. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i, iii κι v. Η πράστση ii δεν είνι πολυώνυμο του γιτί ο εκθέτης του δεν είνι φυσικός ριθμός. Η πράστση iv δεν είνι πολυώνυμο του γιτί ο εκθέτης του δεν είνι φυσικός. Η vi δεν είνι πολυώνυμο του γιτί τ κι δεν έχουν εκθέτη φυσικό ριθμό. Γι ν είνι μι πράστση πολυώνυμο πρέπει ν είνι:. της μορφής: ν χ ν ν- χ ν- χ,. το ν ν είνι ένς φυσικός ριθμός κι,,,..., ν ν είνι πργμτικοί ριθμοί 9
. Δίνοντι τ πολυώνυμ P, Q, i. P Q ii. P F iii. Q P iv. F 5. Ν βρεθούν: F( P ), κθώς κι ο βθμός των πολυωνύμων που προκύπτουν. i. P [ ] Q ( ) Το πολυώνυμο που προκύπτει είνι το μηδενικό έχει βθμό. 6 R κι δεν ii. P F 5. Το πολυώνυμο που προκύπτει είνι το στθερό μη μηδενικό μηδενικού βθμού. iii. Q P ( )( ) A 6, που είνι 6 6 8 8 8 6. Το πολυώνυμο που προκύπτει είνι το: 6 B 8 6 κι είνι 6 ου βθμού. ( ) iv. F P F 5 8 ( ) 8 5 8 8 Γ 5 Το πολυώνυμο που προκύπτει είνι 8 8 ου βθμού., που είνι Ότν μς ζητούν ν βρούμε το βθμό ενός πολυωνύμου:. Βρίσκω τον μεγλύτερο εκθέτη στον οποίο είνι υψωμένο το χ. Ο εκθέτης υτός είνι κι ο βθμός του πολυωνύμου.. Κάθε στθερό κι μη μηδενικό πολυώνυμο Q() c έχει βθμό.. Γι το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζετι βθμός.. Ν εξετάσετε ποιοι πό τους ριθμούς που δίνοντι είνι ρίζες των ντίστοιχων πολυωνύμων: i. P,,,. ii. Q,,,,.
i. () P P P Άρ μόνο το είνι ρίζ του. P ii. Q () Q 8 Q Q Άρ το κι το χ είνι ρίζ του P.. Αν, ν βρείτε το f 5 f, όπου: Γι ν είνι ρίζ ενός πολυωνύμου ο ριθμός ρ πρέπει P P ρ. Από γνωστή τυτότητ έχουμε:. Άρ f 5 5 5 9 a. Άρ. 9 f 5. Έστω το πολυώνυμο 5 Ρ.. Ν βρείτε τον στθερό όρο του Ρ. β. Ν βρείτε το άθροισμ των συντελεστών του Ρ. Ότν μς ζητούν ν βρούμε την τιμή ενός πολυωνύμου γι χ κ. Βάζουμε στην θέση του χ το κ κι το ποτέλεσμ που βρίσκουμε είνι η ζητούμενη τιμή.
. Ό στθερός όρος του Ρ ισούτι με την τιμή του, δηλδή το Ρ ( ). Ρ. 5 Είνι: Ρ γι β. Το άθροισμ των συντελεστών του Ρ ισούτι με την τιμή του Ρ γι δηλδή το Ρ(). Είνι: 5 Ρ. () η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μς ζητούν ν βρεθούν οι τιμές κάποιων πρμέτρων ώστε ν ισχύει μι σχέση. Ν βρείτε γι ποιες τιμές των κ, λ κι μ τ πολυώνυμ P λ λκ μλ κι Q ( μλ ) κλ είνι ίσ. P Τ πολυώνυμ κι Q είνι ίσ ν κι μόνο ν: λ μ λ λ μ ( λ κ) λ κ μ λ κ λ κ λ λ μ μ λ λ κ λ κ λ κ λ Άρ μ, λ κι κ. ( λ μ) Ότν μς ζητούν ν βρούμε τις τιμές κάποιων πρμέτρων ώστε δύο πολυώνυμ ν είνι ίσ:. πρέπει οι συντελεστές των ντίστοιχων ομοβάθμιων όρων ν είνι ίσοι. ότν στο έν πολυώνυμο υπάρχει όρος χ κ κι στο άλλο δεν υπάρχει όρος του ιδίου βθμού τότε πρέπει.
. Γι ποιες τιμές των, β, γ το πολυώνυμο P πίρνει τη μορφή βγ γ; Έστω Q β γ γ β γ γ Θ είνι P Q μόνο ότν ( κι κι β γ κι γ ) ( κι β γ κι γ ) (, β, γ ). Ν βρείτε την τιμή του λ R γι την οποί το πολυώνυμο P ( λ ) ( λ λ ) λ είνι το μηδενικό πολυώνυμο. Το P θ είνι το μηδενικό πολυώνυμο γι εκείνες τις τιμές του λ γι τις οποίες συνληθεύουν (φού όλοι οι συντελεστές πρέπει ν είνι μηδέν) οι εξισώσεις λ, ( λ λ ) κι λ Δηλδή οι τιμές του λ που ζητάμε θ είνι οι κοινές ρίζες ή η κοινή ρίζ των πρπάνω εξισώσεων. Έχουμε λοιπόν: λ λ λ λ ( λ ή λ ) λ ( λ ή λ ) Η κοινή ρίζ των εξισώσεων υτών είνι ο λ. Άρ γι το πολυώνυμο P είνι το μηδενικό πολυώνυμο. λ. Ν ποδείξετε ότι το πολυώνυμο P ( κ ) ( λ 6) κλ είνι διάφορο του μηδενικού πολυωνύμου. Το P θ ήτν το μηδενικό πολυώνυμο γι τις τιμές εκείνες των κ κι λ γι τις οποίες θ συνλήθευν οι εξισώσεις: κ (), λ 6 () κι κ λ () Ότν μς ζητούν ν βρούμε τις τιμές κάποιων πρμέτρων ώστε το έν πολυώνυμο P ν πίρνει την μορφή του πολυωνύμου Q:. φέρνουμε κι τ δύο πολυώνυμ στην μορφή: ν χ ν ν- χ ν- χ,. βρίσκουμε τις τιμές των πρμέτρων ώστε ν είνι ίσ. Ότν μς ζητούν ν βρούμε τις τιμές κάποιων πρμέτρων ώστε έν πολυώνυμο ν είνι το μηδενικό:. φέρνουμε το πολυώνυμο στην μορφή: ν χ ν ν- χ ν- χ,. πρέπει όλοι οι συντελεστές ν, ν-,, ν είνι ίσοι με το μηδέν.
Οι εξισώσεις () κι () δίνουν κ κι λ. Πρτηρούμε όμως ότι οι τιμές υτές δεν επληθεύουν την εξίσωση (), φού. Επειδή λοιπόν δεν υπάρχουν τιμές γι τους κ κι λ, ώστε ν συνληθεύουν οι εξισώσεις (), () κι (), το P είνι διάφορο πό το μηδενικό πολυώνυμο. 5. Με τη βοήθει της τυτότητς ( βγ) ( β ) ( βγ ) ( γ ) β γ βγ ν ποδείξετε ότι, ν β γ βγ κι βγ, το πολυώνυμο P ( β ) ( βγ ) ( γ ) είνι το μηδενικό πολυώνυμο. Επειδή είνι β γ βγ, έχουμε β γ βγ, [ ] ( β γ)( β) ( β γ) ( γ ) άρ οπότε, φού β γ, είνι ( β) ( β γ) ( γ ), δηλδή ( β κι β γ κι γ ) Τελικά προκύπτει β γ, οπότε το P γράφετι: P Άρ το P είνι το μηδενικό πολυώνυμο. Ότν μς ζητούν ότι έν πολυώνυμο που περιέχει πράμετρο δεν είνι το μηδενικό:. φέρνουμε το πολυώνυμο στην μορφή: ν χ ν ν- χ ν- χ,. ποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχει τιμή της πρμέτρου ώστε όλοι οι συντελεστές ν, ν-,, ν είνι ίσοι με το μηδέν 6. Ν βρείτε τ, β ώστε το πολυώνυμο Ρ β β 6 ν είνι στθερό. Το Ρ είνι στθερό ότν οι συντελεστές του μηδέν. Δηλδή: κι είνι β κι β 6 () Είνι: β ( β) ή β
Γι η () γίνετι: β 6 β 6 β Γι β η () γίνετι: β β 6 β 6 β οπότε κι Άρ: ( κι β ) ή ( κι β ) P β 7. Γι ποιες τιμές των, β το πολυώνυμο έχει ρίζ το κι γι πίρνει την τιμή 5; Ότν μς ζητούν ν βρούμε τις τιμές κάποιων πρμέτρων ώστε έν πολυώνυμο ν είνι το στθερ: Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε P κι P 5. Λύνουμε λοιπόν το σύστημ P() ( β ) β P( ) 5 8 ( β ) 5 8 β 6 β (, β ) β 8. φέρνουμε το πολυώνυμο στην μορφή: ν χ ν ν- χ ν- χ,. πρέπει όλοι οι συντελεστές ν, ν-, ν είνι ίσοι με το μηδέν κι το 8. Δίνετι το πολυώνυμο P β β β. Αν η τιμή του πολυωνύμου P γι είνι ίση με, τότε: ) ν βρεθούν οι τιμές των κι β, β) ν βρεθεί ο βθμός του P, γ) ν βρεθεί το πολυώνυμο Q P P( ). ) Σύμφων με την εκφώνηση είνι: P β β β () β β Γι ν βρούμε τις τιμές των κι β πρτηρούμε ότι: β β β β ( ) ( β ) ( κι β ) β) Γι β είνι βθμού. Ρ. Άρ το 5 P είνι πρώτου Τονίζουμε ότι σε περιπτώσεις που πό μί εξίσωση πρέπει ν βρούμε περισσότερους πό ένν γνώστους πρέπει ν ντρέξουμε σε μεθόδους, όπως υτή που κολουθήσμε στην διπλνή άσκηση.
γ) Είνι: P ( ) ( ) Q P( P( ) ) P( ) ( ) 7 9. Ν δείξετε ότι, ν το πολυώνυμο P β β έχει ρίζ το, τότε το πολυώνυμο Q β έχει ρίζ το. Επειδή το είνι ρίζ του P, ισχύει: P () β β β () Γι ν είνι το ρίζ του Q, ρκεί Q ( ). Q β β β ( β ), λόγω της (). Γι ν είνι ρίζ ενός πολυωνύμου P ο ριθμός ρ πρέπει P ( ρ ). η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μς ζητούν ν βρεθεί ο βθμός ενός πολυωνύμου που περιέχει πράμετρο.. Ν βρείτε το βθμό του πολυωνύμου P λ λ λ λ γι τις διάφορες τιμές του λ. Το πολυώνυμο P γράφετι: P λ( λ ) ( λ ) ( λ ) λ( λ )( λ ) ( λ )( λ ) ( λ ) Επειδή ο βθμός ενός πολυωνύμου δεν εξρτάτι μόνο πό τον μεγιστοβάθμιο εκθέτη του, λλά κι πό το ν ο συντελεστής του είνι μηδέν ή όχι, έχουμε ότι: ν P λ ( λ )( λ ), δηλδή ν ( λ κι λ κι λ ), το είνι ου βθμού, 6