4. POVRCH A OBJEM TELIES

Mgr. Mariana Sahajdová 4. POVRCH A OBJEM TELIES Obsah tematického celku: Povrch a objem kocky, kvádra a hranola Povrch a objem ihlana

4.1 Povrch a objem kocky, kvádra a hranola Základné pojmy povrch kocky objem kocky povrch kvádra objem kvádra povrch hranola objem hranola Teória Povrch kocky je súčet obsahov všetkých stien kocky. S = 6. a. a = 6. a 2 Objem kocky sa rovná tretej mocnine dĺžky jej hrany. V = a. a. a = a 3 Povrch kvádra je súčet obsahov všetkých stien kvádra. S = 2ab + 2bc + 2ac = 2 ( ab + bc + ac ) Objem kvádra sa rovná súčinu jeho troch rozmerov. V = a. b. c Povrch hranola je súčet obsahov jeho dvoch podstáv (ľubovoľný mnohouholník ) a obsahov všetkých bočných stien (tvoria ich štvorce alebo obdĺžniky). S = 2. S p + S pl S p obsah podstavy S pl obsah plášťa Objem hranola je súčin obsahu podstavy a výšky hranola. V = S p. v CVIČENIA Kategória A 1. Vypočítajte objem kocky, ktorej hrana má dĺžku rovnajúcu sa dvojnásobku dĺžky hrany kocky, ktorej objem sa rovná 125 cm 3. 2. Prvá kocka má hranu, ktorej dĺžka je 20 cm, druhá kocka má hranu o 10 % dlhšiu. a) O koľko percent má druhá kocka väčší objem než prvá kocka? b) O koľko percent má druhá kocka väčší povrch než prvá kocka? 3. Určite povrch kocky, ak jej objem sa rovná 101 cm 3. Kategória 1. Vypočítajte povrch a objem kocky s dĺžkou hrany: a) a = 18 cm b) a = 0,6 m c) a = 9,6 dm d) a = 9 cm e) a = 5,3 mm f) a = 0,003 km g) a = 2,64 dm 2. Detská sedačka má tvar kocky. Hrana kocky má dĺžku 3,5 dm. Vypočítajte objem sedačky a to, koľko látky treba na pokrytie stien sedačky. 4. Určite objem kocky, ak sa jej povrch rovná 31,74 dm 2. 3. Kocka má hranu dĺžky 1,2 m. Koľkokrát väčší bude povrch kocky, ak jej hrana

5. Určite povrch a objem kocky, ak obsah jednej steny je 40 cm 2. 6. Povrchy kociek sú v pomere 1 : 4. V akom pomere sú ich objemy? V akom pomere sú ich hrany? 7. Chodník má dĺžku 10 m a šírku 2 m. Je vydláždený žulovými kockami, ktorých hrana má dĺžku 5 cm. a) Vypočítajte hmotnosť všetkých dlažbových kociek v chodníku. (1 dm 3 žuly má hmotnosť 2,8 kg. b) Najmenej na koľkokrát priviezlo kocky nákladné auto, ktoré môže viezť náklad najviac 3 t? 8. Pre istú kocku platí, že jej objem je vyjadrený dvakrát väčším číslom ako jej povrch. Ktorým z čísel 85, 60, 0, 20, 40 je vyjadrená dĺžka hrany tejto kocky? 9. Máme 4 kocky s objemami 1, 8, 27 a 64 cm 3. Aký najväčší a aký najmenší povrch môže mať teleso z nich zlepené? ( Menšiu kocku smieme prilepiť k väčšej len celou stenou. ) 10. Kváder má dĺžku 4 m a prierez tvaru štvorca, ktorého strana má dĺžku 15 cm. Osem týchto kvádrov treba natrieť farbou. Jedna kilogramová plechovka vystačí na 7,5 náteru. Koľko plechoviek farby treba kúpiť? m 2 11. Vypočítajte objem kvádra ABCDA B C D, v ktorom AB = 7 cm, BC = 8 cm, DCD = 52 30. 12. Telesová uhlopriečka u kvádra má veľkosť 10 cm a určuje s uhlopriečkou podstavy uhol φ = 60. Ostrý uhol určený uhlopriečkami podstavy má veľkosť β = 76. Vypočítajte objem kvádra. 13. Na záhradu s výmerou 860 m 2 napršalo 4 mm vody. Koľkými 10 litrovými krhlami by sme rovnako výdatne poliali túto záhradu? bude dvakrát väčšia? 4. Kocka má hranu dĺžky 60 cm. Koľkokrát menší bude povrch kocky, ak jej hrana bude trikrát menšia? 5. Vypočítajte povrch kocky, ktorá je zostavená z 27 malých kociek s dĺžkou hrán 2 cm. 6. Súčet dĺžok hrán kocky je 66 cm. Vypočítajte jej povrch. 7. Prvá kocka má hranu, ktorej dĺžka je 6 cm. Druhá kocka má hranu, ktorá je dvojnásobkom hrany prvej kocky. Koľkokrát je objem druhej kocky väčší než objem prvej kocky? 8.Koľko kociek s hranou dĺžky 0,2 m sa zmestí do kocky, ktorá má hranu dĺžky : a) 0,4 m b) 1 m c) 60 cm? 9. Čo má väčší objem : 7 kociek s hranou 5 cm alebo 4 kocky s hranou 6 cm? 10. Kocka A má hranu dĺžky a, kocka B má hranu dĺžky b. Určte, koľkokrát väčší objem má kocka B ako kocka A, ak ich hrany majú dĺžky : a) a = 4 cm, b = 40 cm b) a = 0,5 m, b = 5 m c) a = 7 cm, b = 2a d) a = 1,2 m, b = 3a. 11. Nádvorie s rozlohou 100 m 2 je vydláždené dubovými kockami s hranou dĺžky 8 cm. Na vydláždenie 1 m 2 sa použilo približne 164 kociek. 1 dm 3 dubového dreva má hmotnosť 0,8 kg. Vypočítajte hmotnosť všetkých kociek, ktoré sa použili na vydláždenie nádvoria. 12. Detská skladačka obsahuje 12 kociek zo smrekového dreva., ktorých hrana má dĺžku 4 cm. Vypočítajte: a) Koľko papiera treba na oblepenie všetkých kociek?

14. Aká hlboká musí byť nádrž tvaru kvádra so šírkou 2,45 m, dĺžkou 3,25 m, ak chceme, aby po naliatí 120 l vody bola hladina 10 cm pod okrajom nádrže? 15. Akú hmotnosť má sklo výkladnej skrine s rozmermi 3 21 m a 2,4 m, hrúbky 12 mm, g ak hustota skla je 2,6 3 cm 16. Zberná nádrž na vodu má tvar kvádra, ktorého podstava má rozmery a = 1,5 m a b = 1,8 m. Hĺbka nádrže je 2,2 m. Voda siaha do výšky 1,6 m. Koľko percent objemu nádrže zaberá voda? (Výsledok zaokrúhlite na dve desatinné miesta. ) 17. V stolitrovom akváriu je 85 l vody. Koľko tehál s rozmermi 10 cm, 5 cm a 20 cm môžeme do akvária poukladať tak, aby sa voda nevyliala? 18. Určite dĺžku hrany kocky, ktorej objem sa rovná 60 % objemu kvádra s rozmermi 4 cm, 5 cm, 6 cm. 19. Korba modelu nákladného auta zhotoveného v pomere 1 : 87 má vnútorné rozmery 70 mm, 25 mm, 9 mm. Vypočítajte jej rozmery v skutočnosti. Koľko m 3 materiálu možno na korbu naložiť, keď 85 % je v úrovni korby a 15 % korbu prevyšuje? 20. Bazén tvaru kvádra je 50 m dlhý a 16 m široký. Napustili doň 12 000 hl vody. Vypočítajte obsah plôch bazénu, ktoré sú vo vode. 21. Dva rozmery kvádra sa zdvojnásobili, tretí zostal bez zmeny. Ako sa zmenil povrch a ako sa zmenil objem kvádra? 22. Aký najväčší a aký najmenší povrch môže mať kváder so štvorcovou podstavou, ktorý sa skladá z 504 kociek s hranou dĺžky 2 cm? 23. Je daný pravidelný štvorboký hranol ABCDEFGH s podstavnou hranou dĺžky? b) Aká je hmotnosť skladačky, keď 1 dm 3 smrekového dreva má hmotnosť 0,5 kg? 13. Vypočítajte povrch a objem kvádra s dĺžkami hrán: a) a = 12 cm, b = 6 cm, c = 20 cm b) a = 0,4 m, b = 0,3 m, c = 1,2 m c) a = 4,2 cm, b = 5dm, c = 2,5 cm 14. Koľko m 2 dlaždičiek spotrebujeme na obloženie stien a dna bazénu dlhého 15 m, širokého 5,5 m a hlbokého 1,5 m? 15. Skriňa má tvar kvádra, ktorého predná stena má rozmery 120 cm a 150 cm, horná stena 120 cm a 60 cm. Skriňa sa zvonku natiera dvakrát farbou. (Nenatiera sa spodná a zadná stena.) Koľko farby sa spotrebuje na natretie skrine, keď 1 kg farby stačí na natretie 8 m 2? 16. Bedňa na odpad má tvar kvádra s rozmermi 1,8 m, 1,5 m, 1,2 m. Denne do nej pribúda 0,25 m 3 odpadu. Za koľko dní sa naplní? 17. Objem kvádra sa rovná 120 cm 3. Dva rozmery kvádra sú 5 cm a 4 cm. Vypočítajte tretí rozmer kvádra. 18. Do akej výšky siaha hladina vody v akváriu, ktoré má rozmery podstavy 80 cm a 45 cm, keď je v ňom 100 l vody? 19. Vyhĺbená jama má tvar kvádra, ktorého rozmery sú a = 12 m, b = 2 m, c = 3,5 m. Koľko m 3 zeminy sa vybralo pri hĺbení jamy? 20. Žiaci kopú na školskom dvore jamu na doskočisko. Jama má tvar kvádra s dĺžkou 4 m, šírkou 2,1 m a hĺbkou 35 cm. Žiaci vykopú za hodinu 0,4 m 3 zeminy. Koľko času treba na vyhĺbenie jamy? 21. Učebňa má rozmery 7 m, 6 m, 3,6 m. Koľko žiakov môže byť v učebni, ak podľa predpisov na jedného žiaka má pripadnúť minimálne 5 m 3 vzduchu?

5 cm a veľkosť uhla φ, ktorý určuje telesová uhlopriečka EC a uhlopriečka AC, je 55. Vypočítajte objem a povrch hranola. 24. Vypočítajte objem a povrch podporného stĺpa tvaru kolmého štvorbokého hranola, ktorého podstavou je kosoštvorec s uhlopriečkami u 1 = 102 cm, u 2 = 64 cm. Výška stĺpa je 1,5 m. 25. Uzavretá lepenková škatuľa má tvar kolmého hranola s podstavou rovnostranného trojuholníka. Hrana podstavy je 25 cm dlhá ; výška škatule je 0,5 m. Vypočítajte, koľko m 2 lepenky treba na zhotovenie 20 takýchto škatúľ, keď treba rátať 5 % na zahnutie. 26. Železný stĺp má takúto podstavu : 22. Koľko kociek s hranou 2 cm sa zmestí do kvádra s rozmermi 4 cm, 6 cm a 10 cm? 23. Koľko kg cementu sa spotrebuje na výrobu betónovej platne 3 m dlhej, 240 cm širokej a 0,4 m vysokej, ak na 1 m 3 betónu treba 250 kg cementu? 24. Odliatok sivej liatiny má tvar kvádra s rozmermi 8 dm, 15 cm, 15 cm. 1 dm 3 sivej liatiny má hmotnosť 7,25 kg. Vypočítajte hmotnosť odliatku. 25. Korba nákladného auta má tvar kvádra s rozmermi 4 m, 2,2 m, 0,8 m. Pri doprave piesku je objem korby naplnený na 85 %. Koľko m 3 piesku naberie auto naraz? 26. Nádrž na vodu má tvar kvádra. Vnútorná dĺžka je 5,2 m, šírka 2,4 m a hĺbka 1,5 m. Koľko litrov vody obsahuje nádrž, ak je naplnená do 5 3 svojej hĺbky? 2m 27. Koľko Sk bude stáť 15 ks dosiek dlhých 6 m, širokých 15 cm a hrubých 25 mm, ak 1 m 3 dosiek stojí 1300 Sk? Zaokrúhli cenu na celé koruny. 2m Výška stĺpa je 5,2 m. Vypočítajte spotrebu železa na odliatie tohoto stĺpa. a) výška hranola je 10 cm. 28. Vypočítajte povrch a objem pravidelného trojbokého hranola s hranou podstavy a = 8 cm a výškou v = 1,4 dm.

4.2 Ihlan. Povrch a objem ihlana. Základné pojmy pravidelný ihlan Teória A- podstava(pravidelný mnohouholník) B- bočné steny(zhodné rovnoramenné trojuholníky) v s - výška steny v- výška(je kolmá na podstavu a prechádza jej stredom) V- vrchol C- bočná hrana D- podstavná hrana nepravidelný ihlan sieť ihlana Nepravidelný ihlan sa od pravidelného líši tým, že jeho podstavu tvorí ľubovoľný mnohouholník a bočné steny rôzne rovnoramenné trojuholníky. Skladá sa z podstavy (n-uholník) trojuholníkov ). Napr. štvorboký ihlan a plášťa (n rovnoramenných povrch ihlana objem ihlana Povrch ihlana je obsah jeho siete. S = S p + S pl Objem ihlana sa rovná jednej tretine zo súčinu obsahu podstavy a výšky (čo je vlastne jedna tretina objemu príslušného n- bokého hranola). V = 3 1 S p. v

Príklad 1 Vypočítajte povrch a objem pravidelného šesťbokého ihlana s hranou podstavy a = 12 cm a výškou v = 20 cm. Riešenie : podstava v = 20 cm v a =? v a a Pytagorova v. v a = 12 cm a 12 2 =6 2 2 +v a 2 V =? ( cm 3 ) a=12cm a =12 cm v a = 10,4cm a S =? ( cm 2 ) 6 trojuholníkov v a =? 1 V = S p v 3 S p...6. obsah trojuholníka 1 a v V = 6 a v = a va v 3 2 =12. 10,4. 20 = 2 496 cm3 S = S p + S pl a v S = 6. a a v + 6. b =3a(v a +v b )..v a -výška podstavy 2 2 v b výška bočnej steny výška telesa -v v b - výška bočnej steny S = 3. 12. ( 10,4 + 22,5 ) S = 1 184 cm 2 v a - výška podstavy v b 2 = v 2 + v a 2 v b 2 =400 +108 v b = 22,5 cm Povrch ihlana je 1184 cm 2. Objem ihlana je 2496 cm 3. Príklad 2 Vypočítajte objem štvorbokého ihlana ABCDV. Jeho podstava je obdĺžnik s rozmermi a = 18 cm, b = 10 cm. Veľkosť uhla určeného výškou bočnej steny BCV a podstavou je 65. A V a = 18 cm tg 65 = v : 9 b = 10 cm v 65 v = 19,3 cm SXV = 65 9 V =? ( cm 3 ) D C V = 31. S p. v S X V = 31. a. b. v = 31. 18. 10. 19,3 = 1 158 cm 3 B

Objem ihlana je 1 158 cm 3. CVIČENIA Kategória A 1.Vypočítajte povrch pravidelného štvorbokého ihlana s podstavnou hranou dĺžky 10 cm a uhlom zovretým podstavnou hranou a bočnou hranou α = 58 20 2. Vypočítajte povrch a objem : a)pravidelného osembokého ihlana s podstavnou hranou dĺžky 6 cm a výškou 9 cm b)pravidelného štvorbokého ihlana s podstavnou hranou dĺžky 7 cm a uhlom určeným dvoma protiľahlými bočnými hranami α = 33 40 3. V pravidelnom štvorbokom ihlane je daná podstavná hrana a = 6 cm a bočná hrana b = 11 cm. Vypočítajte uhol, ktorý zviera bočná hrana s rovinou podstavy, výšku ihlana, objem ihlana. 4. Plášť pravidelného štvorbokého ihlana sa skladá zo štyroch zhodných rovnoramenných trojuholníkov, ktorých ramená majú dĺžku 8 cm a zvierajú uhol α = 56. Vypočítajte, dĺžku podstavnej hrany, povrch ihlana, objem ihlana. 5. Podstava pravidelného ihlana je šesťuholník, ktorému možno opísať kružnicu s polomerom 1 m. Bočná hrana je 2 m. Vypočítajte povrch a objem. 6. Koľko m 2 plechu treba na pokrytie strechy hradnej veže, ktorá má tvar pravidelného päťbokého ihlana s hranou podstavy dĺžky 3,6 m a výškou 2,5 m, ak na zahnutie plechu počítame 8 % povrchu? 7. Slnečník na trhový stánok má tvar pravidelného šesťbokého ihlana s podstavnou hranou dĺžky 125 cm a výškou 40 cm. Vypočítajte množstvo látky, keď počítame 4,5 % na zošitie. Kategória B 1. Vypočítajte povrch pravidelného štvorstena (podstava a steny sú rovnostranné trojuholníky), ktorého hrana a = 4 m. 2. Vypočítajte povrch pravidelného štvorbokého ihlana s podstavnou hranou dĺžky a = 10 cm a výškou v = 7 cm. 3. Vypočítajte objem ihlana, ak : a) podstava je obdĺžnik s rozmermi 24 cm, 13 cm a výška v = 18 cm b) podstava je štvorec so stranou dĺžky 6 dm a výška v = 4 dm c) podstava je obdĺžnik s rozmermi 6 cm, 4 cm a výška v = 0,5 dm d) podstava je rovnostranný trojuholník so stranou a = 5 dm a výška v = 8 dm. 4. Vypočítajte objem Chufewovej pyramídy, ktorého základňa má štvorcový tvar s dĺžkou strany 232,4 m a výška pyramídy je 146,7 m. 5. Vypočítajte povrch a objem pravidelného štvorbokého ihlana, ak hrana podstavy je 45 cm dlhá a výška ihlana je 7 cm. 6. Pravidelný štvorboký ihlan má objem 24 dm 3 a podstavnú hranu a = 4 dm. Vypočítajte jeho výšku. 7. Objem ihlana je 388 cm 3. Podstava je obdĺžnik s rozmermi 26,5 mm, 8 cm. Vypočítajte jeho výšku. 8. Objem pravidelného štvorbokého hranola je 73,5 m 3, výška je 7 m. Vypočítajte obsah a dĺžku strany štvorcovej podstavy. 9. Z kvádra s rozmermi 20 cm, 2 cm, 3 cm sa má vykovať pravidelný štvorboký ihlan s hranou podstavy a = 6 cm. Aká bude jeho výška? 10. Vypočítajte objem pravidelného

8. Vypočítajte, koľko plátna sa spotrebuje na zhotovenie stanu, ktorý má tvar pravidelného štvorbokého ihlana, keď podstavná hrana má dĺžku 1,60 m a výška je 1,70 m. osembokého ihlana, ak kružnica opísaná podstave má polomer r = 5 cm a výška ihlana v = 10 cm.