ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-516-026-9 ISBN Α ΤΟΜΟΣ: 960-516-027-7 Copyright ΕΚΔΟΣΕΙΣ Θεσσαλονίκη 2006 ΕΚΔΟΣΕΙΣ Δημ. Γούναρη 44 τηλ. 2310-235.297, Fax 2310-265.126 Εγνατία 148 τηλ. 2310-239.537-546 21 Θεσσαλονίκη Εγνατία 156 τηλ. 2310-861.917, Fax 2310-265.126, εντός Πανεπιστημίου Μακεδονίας e-mail: anikoula@otenet.gr Απαγορεύεται η ανατύπωση, η μετάφραση, η αντιγραφή μερική ή ολική μέσω φωτοτυπιών ή φωτογράφησης, καθώς και ο τρόπος έκθεσης με οποιοδήποτε οπτικοακουστικό μέσο της περιεχόμενες ύλης, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα.

Aφιερώνεται στους αληθινούς εραστές της Μαθηματικής Γνώσης i

i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αριθμοί και Μεταβλητές... 5 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθμών Φ... 5 1.2. Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθμητικής... 7 1.3. Το σύνολο των σύμμετρων αριθμών Σ... 8 1.4. Το σύνολο των ασύμμετρων αριθμών Α της Αριθμητικής... 10 1.5. Τα σύνολα των ακεραίων Z της Άλβεγρας, των ρητών Q και άρρητων R Q... 11 1.6. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R... 14 1.7. Συνεχείς και ασυνεχείς μεταβλητές... 15 1.8. Μεταβλητά σημεία και οι συντεταγμένες τους... 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Συναρτήσεις και η Διαγραμματική τους Παράσταση... 25 2.1. Ορισμοί και παραδείγματα συναρτήσεων... 25 2.2. Γραφήματα συναρτήσεων... 27 2.3. Συναρτήσεις και καμπύλες... 32 2.4. Ταξινόμηση συναρτήσεων... 34 2.5. Τύποι συναρτήσεων... 36 2.6. Η συμβολική παράσταση συναρτήσεων οποιασδήποτε μορφής... 37 2.7. Η διαγραμματική μέθοδος... 38 2.8. Η επίλυση εξισώσεων μιας μεταβλητής... 39 2.9. Συστήματα δύο εξισώσεων με δυο μεταβλητές... 43 2.10. Η κλίση μιας ευθείας... 47

ii 2.11. Η εξίσωση μιας ευθείας... 51 2.12. Η παραβολή... 58 2.13. Η ορθογώνια υπερβολή... 64 2.14. Ο κύκλος... 68 2.15. Κλάσεις καμπύλων και συστήματα καμπύλων... 70 2.16. Ένα οικονομικό πρόβλημα στην αναλυτική γεωμετρία... 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Όρια και Συνέχεια Συναρτήσεων... 81 3.1. Ορισμός του ορίου μιας μονότιμης συνάρτησης... 81 3.2. Μερικές ιδιότητες των ορίων... 87 3.3. Η συνέχεια των συναρτήσεων... 95 3.4. Επεξηγήσεις συνέχειας και ασυνέχειας συναρτήσεων... 97 3.5. Συναρτήσεις πολλών τιμών... 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Συναρτήσεις και Διαγράμματα στην Οικονομική Θεωρία... 107 4.1. Συναρτήσεις ζήτησης και οι καμπύλες τους... 107 4.2. Ειδικές συναρτήσεις ζήτησης και καμπύλες... 110 4.3. Συναρτήσεις συνολικών εσόδων και καμπύλες... 113 4.4. Συναρτήσεις κόστους και οι καμπύλες τους... 121 4.5. Άλλες συναρτήσεις και καμπύλες στην οικονομική θεωρία... 126 4.6. Καμπύλες αδιαφορίας καταναλωτικών αγαθών... 129 4.7. Καμπύλες αδιαφορίας (indifference curves) για τη ροή του εισοδήματος σε σχέση με το χρόνο... 132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παράγωγοι και η Ερμηνεία τους... 135 5.1. Ορισμός παραγώγου... 135 5.2. Παραδείγματα εκτίμησης παραγώγων... 139 5.3. Παράγωγοι και προσεγγιστικές τιμές... 144 5.4. Παράγωγοι και εφαπτόμενες καμπυλών... 145 5.5. Παράγωγοι δεύτερης και ανώτερης τάξης... 152

iii 5.6. Εφαρμογές των παραγώγων στις φυσικές επιστήμες... 153 5.7. Εφαρμογές των παραγώγων στην οικονομική θεωρία... 155 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Η Τεχνική της Παραγώγισης... 161 6.1. Η δυναμο-συνάρτηση και η παράγωγός της (Power Function)... 161 6.2. Κανόνες παραγώγισης... 163 6.3. Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων... 165 6.4. Η συνάρτηση ενός συναρτησιακού τύπου. Παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης... 171 6.5. Παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης... 176 6.6. Υπολογισμός παραγώγων δεύτερης και ανώτερης τάξης... 178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Εφαρμογές των Παραγώγων... 183 7.1. Πρόσημο και μέγεθος παραγώγου... 183 7.2. Μέγιστες και ελάχιστες τιμές... 186 7.3. Εφαρμογές της δεύτερης παραγώγου... 189 7.4. Πρακτικές μέθοδοι εύρεσης μεγίστων και ελαχίστων τιμών... 191 7.5. Ένα γενικό πρόβλημα μέσων και οριακών τιμών... 196 7.6. Σημεία καμπής... 198 7.7. Προβλήματα μονοπωλείου στην οικονομική θεωρία... 202 7.8. Προβλήματα οικονομικού διπόλου... 207 7.9. Γενικές εφαρμογές των παραγώγων... 212 7.10. Οικονομικές εφαρμογές των παραγώγων... 233 7.11. Βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού... 244 7.12. Απροσδιόριστες μορφές... 266

iv ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις... 279 8.1. Εκθετικές συναρτήσεις... 279 8.2. Λογάριθμοι και οι ιδιότητές τους... 281 8.3. Λογαριθμικές συναρτήσεις... 283 8.4. Λογαριθμικές κλίμακες και γραφήματα... 285 8.5. Παραδείγματα λογαριθμικού σχεδιασμού... 287 8.6. Σύνθετος τόκος... 292 8.7. Παρούσες αξίες και τιμές κεφαλαίου... 295 8.8. Φυσικές εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις... 298 8.9. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις... 301 8.10. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων... 311 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Λογαριθμική παραγώγιση... 317 9.1. Παράγωγοι εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων... 317 9.2. Λογαριθμική παραγώγιση... 320 9.3. Ένα πρόβλημα κεφαλαίου και τόκου... 323 9.4. Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης... 325 9.5. Υπολογισμός ελαστικοτήτων... 327 9.6. Η ελαστικότητα της ζήτησης... 329 9.7. Η ελαστικότητα του κόστους και κανονικές συνθήκες κόστους... 332 9.8. Eλαστικότητα κόστους και κανονικές συνθήκες κόστους... 337 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Συναρτήσεις Δύο ή Περισσοτέρων Μεταβλητών... 341 10.1. Συναρτήσεις δύο μεταβλητών... 341 10.2. Διαγραμματική παράσταση συναρτήσεων δύο μεταβλητών... 349 10.3. Επίπεδα τμήματα μιας επιφάνειας... 353 10.4. Συναρτήσεις περισσότερων των δύο μεταβλητών... 357

v 10.5. Μη-μετρήσιμες μεταβλητές (Νοn-Measurable Variables)... 358 10.6. Συστήματα εξισώσεων... 366 10.7. Συναρτήσεις μερικών μεταβλητών στην οικονομική θεωρία... 370 10.8. Η συνάρτηση παραγωγής και οι καμπύλες σταθερού προϊόντος... 375 10.9. Η συνάρτηση κέρδους και οι καμπύλες αδιαφορίας... 382 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μερικές Παράγωγοι και η Εφαρμογή τους... 387 11.1. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων δύο μεταβλητών... 387 11.2. Μερικές παράγωγοι δεύτερης και ανώτερης τάξης... 393 11.3. Πρόσημα μερικών παραγώγων... 401 11.4. Το εφαπτόμενο επίπεδο μιας επιφάνειας... 406 11.5. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων περισσότερων των δύο μεταβλητών... 413 11.6. Οικονομικές εφαρμογές μερικών παραγωγών... 415 11.7. Οικονομικές συναρτήσεις... 427 11.8. Θεώρημα Euler και άλλες ιδιότητες των ομογενών συναρτήσεων... 432 11.9. Η γραμμική ομογενής συνάρτηση παραγωγής... 447 11.10. Ισοσταθμικές των συναρτήσεων Cobb-Douglas και η ελαστικότητα υποκατάστασής τους... 453 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Διαφορικά και Διαφορισιμότητα... 459 12.1. Μεταβολή μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών... 459 12.2. Το διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών... 461 12.3. Η τεχνική της διαφόρισης... 463 12.4. Διαφόριση σύνθετης συνάρτησης... 470 12.5. Διαφόριση ασαφών συναρτήσεων... 478

vi 12.6. Διαφορικό συνάρτησης περισσότερων των δύο μεταβλητών... 491 12.7. Η αντικατάσταση των παραγόντων στην παραγωγή... 496 12.8. Η αντικατάσταση σε άλλα οικονομικά προβλήματα... 507 12.9. Επιπλέον θεώρηση προβλημάτων οικονομικού διπόλου... 509 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Προβλήματα μέγιστων και ελάχιστων τιμών... 517 13.1. Μερικές στάσιμες τιμές... 517 13.2. Μέγιστα και ελάχιστα συνάρτησης δύο ή περισσότερων μεταβλητών... 520 13.3. Παραδείγματα μέγιστων και ελάχιστων τιμών... 525 13.4. Μονοπώλιο και σχετική παραγωγή... 540 13.5. Παραγωγή, κεφάλαιο, τόκος... 548 13.6. Σχετικές μέγιστες και ελάχιστες τιμές... 559 13.7. Παραδείγματα σχετικών μεγίστων και ελαχίστων τιμών... 563 13.8. Η ζήτηση για τους συντελεστές της παραγωγής... 578 13.9. Η ζήτηση για καταναλωτικά αγαθά και για δάνεια... 588 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 605 ΓΕΝΙΚΟ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ... 609

1 Πρόλογος Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι να αναδείξει τη συμβολή των καθαρών μαθηματικών στην ανάπτυξη και λειτουργία οποιουδήποτε οικονομικού συστήματος. Σε κάθε βήμα των μαθηματικών μεθόδων που περιγράφονται, αντικατοπτρίζεται η σημασία τους στην επίλυση των προβλημάτων της οικονομικής θεωρίας. Ο προσδιορισμός και η μελέτη του συνόλου των σχέσεων αλληλεξάρτησης των διαφόρων οικονομικών μεγεθών, όπως κόστος, έσοδα, τιμές, παραγωγή, κατανάλωση, επένδυση κ.ά., αποτελεί βασική επιδίωξη κάθε οικονομικής ανάλυσης. Για την εφαρμογή της μαθηματικής ανάλυσης στη μελέτη και επίλυση οικονομικών προβλημάτων δεν είναι πάντα αναγκαίο να γνωρίζουμε την ακριβή μορφή των μαθηματικών σχέσεων που συνδέουν τις οικονομικές μεταβλητές. Δηλαδή, η απόδειξη μιας πληθώρας οικονομικών προτάσεων βασίζεται μόνο στην πληροφορία, ότι οι τιμές ενός οικονομικού μεγέθους εξαρτώνται από τις τιμές ενός άλλου οικονομικού μεγέθους και η συναρτησιακή αυτή σχέση εκφράζεται με μια παραγωγίσιμη συνάρτηση. Η μαθηματική ανάλυση των οικονομικών σχέσεων μπορεί να πάρει τη μορφή ποιοτικής, παραμετρικής και ποσοτικής ανάλυσης. Η ποιοτική ανάλυση (qualitative analysis) αναφέρεται στον προσδιορισμό της κατεύθυνσης μεταβολής μιας ή περισσότερων οικονομικών μεταβλητών σε σχέση με τη μεταβολή μιας ή περισσότερων άλλων οικονομικών μεταβλητών. Στην περίπτωση παραγωγίσιμων οικονομικών συναρτήσεων, η κατεύθυνση μεταβολής εκφράζεται πλήρως με το πρόσημο της παραγώγου ή των μερικών παραγώγων.

2 Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε, ότι τα προβλήματα ποιοτικής οικονομικής ανάλυσης, από τη φύση τους είναι προβλήματα συνδυαστικής ανάλυσης και βρίσκουν την πιο αποτελεσματική τους αντιμετώπιση στα πλαίσια της θεωρίας των προσημασμένων γραφημάτων (signed graphs). Η παραμετρική ανάλυση (parametric analysis) αναφέρεται σε μια οικογένεια οικονομικών σχέσεων ή συναρτήσεων που έχουν την ίδια μορφή έτσι ώστε κάθε μέλος της οικογένειας αυτής προκύπτει, όταν δώσουμε συγκεκριμένες τιμές στις παραμέτρους. Με την παραμετρική ανάλυση προσδιορίζονται διαστήματα μεταβολής των παραμέτρων, έτσι ώστε να ενσωματώνονται οι πραγματικές οικονομικές συνθήκες που διαμορφώνουν τις τιμές των μεταβλητών του διαστήματος. Εκφράζονται ακόμη τυχόν τυπικά ακρότατα ή σημεία καμπής των συναρτήσεων αυτών σα συναρτήσεις των τιμών των παραμέτρων. Τέλος, η ποσοτική ανάλυση (quantitative analysis) μελετά τις ποσοτικοποιημένες σχέσεις που προκύπτουν, όταν οι παράμετροι πάρουν συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές. Έτσι με την ανάλυση αυτή προσδιορίζονται συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές των οικονομικών μεταβλητών, που είναι οι βασικές για την επίλυση προβλημάτων οικονομικής επιλογής και πιο γενικά για τη διαδικασία λήψης οικονομικών αποφάσεων. Το είδος, η έκταση και η μορφή της μαθηματικής ανάλυσης που χρησιμοποιείται εξαρτάται κυρίως από τη φύση των οικονομικών σχέσεων και μεταβλητών που μελετώνται. Έτσι η μελέτη οικονομικών μεταβλητών που δεν συνδέονται με συναρτησιακές σχέσεις μπορεί να γίνει πιο αποτελεσματικά στα πλαίσια μιας περιοχής των μοντέρνων μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία γραφημάτων. Όταν όμως οι οικονομικές μεταβλητές εκφράζονται με συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών, τότε η πιο κατάλληλη μαθηματική ανάλυση για τη μελέτη των οικονομικών αυτών σχέσεων είναι οι τεχνικές του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Επομένως, η χρησιμοποίηση της μαθηματικής ανάλυσης στην καλύτερη κατανόηση και επίλυση οικονομικών προβλημάτων είναι θέμα αναγκαιότητας και όχι επιλογής.

3 Αναφορικά με τη δομή του βιβλίου αυτού, θα ήθελα να επισημάνω ότι αναφέρεται σε διαφορετικούς τύπους αναγνωστών. Τα πρώτα κεφάλαια στοχεύουν πρωταρχικά σε αναγνώστες χωρίς μαθηματικό υπόβαθρο, το οποίο θα αποκτηθεί πιθανόν μεταγενέστερα με κατάλληλη σειρά μαθημάτων. Τέτοιου είδους αναγνώστες θα πρέπει να συνηθίσουν στην εφαρμογή των στοιχειωδών μεθόδων, πριν προχωρήσουν σε πιο δυναμικές διαδικασίες που περιγράφονται στα τελευταία κεφάλαια. Ο πιο ενημερωμένος αναγνώστης μπορεί να χρησιμοποιήσει τα πρώτα κεφάλαια για επανάληψη και να προχωρήσει αμέσως στην επόμενη εργασία. Ο έμπειρος μαθηματικός οικονομολόγος μπορεί να θεωρήσει το βιβλίο σαν εργαλείο αναφοράς και έρευνας νέων μεθόδων επίλυσης οικονομικών προβλημάτων. Σε κάθε κεφάλαιο επισυνάπτεται ικανός αριθμός ασκήσεων, που θα εξοικειώσουν τον αναγνώστη με τα μαθηματικά εργαλεία και τις εφαρμογές τους σε διακριτά οικονομικά προβλήματα. Η μέθοδος θεραπείας τους θα καταδείξει την προσπάθεια μιας συστηματικής ανάπτυξης της μαθηματικής οικονομικής θεωρίας, αλλά οι ουσιώδεις δομές μιας τέτοιας θεωρίας θα βρεθούν είτε στο κείμενο είτε στις ασκήσεις. Σεπτέμβριος 2005 Α. Αλεξανδράκης

Αριθμοί και μεταβλητές 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθμών Φ Η έννοια του συνόλου είναι θεμελιώδους σημασίας σε οποιαδήποτε περιοχή των μοντέρνων μαθηματικών και ορίζεται ως εξής: Σύνολο είναι κάθε συλλογή διακριτών αντικειμένων που προέρχονται από τους χώρους της εμπειρίας ή της διανόησης και θεωρούνται ως μια ενότητα. Τα αντικείμενα που αποτελούν το σύνολο λέγονται στοιχεία x σε ένα σύνολο Χ και συμβολίζουμε: x X ή x X η άρνησή της. Όταν μπορούμε να δημιουργήσουμε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α και Β, λέμε ότι τα σύνολα είναι ισοδύναμα και γράφουμε A B. Πληθικός αριθμός ενός συνόλου S είναι ο αριθμός των στοιχειών του και συμβολίζεται με η( S ) ή S. Τα ισοδύναμα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Δύο σύνολα μεταξύ των οποίων δεν μπορεί να υπάρξει αμφιμονοσήμαντη (ένα - προς - ένα) αντιστοιχία έχουν διαφορετικούς πληθικούς αριθμούς. Η ακολουθία 1, 2, 3,..., ν,... λέγεται ακολουθία των φυσικών αριθμών και είναι απέραντη (δηλαδή δεν υπάρχει τελευταίος αριθμός). Φ = { 1,2,3,...,ν,... } Ένα σύνολο Χ είναι πεπερασμένο, αν είναι ισοδύναμο προς ένα αρχικό απόκομμα της ακολουθίας των φυσικών αριθμών. Δηλαδή αν x = 0 ή x = n για κάποιο θετικό ακέραιο αριθμό n.

6 Κεφάλαιο 1ο Η πλέον χαρακτηριστική ιδιότητα των πεπερασμένων συνόλων είναι η εξής: Κάθε πεπερασμένο σύνολο δεν είναι ισοδύναμο με κανένα μέρος του, δηλαδή με κανένα γνήσιο υποσύνολό του. Κάθε σύνολο που δεν είναι πεπερασμένο λέγεται απειροσύνολο, δηλαδή κάθε σύνολο που δεν είναι ισοδύναμο με κανένα πεπερασμένο σύνολο. Το πλήθος των στοιχείων του λέμε ότι είναι άπειρο. Κάθε σύνολο ισοδύναμο προς ένα μέρος του, είναι απειροσύνολο. Παράδειγμα 1: Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι απειροσύνολο, γιατί είναι ισοδύναμο προς ένα μέρος του, π.χ. το A = { 2,4,6,...,2v,... }, αφού μεταξύ των Α και Φ υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία: Φ : 1 2 3... ν... Α : 2 4 6... 2ν... Παράδειγμα 2: Το σύνολο των σημείων ενός ευθύγραμμου τμήματος, είναι μη-πεπερασμένο, γιατί υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και των σημείων του ΓΔ. Το σημειοσύνολο ΑΒ είναι ισοδύναμο με το σημειοσύνολο ΓΔ, το ΓΔ όμως ισοδυναμεί με ένα μέρος του ΑΒ (το ΑΕ). Κ Γ Δ Α Ε Β Σχήμα 1

Αριθμοί και μεταβλητές 7 1.2. Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθμητικής Το σύνολο αυτό περιλαμβάνει και το 0, που είναι ο μικρότερος κάθε φυσικού αριθμού, γιατί το κενό σύνολο, θεωρείται υποσύνολο κάθε συνόλου. Έτσι έχουμε: Φ 0 = { 0, 1, 2, 3,..., ν,...} Θα αναφερθούμε τώρα στα συστήματα αρίθμησης. α) Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης: κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να παρασταθεί με τη βοήθεια των 10 ψηφίων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Για παράδειγμα, ο αριθμός που σχηματίζεται από τα ψηφία y 1, y 2, y 3, y 4, δηλαδή ο αριθμός y 1 y 2 y 3 y 4 = y 1 10 3 + y 2 10 2 + y 3 10 + y 4 Για κάθε ν-ψήφιο αριθμό α του δεκαδικού συστήματος, ισχύει: 10 ν-1 < α < 10 ν - 1 γιατί, ο μικρότερος ν-ψήφιος είναι εκείνος που έχει όλα τα ψηφία y 2, y 3,..., y v μηδενικά, αν α = y 1 10 ν-1 + y 2 10 ν-2 + y 3 10 ν-3 +... + y ν-1 10 + y ν και το y 1 = 1, δηλαδή είναι ο 10 ν-1 1. Ο μεγαλύτερος ν-ψήφιος είναι αυτός που έχει όλα τα ψηφία τον ίσο με 9, δηλαδή ο: 9 10 ν-1 + 9 10 ν-2 +...+ 9 10 + 9 = (10-1) 10 ν-1 + (10-1)10 ν-2 +...+(10-1) 10 + (10-1) = (10 ν -10 ν-1 ) + (10 ν-1-10 ν-2 ) +... + (10 2-10) + (10-1) = 10 ν -1 β) Σύστημα αρίθμησης με βάση β: Αν στην ισότητα α = y 1 y 2 y 3... y 4 = y v = y 1 +y 2 10+y 3 10 2 +... + y v 10 v-1 (1) όπου οι ακέραιοι y 1,..., y ν < 10, αντί του 10 υπάρχει ένας οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός β > 1, όλα όμως τα y 1,..., y v < β, δηλαδή o αριθμός α γράφεται:

8 Κεφάλαιο 1ο α = y 1 y 2... y ν <β> = y 1 + y 2 β 2 + y 3 β 2 + y 4 β 3 +... + y v β v-1 (2) τότε ο α αναφέρεται στο σύστημα αρίθμησης με βάση β. Παράδειγμα 3. έχουμε: α = 3256 <7> = 6+5 7+2 7 2 +3 7 3 = 6+35+98+1029 = 1168 <10> Για την παράσταση αριθμών στο 7δικό σύστημα χρειάζονται μόνο 7 ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Στο δυαδικό σύστημα χρειάζονται μόνο τα ψηφία 0, 1. Παράδειγμα 4. Έστω β = 5 και α = 723. Για να δώσουμε στον 723 τη μορφή (2) έχουμε: 723 = 5 144 + 3, 144 = 5 28 + 4, 28 = 5 5 + 3, δηλαδή διαιρούμε διαδοχικά με το 5 τα πηλίκα που βρίσκουμε κάθε φορά. Έτσι, 723 = 5 (5 28+4) + 3 = 28 5 2 + 4 5 + 3 = (5 5 + 3) 5 2 + 4 5 + 3 = 5 4 + 3 5 2 + 4 5 + 3 = 10343 <5>. Διαφορετικά έχουμε: 723 5 3 144 5 4 28 5 3 5 5 0 1 1.3. Το σύνολο των σύμμετρων αριθμών της Αριθμητικής Σ Κάθε σύμμετρος αριθμός μπορεί να πάρει τη μορφή: μ (1), όπου μ, ν ακέραιοι και ν 0 ν Αν ο σύμμετρος είναι φυσικός, γράφεται: 2α 3α 4α να α = = = =... = 2 3 4 ν και ο 0 0 0 0 0 0 = = = = =... = 1 2 3 4 ν