήρωσης Gauss Chebyshev έχει την μορφή f d π f (.68) + = Πρέπει να σημειωθεί ότι ολοκληρώματα της μορφής b f d ή f d b a 4
Μπορεί να μετασχηματισθούν σε ολοκληρώματα της μορφής f d δεδομένου ότι τα όρια ολοκλήρωσης a, b είναι πεπερασμένα..5.4 Κανόνας ολοκλήρωσης Gauss Hermite Ο κανόνας ολοκλήρωσης Gauss Hermite χρησιμοποιείται για την αριθμητική ολοκλήρωση της μορφής ( ) e f d w f (.69) = Τα σημεία βάσης ολοκλήρωσης είναι οι ρίζες του + βαθμού πολυωνύμου Hermite. Τα βάρη αριθμητικής ολοκλήρωσης και οι ρίζες των πολυωνύμων Hermite για =,,, 4 δίνονται στον Πίνακα. Πίνακας. Ρίζες των πολυωνύμων Hermite και βάρη για την ολοκλήρωση e f w f ( ) Ρίζες ( ) Βάρη ολοκλήρωσης w Κανόνας ολοκλήρωσης δύο σημείων = ±.77 678.886 6955 Κανόνας ολοκλήρωσης τριών σημείων = ±.474 4874.945 8975..86 596 Κανόνας ολοκλήρωσης τεσσάρων σημείων = ±.6568 9.8 854 ±.5464 76.849 49 Κανόνας ολοκλήρωσης πέντε σημείων = 4 ±.8 875.995 4 ±.95857 4464.96 9..945 875 = 5
Η αριθμητική ολοκλήρωση πολλών συναρτήσεων επιτυγχάνεται με κατάλληλο μετασχηματισμό και την χρήση των κανόνων ολοκλήρωσης που αναπτύξαμε παραπάνω. Οι μετασχηματισμοί αυτοί έχουν την μορφή f f d= w d= w g d w a a b b b (.7) Επί πλέον οι κανόνες ολοκλήρωσης Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθούν διαδοχικά χωρίζοντας το διάστημα ολοκλήρωσης σε υποδιαστήματα για να αυξήσουμε την ακρίβεια των υπολογισμών. Η όλη διαδικασία σύνθετης ολοκλήρωσης πρέπει όμως να προγραμματισθεί διότι η παραγωγή εξισώσεων σύνθετης ολοκλήρωσης είναι πολύ δύσκολη και δεν μειώνει ουσιαστικά το υπολογιστικό κόστος. 6