ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ TAYLOR Δίδεται μια συνάρτηση f, ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της f και ένας φυσικός αριθμός Στην παράγραφο αυτή μελετάται το πρόβλημα προσέγγισης των τιμών της συνάρτησης f ) για «κοντά στο», από τις τιμές ενός πολυωνύμου βαθμού κ) κ) Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικό πολυώνυμο p βαθμού με f ) p ), για κάθε κ,,, Το πολυώνυμο αυτό ονομάζεται πολυώνυμο του Taylor και έχει τύπο f ) f ) f p f + + + + )!!! κ) f ) κ ) κ κ! Η διαφορά R f p ονομάζεται συνάρτηση υπόλοιπο Στο ακόλουθο θεώρημα δίδεται ο τύπος του Taylor ο οποίος μας δίδει διάφορους τρόπους υπολογισμού της συνάρτησης υπόλοιπο Θεώρημα Taylor) Αν η συνάρτηση f/ [ α,β] έχει παραγώγους f,f,,f [ α,β] συνεχείς, καθώς και + ) παράγωγο f α,β), τότε για κάθε ν [ + ] υπάρχει ένα τουλάχιστον) σημείο α,β) με β α β α) f β) f α) + f α) + f α) + +!! ν ν+ β α) ) β α) β ) + ) + f α + f )! ν! Παρατηρήσεις Το θεώρημα της μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Taylor για Αποδεικνύεται ότι ο τύπος του Taylor ισχύει και όταν εναλλάουμε τα α, β σ αυτόν, δηλαδή ισχύει ότι α β α β) f α) f β) + f β) + f β) + +!! ν ν+ α β) ) α β) α ) + ) + f β + f )! ν! Αν, [ α,β] με, εφαρμόζοντας το θεώρημα του Taylor για τον περιορισμό της συνάρτησης f στο διάστημα με άκρα τα,, προκύπτει ότι κ) ν ν+ f ) κ ) + ) f + f ) κ κ! ν! ν ν+ ) ) + ) p + f ), ν! όπου το σημείο ευρίσκεται μεταύ των, Κατόπιν τούτων, η συνάρτηση υπόλοιπο δίδεται από τη σχέση ν ν+ ) ) + ) R f ) ν!
και παίρνει διάφορες μορφές για τις τιμές του ν [ + ] Οι κυριότερες από τις μορφές της συνάρτησης R είναι οι εής: Αν ν +, τότε ) + + R f + )! Στην περίπτωση αυτή ονομάζεται υπόλοιπο Lagrag Αν ν, τότε ) ) + ) R f )! Στην περίπτωση αυτή ονομάζεται υπόλοιπο Cauchy Σειρές Taylor Αν για μια συνάρτηση f και ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της υπάρχουν ) οι παράγωγοι f για κάθε, τότε ) ) f! ονομάζεται σειρά Taylor της συνάρτησης f γύρω από το σημείο Ειδικά αν, η σειρά ονομάζεται σειρά Maclauri ) f )! Μια συνάρτηση f αναπτύσσεται σε σειρά Taylor γύρω από το π D f με αν υπάρχει περιοχή f f )! για κάθε π ) Ειδικά αν, η συνάρτηση αναπτύσσεται σε σειρά Maclauri αν υπάρχει περιοχή π ) D f ) με ) f f! για κάθε π ) Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι μια συνάρτηση αναπτύσσεται σε σειρά Taylor ή Maclauri) αν και μόνο αν R για κάθε π ) Βασικές σειρές Maclauri, για κάθε! + si ) αι cos ), +! κ )! για κάθε
+ 3 sih και cosh + ), για κάθε! )! 4 l + ) ), γ θε ια κά,] * 5 m m + ου m, όπ, για κάθε, ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Να αποδειχθούν οι τύποι: + i), ii) si! + )! για κάθε i) Θα αναπτυχθεί σε σειρά Maclauri η συνάρτηση f ) ) Επειδή f ) για κάθε, χρησιμοποιώντας το υπόλοιπο Lagrag προκύπτει ότι + + + ) R f ), + )! + )! όπου το ευρίσκεται μεταύ των και Η ακολουθία R ) είναι μηδενική, αφού και επομένως, Άρα, για κάθε + R+ +! + R + + )! R + lim lim < R ) + ) f )!! ii) Θα αναπτ υχθεί σε σειρά η συνάρτηση f ) si Επειδή ) f ) si π + για κάθε, χρησιμοποιώντας το υπόλοιπο Lagrag προκύπτει ότι + + + ) π R f ) +, si +! +! όπου το ευρίσκεται μεταύ των και Η ακολουθία R ) είναι μηδενική, αφού
Άρα, si ) f )! +, + )! αφού π si! R + ) και + )! + lim + )! π, αν κ si ) κ, αν κ + ΑΣΚΗΣΗ Να αποδειχθεί ο τύπος για κάθε,] l + ) ) Θα αναπτυχθεί σε σειρά Maclauri η συνάρτηση f ) l + ),] Για το σκοπό αυτό, θα χρησιμοποιηθεί ο τύπος! f *, για κάθε + ) Θα αποδειχθεί ότι lim R ) για κάθε,] Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν ιμοποιώντας ο Lagrag προκύπτει ότι υπάρχει με + + ) f ) R + )! + )! + + )! + <, χρησ το υπόλοιπ, ) + + + + Κατόπιν τούτου, και επειδή lim + +, προκύπτει ότι Αν ντας το υπόλοιπο Ca ότι υπάρχει, με <, χρησιμοποιώ uchy προκύπτει
) + ) f R! ) )! + )! + + + Κατόπιν τούτου, και επειδή lim +, προκύπτει ότι lim R ) Άρα lim R ) για κάθε,] και επομένως η συνάρτηση f ) l + ),] f l +! ) )!! ) ] για κάθε, ΑΣΚΗΣΗ 3 αναπτύσσεται σε σειρά Maclauri, δηλαδή ισχύει ότι Να βρεθεί η σειρά Taylor των συναρτήσεων: α) f ) si, γύρω από το σημείο π, β) g ) l, γύρω από το σημείο, γ) h ) 3) 3 α) Αν τεθεί y π, τότε είναι f ) si y+ π) si y + ) y +! + + π + )! β) Αν τεθεί y, τότε είναι, γύρω από το σημείο, αν κ + Αφού ) +, αν κ
+ ) g l y y l + y l + l + + ) + γ) Αν τεθεί y, τότε είναι 3 h ) + y) 3 y ) +! y! ) + ) + ) ) ΑΣΚΗΣΗ 4 y Να βρεθεί, με τη βοήθεια ενός πολυωνύμου Taylor, μια κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού l 5 ) με ακρίβεια 6 Αν τεθεί f ) l + ),), τότε είναι! f + ) * για κάθε,) και Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Taylor με υπόλοιπο Lagrag για τη συνάρτηση f,), προκύπτει ότι l + ) p + R όπου κ ) κ f κ κ p κ κ! κ κ και + + ) R f ) + )! +! +! + ) +, + + ) όπου το ευρίσκεται μεταύ των και
Για να ευρεθεί μια κατά προσέγγιση τιμή του l 5 ) θέτουμε < < 5 + 5 Κατόπιν τούτου, είναι R 5 < + 6 Για να επιτύχουμε ακρίβεια πρέπει να ευρεθεί ο ελάχιστος * με + 5 6 4 5 < < 5, + + από όπου προκύπτει ότι 4 Άρα θα χρησιμοποιηθεί το πολυώνυμο δηλαδή 3 5 5 5 l 5) 5 + 3 4 4879 4 p 4 5, οπότε Αφού + <