MATURITA 2007 EXTERNÁ ČASŤ

Transcript

1 PRÍLOHA C Test matematik - úroveň A MATURITA 007 EXTERNÁ ČASŤ M A T E M A T I K A úroveň A kód testu: 400 Test obsahuje 0 úloh. NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! PREČÍTAJTE SI NAJPRV POKYNY K TESTU! V teste sa stretnete s dvoma tpmi úloh: - Pri úlohách s krátkou odpoveďou napíšte jednotlivé číslice výsledku do príslušných políčok odpoveďového hárka. Rešpektujte pritom predtlačenú polohu desatinnej čiark. - Pri úlohách s výberom odpovede vberte správnu odpoveď spomedi niekoľkých ponúkaných možností, ktorých je vžd správna iba jedna. Správnu odpoveď anačte krížikom do príslušného políčka odpoveďového hárka. Z hľadiska hodnotenia sú všetk úloh rovnocenné. Na vpracovanie testu budete mať 0 minút. Pri práci smiete používať iba písacie potreb, kalkulačku a prehľad vorcov, ktorý je súčasťou tohto testu. Nesmiete používať ošit, učebnice ani inú literatúru. Ponámk si robte na pomocný papier. Na obsah pomocného papiera sa pri hodnotení neprihliada. Podrobnejšie pokn na vplňovanie odpoveďového hárka sú na poslednej strane testu. Prečítajte si ich. Pracujte rýchlo, ale sústreďte sa. Želáme Vám veľa úspechov! Začnite pracovať, až keď dostanete pokn! EČ MS 007 4

2 Časť I Vriešte úloh 0 0 a do odpoveďového hárka apíšte vžd iba výsledok nemusíte ho dôvodňovať ani uvádať postup, ako ste k nemu dospeli. Výsledok apisujte do odpoveďového hárka pomocou desatinných čísel. Pri ápise rešpektujte predtlačenú polohu desatinnej čiark. Výsledk uvádajte buď presné, alebo ak je to v adaní úloh uvedené aokrúhlené podľa poknov adania obvkle to bude na dve alebo tri desatinné miesta). Znamienko mínus) napíšte do samostatného políčka pred prvú číslicu. Onačenie jednotiek stupne, metre, minút, ) neapisujte do odpoveďového hárka. Ak je Váš výsledok celé číslo, nevpĺňajte políčka a desatinnou čiarkou. Napríklad výsledok, apíšte, výsledok 5 cm apíšte 5, výsledok 47,9º apíšte 4 7, 9 Obrák slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrt, dĺžk a uhl v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úloh. 0 Z obdĺžnikového kartónu s romermi d cm 0 cm sme urobili škatuľu s objemom 000 cm tak, že každého jeho rohu sme vstrihli štvorec so stranou 5 cm a všné okraje sme ahli. Vpočítajte číslo d. 0 Nájdite hodnotu a R tak, ab priamka s rovnicou = a bola osou súmernosti grafu kvadratickej funkcie f : = Daný je štatistický súbor,, 7,. Vpočítajte geometrický priemer tohto súboru, ak viete, že jeho modus je. 04 Bod A [ ; 6], B [ 4; 5], C [ 8; ], D [ 5; d], sú vrchol rovnobežníka ABCD. Určte druhú súradnicu bodu D. EČ MS 007 4

3 05 V rovnoramennom trojuholníku ABC so ákladňou AB platí BAC = 0, AB = 4. Os vnútorného uhla pri vrchole B pretína stranu AC v bode P. Vpočítajte dĺžku úsečk AP. Výsledok uveďte s presnosťou na dve desatinné miesta. 06 Vpočítajte obsah pravidelného 5-uholníka vpísaného do kružnice s polomerom r = 4. Výsledok uveďte s presnosťou na dve desatinné miesta. 07 Použite vorec α cosα = sin α 45 ) sin pri riešení nasledujúcej úloh: Nájdite uhol α 0 ; 90, pre ktorý sa sin α cosα =. Výsledok uveďte v stupňoch Na obráku je graf funkcie f : = s vnačenými hodnotami všetkých jej lokálnch maím a miním. Nájdite najväčšie a R, pre ktoré má rovnica f ) = a štri rône reálne korene. EČ MS

4 09 Na obráku je graf logaritmickej funkcie f : = b + log. a Nájdite predpis tejto funkcie a do odpoveďového hárka apíšte hodnotu a. 0 Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV s hranou podstav a = a bočnou hranou b =. Určte v stupňoch) odchýlku priamk BV od rovin BCD. V množine všetkých kladných celých čísel nájdite koreň rovnice 6 ) =. Sú dané interval A = ; 5 a B = + 7; 7). Nájdite najväčšiu hodnotu, pre ktorú je prienik A B neprádna množina. Úsečka AC je priemerom kružnice na obráku. Pomer dĺžok oblúkov AB a BC je 7 :. Určte v stupňoch) veľkosť uhla AXB. 4 Na obráku je bod K stredom stran štvorca so stranou dĺžk 8. Vpočítajte obsah vnačeného trojuholníka. EČ MS

5 5 Kváder ABCDEFGH má romer AB =, AE = 4, AD = 6. Vpočítajte vdialenosť bodu E od rovin ADF. 6 Aký najväčší povrch v cm ) môže mať kocka, ktorá sa vreže gule s polomerom 0 cm? 7 Rotačný valec V s polomerom podstav cm má rovnaký objem ako rotačný valec V s polomerom podstav cm. Vpočítajte pomer obsahov plášťov týchto valcov, t. j. hodnotu S S pl pl V ) V ). 8 V podniku XYLOTEX pracuje celkom 80 pracovníkov, ich priemerná mda je M korún. Keb podnik prijal ďalších 0 amestnancov, ktorých priemerná mda b bola S korún, nížila b sa tým celková priemerná mda v podniku o,5 %. S Vpočítajte hodnotu podielu. M 9 Určte počet všetkých kladných trojciferných čísiel, ktoré obsahujú číslicu. 0 Nájdite prirodené číslo, ktoré je deliteľné deviatimi a jeho aokrúhlením na desiatk dostaneme číslo Do odpoveďového hárka apíšte posledné dvojčíslie nájdeného čísla. EČ MS

6 Časť II V každej úloh až 0 je správna práve jedna ponúkaných odpovedí A) až E). Svoju odpoveď anačte krížikom v príslušnom políčku odpoveďového hárka. Obrák slúžia len na ilustráciu, nahradujú vaše náčrt, dĺžk a uhl v nich nemusia presne odpovedať údajom o adania úloh. Ak M je množina všetkých tých hodnôt m R, pre ktoré je eponenciálna funkcia f m + : = rastúca, tak A) C) E) 5 ) 0; ) ) M = ;. M =. M = ;. B) D) = ; ) ; ) M. M =. V nasledujúcej tabuľke sú cen 4 potravinárskch výrobkov v rônch predajniach. predajňa bravčové karé kg) krštálový cukor kg) olej Raciol liter) emiak skoré kg) Tuscon,90 5,90 4,90 9,90 Termos 4,90 9,90 4,90 0,90 Hperstar,90 9,90 4,90 9,90 Bullock 74,90 8,90 4,90 7,90 Kaufhaus,90,90 9,90 9,90 Janko má kúpiť,5 kg bravčového karé, liter oleja Raciol a 5 kg skorých emiakov. V ktorej uvedených predajní bude tento nákup najlacnejší? A) Bullock B) Hperstar C) Kaufhaus D) Termos E) Tuscon Eistuje pre každý trojuholník ABC bod, ktorý má rovnakú vdialenosť od všetkých troch jeho vrcholov A, B, C? A) Nie, taký bod nemusí eistovať. B) Áno, je to priesečník osí strán trojuholníka ABC. C) Áno, je to priesečník ťažníc trojuholníka ABC. D) Áno, je to priesečník osí uhlov trojuholníka ABC. E) Áno, je to priesečník výšok trojuholníka ABC. 4 Nech výrok A, B sú pravdivé a výrok C je nepravdivý. Ktorý nasledujúcich ložených výrokov je pravdivý? A) A B) C B) A B C) C) A B) C D) B C) A E) A C EČ MS

7 5 Daná je kocka ABCDEFGH. Ktorý nasledujúcich vektorov je súčet vektorov BG, CH a EG? A) BH B) BG C) HB D) GB E) AG 6 Pre ktorú hodnotu c R je funkcia f : = 5 + c inverná k funkcii g : = 0, 0? A) c = 50 B) c = 50 C) c = 0 D) c = 0 E) c = 50 6 dostaneme výra 7 Umocnením + nasledujúcich čísel je hodnota D? E F G A B + C + D + +. Ktoré 4 6 A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0 8 Kružnica k je daná rovnicou = 0. Aký obsah má štvorec opísaný tejto kružnici? A) 5 B) 45 C) 90 D) 00 E) Ktorá nasledujúcich množín je definičný obor funkcie f : =? 5 + A) ; 5) ; ) B) ; ) 0,6 ; ) C) 5; ) D) ; 0,6 ) E) ; 5) 0 Ktorá nasledujúcich funkcií má obor hodnôt ; ) A) = 0 B) 0 ) 0? = C) ) = 0 D) = log E) = log KONIEC TESTU EČ MS

8 Prehľad vorcov Mocnin: + a a. a = a. a a = a a ) = a a. b) = a. b = a = a b b a a = a Goniometrické funkcie: sin + cos = sin tg = cos sin =.sin cos cos = cos sin sin 0 π π sin = cos cos = sin Trigonometria: a b c Sínusová veta: = = = r sinα sinβ sin γ log log + log Logaritmus: ) = cos Kosínusová veta: c log = log 0 = a + b ab. cos γ log log k log = k. log log = log n Aritmetická postupnosť: a n = a + n ). d s n = a + a n ) n Geometrická postupnosť:. n q a n = a q sn = a, q q n! n n! Kombinatorika: P n) = n! V k, n) = C k,n) = n k )! k = k! n k )! n! n + k P ' n, n, K, nk ) = k V ' k, n) = n C ' k, n) = n! n! Knk! k Geometrický priemer: n n a a Lan Harmonický priemer: + + L + a a Analtická geometria: Parametrické vjadrenie priamk: r X = A + t u, t R Všeobecná rovnica priamk: + b + c = 0 r r u.v Uhol vektorov: cos ϕ = r r u. v a ; [ a ; b] [ 0; 0] Všeobecná rovnica rovin: a + b + c + d = 0; [ a ; b; c] [ 0; 0; 0] Stredový tvar rovnice kružnice: m) + n) = r Objem a povrch telies: kváder valec ihlan kužeľ guľa objem abc π r v S p v povrch ab + ac + bc) πr r + v ) p pl a n r 4 π v π r S + S πr + πrs 4π r EČ MS