! ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: 0 < 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. 0 Όλες οι πόλυς τιμές είι θετικές ή μηδέ ( 0 0). 3.. Οι τίθετοι ριθμοί (ποσότης) έχου τη ίδι πόλυτη τιμή. 5. 6. θ ±θ με θ > 0 Γείκευση > 0 ± 0 0 < 0 δυτη 7. ή 8. θ θ < < θ με θ > 0 < Γείκευση < > 0 0 < < Αδύ τη 9. > θ > θ ή < θ Γείκευση > > 0 0 < 0 < 0 όριστη ή > Γείκευση...... 10. β β β 11. β 0 β 1. β + β + β 1 1 3 + β + β εά μόο οι ριθμοί είι ομόσημοι ή ές πό τους δύο είι 0. + β β εά μόο οι ριθμοί είι ερόσημοι ή ές πό τους δύο είι 0. 13. 1 + +... + 1 + +... + 1. +... + 0... 0 1 + 1
ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΑΠΟΛΥΤΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1: Εξισώσεις που περιέχου πόλυτο μις πράστσης όχι πράτση του έξω πό το πόλυτο. ) Λύουμε ως προς το πόλυτο ± > 0 β) Εφρμόζουμε τη ιδιότητ 0 0 Αδύτη < 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) ii) 3 5 iii) + 1 iv) 3 + 1 6 v) + 1 0 vi) + 1 0 vii) 1 + + 1 0 viii) 3 + 3 1 i) + 5 3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις της μορφής ή κ ) Εά έχουμε στ μέλη της ισότητς ομόσημες πρστάσεις τις κάουμε θετικές εφρμόζουμε τη ιδιότητ ή - β) Εά οι πρστάσεις είι ερόσημες η μόη περίπτωση ισχύει η ισότητ είι τ δύο μέλη είι 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) + 1 ii) 3 + 1 1 iii) + 3 1 iv) 1 + 1 v) 3 3 + ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3: Αισώσεις που περιέχου πόλυτο μις πράστσης όχι πράστση του έξω πό το πόλυτο. ) Λύουμε ως προς το πόλυτο. λ β) Εά κτλήξουμε ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) < 1 ii) > iii) 1 < 6 > 0 < 0 > > 0 0 < 0 Αδύ τη < < όριστη > 0 iv) 3 1 > 9 v) + 1 8 > 0 ή < ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Αισώσεις όπου το πόλυτο βρίσκετι μετξύ δύο ριθμώ β Έχουμε διπλή ίσωση η οποί μεττρέπετι i) β κ ii) Λύουμε κάθε ίσωση β ξεχωριστά σύμφω με τη περίπτωση 3. iii) Βρίσκουμε που συληθεύου οι ισώσεις.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) 1 < 1 < 3 ii) 1 < 1 3 iii) 1 iv) 0 < 3 + ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5: Εξισώσεις ή ισώσεις που περιέχου πολλές φορές τη πόλυτη τιμή όχι πράστση του έξω πό τ πόλυτ. Στις περιπτώσεις υτές εργζόμσ ως εξής: ) Θέτω y το πόλυτο. β) Βρίσκω το y γ) Βρίσκω το πό τη ισότητ y πόλυτο ( 1Α 3) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι τίθες πρστάσεις έχου τη ίδι πόλυτη τιμή, 1 1, 1 1 κ.λ.π. + 1 5 + 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + + 3 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) + < ii) > iii) 3 3 3 3 3 5 5 3 1 3 8 + 3 iv) 3 > 1 + 1 v) < + 3 3 3 15 5 3 + 3 + 1 + 1 1 5 1 + 1 vi) 1 vii) 1 viii) + 1 3 `3 3 3 3 i) 5 3 ( 3) ( + 1) + + + 0 ) + 3 1 3 3 3 3 3 3 3 i) < + 3 10 5 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 6: Εξισώσεις ισώσεις με πόλυτ πρστάσεις του έξω πό τ πόλυτ. ) Κτσκευάζω πίκ προσήμω τω πρστάσεω που είι σε πόλυτη τιμή. β) Απλοποιώ τ πόλυτ λύω κτά περίπτωση. γ) Προσοχή στις περιπτώσεις που περώ πρέπει σε κάθε διάστημ που έχω: ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ: Δέκς είι οι λύσεις που ήκου στο τίστοιχο διάστημ που εξετάζω. ΣΤΗΝ ΑΝΙΣΩΣΗ: Κάω συλήθευση ισώσεω που προκύπτου πό τη λύση της ίσωσης πό το περιορισμό που έχω πό τη ρχή στο. δ) Οι λικές λύσεις είι όλες οι λύσεις που πήρμε πό τις επιμέρους περιπτώσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Ν λυθεί η εξίσωση 1 + ) Βρίσκω τ πρόσημ τω πρστάσεω που είι μέσ στ πόλυτ. 1 0 1 0 β) Ο πίκς προσήμω είι: 1-1 - O + + - + + O - i) Α <1-1<0 άρ 1 ( 1) ->0 άρ
Η εξίσωση γίετι ( 1) + ( ) + 1 1 5 5 Η λύση υτή δε είι δεκτή 1 5 0 ii) Α 1 1 > 0 ρ > 0 ρ 1 1 Η εξίσωση γίετι ( 1) + ( ) 1 Η λύση υτή είι δεκτή 1 3 3 3 iii) Α > 1 > 0 < 0 ρ ρ 1 ( 1) ( ) Η εξίσωση γίετι ( 1) ( ) 1 + + 1 + 5 5 Η λύση υτή είι δεκτή 5 1 Οι λύσεις της εξίσωσης είι 3 5 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Εά κτά τη λύση της εξίσωσης δε βρούμε κμιά λύση δεκτή η εξίσωση δε έχει κμιά λύση δηλδή είι δύτη. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ο : Ν λυθεί η ίσωση 1+ < ) Κτσκευάζουμε το πίκ προσήμω 1 τω πρστάσεω που είι μέσ στ πόλυτ. -1-0 + + - + + 0 - β) Λύω τη ίσωση κτά περίπτωση ( 1) + ( ) < i)ότ <1 η ίσωση γίετι (-1)+(-)< < 1 < 1 < 5 > 5 1 5 < 1 < 1 < 1 Δε υπάρχου κοιές λύσεις
( 1) + ( ) < ii)ότ 1 η ίσωση γίετι 1 > 3 1 3 1 1 + < 1 < + 1 1 1 3 iii) Α > η ίσωση γίετι (-1)-(-)< + < 1 + > < 5 < 5 > > άρ 3 < ( 1) ( ) < 1 + < > > 5 #"! οι κοιές λύσεις Επομέως οι λύσεις της ίσωσης είι < < 5 ή (, 5 ) ΟΛΕΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΕΙΝΑΙ ( 3, ] U (, 5 ) ( 3, 5 ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Προσοχή στις λύσεις της ίσωσης μζεύουμε όλες τις λύσεις που βρήκμε σε κάθε περίπτωση. ΔΕΝ ΚΑΝΟΥΜΕ ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ: i) + + 0 ii) + + 1 3 iii) 3 + 1 > 0 iv) 1 < + 1 v) 3 + 1 1 < ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 7: Εξίσωση πολύτω με άθροισμ πόλυτω ίσο 0. Κάθε έ πό τ πόλυτ πρέπει είι 0 +... + 0... 0 1 + 1 3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 8: Απλοποίηση πρστάσεω με πόλυτ. ) Βρίσκουμε τις ρίζες τω πρστάσεω που είι μέσ στ πόλυτ. β) Κτσκευάζουμε πικάκι γ) Βρίσκουμε τ πρόσημ κάθε πράστσης. δ) Δικρίουμε σες περιπτώσεις σε όσ διστήμτ έχει χωρισί ο άξος πό τις ρίζες. ε) Σε κάθε περίπτωση ξέρουμε το πρόσημο τω πρστάσεω επομέως μπορούμε πλοποιήσουμε τ πόλυτ.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1) Τ διστήμτ άρ οι περιπτώσεις είι μι περισσόρη πό τις ρίζες Ρίζες Διστήμτ 0 1 1 3 3 κ. λ. π. ) Στο πικάκι σε κάθε κουτάκι πρέπει υπάρχει έ πρόσημο 3) Πρόσημο του +β β ριζ +β ερό- Ομόσημο του σημο του ) 1 0 1 +1-0 + + + - - 0 + + 1- + + + 0 - A 3 + 1 + 3 1 ) Ρίζες + 1 0 0 0 1 0 1 1 β) Περιπτώσεις: i) < 1 ii) 1 0 iii) 0 < < 1 iv) 1 ΑΣΚΗΣΗ: Ν πλοποιηθού οι πρστάσεις i) A + 1 1 B 3 + 1 + 3 Γ 1 + 3 + 1 1 1 + 3 3 6 + E + 1 + 1