4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και στη συνέχεια διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου. Αν σε κάποιο στάδιο πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα μέλη με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της ανίσωσης. ος τρόπος : Αν θέλω να λύσω την ανίσωση με τη βοήθεια του πίνακα πρόσημου τότε λύνω την αντίστοιχη εξίσωση και στη συνέχεια βάζω τη ρίζα στο πινακάκι. Για τα πρόσημα ισχύει ότι δεξιά από το 0 είναι ομόσημο του α ενώ αριστερά ετερόσημο του α. Δηλ. - 1 + α+β ετερόσημο α 0 ομόσημο α π.χ.1 Να λυθεί και με τους τρόπους η ανίσωση : 3 18 0 Λύση: 1 ος 3 18 0 3 18 6 ή (,6] Λύση: ος Έχω 3 18 0 3 18 6-6 + ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : -3+18 + 0 - Άρα επειδή θέλω 3 18 0 τότε (,6] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1 : Για να βρούμε τις κοινές δυο (ή περισσοτέρων) ανισώσεων, τις λύνουμε ξεχωριστά και παριστάνουμε τις λύσεις τους στον ίδιο άξονα αριθμών. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Για να λύσουμε μια διπλή ανίσωση ( ) ( ) ( ), λύνουμε ξεχωριστά τις ανισώσεις ( ) ( ) και ( ) ( ) και βρίσκουμε τις κοινές τους λύσεις. 1. (Άσκηση 1 σελ. 104 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 1 3 4 6 ii. 1 3 4 iii. 1 5 10 5 Λύση : i. 1 3 1 1 3 1 1 1 6( 1) 3( 3) 4 6 4 6 3 3 6 6 6 9 1 3 10 3 ή, 10 10 ii. 1 3 4 1 3 4 4 4 4 ( 1) 3 4 4 4 4 3 4 0 1 αδύνατη iii. 1 10 1 10 10 10 10 5 10 5 5 10 5 5( ) (1 ) 4 5 10 4 4 0 4 που ισχύει για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 1

. (Άσκηση σελ. 104 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις : 1 3 1 5 και Λύση : Έχω : 3 1 5 3 5 1 6 3 (1) 1 1 3 3 Επίσης : 4 4 1 3 3 1 () 3 3 Άρα 1 3 ή [1,3 ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 3. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 1 3 3( ) ii. 1 1 6 1 3 6 iii. 3 1 19 3 6 iv. 10 3( 1) ( 3) 5 10 4. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις : i. 7 18 5 4 1 και 7 6 1 5 5 5 5 0 ii. 3 4 6 6 8 6 8 και 3 6 4 4 5 iii. 6( 6) 7(3 1) και 9 5 1 4 3 3 5. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει : i. 6 1 3 ii. 5 4 5 iii. 8 3 4 5 3 4 4 4 iv. 5 11 3( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια παραμετρική ανίσωση, εργάζομαι ως εξής : Βήμα 1 : Φέρνουμε την ανίσωση στη μορφή : ή Βήμα : Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις για το α, μια 0, μια 0 και μια 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. Να λύσετε την ανίσωση : ( ) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. Λύση : Έχω : ( ) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) αν 0 τότε : (1): ( ) ( ) ( ) ( ) αν 0 τότε : (1): ( ) ( ) αν 0 τότε : (1): ( ) ( ) 0 0 που ισχύει για κάθε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ i. ( 5) 6 ii. ( 4) ( )( ) 4( 1) ( ) iii. 1 3 3 4 iv. 3 4 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 3

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Για τις ανισώσεις με απόλυτη τιμή υπάρχουν οι παρακάτω σημαντικές ιδιότητες : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8. (Άσκηση 5 σελ. 104 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 3 ii. 1 4 iii. 1 5 Λύση : i. 3 3 3 ή (3,3) ii. 1 4 4 1 4 3 5 ή [3,5] iii. 1 5 5 1 5 6 4 3 ή (3,) 9. (Άσκηση 5 σελ. 104 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις ανισώσεις : 3 i. ii. 1) (α>0) ) ή (α>0) π.χ.1 Να λυθεί η ανίσωση : 5 6 1 11 1 11 Λύση: 5 6 6 5 6 1 11 ή αλλιώς, π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 3 7 5 Λύση: 3 7 3 7 3 5 (1) 3 ή 3 7 3 9 3 () 5, 3, 3 π.χ.3 Να λυθεί η ανίσωση : 3 3 1 Λύση: Αν συναληθευσω της (1) και () 3 3 1 5 30 5 30 3 ή ή αλλιώς (, 3] [3, ) 1 4 3 1 4 ή 1 4 3 9 1 9 1 4 9 18 9 1 6 5 ή 3 ή αλλιώς (, 3) (5, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 4

iii. 1 5 1 5 ή 1 5 4 ή 6 ή 3 ή αλλιώς (, 3] [, ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ (ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ) ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ή ( ) ( ) εδώ θα πρέπει πρώτα να βγάλουμε το απόλυτο διακρίνοντας δυο περιπτώσεις ( ) 0 και ( ) 0. Έπειτα συναληθεύουν τις λύσεις με τον αντίστοιχο περιορισμό. ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ή ( ) ( ) εδώ υψώνω και τα δυο μέλη στο τετράγωνο και σύμφωνα με την ιδιότητα, φεύγουν τα απόλυτα και λύνω κανονικά την ανίσωση. ΜΟΡΦΗ : ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) ( ) εδώ πρέπει να κάνουμε απαλοιφή των απολύτων, σχηματίζοντας πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις () και (). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 10. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 3 5 ii. 1 iii. 3 1 3 Λύση: i. 3 5 (1) Αν 3 0 3 τότε η (1) γίνεται : 3 5 3 5 8 8 Άρα 3 και 8 δηλ. Άρα τελικά [3,8 ) Αν 3 0 3 τότε η (1) γίνεται : 3 5 3 5 3 3 ii. Άρα 3 και δηλ. 3 Άρα τελικά (, 3) 1 4 4 1 4( 4 4) 4 iii. 3 1 3 (1) 1 ( ) ( 1) 4( ) 4 1 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 5 16 16 1 15 5 4

0 1 0 1-1 + - 0 + + 1 - - 0 + Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν (, ) η (1) γίνεται : 3( ) ( 1) 3 3 6 1 3 10, οπότε αν το συναληθευσουμε με το (, ) παίρνουμε (, 10) Αν [,1 ) η (1) γίνεται : 3( ) ( 1) 3 3 6 1 3 5, οπότε αν το 5 συναληθευσουμε με το [,1 ) παίρνουμε, 1 5 Αν [ 1, ) η (1) γίνεται : 4 3( ) 1 3 3 6 1 3 3 4, οπότε αν το 3 συναληθευσουμε με το [ 1, ) παίρνουμε [ 1, ). Άρα οι λύσεις της ανισώσεις είναι (, 10) ή, 1 ή [ 1, ) δηλ. (, 10) ή, 5 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 11. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 3 1 ii. 4 3 iii. 3 3 iv. 3 v. 3 3 0 vi. 3 1 3 5 vii. 3 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 6

ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 4.1 1.. 3. 4. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 7

5. 6. 7. 8. 9. 10. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 8

11. 1. 13. 14. 15. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 9

16. 17. 18. 19. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 10

0. 1. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 11

4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο της μορφής, 0 τη διακρίνουσα του και έπειτα : Αν 0 το τριώνυμο έχει ρίζες, 1 ( 1 )( ) π.χ.1 Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο : 5 6 5 1 Λύση : έχω 5 6 0, 5 4 1 0, 1, Άρα : 5 6 ( 3)( ) αρχικά βρίσκω και παραγοντοποιείται ως εξής : 3 Αν 0 το τριώνυμο έχει 1 διπλή ρίζα 1 και παραγοντοποιείται ως εξής : ( ) 1 π.χ. Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο : 6 9 6 Λύση : έχω 6 9 0, 36 36 0, 1, 3 Άρα : 6 9 ( 3) Αν 0 το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1. (Άσκηση 1 σελ. 11 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα : i. 3 ii. 3 Λύση : 3 1 i. έχω 3 0, 9 8 1 0, 1, 1 Άρα : 3 ( )( 1) ii. έχω 3 0, 9 16 5 0, 1 3 Άρα : 1, 3 5 1 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα : i. 5 3 ii. 9 6 1 iii. 3 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 1

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 13 3. Να παραγοντοποιήσετε και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τα οποίες ορίζονται. i. 9 15 ii. 1 4 3 iii. 6 7 3 iv. 4 4 3 v. 4 3 5 4 vi. 3 1 5 3 vii. 5 3 6 5 3 3 viii. 6 4 3 3 i. 8 4 4 3

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 0 να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αρκεί και τις τιμές του που γίνεται θετικό ή αρνητικό. Πιο συγκεκριμένα λύνω την εξίσωση 0 βρίσκω τις ρίζες 1, και τις τοποθετώ στο πινακάκι από το οποίο και βρίσκω το πρόσημο τις συνάρτησης στο διάστημα που θέλω. 1 η περίπτωση: Δ>0 Τιμές του χ - 1 + Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α 0 ετερόσημο του α η περίπτωση: Δ=0 1 Τιμές του χ - + Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α ομόσημο του α 3 η περίπτωση: Δ<0 Τιμές του χ - Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α π.χ.1 Να λυθεί η ανίσωση : 5 6 0 5 1 Λύση: Έχω : 5 6 0 5 4 1 0 άρα 1, 3-3 + 5 6 + 0-0 + Άρα επειδή θέλω 5 6 0 τότε (,) (3, ) 0 ομόσημο του α Παρατήρηση 1 Αν είχα να λύσω την ανίσωση 5 6 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα (,] [3, ) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 5 6 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα (,3) Παρατήρηση 3 Αν είχα να λύσω την ανίσωση 5 6 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα [,3] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 14

π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 6 9 0 Λύση: Έχω : 6 9 0 36 36 0 άρα 3 (Διπλή ρίζα) - 3 + 6 9 + 0 + Άρα επειδή θέλω 6 9 0 3 τότε (Όταν η Διακρίνουσα είναι Ο το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας δηλ. 6 9 ( 3) οπότε μπορούμε να καταλάβουμε ακόμα καλυτέρα γιατί ισχύουν τα πρόσημα στο πινακάκι) Παρατήρηση 1 Αν είχα να λύσω την ανίσωση 6 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 6 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα ότι είναι αδύνατη Παρατήρηση 3 Αν είχα να λύσω την ανίσωση 6 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα 3 π.χ.3 Να λυθεί η ανίσωση : 5 0 Λύση: Έχω 5 0 5 5-5 5 + 5-0 + 0 - Άρα επειδή θέλω 5 0 τότε [5,5] ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4. (Άσκηση 3 σελ. 11 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων : i. 15 ii. 4 4 1 iii. 4 13 Λύση : i. Για το τριώνυμο 15 έχω : 15 0, 4 60 64, - 3 5 + 15 + 0-0 + Άρα 15 0 για κάθε (, 3) (5, ) και 15 0 για κάθε (3,5). ii. Για το τριώνυμο 4 4 1 έχω : 4 4 1 0, 16 16 0, 4 4 1 - + 0 + 8 5 3 Άρα 4 1 4 1 0 για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 15 1 + 1, 4 1 (Διπλή ρίζα) 8

(Άλλωστε θα μπορούσα εξ αρχής να παρατηρήσω ότι : 4 4 1 ( 1). Γενικά όταν η Διακρινουσα ενός τριωνύμου είναι 0 τότε το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας) iii. Για το τριώνυμο 4 13 έχω : 4 13 0, 16 5 36 0 Άρα 4 13 0 για κάθε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 4 13 + 5. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 3 0 ii. 3 10 0 iii. 3 4 0 iv. 4 1 9 0 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 5 0 ii. 4 0 iii. 16 0 iv. 49 7. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. ( 3) 4( 3) ii. 4( 5) ( 4)( 4) 0 iii. ( ) ( 1) 4 ( ) iv. 1 0 5 8. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων : i. 3 0 και 0 ii. 0 και 8 0 iii. 4 5 0 και 4 0 iv. 6 0 και 1 0 v. 3 8 vi. 8 6 ( 3) 3 8 5 9. Να αποδειξετε ότι για κάθε ισχύει : i. 4 3( 1) ii. ( 3)( 3) ( 7) iii. 8 ( ) ( 3)( 3) 10. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 4 10 9 0 ii. 4 5 4 0 iii. 6 8 0 iv. 7 6 0 v. ( 3) 6 3 5 0 vi. ( ) 11 4 0 11. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 3 1 3 ii. 9 6 iii. 3 1 iv. 4 v. 1 ( 6) vi. 6 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 16

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Το τριώνυμο 0 διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε, όταν : 0 Για το τριώνυμο 0 ισχύει : 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 Για το τριώνυμο 0 ισχύει : 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 0 για κάθε, όταν : 0 και a 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1. (Άσκηση 4 σελ. 114 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Δίνεται η εξίσωση : 3 5 0,. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση : i. έχει ρίζες ισες ii. έχει ρίζες άνισες iii. είναι αδύνατη Λύση : i. Στην εξίσωση 3 5 0 (1) έχω :, 3, 5 Αρχικά για να είναι η εξίσωση ο βαθμια πρέπει 0 0. Έστω ότι 0 τότε η (1) γίνεται 3 5 0 0 0 5 0 5 0 αδύνατη. Άρα πρέπει 0 Για να έχει η εξίσωση (1) ρίζες ισες θα πρέπει να ισχύει : 0 (3) 4( 5) 0 9 4 0 0 5 0 0 5 0 0 5( 4) 0 ή. Όμως πρέπει 0, άρα 4. 4 0 4 ii. Για να έχει η εξίσωση (1) ρίζες άνισες θα πρέπει να ισχύει : 0 (3) 4( 5) 0 9 4 0 0 5 0 0 5 0 0 Έχω : 5 0 0 5( 4) 0 ή 4 0 4 λ - 0 4 + 5 0 + 0-0 + Άρα επειδή θέλω 5 0 0 τότε (,0) (4, ), που ικανοποιεί και τον περιορισμό 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 17

iii. Για να είναι η εξίσωση (1) αδύνατη πρέπει : 0 (3) 4( 5) 0 9 4 0 0 5 0 0, άρα όπως προκύπτει από το παραπάνω πινακάκι (0,4) 13. (Άσκηση 5 σελ. 114 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση 3 0 αληθεύει για κάθε. Λύση : Για να αληθεύει η ανίσωση 3 0 πρέπει να ισχύει : 0 και 0 Εδώ : 1 0, 3 και. Άρα αρκεί 0. Έχω : 0 (3) 41 0 9 4 0 Έχω : 9 4 0 (9 4) 0 ή λ - 0 9 4 0 0 4 9 4 + 9 9 4 + 0-0 + Άρα επειδή θέλω 9 4 4 0 τότε 0,. 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 14. Να βρείτε για ποιες τιμές του το τριώνυμο 4 3, με 0, διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε. 15. Να βρείτε για ποιες τιμές του το τριώνυμο ( 1) ( 1)( 1), διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε. 16. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( 3) ( 1) 5 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. 17. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( 1) 3 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. 18. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : ( 1) 4 0 με 1, αληθεύει για κάθε. 19. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : ( 3) 0 με 0, αληθεύει για κάθε. 0. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση : 4 4( 1) 4 3 0, αληθεύει για κάθε. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 18

ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 4. 1.. 3. 4. 5. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 19

16. 17. 18. 19. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr

0. 1.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 3

3. 4. 5. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr 4