OBSAH Úvod... 5 Hstóra peňazí a fačých trhov... 7 2 Úrokový počet... 3 Jedoduché úrokovae... 2 3. Jedoduchý úrok... 2 3.2 Budúca hodota kaptálu pr jedoducho úrokovaí... 4 3.3 Výpočet úroku z vacerých stí... 7 3.4 Časová hodota peňazí a prcíp fačej ekvvalece... 8 3.5 Dskot... 2 3.6 Vzťah edz úrokovou a dskotou sadzbou... 24 4 Zložeé úrokovae... 28 4. Budúca hodota kaptálu pr zložeo úrokovaí... 28 4.2 Nárast kaptálu pr jedoducho a zložeo úrokovaí... 3 4.3 Frekveca úrokovaa... 32 4.4 Efektíva úroková era... 33 4.5 Dskotovae pr zložeo úrokovaí... 34 5 Zešaé úrokovae... 37 6 Spojté úrokovae... 4 7 Aalýza vestící... 44 8 Vplyv fláce a daňového zaťažea a úrokovú eru... 48 9 Retový počet... 52 Polehotá reta... 54. Dočasá polehotá reta... 54.2 Odložeá polehotá reta... 6.3 Večá polehotá reta... 62.4 p- teríová polehotá reta... 63 Predlehotá reta... 7. Dočasá predlehotá reta... 7.2 Odložeá predlehotá reta... 76.3 Večá predlehotá reta... 77.4 p- teríová predlehotá reta... 78
2 Uorovae dlhu... 84 2. Splácae úveru rovaký splátka... 85 2.2 Splácae úveru vopred daou koštatou autou... 87 2.3 Úor úveru erovaký splátka... 89 3 Faktorg... 93 4 Leasg... 99 5 Forfatg... 9 Lteratúra... 2
ÚVOD Fačá ateatka sa zaoberá aplkáca ateatckých etód vo fačíctve, posťovíctve a podkovej prax. Predkladaá publkáca sa saží zrozuteľý spôsobo vysvetlť základé pojy a prcípy fačých výpočtov. Prvá kaptola obsahuje hstorcký prehľad vzku peňazí a fačých trhov. Ďalše čast sa veujú úrokovéu a retovéu počtu. Po vyedzeí základých pojov a odvodeí dôležtých vzťahov v jedotlvých kaptolách, resp. podkaptolách vždy asledujú rešeé príklady, ktoré deoštrujú vyložeú probleatku. Príklady se sa sažl vybrať aktuále, ktoré reša kokréte úlohy z praxe. Okre rešeých príkladov obsahuje ožstvo úloh a rešee, a ktorých s čtateľ ôže preverť svoje vedoost. Výsledky rešea sú uvedeé v zátvorkách. Posledé tr kaptoly sú veovaé dôležtý aplkácá fačej ateatky v prax ako je uorovae dlhu, leasg, faktorg a forfatg. Publkáca ôže slúžť ako učebca fačej ateatky a stredých školách s ekoocký zaeraí, študeto gyází s výučbou volteľého predetu Fačá ateatka, obchodých akadéí, ale ôže poslúžť aj pre potreby výučby základov fačej ateatky a vysokých školách. Na záver chce poďakovať všetký, ktorí prspel k skvalteu tejto publkáce, predovšetký pracovíko z praxe a recezeto za starostlvé prečítae a prpoeky, ktoré bol zapracovaé do predkladaej publkáce. Autorka
HISTÓRIA PEŇAZÍ A FINANČNÝCH TRHOV Peaze sú uverzále platdlo a slúža ako všeobecý ekvvalet tovaru. Prvýkrát sa objavl v podobe kovových cí v polovc 7. storoča p..l. v Malej Áz. V Európe začal razť ce v 6. storočí p..l. Gréc. Paperové peaze sa začal používať až v. storočí.l. v Číe. V posledej dobe sa rozšírl aj tzv. počítačové peaze, ktoré exstujú le ako elektrocké údaje, prčo platby sa vykoávajú kredtou kartou alebo prostredíctvo počítačovej sete. Z ekoockého hľadska ajú peaze časovú hodotu s klesajúc tredo, t.j. peaze sa časo zehodocujú. Okre toho sa súčasá dspozíca zdrojov vždy cela vac, ako dostuposť tých stých zdrojov v budúcost, preto je prrodzeé požadovať poplatok (úrok) za dočasé poskytovae voľých fačých prostredkov. Úrok, resp. úroková era, podobe ako peaze, ajú svoju hstóru vzku a vývoja. eď s staroveký farár prvýkrát požčal oble, aby ohol kultvovať svoju pôdu, etušl čo s tý odštartoval. Už 3 rokov p..l. požčaval starovekí Suer oble a 33%-ý úrok, strebro a 2%-ý úrok. Výzaý paovík starovekého Babylou Chaurab vydal v roku 8 p..l. zákoík, ktorý reguloval aj fačé trasakce v Babyloe (bakové vklady, šeky, pôžčky, používaé ako prvé ceé papere). Babyločaa tý položl základy fudovaej fačej aktvty, ktorá ala vplyv a forovae fačých systéov počas asledujúcch 2 rokov a teto vplyv pretrváva až do súčasost. Prvé obchodé baky vzkl v 6. storočí p..l. a poskytoval úvery jedotlvco, podkateľo aj vláda. Úroková era sa v toto čase pohybovala edz až 2% a rok, podľa typu pôžčky. V toto období eexstoval orgazovaé fačé trhy, le ekoľko súkroých bák. Pôžčky al dvduály charakter a bol väčšou krátkodobé epresahoval jede rok. V oblast stredozeého ora bol veľ rozšíreé áoré pôžčky, dobre zasteé loďou alebo lodý áklado. Úroková era dosahovala as 3%, ale v prípade vojového koflktu alebo rozšírea prátstva vystúpla a 6 až %. Príspevok Grékov v oblast rozvoja fací bol podstate eší ako u Babyločaov. V 4. storočí p..l. bol rozšíreé v Grécku dobre zasteé pôžčky a ízke 6%-é úroky. Mestské štáty Grécka al ale ízku eru úveruschopost. Raa, ktorých ekooka bola založeá a poľohospodárstve, eal veľký záuje o obchodovae 7
a fačíctvo. Ceľo verejej poltky bolo udržavae ízkych úrokových er. V 3. st. p..l. bola staoveá rísky záko axála hraca úrokov a 8 %. Neskôr 3 sa zvýšla a 2% a ostala rovaká počas ekoľkých storočí. Doktría eorálost úrokovaa pôžčky, ozačovaá ako úžeríctvo, začatko ášho letopočtu ovplyvla vývoj fačíctva a ďalších rokov. Pôžčky sa chápal ako pooc blížeu v údz, teda bolo eorále pržvovať sa a ešťastí ých. Obchodé aktvty začal arastať až v 2. storočí.l. a prspel k rozvoju bakovíctva. Doktría úžeríctva sa ahradla doktríou kopezáce verteľa za poskytovaé fačé prostredky, ale axála hraca úrokovej er bola le 5%. V prebehu 2. a 3. storoča sa rozšírl dva druhy dlhodobých ceých paperov. Prvý bol cesus, ktorý vyjadroval právo vlastíka pôdy a podel z poľohospodárskej prosperty apríklad právo a časť úrody. Cesus sa dal predať, obchodovalo sa s í a vzkuto sekudáro fačo trhu. Cesus je predchodco dešých hypoték. Druhý typ sekudáreho fačého ástroja vzkol v Beátkach, kde sa covalo poskytovae pôžčky zo stray občaov štátu a facovae zdravotíckych služeb. Bol to prvé štáte oblgáce, s ktorý sa dalo obchodovať. Rozvoj fací v Západej Európe začía v 2. storočí.l. a je charakterzovaý obchodovaí s krátkodobý ceý paper. Z dlhodobých ceých paperov sa rozšírl vláde oblgáce a hypotéky a ehuteľost. Mohé bakové aktvty sa uskutočňoval v rác parterských vzťahov, často le v rác rody. Príklado toho bola roda Medc vo Florec. Čleova tejto rody bol výzaí bakár a obchodíc s kotakt v celej Európe, Severej Afrke a a Blízko Východe. Získal rozsahle poľohospodárske usadlost a veľkú poltckú oc v Talasku v 5. storočí. Ako prvá baka založeá vládou vzkla aglcká árodá baka (The bak of Eglad) v roku 654. touto roku sa važu počatky trhu s dlhops vo Veľkej Brtá, keď vláda Vlaa III. vydaí dlhopsov získala ló lber a facovae vojy v severo Fracúzsku. Národá baka prevzala garacu za splatee tohto štáteho dlhu. Idea vlastť akce pochádza tež zo 7. storoča. Obchodíc kupoval podely a jedotlvých obchodých výpravách a rozdeľoval s zsk a koc plavby a základe veľkost podelu. Neskôr zstl, že e je uté akcovú spoločosť rušť po každej 8
plavbe, ale že stačí zastť predaj podelov pôvodých vestorov ový vestoro. Neforály trh s podel bol základo pre vzk Akcovej burzy (Stock of Exchage) v Lodýe v roku 773. Posťove založeé v 7. storočí adobudl výza vďaka súkroý vestoro, ktorí špekuloval s rzko lodých cest. V 8. storočí sa cetro fačíctva stal Asterda. Na Asterdaskej burze sa predával akce veľkých spoločostí, koodty aj oblgáce. Rozšírl sa aj ové fory obchodovaa, ako predaj akrátko a teríové obchody. Zlatou érou fací bolo 9. storoče. Preyselá revolúca presla veľký dopyt po kaptálových vestícách. Vzkal ové spoločost, zavádzal sa ové techológe. Výstavba železíc v USA prťahovala obrovské ožstvo kaptálu, hlave brtského. Lodý ahradl Asterda v úlohe hlavého svetového fačého cetra. Vzkal ďalše dôležté tpy fačých šttúcí (apr. sporteľe, stavebé a úverové spoločost). Pre 2. storoče je charakterstcké rozptýlee fačej oc, dôraz a persoále face a vzk ových fačých ástrojov. Cetru svetového fačíctva sa presúvalo do USA. Čo sa týka vývoja úrokových er v USA, a začatku storoča bol ízke. Málu hodotu 3% dosahl v trdsatych rokoch, ale ostal a relatíve ízkej úrov až do roku 965. v sededesatych rokoch začalo vo fačíctve a ekooke obdobe draatckých ze vyúteých teracoalzácou trhov a troa svetový kríza dlžíkov. Toto obdobe vedlo ku vzku ových pravdel a fačých produktov v podobe fačých dervátov (opce, futurty, swapy), ktoré zaručoval ochrau pred eprazvý vývojo trhu obedzovaí a radeí fačých rzík. Prudko sa eace fačé prostrede ovplyvlo aj tred vývoja úrokových er. Po áhlo áraste (až a 6%) začatko osedesatych rokov astal začatko deväťdesatych rokov ch prudký pokles. Dešé fačé trhy sú edzárodé. Moetále sú pozačeé aerckou hypotekárou krízou, čo spôsobuje ch začú establtu. Výhodou orgazovaého edzárodého fačého trhu však je jedoduchosť a rýchlosť koukáce a prístup k fačý foračý zdrojo. Najväčše fačé cetrá a svete New York, Lodo, Hog og, Sgapure, Zurch, a Toko sú v eustálo spojeí a tvora takto celosvetový fačý trh. 9
2 ÚROOVÝ POČET Úrokový počet je základý ástrojo fačej a postej ateatky. Na jeho základe je založeé veľké ožstvo ekoockých, fačých a postých úvah a prepočtov. Z hľadska verteľa, t. j. subjektu, ktorý poskytuje pôžčku, je úrok odeou za dočasé poskytute voľých peňažých prostredkov. Je to odea za dočasé pozbavee práva dspoovať s peaz, za pokles ch hodoty počas doby pôžčky vplyvo fláce a za rôze rzká spojeé s pôžčkou. Z hľadska dlžíka, t. j. subjektu, ktorý s požčava, je úrok cea za získae úveru. Pre dlžíka je získae úveru príoso, akoľko ôže získaé peňažé prostredky heď použť a ákup potrebých vecí alebo ch vestovať do podkateľskej čost a tak zbohatúť. Aj súčasá svetová ekooka je poháňaá úvero. Ak vyjadríe úrok v percetách p z hodoty kaptálu za časové obdobe, dostaee úrokovú sadzbu. Časové obdobe, po uplyutí ktorého sa prpsujú úroky, sa azýva úroková peróda. Ak vyjadríe úrokovou sadzbou úrok z kaptálu za rok, hovoríe o ročej úrokovej sadzbe. Úrokovou peródou je vtedy jede rok. Ročú úrokovú sadzbu ozačujee p. a. (per au). Napr. úroková sadzba 5 % p. a. zaeá, že verteľ o rok dostae z každého zapožčaého eura 5 cetov. Polročú úrokovú sadzbu ozačujee p.s. (per seestre). Štvrťročú úrokovú sadzbu ozačujee p.q. (per quartale). Mesačú úrokovú sadzbu ozačujee p.. (per ese). Deú úrokovú sadzbu ozačujee p.d. (per de). Ak percetuálu úrokovú sadzbu vyjadríe desatý číslo, hovoríe o úrokovej ere. Doba, počas ktorej sa úroky pravdele prpsujú, sa azýva úrokové obdobe alebo doba splatost. Úroková era sa v prípade vestčých projektov azýva erou zsku alebo výososťou, respektíve výosový perceto. Úrok predstavuje výos. Výška úrokovej ery v kokréto ekoocko prostredí závsí od ožstva faktorov. Najdôležtejší sú : Výška zapožčaého kaptálu - úroková era raste s výškou zapožčaej častky. Nektoré baky používajú pre vklady tzv. pásové úrokovae, kde výška úrokovej ery raste s výškou vložeej častky podľa páse.
Doba pôžčky úroková era v stablých ekookách väčšou raste s dobou pôžčky. V období vysokej fláce tou tak však e je. Rzko pôžčky s rastúc rzko pôžčky úroková era raste. Najeej rzkové sú štáte ceé papere, štáte pokladčé poukážky a štáte dlhopsy. V USA sa azývajú T-blls. Dskotá sadzba je to úroková era, za ktorú cetrála baka (a Slovesku NBS) poskytuje úver ostatý baká. Zvýšee, resp. zížee dskotej sadzby á za ásledok zvýšee, resp. zížee úrokových er v koerčých bakách, ako aj a celo fačo trhu. Prostredíctvo dskotej sadzby cetrála baka pôsobí a zdražovae alebo zlacňovae úverov, a ožstvo peňazí v ekooke, a flácu, a oslabovae alebo posľňovae ey, a teda aj a celkový hospodársky vývoj. Dlhodobejše zžovae dskotej sadzby á za ásledok zlacee úverov, a tý aj podporu ekoockého rastu. Nektoré koerčé baky určujú úrokové ery vkladových produktov a úverov poocou odchýlok od dskotej sadzby. Medzbaková úroková era Stratéga baky Daňová poltka štátu - v SR od..24 platí jedotá 9%-á daň a všetky výosy. V ektorých krajách sú ak zdaňovaé výosy zo štátych ceých paperov, ak výosy z vkladov v bakách a ak kaptálové výosy. Exstujú dva základé typy úrokovaa. Jedoduché úrokovae úroky sa počítajú stále z pôvodého kaptálu. Zložeé úrokovae úroky sa prpočítavajú k pôvodéu kaptálu a spolu s í sa ďalej úroča. Podľa okažku splatost rozdeľujee úrokovae a: - polehoté (dekurzíve) úroky sa vyplácajú a koc úrokového obdoba, - predlehoté (atcpatíve) úroky sa vyplácajú a začatku úrokového obdoba. V asledujúco texte sa budee zaoberať polehotý úrokovaí, ktoré sa v prax využíva ajčastejše.
3 JEDNODUCHÉ ÚROOVANIE Pr jedoducho úrokovaí sa úroky eprpočítavajú k pôvodéu kaptálu a ďalej sa eúroča. Úročí sa stále ba počatočý kaptál. Jedoduché úrokovae sa používa ajčastejše v prípade krátkodobých vestící, ak doba pôžčky je kratša ako jede rok. 3. Jedoduchý úrok Úrok vypočítae podľa vzťahu prčo u je úrok, - počatočý kaptál, p u = = (3.) - úroková era vyjadreá ako desaté číslo, - doba pôžčky vyjadreá v jedotkách úrokovej peródy, p - počet percet v príslušej úrokovej sadzbe. Ak t je doba pôžčky vyjadreá v dňoch, tak (3.) ožo apísať v tvare t u = (3.2) 36 V tejto súvslost sa treba zeť aj o to, že vo vzorc (3.2) ektoré peňažé t ústavy ahrádzajú číslo 36 číslo 365. Zlook 365 tzv. štadardov. t alebo 36 sa staovuje podľa Najpoužívaejší štadard sú:. Štadard 3E / 36 predpokladá, že každý esac á 3 dí a rok á 36 dí 2. Štadard ACT / 36 je založeý a skutočo počte dí v čtatel a dĺžke roka 36 dí v eovatel. 2
3. Štadard ACT / 365 je založeý a skutočo počte dí v čtatel a dĺžke roka 365, resp. 366 dí v eovatel. Platí dohovor, že z dvoch dí zey (deň získaa pôžčky a deň jej splatea) sa do počtu dí úrokového obdoba počíta le jede z ch. Príklad 3. Aký úrok zaplatí dlžík 4. 2. 29, ak s 5. 3. 29 vypožča častku 864 pr 5 %-ej ročej úrokovej sadzbe? Rešee: Pr výpočte dĺžky úrokového obdoba použjee štadard ACT / 365 a z dí zey budee brať do úvahy deň získaa pôžčky. t = 27 + 3 + 3+ 3 + 3+ 3+ 3 + 3+ 3 + 3 = 284 u = t 284 = 864,5 365 365 = 33,63 Úrok bude čť 33,63, dlžík usí vrátť častku v hodote 897,63. Príklad 3.2 Hypotekáry úver a byt vo výške 66 6, ktorý baka poskytla s úrokovou erou 6,5% p. a. je splácaý esačý splátka 65. O koľko zíž hodotu úveru prvá esačá splátka? Rešee. aždá splátka úveru sa skladá z čast, ktorá spláca úrok a z čast, ktorá zžuje dlh. Úrok z celého úveru za jede esac vypočítae podľa vzťahu ( 3. ) po dosadeí hodôt = 666, =, 65, = 2 u = 666.,65 = 36,75 2 Úrok predstavuje 36,75, prvá esačá splátka teda splatí ba 289,25 z hodoty úveru. Príklad 3.3 Výrobca edodržal terí dodaa oke. Podľa zluvy o delo á objedávateľ právo uplatť s peále vo výške,5% za každý deň oeškaa dodávky z fakturovaej cey 3. Aké veľké bude peále, ak dodávka eškala 23 dí? Rešee. Peále vypočítae podľa (3.) ako úrok za 23 dí pr deej úrokovej ere =,5. Poto Peále bude 495. u = 3.,5 23 = 495 3
3.2 Budúca hodota kaptálu pr jedoducho úrokovaí Ak s v bake otvoríe účet s výškou kaptálu a baka platí jedoduchý úrok s ročou úrokovou erou, tak po prvo roku bude a účte sua po druho roku bude a účte sua... Po -to roku bude a účte sua ( ) = + u = + = + ( + ) + = ( ) = + u = 2 2 + ( ) = + (3.3) Hodotu azývae budúcou hodotou počatočého kaptálu. Je to hodota, ktorú dostaee po uplyutí času. Zo vzťahu (3.3) áe = + a teda pr daej výške počatočého kaptálu a úrokovej ere je budúca hodota kaptálu leárou fukcou času. Vď. obr. Obr. Budúca hodota kaptálu 4
Zo základých vzťahov (3.) a (3.3) ožo vypočítať počatočú hodotu kaptálu, dobu uložea kaptálu (dobu splatost) a veľkosť úrokovej ery = ( 3.4 ) + a = = u = u = (3.5 ) (3.6 ) Príklad 3.4 Akú suu usí klet vrátť, ak u bol poskytutý spotrebý úver vo výške 3 jedorazovo splatý za 6 esacov s úrokovou erou 8%p.a. Rešee: Dosadeí do vzťahu (3.3 ) áe 6 = 3 +,8. = 32 2 Za 6 esacov usí klet vrátť 32. Príklad 3.5 let dostal od baky polročý úver vo výške 25 s ročou úrokovou sadzbou % a s podekou, že a svojo bakovo účte usí udržavať aspoň 5% z vypožčaej suy. Aká je skutočá ročá úroková era tohto úveru? Rešee: Dosadeí hodôt = 25, =,, =, 5, p =, 5 do vzťahu (3.) vypočítae úrok, ktorý bude useť klet bake zaplatť. u = 25,,5 = 375 Skutočá hodota prostredkov, s ktorý ôže klet dspoovať je = p = 25,5 25 225 s = Preto skutočá ročá úroková era bude u 375 s = = =,29 s 225,5 Skutočá úroková era daého úveru je 2,9% p.a. 5
Baky často ako podeku k úveru vyžadujú, aby poerá časť úveru bola udržavaá a účte. Toto spôsobuje, že skutočá úroková era úveru je vyšša ako ofcále udávaá hodota, pretože časť úveru je pre kleta praktcky edostupá Príklad 3.6 Akcu oálej hodoty 9 kúpl vestor 2.. 27 za trhovú ceu 7. Dvdedy za rok 27 bol vyplateé v jauár 28 a a jedu akcu predstavoval 2 % z oálej hodoty akce. Aká bola pre vestora skutočá ročá era zsku? Rešee: Po uplyutí času = prese akca vestorov zsk (úrok) 2 % z 9, teda u = 9,2 =,8 Teto zsk vestor získal z kaptálu 7. Zo vzťahu (3.6) pre dostaee = u,8 = = =,257 7 Skutočá era zsku bola pre vestora 2,57 % p. a. Príklad 3.7 Záujeca o kúpu techologckého zaradea á dve ožost. Buď uskutočí kúpu teraz a za zaradee zaplatí 44 alebo ho kúp za 48 o esacov eskôr. Má tež ožosť hotovosť 44 uložť a účet úročeý úrokovou sadzbou 9,5% p.a.. Zstte, ktorá z ožostí je pre záujecu výhodejša. Rešee: Dosadeí hodôt = 44, 5 = =, =, 95 do vzťahu ( 3.3) 2 6 zstíe, ako by sa sua zhodotla a účte počas -tch esacov. 5 = 44 +,95 = 474833 6 Zstl se, že hotovosť vestovaá v bake po dobu esacov, by estačla a ákup techologckého zaradea za 48 o esacov eskôr, preto je výhodejše kúpu uskutočť heď. Príklad 3.8 Za koľko dí vzraste vklad a, ak je úročeý úrokovou erou 5% p.a. a baka používa štadard 3E / 36? Rešee: Dosadeí do vzťahu (3.5 ) áe 6
= = =,2,5 Vklad vzraste za,2 roka, čo po prepočítaí a d pr dao štadarde je 72 dí. 3.3 Výpočet úroku z vacerých stí V bakovej prax sa často počítajú úroky z vacerých stí rôzych hodôt, s rôzou dĺžkou úrokového obdoba, ale s rovakou úrokovou erou. Pr ch výpočte pr jedoducho úrokovaí je výhodé použť tzv. úrokové čísla UC a úrokové deltele UD. Úrokové číslo sa defuje ako t UC =, (3.8) kde je výška kaptálu, ktorý bol uložeý počas t dí. Úrokový delteľ sa defuje ako UD = 36, (3.9) p kde p udáva počet % v ročej úrokovej sadzbe. Uvažuje bežý účet s ročou úrokovou sadzbou p %. Nech kaptál je úročeý t dí, kaptál 2 je úročeý t 2 dí,..., kaptál r je úročeý t r dí. Celkový úrok z kaptálov,..., r bude u = t j p j = 36 r j= t.j. sčítae úrokové čísla jedotlvých stí a výsledok vydelíe úrokový delteľo. r j= UC UD j (3.) Príklad 3.9 Podkateľ al k..27 a účte s úrokovou sadzbou 4% p.a. zostatok 6425. 8.2.27 aň vložl 4 a 4.7.27 z eho vybral 9. Do koca roku už ebol a účte žady pohyb. Aké úroky u prpísala baka a koc roku? Rešee: Úroky sa počítajú z troch rôzych stí, v rôzych úrokových obdobach, ale s rovakou úrokovou erou =, 4. Bude teda výhodé použť UC a UD. Počet dí vypočítae podľa štadardu 3E/36. Jedotlvé sty sú uložeé asledove: = 6425... t = 47 dí 7
u = 3 j= UC UD j = 6425 + 4 2425... t 36 dí UC = 2 = 2 = = 2425 9 425... t 77 dí 3 = + UC 2 UD + UC 3 = 3 = ( 64,25 47 + 24,24 36 + 4,25 77) 9 = 69,96 Zey a účte ôžee zhrúť do tabuľky: Dátu Zostatok v Počet dí UC..27 6 425 47 779,75 8.2.27 2 425 36 27778 4.7.27 425 77 2225,25 3.2.27 425 55 723 Na koc roka prpísala baka a účet úrok 69,96. 3.4 Časová hodota peňazí a prcíp fačej ekvvalece V prax sa často stretávae s úloha, keď jedu fačú povosť treba zaeť ou. Napr. zeť dátu splatost zeky, spojť ekoľko fačých povostí do jedej a pod. Pr rešeí úloh takéhoto typu používae prcíp fačej ekvvalece. Prcíp fačej ekvvalece uožňuje porovávať platby uskutočňovaé v rôzych teríoch tak, že ch vyjadríe k rovakéu dátuu. Teto dátu azývae porovávací alebo referečý dátu. Všeobecá etóda rešea úloh záeou plateb spočíva v zostaveí rovce ekvvalece hodotovej rovce, v ktorej súčet záych plateb k porovávaceu dátuu sa rová ovej ezáej platbe k tou stéu dátuu. Príklad 3. let s dohodol kúpu dou v hodote 2. Zálohu zložl heď pr podpse kúpopredajej zluvy a zvyšú suu á splatť tro splátka do jedého roka pr %-ej ročej úrokovej sadzbe. Prvú splátku vo výške 45 uskutočl heď po esac, ďalších 25 splatl po uplyutí ďalších troch 8
esacov. Aká veľká bola posledá splátka, ktorú vyplatl 9 esacov po podpse zluvy? Rešee: let á doplatť. Pr zostavovaí rovce ekvvalece zoberee za porovávací dátu deň posledej splátky. Ozače výšku posledej splátky A. Pr zostavovaí rovce ekvvalece s poôžee tzv. časový dagrao Z časového dagrau zostavíe rovcu ekvvalece. Budúca hodota dlhu o 9 esacov sa usí rovať súčtu budúcch hodôt jedotlvých splátok. Pre =, dostaee rovcu +, 9 2 = 45 +, A = 33458 Posledá splátka bola vo výške 33 458. 8 2 A = 75 48 2642 + 25 +, 5 2 + A Príklad 3. Dlžík chce vrátť dlh 2 zapožčaý pr úrokovej sadzbe 9%p.a. dvo rovaký splátka s polročý odstupo. Prvú splátku vyrová po polroku odo dňa pôžčky. Aké veľké budú splátky? Rešee: Nech porovávací dátuo je deň pôžčky. Prítoá hodota dlhu je v teto deň 2 a túto hodotu usí ať súčet prítoých hodôt oboch splátok. Ozače veľkosť splátky A. Z dagrau dostaee rovcu ekvvalece: A A 2 = + +,9,5 +,9 A = 67,3 Obe splátky budú v hodote 67,3. 9
Príklad 3.2 Dlžík á splatť zvyšok dlhu, ktorý bol zapožčaý pr úrokovej sadzbe 9% p.a. ešte dvoa splátka. Prvou vo výške 2 o 5 esacov, druhou vo výške o 8 esacov. Rozhode sa dlh vyrovať jedou splátkou o pol roka. Aká veľká bude táto splátka? Rešee: Za porovávajúc dátu s zvolíe dátu vyrovaa dlhu, teda koec šesteho esaca. Hľadaú splátku ozače A. Z časového dagrau zostavíe rovcu ekvvalece v tvare 2 +,9 2 + 2 +,9 2 A = 2942,2 Na koc šesteho esaca dlžík zaplatí 2 942,2. = A 3.5 Dskot Výpočet prítoej hodoty kaptálu v závslost od budúcej hodoty kaptálu sa azýva dskotovae (odúrokovae). Hodotu azývae dskotou hodotou kaptálu. Rozdel edz budúcou hodotou kaptálu a jej prítoou hodotou azývae ateatcký dskoto a ozačujee D. D = = + D = + Ak položíe =, =, dostaee Velča D = = υ + υ = sa azýva dskotý faktor odúročteľ. + (3.) 2
V bakovej prax je zaužívaé (pr krátkodobých ceých paperoch, pr eskote zeek), že úroky, ktoré s baka poecháva vo fore dskotu, sa epočítajú z ožstva peňazí v súčasost, ale z ožstva peňazí v budúcost. Takto určeý dskot sa azýva bakový dskot alebo obchodý dskot. Vď. obr.2 Pr použtí tohto prcípu s dskotou sadzbou % p.a. dlžík obdrží zo zapožčaého eura ba 9 cetov, ale po uplyutí jedého roka usí vrátť celé euro. Bakový dskot ozačujee D b. t Db = d = d (3.2 ) 36 prčo je splatá častka, d - ročá dskotá era, - doba pôžčky vyjadreá v rokoch, t - doba pôžčky vyjadreá v dňoch. Obr.2 Dskot Vyplateá sua z pôžčky ( z oálej hodoty kaptálu), ktorú dlžík skutoče obdrží pr dskoto prcípe je = D b Po dosadeí za alebo D b áe ( d) = (3.3) 2
t = d (3.4) 36 S dskoto sa ožo stretúť pr odkupovaí pohľadávok. Ak fačá šttúca preveze ejakú pohľadávku pred dobou splatost tejto pohľadávky, evyplatí celú výšku pohľadávky, ale stú časť s poechá dopredu ako áhradu. Dskot je teda odea odo dňa odkúpea do dňa splatost pohľadávky. Príklad 3.3 Fačá spoločosť poskytuje úvery s %-ou ročou dskotou sadzbou. let s zobral úver vo výške 5 splatý o 6 esacov. Akú suu dostal od fačej spoločost? Rešee: Dosadeí hodôt = 5, d =,, ( d ) = 6 = = do vzťahu 2 2 áe = 5, = 425 2 letov poskytl suu vo výške 4 25, ale o pol roka usí splatť 5. Príklad 3.4 Fačá spoločosť zakúpla. 7. 28 zeku v oálej hodote, splatú.. 28. Dňa. 9. 28 eskotuje túto zeku v bake, ktorá s účtuje eskotú provízu,5 % z oálej hodoty a á dskotú sadzbu 5,95 % p. a.. Vypočítajte, koľko zaplatí baka fačej spoločost za zeku. 2 Rešee: Dosadeí hodôt =, =, d =, 595 do vzťahu (3.3) 2 áe 2 =,595 2 = 998,333 Vypočítae veľkosť províze p a odčítae ju od Baka zaplatí za zeku 98 958,33. p =,5 = 5 99 8,333 5 = 98958,33 22
Príklad 3.5 Sloveský dovozca portoval záselku vía za 275 od fracúzskeho výrobcu. Sprostredkovaí kotraktu bola povereá sloveská baka, ktorá bola ochotá ručť fracúzskeu vývozcov za jeho pohľadávku, s čí vývozca súhlasl. Po doručeí záselky, 5.2.28 sloveská baka akceptovala zeku a 275 s dátuo splatost 5.4.28. Zeka sa stala bakový akcepto..3.28 vývozca eskotoval teto bakový akcept vo svojej fracúzskej bake s ročou dskotou sadzbou 9%..3.28 fracúzska baka eskotovala zeku v sloveskej bake s ročou dskotou sadzbou 7,8%. Akú suu vyplatla fracúzska baka vývozcov a sloveská baka fracúzskej bake? Rešee: Postupý dosadeí = 275, d =, 9, d 2 =, 78 do vzťahu = ( d ) dostaee: Vývozca od fracúzskej baky obdržal suu: 45 = 275,9 36 = 2796 45 Do vzorca se za dosadl, lebo od dátuu, kedy vývozca eskotoval zeku 36 vo svojej fracúzskej bake (.3.28), do dátuu splatost zeky (5.4.28) uplyulo 45 dí. Fracúzska baka od sloveskej obdržala suu: 36 ' = 275,78 36 = 272855 36 Do vzorca se za dosadl, lebo od dátuu, kedy fracúzska baka eskotovala 36 zeku v sloveskej bake (.3.28), do dátuu splatost zeky (5.4.28) uplyulo 36 dí. Fracúzska baka zaplatla vývozcov za zeku 2796 a sloveská baka vyplatla fracúzskej bake za zeku častku 272855. 23
3.6 Vzťah edz úrokovou a dskotou sadzbou Zaoberaje sa teraz vzťaho edz dskotou a úrokovou sadzbou. Vzťah edz dskotou a úrokovou sadzbou dostaee z asledujúcej úvahy. Súčasú hodotu pr použtí dskotého prcípu vyjadríe ako a pr použtí jedoduchého úrokovaa Ak sa súčasé hodoty rovajú, tak ( d) = = + ( d) = + a odtaľ d = ( 3.5 ) d alebo aalogcky d = ( 3.6 ) + Príklad 3.6 Akou ročou úrokovou erou sa zhodotí 9-esačý depoztý certfkát v oálej hodote s dskotou sadzbou 6,5 % p. a..? 9 Rešee: Dosadeí d =,65, = =, 75 do vzťahu (3.5 ) dostaee 2 d,65 = = =,683 d,65,75 Depoztý certfkát sa zhodotí 6,83 % p. a.. Pozáka: Všeobece platí, že > d. Pr odkupovaí zeek s fačé šttúce okre dskotu strhú aj apulačý poplatok, zrážky za prevod zeky a é. Sua týchto zrážok sa azýva ážo. 24
ÚLOHY NA RIEŠENIE:. Na akú suu vzraste počatočý kaptál 8 5 pr úrokovej sadzbe 6,5% p.a. od 2.7. do 5.2.? [8 736 ] 2. Aký veľký úver ôže poskytúť baka kletov, ak doba splatost je 6 esacov a po tejto dobe bude ať klet a splácae úveru a úroku k dspozící. Ročá úroková sadzba je 8,5 % p.a.. [959 2,33 ] 3. Baka poskytuje a vkladoch %-ý ročý úrok. Akú suu usíte des uložť, aby ste o esacov ohl zaplatť dovoleku v hodote 7? [64 22 ] 4. Za ako dlho prese vklad 5 pr 8%-ej ročej úrokovej sadzbe úrok 3? [3 esace] 5. let s 4.. 27 a účet v bake vložl 45. Peaze pláuje vybrať 8..27. oľko s bude ôcť v teto deň vybrať, ak baka poúka úrokovú sadzbu % p.a. a euvažujee zdaee? [487 9,73 ] 6. Zstte, ktorá z asledujúcch ožostí je pre vestora výhodejša, ak á záuje o kúpu bytu. Uskutočť kúpu teraz a za byt zaplatť 2, alebo počkať pol roka a za byt zaplatť 25. Ivestor á ožosť hotovosť 2 uložť a polročý terovaý účet s úrokovou sadzbou 9% p.a.. [ =22 7, teda. ožosť je výhodejša] 7. Dlžík Vá poúka 2 ožost splatea svojho dlhu:. zaplatť o 5 esacov 2. zaplatť o esacov torá z ožostí je pre Vás výhodejša pr úrokovej sadzbe 3% p.a.? [2. ožosť je pre ás výhodejša] 25
8. let s vypožčal.7.28 suu 3, ktorú chce splatť dvo rovaký splátka. Prvá bude 5..28 a druhá 3.5.29. Úroková sadzba pôžčky je % p.a. Aká bude veľkosť splátok? [68 87 ] 9. let s vypožčal suu 25 pr 6,8%-ej ročej úrokovej sadzbe. O esac splatl časť dlhu vo výške 5, o ďalše 2 esace zaplatl 7. Zvyšok dlhu chce splatť jedou splátkou o esacov od dátuu pôžčky. Aká bude výška posledej splátky? [38 84 ]. Pôžčku áe splatť dvo splátka. Prvá splátka je apláovaá o 3 esace vo výške 2, druhá o 9 esacov vo výške 35. Rozhodee sa pôžčku splatť jedou splátkou o 7 esacov. Aká bude jej výška, ak ročá úroková sadzba je 7%? [55 63 ]. Zstte, ktorý z asledujúcch úverov je výhodejší pre dlžíka. Úver založeý a eskote zeky splatej o 3 esace s oálou hodotou 5 pr dskotej sadzbe 8% p.a. Úver založeý a jedoducho úrokovaí s ročou úrokovou sadzbou 8% p.a., prčo o 3 esace usí byť splateá sua 5. [2. ožosť je pre dlžíka výhodejša] 2. Baka prjala k eskotu zeku a suu 3 5 splatú o 7 esacov. Ročá dskotá sadzba je 8,5%. oľko vyplatí baka pr eskote zeky jej ajteľov, ak s okre dskotu účtuje aj provízu,5% z oálej hodoty tejto zeky? [3 324 78 ] 3. Spoločosť A vydala zeku a suu č splatú 5.2.28. Spoločosť B ju odkúpla 6.5.27 pr dskotej sadzbe % p.a.. Dňa 27.6.27 však zeku odpredala pr dskotej sadzbe 9,8% p.a.. Akú ročú 26
eru zsku realzovala spoločosť B pr tejto trasakc? [,9%] 4. Baka dskotuje zeku oálej hodoty 25 splatú o rok pr dskotej sadzbe 9,8% p.a. Aká úroková era zodpovedá tejto trasakc? [,86] 5. Baka odkúpla v te stý deň dve zeky pr rovakej ročej dskotej sadzbe. Za obe zaplatla rovakú suu. Prvá zeka ala oálu hodotu a bola splatá o 2 esace, druhá ala oálu hodotu a bola splatá o 3 esace. Vypočítajte výšku dskotej sadzby. [,7%] 27
4 ZLOŽENÉ ÚROOVANIE Pr zložeo úrokovaí sa úroky prpočítavajú k pôvodéu kaptálu a spolu s í sa ďalej úroča. Zložeé úrokovae sa používa väčšou vtedy, ak úrokové obdobe je dlhše ako úroková peróda. V obchodej prax je to ajä v prípade dlhodobých vestící, v prípade dlhodobých ceých paperov a pod.. 4. Budúca hodota kaptálu pr zložeo úrokovaí Nech je - počatočá hodota kaptálu, - úroková era pre daú úrokovú peródu, - dĺžka úrokového obdoba vyjadreá v jedotkách úrokovej peródy, - hodota kaptálu po úrokových peródach. Zstíe, aký bude stav kaptálu po úrokových peródach pr použtí zložeého úrokovaa. Nech kaptál a začatku prvej peródy je. = + u = + = + aptál a koc prvej peródy bude ( ) aptál a koc druhej peródy bude = + = ( + ) = ( + ) 2 2 + 3 = 2 + 2 = 2 + = aptál a koc tretej peródy bude ( ) ( ) 3 aptál a koc -tej peródy bude = ( + ).... Velču azývae budúcou hodotou kaptálu, velču azývae prítoou (súčasou, počatočou) hodotou kaptálu. Na ch výpočet budee používať vzťahy ( ) = + (4.) 28
( + ) ( + ) = = (4.2) Súčasá hodota á hovorí, aký veľký kaptál usíe des uložť, aby se po čase, pr úrokovej ere a za predpokladu kaptalzáce úrokov, dosahl kaptál. Veľký výza súčasej hodoty tkve v to, že á uožňuje porovávať kaptál v čase. Súčasá hodota á uožňuje rozhodúť, aký spôsobo áe aložť s hotovosťou. Postupujee tak, že porováe súčasú hodotu budúcch príjov z vestíce s jej ceou, prčo uvažujee úrokovú sadzbu, pr ktorej by se ohl daú hotovosť uložť. Ak bude súčasá hodota budúcch príjov z vestíce vyšša ež jej cea, vestíca je výhodá. Naopak, ak bude súčasá hodota budúcch príjov žša ako cea vestíce, je lepše evestovať. Zo základého vzťahu (4.) ožo získať vzťah pre výpočet úrokovej ery, resp. výosost a vzťah a výpočet dĺžky uložea kaptálu = (4.3) l l = (4.4) l ( + ) V prax sa používajú aproxáce pre prblžé určee počtu rokov potrebých k zdvojásobeu resp. strojásobeu základu pr ročej úrokovej sadzbe p %: pravdlo 72- počet rokov pre zdvojásobee základu 72 p pravdlo 69- počet rokov pre zdvojásobee základu 69 +,35 p pravdlo - počet rokov pre strojásobee základu +,52 p 29
Príklad 4.. let s v bake uložl suu 8 pr ročej úrokovej sadzbe 8%. Aká bude výška tohto kaptálu po 6 rokoch? Rešee: Úlohu budee rešť poocou vzťahu (4.) pre = 8, =, 8 a = 6. Poto = 8 aptál po 6 rokoch vzraste a 2 695. ( +,8) 6 = 2695 Príklad 4.2 Za akú dobu vzraste vklad 2 pr úrokovej sadzbe 2% p.a. a 2 5? Rešee: Dosadeí = 2, = 25, =, 2 do (4.4) áe l l l 25 l 2 = = =,96 l( + ) l( +,2) Vklad sa zvýš a 2 5 prblže za 2 roky. Príklad 4.3 Zahračá fra kúpla ehuteľosť za 8. Prto 4 zaplatla okažte a ďalej vystavla zeku a 3 splatú o rok. Aká zeka splatá o 2 roky splatí zvyšok dlhu, ak s verteľ účtuje úrokovú sadzbu 8 % p.a.? Rešee: Fra á doplatť 4. Pr zostavovaí rovce ekvvalece vezee za porovávací dátu deň kúpy ehuteľost. 3 4 = + +,8 ( +,8) 2 2 = 4,8 3,8 = 2 29 6 Druhá zeka usí byť v oálej hodote 2 29 6. 4.2 Nárast kaptálu pr jedoducho a zložeo úrokovaí Porovaje teraz árast kaptálu pr jedoducho a zložeo úrokovaí. Pr jedoducho úrokovaí je daý vzťaho = ( + ), teda je leárou fukcou času. Pr zložeo úrokovaí je árast kaptálu daý vzťaho = ( + ), teda 3
je expoecálou fukcou. Pre = je v oboch prípadoch výsledý kaptál ( ) = +. Vyjadre ( + ) poocou bockého rozvoja: ( ) ( ) ( 2) 2 ( + ) = + + +! 2! 3! Pre < < ôžee zaedbať vyšše čley. Poto ( + ) Pre < < je ( + ) Pre = ( ) 2 + + 2! < + 3 + a teda ( + ) < ( + ) je ( + ) = + a ( + ) = ( + ) Pre > je ( + ) > + Stuácu zázoríe a asledujúco obrázku. a ( + ) > ( + ) Obr.3 Nárast kaptálu pr jedoducho a zložeo úrokovaí Z uvedeého vyplýva, že ak doba uložea kaptálu je kratša ako jeda úroková peróda, je pre sporteľa výhodejše použť jedoduché úrokovae, zataľ čo pr dlhšej dobe uložea kaptálu je výhodejše použť zložeé úrokovae. 3
4.3 Frekveca úrokovaa (úrokovae s koverza) V prax sa často stretávae s prípad, že prpsovae úrokov prebeha častejše ež jedekrát za rok. To zaeá, že úroková peróda je apr. esačá, štvrťročá, polročá. Predpokladaje, že k prpsovau úrokov dochádza -krát roče. Dobu edz dvoa asledujúc prpsovaa úrokov azývae koverzou. Teda počet koverzí je. Postup výpočtu kaptálu v rác jedého roka po uplyutí, 2,, častí roka je asledový: 2 = + = = + + = + = + = = + + = + kde je počatočý kaptál, je oála ročá úroková era, 2 je úroková era za jedu -tu roka. Z uvedeého vyplýva, že stav kaptálu po rokoch, ak prpsujee úrok -krát roče, je = + (4.5) Pr prpsovaí úroku -krát do roka pre výpočet doby splatost platí l l = l + (4.6 ) Príklad 4.4 Nájdte budúcu hodotu vkladu 2 uložeého v bake a 6 rokov pr úrokovej sadzbe 8% p.a, ak baka prpsuje úroky a účte esače. Rešee: Dosadeí = 2, = 6, = 2, =, 8 do vzťahu ( 4.5) áe 2 6 =,8 2 + 2 Hodota vkladu po 6 rokoch bude 3 277. = 3227 32
4.4 Efektíva úroková era Nech je oála úroková era pr ročých koverzách. Poto ročá úroková era e, ktorá za jede rok poskytuje te stý výos sa azýva efektíva úroková era. Z tejto defíce pre e platí ( ) e + = + e + (4.7) = Ročá efektíva úroková era á hovorí, aká veľká ročá úroková era pr ročo prpsovaí úrokov zodpovedá ročej úrokovej ere pr častejšo prpsovaí úrokov. Preto sa používa a porovae rôzych oálych úrokových er, ktoré sa líša frekvecou prpsovaa úrokov. Vzhľado a (4.7) vždy platí e. Efektíva úroková era so zvyšujúcou sa frekvecou prpsovaa úrokov raste. Z uvedeého vyplýva, že čí častejše sa počas roka úroky prpsujú, tý je to pre vkladateľa výhodejše. Príklad 4.5 Vypočítajte efektíve úrokové ery, ktoré zodpovedajú úrokovej sadzbe 9% p.a., ak úroky sú prpsovaé a) polroče b) štvrťroče c) esače Rešee: Pre =, 9 dosadíe do vzťahu ( 4.7) postupe = 2, = 4 a = 2, Poto 2,9 a) e = + =, 92... 9,2% 2,9 b) e = + =, 93... 9,3% 4 4 33
2,9 c) e = + =, 938... 9,38% 2 Vdíe, že efektíva úroková era so zvyšujúcou sa frekvecou prpsovaa úrokov skutoče raste. 4.5 Dskotovae pr zložeo úrokovaí Mateatcký dskot je rozdel edz budúcou a prítoou hodotou kaptálu, čo pr zložeo úrokovaí predstavuje D prčo velča = = = ( + ) ( + ) υ = je dskotý faktor. + = Bakový (obchodý) dskot je úrok zo splatej častky sadzbe d. Pre dostaee b ( ) ( υ ) pr daej dskotej = d (4.8 ) ( ) ( d ) = ( d ) D = = Zaoberaje sa teraz vzťaho edz dskotou erou d a úrokovou erou. Pre prítoé hodoty platí = a = ( + ) ( d ) Úroková era a dskotá era d budú ekvvaleté, ak sa rovajú prítoé hodoty pr tej stej splatej častke a rovako období. Platí teda Poto ( + ) = ( d ) d = (4.9) d 34
d = = υ + ( 4. ) Príklad 4.6 Fačá spoločosť poskytuje úvery s 8%-ou ročou dskotou sadzbou. let s zobral úver vo výške 3 splatý o 2 roky. Akú suu dostal od fačej spoločost? Rešee: Úlohu reše dosadeí d =, 8, = 3, = 2 do vzťahu ( ) = d. Poto 2 (,8) 25392 = 3 = let od fačej spoločost dostal suu 25 392. Príklad 4.7 Fačá spoločosť zakúpla zeku v oálej hodote 25 splatú o 3 roky. Po roku zeku eskotuje v bake, ktorá s účtuje eskotú provízu,5 % z oálej hodoty a dskotú sadzbu 6,5% p.a.. Vypočítajte, koľko zaplatí baka fačej spoločost za zeku. Rešee: Úlohu reše dosadeí = 25, = 2 a d =, 65 do vzťahu ( ) = d. Poto 2 (,65) 28556 = 25 = Vypočítae provízu P, ktorú s účtuje baka za eskot zeky: P =,5 25 = 25 Suu S, ktorú vyplatí baka za zeku vypočítae ako rozdel a P: S = 28556 25 = 2843 Baka fačej spoločost za zeku zaplatí 28 43. ÚLOHY NA RIEŠENIE:. let s otvorl v bake účet a vložl aň 6. Po dvoch rokoch z účtu vybral 3 5. Akú suu bude ať a účte po ďalších 5 rokoch, ak baka poskytuje úrokovú sadzbu 9% p.a.? [23 864 ] 35
2. Zstte budúcu hodotu vkladu 2 uložeého v bake pr 9,5%-ej ročej úrokovej sadzbe a dobu rokov, ak úroky sú prpsovaé: a) polroče b) štvrťroče c) esače. [3 357, 3 686, 3 93 ] 3. Zstte výšku úrokovej sadzby a výšku počatočého kaptálu, ak po 2 rokoch sa zúročl a a po ďalších 2 rokoch a 8 pr zložeo úrokovaí a ročo prpsovaí úrokov. [3,92%, 926 ] 4. Pr akej ročej úrokovej sadzbe sa zdvojásobí uložeý kaptál pr zložeo úrokovaí a ročo prpsovaí úrokov za 5 rokov? [4,87%] 5. let dlhuje fačej šttúc 8 splatých za rok a splatých za 2 roky. Dspouje dostatočý fačý oboso a preto chce vyrovať dlh okažte. oľko zaplatí ak úroková era pôžčky bola 9 % p.a. s ročý úročeí a úver ôže byť splateý predčase bez sakc. [57 562 ] 6. Otec odkázal svoj tro syo 8, prčo každý á pr dovŕšeí 8 rokov dostať rovaký podel. Peaze sú uložeé a účte úročeo 4,5 % p.a. s ročý prpsovaí úrokov. oľko dostae každý sy, ak teraz ajú, 2 a 6 rokov? [33574,7 ] 7. let s chce uložť v bake stú suu peňazí a 2 roky. torá ožosť je pre eho výhodejša? a) systé opakovaých polročých teríovaých vkladov pr úrokovej sadzbe 9,2% p.a. b) systé opakovaých trojesačých teríovaých vkladov pr úrokovej sadzbe 9,% p.a. [ ožosť b) je výhodejša] 36
5 ZMIEŠANÉ ÚROOVANIE Predpokladaje, že doba splatost vyjadreá v rokoch e je celé číslo. Pr aalýze vývoja splatej častky v závslost od času se zstl, že pre verteľa je výhodejše použť jedoduché úrokovae, ak je doba splatost kratša ako jede rok. Pr dlhšo období je výhodejše použť zložeé úrokovae. Teto fakt akceptuje zešaé úrokovae. Zešaé úrokovae je kobácou jedoduchého a zložeého úrokovaa. Predpokladaje, že úroky sa prpsujú a koc roka. Nech dobu splatost ožo apísať = + t, kde je prrodzeé číslo udávajúce počet rokov a t je číslo eše ako, ozačujúce ecelú časť roka. oečú výšku kaptálu za dobu určíe tak, že ajskôr vypočítae zložeý úrokovaí výšku kaptálu po rokoch a tú poto za t tu časť roka úrokujee jedoduchý úrokovaí. Dostaee ( + ) ( t) = + (5.) V prípade, že by se a výpočet koečej výšky kaptálu použl vzťah ( ) = + s tý, že za dosadíe racoále číslo, dostal by se koečú výšku kaptálu žšu. Baky prpsujú úroky z vkladov väčšou k tou stéu dátuu. Vtedy uvažujee presahovae celočíselého ásobku úrokovej peródy a začatku aj a koc doby splatost. Nech = t + + t2. Poto ( + t ) ( + ) ( + t ) = (5.2) 2 kde t < je ecelá časť úrokovej peródy a začatku doby splatost a t 2 < je ecelá časť úrokovej peródy a koc doby splatost. Doteraz se uvažoval, že úroky sa prpsujú jedekrát a koc úrokového obdoba. Predpokladaje teraz, že úroky sa prpsujú krát do roka a doba splatost e je celé číslo. Nech = + t, kde je počet ukočeých t roku, počas ktorých je kaptál uložeý a t je číslo eše ež ta roka. oečú výšku kaptálu za dobu 37
určíe tak, že ajprv vypočítae zložeý úrokovaí výšku kaptálu po úrokových obdobach a tú poto jedoduchý úrokovaí úrokujee za dobu t. Dostaee + = + ( t) (5.3) Zo vzťahov (5.) a (5.2) ožo vyjadrť ostaté velčy. Príklad 5.. let s 27..24 uložl v bake 25. Na akú suu vzrástol teto vklad do 2.2.27 pr úrokovej sadzbe 4% p.a., ak euvažujee zdaee? Rešee. Dosaďe = 25, =, 95. Stuácu zázore grafcky Poto 34 42 = t + + t2 = + 2 + a využjee vzťah 36 36 ( + t ) ( + ) ( + t ) = 2. 34 = 25 +,4 36 Vklad počas uložeej doby vzrástol a 2726,88. 42 36 2 ( +,4) +,4 = 2726, 88 Príklad 5.2. let s uložl v bake suu 49 a 5 rokov a 4 esace. Na akú suu vzraste teto vklad pr úrokovej sadzbe % p.a., ak úroky sú prpsovaé štvrťroče? Rešee: Zo zadaa áe = 49, = 5 4 + = 2, Úlohu reše dosadeí do vzťahu ( 5.3 ). Poto, = 49 + +, = 8298,5 4 2 Vklad počas uložeej doby vzraste a suu 8298,5. 2 t =, =,, = 4 2 Príklad 5.3. Za akú dlhú dobu (prese a d) vzraste sua 8 a 5 pr úrokovej sadzbe 6% p.a. s polročý prpsovaí úrokov? 38
Rešee: Zo zadaa áe = 8, =, 6, = 2 Príklad budee rešť v dvoch krokoch:. Použjee zložeé úrokovae ( počet polrokov). = + l l = l + l5 l8 = = 9,99,6 l + 2 2. Použjee zešaé úrokovae. Za zoberee celočíselý počet úrokovacích x období, teda = 9. Za t dosadíe, kde x je zostávajúc počet dí, počas 36 ktorých sa používa jedoduché úrokovae. = + x + 36,6 5 = 8 + 2 x = 35,5 9 x +,6 36 Vklad 8 sa zúročí a 5 za 4,5 roka a 36 dí. ÚLOHY NA RIEŠENIE:. oľko bude ať klet a dôchodkovo účte po 2 rokoch a 4 esacoch, ak aň des uložl suu 25 pr ročej úrokovej sadzbe 4,5%? [277 ] 2. Zstte výšku kaptálu 85 uložeého v bake a rok, esacov a dí s ročou úrokovou sadzbou 8,25% a s esačý úročeí. [27,4 ] 39
3. Počas akej doby (vypočítaej prese a d) vzraste vklad a 2 ak je uložeý pr úrokovej ere 4 % p.a. s polročý prpsovaí úrokov [ 4roky 6 esacov 37dí] 4. oľko je potrebé des uložť do baky, ak s o 4 esacov chcee kúpť otorku za 4? Ročá úroková sadzba je 7,9% a baka uplatňuje štvrťročé úročee. [365,8 ] 4
6 SPOJITÉ ÚROOVANIE Vo všetkých doterajších úvahách se predpokladal, že úroky sa počítajú v dskrétych časových okahoch. Ukázal se, že efektíva úroková era raste s frekvecou prpsovaa úrokov. Proces úrokovaa, v ktoro počet koverzí v roku raste do ekoeča, t. j. proces úrokovaa, pr ktoro sa úrokovae uskutočňuje v časových tervaloch blížacch sa k ule, sa azýva spojté úrokovae. Odvoďe vzťah pre výpočet budúcej hodoty kaptálu po čase. Ozače ( ) = oálu úrokovú eru v závslost od. Velču = l ( ) δ azývae úrokovou teztou, resp. úrokovou sadzbou spojtého úrokovaa. Vzhľado a defícu spojtého úrokovaa určíe budúcu hodotu zodpovedajúcu prítoej hodote vzťaho δ l + = a teda = l δ + δ = e (6.) δ Velču e azývae úrokový faktoro spojtého úrokovaa. Zo vzťahu (6.) ožo vyjadrť vzťah pre výpočet počatočej hodoty kaptálu, dobu uložea kaptálu (dobu splatost) a teztu úrokovaaδ = e δ (6.2) l l δ = (6.3) l l = (6.4) δ 4
Pozáka: Z praktckého hľadska je edz deý prpsovaí úrokov a spojtý úrokovaí zaedbateľý rozdel. Treba však podotkúť, že použte vzorcov spojtého úrokovaa je pr ohých výpočtoch jedoduchše ako použte aalogckých vzorcov zložeého úrokovaa. Pre zodpovedajúce velčy zložeého a spojtého úrokovaa plata vzťahy = e d (6.5) ( ) δ = l + (6.6) υ = = e + δ Príklad 6.. Nájdte budúcu hodotu kaptálu 5 uložeého v bake a 2 roky a 5 esacov prčo úroková sadzba spojtého úrokovae je 7%. 5 Rešee: Zo zadaa áe = 5, = 2 + = 2, 46, δ =, 7 2 Dosadeí do vzťahu (6.) áe Budúca hodota kaptálu je 36,9. = 5 e,7 2,46 = 36,9 Príklad 6.2. Cea ehuteľost vzrástla zo suy 4 5 a 6, prčo cey ehuteľostí podľa realtých aklérov rástl 6% roče. Za akú dlhú dobu astal teto árast cey? Rešee: Využjee spojté úrokovae, prčo = 45, = 6, δ =,6. Poto l l =. δ l 6 l 45 = = 4,8,6 Vzrast astal počas 4,8 roku. 42
ÚLOHY NA RIEŠENIE:. aptál vzrástol za 6 rokov pr spojto úrokovaí s úrokovou sadzbou 6% a. Akú výšku al kaptál v čase uložea do baky? [6976,8 ] 2. Aká ročá úroková era pr spojto úrokovaí zodpovedá ročej úrokovej ere 4,4% p.a. pr zložeo úrokovaí? [4,35 % ] 3. Akú dlhú dobu je potrebé echať suu 3 v bake pr spojto úrokovaí s úrokovou sadzbou 6,5%, ak s chcee kúpť rodý do za 49. [7,5 roka] 43
7 ANALÝZA INVESTÍCIÍ V ďalšo sa budee zaoberať základ vestčej aalýzy. Ivestíca je väčšou tvoreá systéo peňažých tokov rozložeých v čase. Peňažé toky predstavujú postuposť príjov a výdajov. Príjy vstupujú do vzorcov s kladý zaeko, výdaje so záporý zaeko. Aby se ohl sústavy peňažých tokov porovávať, usíe ch hodoty prepočítať k jedéu časovéu okahu, k porovávaceu dátuu. Vyhodotee vestčých projektov ožo robť a základe: čstej súčasej hodoty, vútorého výosového perceta, doby ávratost. Nkdy však esee zaedbať rzko a stupeň lkvdty vestíce. Čstá súčasá hodota NPV (Net Preset Value) je súčet dskotovaých príjov a výdavkov (s prhladutí a ch zaeko) k porovávaceu dátuu. Za teto referečý dátu sa bere súčasá časová pozíca. Nech C j sú peňažé toky realzovaé a koc j-teho roku pre j=,,,. Nech je požadovaá ročá výososť vestíce, rovaká počas celej doby vestíce, vo všetkých prípadoch - ak s vestor peaze vypožčava, ak ch vestuje alebo ch sá požčava. Poto čstú súčasú hodotu vypočítae zo vzťahu NPV ( ) = C C + C 2 + + + + (7.) C 2 ( + ) ( + ) Podotýkae, že C j ôžu byť aj záporé. Veľ často je záporé C, akoľko väčša vestící začía výdajo, apr. ákupo ehuteľostí, ceých paperov, strojých zaradeí. Pr posudzovaí projektu postupujee asledove: Ak NPV( ) >, projekt je pre vestora výhodý. Ak NPV( )<, projekt je pre vestora evýhodý. Ak NPV( ) =, projekt je kraje akceptovateľý. Na výpočet čstej súčasej hodoty ožo použť počítačový software typu EXCEL. 44
Veľa vestčých rozhodutí je založeých a výbere spoedz ekoľkých vzájoe sa vylučujúcch alteratív. Ak postupujee etódou čstej súčasej hodoty, upredostíe alteratívu s ajväčšou kladou NVP. Ak áe vybrať spoedz vacerých vestčých varatov ajvýhodejší, často prto využívae tzv. vútoré výosové perceto. Postupujee tak, že hľadáe pre každý vestčý varat takú úrokovú eru, pr ktorej sa bude súčet súčasých hodôt všetkých tokov z vestíce rovať ule, teda NPV =. Túto úrokovú eru azývae vútoré výosové perceto alebo vútorá era výosost. Je to teda tá úroková era, ktorá vyhovuje rovc. C C2 C C + + + + = (7.2) + 2 ( + ) ( + ) Ak pre každý vestčý varat vypočítae príslušé vútoré výosové perceto, vyberee tú alteratívu, ktorej prslúcha ajväčše vútoré výosové perceto. Pozáka. Rovcu (7.2) ožo le zredkavo rešť algebracky. Ak jej ľavá straa je ootóou fukcou úrokovej ery, rešee je jedoduché. Rovca (7.2) á koreň práve vtedy, ak exstujú také hodoty a 2, že po dosadeí za do ľavej stray rovce dostaee hodoty s opačý zaeka. V tako prípade výos leží edz a 2 a určíe ho apríklad leárou terpolácou alebo etódou pokusov a oylov. Doba ávratost projektu je čas potrebý a opätové získae vestovaých prostredkov z peňažých tokov projektu. Projekt je akceptovateľý, keď á dobu ávratost kratšu ako je hračá doba určeá aažeto. Pr porovávaí vacerých projektov preferujee vestícu, ktorá á ajkratšu dobu ávratost. Príklad 7. Jedorazová vestíca vo výške prese fačej spoločost o rok výos 4, o dva roky výos 456 a o tr roky výos 492. Zstte, č daá vestíca bola pre fačú spoločosť výhodá, ak porovateľý 45
kaptál bol a kaptálovo trhu v tej dobe zhodocovaý 3 % p. a.. Ak áo, vpočítajte výos tohto projektu. Rešee: Pr vyhodocovaí projektu použjee vzťah (7.), prčo C =, C = 4, C2 = 456, C3 = 492, =, 3. Poto 4 456 492 NPV = + + + 2 3,3,3,3 NPV = 6927 NPV > Čstá súčasá hodota je kladá, teda vestíca je výhodá. Vútorú eru zsku vypočítae podľa vzťahu (7.2). Rovcu 4 456 492 + + + 3 + ( + ) ( + ) reše rovcu etódou pokus oyl. Pre =, 5 áe Pre =, 2 2 dostaee 2 = 4 456 492 + + + 3 +,5 ( +,5) ( +,5) 2 = 4 456 492 + + + = 3 +,2 ( +,2) ( +,2) 2 2482 56944 Rovca á koreň, lebo exstujú hodoty a 2 také, že po dosadeí do ľavej stray rovce dostaee hodoty s opačý zaeka. Vútoré výosové perceto sa achádza edz hodota a 2 a zstíe ho etódou pokusu a oylu. Pre =, 65 áe 4 456 492 + + + = 3 +,65 ( +,65) ( +,65) Vútoré výosové perceto bude rové prblže 6,45% p.a. 2 926 Príklad 7.2 Fra á dve ožost ako vestovať kaptál :. Jedorázová vestíca prese počas asledujúcch 6 rokov postupe výos 24 o rok, 25 o dva roky, 27 a koc treteho a štvrtého roku, 26 o pať rokov a 22 o šesť rokov. 2. Jedorázová vestíca prese počas asledujúcch 6 rokov výos 25 roče. 46
Zstte, ktorá vestíca je pre spoločosť výhodejša Rešee: Pre obe vestíce vypočítae vútoré výosové perceto V prvo prípade C =, C 24, C 25, C 27, C 27, = C 5 = 26, C 6 = 22 Vútoré výosové perceto vypočítae podľa vzťahu (7.2). Dostaee rovcu 24 25 27 27 26 22 + + + + + + + 6 2 = 3 = 3 4 5 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 2 = Výpočto etódou pokus oyl, alebo využtí EXCELu dostaee =,328, teda výos v prvo prípade je 3,8%. V prípade druhej vestíce C =, C = C = C = C = C = C 25. 2 3 4 5 6 = Vútoré výosové perceto vypočítae podľa vzťahu ( 7.2). Dostaee rovcu 25 25 25 25 25 25 + + + + + + + 6 3 4 5 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 2 = Výpočto dostaee =,298, teda výos v druho prípade je 2,98%. Z výpočtu vyplýva, že prvá alteratíva je pre fru výhodejša, akoľko dáva vyšší výos. 4 = ÚLOHY NA RIEŠENIE:. Ivestor očakáva, že daá vestíca u prese asledujúce peňažé toky v. Obdobe 2 3 4 5 Peňažé toky - 5 2 2 2 2 2 Určte vútoré výosové perceto a čstú súčasú hodotu pr požadovao výose 5 % p,a.. [=6,3%, NPV= -977] 2. Od vestíce do techologckého zaradea s dobou žvotost rokov očakávate stablé výosy roče počas celej žvotost. Celkové prevádzkové áklady predstavujú 6 roče. Akú suu ste ochotý des zaplatť, ak požadujete výos ále 2 % roče a a koc žvotost usíte zaplatť za lkvdácu zaradea 2. [64 469] 47
8 VPLYV INFLÁCIE A DAŇOVÉHO ZAŤAŽENIA NA ÚROOVÚ MIERU Úrokové sadzby, o ktorých se doteraz hovorl, sú tzv. oále úrokové sadzby, to zaeá také, pr ktorých se ezohľadňoval flácu. Ifláca je pokles hodoty peňazí v dôsledku rastu ce. Zvyčaje sa era poocou ceových dexov založeých a aloobchodej cee spotrebého koša vybraých tovarov a služeb. Mera fláce za ejaké obdobe je relatíva zea ceového dexu za toto obdobe. Pr porovávaí fláce rôzych štátov sa era fláce odvodzuje od poeru oáleho a reáleho hrubého doáceho produktu, azývaého deflátor hrubého doáceho produktu. Mera fláce sa ajčastejše uvažuje za kaledáry rok. Ifláca, ktorá zehodocuje peaze, saozreje zehodocuje aj úroky. Ak zahree do hodoty úrokovej ery aj flácu, hovoríe o reálej úrokovej ere. Nech r je reála výška kaptálu a koc úrokového obdoba, r je reála úroková era, je era fláce, je kaptál a začatku úrokového obdoba, je oála úroková era. Poto reálu výšku kaptálu a koc úrokového obdoba vypočítae tak, že ajprv počatočý kaptál úrokujee oálou úrokovou erou, a poto dskotujee erou fláce. Dostaee r = ( + ) (8.) + Reálu výšku kaptálu získae aj tak, že počatočý kaptál úrokujee reálou úrokovou erou. Dostaee ( ) r = + r (8.2) Porovaí (8.) a (8.2) dostaee Z toho dostaee Fscherovu rovcu + ( + ) = ( ) + = + + r r r 48
Pre ízke hodoty r a zaedbávae aproxovať. a reálu úrokovú eru ožo r (8.3) r V predchádzajúcch výpočtoch se euvažoval o zdaeí. Počítal se výšku úrokov (výos) pred zdaeí, teda hrubý výos. Úrokové výosy však podlehajú zdaeu. Ak od hrubého výosu odpočítae daň, dostaee čstý výos. V SR je od.. 24 9 %-á daň z výosov. Podľa predchádzajúcch častí hrubý výos pr jedoducho úrokovaí vypočítae u =. kde Čstý výos bude u. č = s d ( d ) uč = s (8.4) d s je daňová sadzba vyjadreá ako desaté číslo. Z toho čstá ročá výososť u. č č = = ( ) č d s ( d ) s = (8.5) Príklad 8.. Vypočítajte čstú ročú výososť, ktorú dosahe klet, ak s a začatku roku uložl v bake suu 5 a 6 esacov pr úrokovej sadzbe % p.a. Po šestch esacoch peaze vybral a vložl ch a 6- esačý teríovaý vklad pr úrokovej sadzbe 2,5% p.a. Úroky z vkladov podlehajú 9%-ej da. Rešee: Zo zadaa áe = 5, 5 =,, =,, 2 =, 5, 2 =, 25, d =,9, = +. s 2 = Hodotu kaptálu po roku vypočítae tak, že počatočý kaptál ajskôr zúročíe o 6 esacov s úrokovou erou a túto suu áslede zúročíe o ďalších 6 esacov s úrokovou erou 2 č [ + (,9),,5] [ + (,9),25,5] 646, 5 = 5 = Vypočítae čstú ročú výososť: 49
uc č c = = 646,5 5 c = =,974 5 let dosahe čstú ročú výososť 9,74%. Príklad 8.2. Akú suu usíe des vložť a účet do baky, ak o 5 rokov potrebujee vybrať 5. Úroky sú prpsovaé štvrťroče pr ročej úrokovej sadzbe 8% a úroky podlehajú 9%-ej da. Rešee: Úlohu reše poocou vzťahu pre výpočet budúcej hodoty kaptálu pr zložeo úrokovaí s koverza roče: ( d ) s = + Odtaľ vyjadríe a dosadeí = 5, = 5, = 4, =, 8, d s =, 9 áe 5 = = = 36256,5 4 5 ( d s ),8 (,9) + + 4 Na účet je potrebé vložť 362 56,5. ÚLOHY NA RIEŠENIE:. let uložl 25. 25 do baky kaptál 95 pr úrokovej sadzbe 8% p.a.. 26.. 27 všetok kaptál z účtu vybral a áslede ho vložl a ý účet s úrokovou sadzbou 8,9% p.a. Akú čstú výososť dosahe klet do dešého dňa, ak úroky z vkladu podlehajú 9%-ej da? 2. Na trojročý terovaý vklad klet vložl suu 25. oľko bude ôcť po 3 rokoch vybrať, ak úroky sú prpsovaé esače pr 5 %-ej ročej úrokovej sadzbe a úrok podleha 9%-ej da? [28223,9 ] 5