ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι το Β= 3, οπότε δεν ισχύει η σχέση Β.. = = Γι = 0 γίνετι : 0 = 0 (ληθής) 0 = (ψευδής) Ισχύει μόνο ως συνεπγωγή : = = Το σύνολο λήθεις του μέλους είνι το = 0,, ενώ του β μέλους είνι το Β=, οπότε δεν ισχύει η σχέση Β. 3. Η δοσμένη ισοδυνμεί με την ντιστροφοντίθετή της : ν = =, που είνι ληθής. 4. 4 Γι = - γίνετι : - (ληθής) 4 4 (ψευδής) 5. > > 4 Ιδιότητ των νισοτήτων Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το =(, ), ενώ του συμπεράσμτος είνι το Β=(, ) (, ), οπότε Β 6. < < 4 Γι = - 3 γίνετι -3 < (ληθής ) 9 < 4 (ψευδής ) Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = (,), ενώ του συμπεράσμτος είνι το Β=(,), οπότε Β 7. < 4 < Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = (,), ενώ του συμπεράσμτος είνι το Β=(,), οπότε Β Είνι ισοδύνμη με την 4, που είνι ληθής 8. > 4 > Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = (, ) (, ), ενώ του συμπεράσμτος είνι το Β= (, ), οπότε Β. Γι = - 3 γίνετι 9 > 4 (ληθής ) -3 > (ψευδής ) 9. < κι β < 3 β < 6 Γι =β= - 3 γίνετι (-3 < κι -3 < 3) (ληθής ) 9 < 6 (ψευδής ) Ο πολλπλσισμός κτά μέλη επιτρέπετι ότν τ μέλη είνι θετικοί ριθμοί.
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Κεφάλιο 7. Δύο συμπληρωμτικά ενδεχόμεν είνι ξέν μετξύ τους. Ισχύει 8. Δύο ενδεχόμεν ξέν μετξύ τους είνι ντίθετ. ν π.χ. Ω={,,3}, ={}, Β={}, τότε B, λλά ={,3} 9. ν δύο ενδεχόμεν κι Β είνι ξέν μετξύ τους, τότε κι τ συμπληρωμτικά τους ' κι B' είνι ξέν μετξύ τους ν Ω={,,3}, ={}, Β={}, τότε B, ={,3},Β ={,3} κι B 3 Σ Σ Σ Λ Λ Λ Κεφάλιο. ( = β κι γ = δ) + γ = β + δ. 4+3=5+ λλά 4 5 κι 3 Ισχύει μόνο το : ( = β κι γ = δ) + γ = β + δ.. ν = β, τότε = β. Ισχύει μόνο ν 0. ν = 0, ισχύει γι κάθε β R. 3. ( + β) = + β. Το σωστό είνι : ( + β) = +β+ β (τυτότητ ) 4. Το άθροισμ + β δύο άρρητων ριθμών κι β είνι άρρητος ριθμός Δεν ισχύει γενικά, π.χ. ( ) 0 Q 5. Το γινόμενο β δύο άρρητων ριθμών κι β είνι άρρητος ριθμός. Δεν ισχύει γενικά, π.χ. Q 6. ν > β κι γ < δ, τότε - γ > β - δ. Είνι : > β κι - γ > - δ, οπότε με πρόσθεση κτά μέλη : - γ > β - δ. 7. ν > β, τότε > β. Δεν γνωρίζουμε το πρόσημο του. Έτσι ν < 0, τότε > β < β, ενώ ν = 0 ισχύει σν συνεπγωγή με ψευδή υπόθεση. 8. ν β, τότε > β Γι =- 4 κι β = - έχουμε > λλά - 4 < - Ισχύει μόνο ν β > 0. ν β < 0 γίνετι < β. ( Υποθέτουμε ότι β 0 ) 9. ν > β κι > - β, τότε > 0. Με πρόσθεση κτά μέλη έχουμε ότι > 0, οπότε > 0
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [3] 0. ν, τότε >. Γι γίνετι, η οποί είνι ψευδής συνεπγωγή Όχι κτνάγκην >. Έστω 0. Τότε : 0 0 ( ) 0 (,0) (, ). ν < β < 0, τότε > β. β 0 - - β 0 > β. ν > - κι β > -3, τότε β > 6. Γι = -, β= γίνετι (-> - κι > -3 ) (ληθής ) - > 6 (ψευδής ) Ο πολλπλσισμός κτά μέλη επιτρέπετι ότν τ μέλη είνι θετικοί ριθμοί 3. ν < - κι β < -3, τότε β > 6. - κι β -3 κι β 3 β 6 4. 4-0β + 5β 0. 4-0β + 5β = ( - 5β) 0 5. ( - ) +( + ) > 0. Είνι ( ) 0, ( ) 0 κι οι ( ), ( ) δεν μηδενίζοντι συγχρόνως 6. ( - ) +( + ) > 0. Γι =- γίνετι 0 > 0 κι είνι ψευδής Είνι ( ) 0, ( ) 0 λλά οι ( ), ( ) μηδενίζοντι συγχρόνως γι = - 7. ( + β) +( - β ) = 0 = β = 0. ( + β) +( - β ) = 0 ( + β) =0 κι ( - β ) = 0 (=-β κι =β ), οπότε με πρόσθεση κτά μέλη : = 0 =0, οπότε κι β==0. ντίστροφ, ν =β=0 τότε η σχέση ( + β) +( - β ) = 0 είνι ληθής. 8. ν β 0, τότε + β = + β. Ιδιότητ των πολύτων τιμών ( Θεώρημ ) 9. ν = β, τότε β Γι =- κι β= η υπόθεση είνι ληθής κι το συμπέρσμ ψευδές Το σωστό είνι : ν = β, τότε 0.. Γι =- δίνει = - Η ιδιότητ είνι : ν 0, τότε : Ιδιότητ των ριζών ή β
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [4]. ν β 0, τότε μπορούμε πάντοτε ν γράφουμε β β ν 0 κι β 0, η υπόθεση είνι ληθής λλά το συμπέρσμ δεν έχει νόημ, φού τ σύμβολ, β ορίζοντι μόνο ν, β 0 3. ν β 0, τότε β β β β β β 4. β β Γι =3, β= δίνει : 0 4. Πρόκειτι γι πρεξήγηση της 5. ν 0, τότε μπορούμε πάντοτε ν γράφουμε 6 3 6 3 3 3 6. Μπορούμε πάντοτε ν γράφουμε 4 Ισχύει μόνο γι 0. Γι κάθε R είνι : 7. 5 5 > 5 5. 4 4 5 5 5 5 5 5 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 που ισχύει 0 5 8. >., που ισχύει ( β) β Κεφάλιο 3. Η εξίσωση ( - )x = ( -) έχει μονδική λύση την x =. ν = γίνετι 0x=0 η οποί έχει άπειρες λύσεις.. H εξίσωση ( x + )( x + ) = 0 είνι δύντη. x x (0 )(0 ) 0. 3. Η εξίσωση ( x - )( x - ) = 0 έχει δύο πργμτικές ρίζες Έχει τέσσερις λύσεις x,. 4. Η εξίσωση ( x - )( x + ) = 0 έχει δύο πργμτικές ρίζες Η εξίσωση x - =0 έχει τις λύσεις x, ενώ η x + = 0 είνι δύντη. 5. Η εξίσωση x = x - έχει μονδική λύση. ν x 0, είνι δύντη φού x 0, ενώ ν x 0 x 0, γίνετι x x 0, που είνι δύντη. Άρ είνι δύντη στο R. 6. Η εξίσωση x = - x έχει μονδική λύση. ν x > είνι δύντη, ενώ ν x ισοδυνμεί με τις : x = - x x= ή x= - +x που είνι δύντη. Άρ η x= είνι μονδική λύση.
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [5] 7. ν οι συντελεστές κι γ της εξίσωσης x + βx + γ = 0 είνι ετερόσημοι, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες., γ ετερόσημοι γ < 0 -γ > 0 β - 4γ > 0 Δ > 0 δύο ρίζες άνισες. 8. ν δύο εξισώσεις ου βθμού έχουν τις ίδιες ρίζες, τότε οι συντελεστές των ίσων δυνάμεων του x των εξισώσεων υτών είνι ίσοι. Π.χ. οι εξισώσεις x - 4x +3 = 0 κι x - 8x +6 = 0 έχουν ίδιες ρίζες. 9. Η εξίσωση x + x - = 0 έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες. ν =0 έχει μονδική λύση το x=0. ν 0 έχει Δ=4+4 > 0 κι έχει δυο ρίζες άνισες. 0. Η εξίσωση x - 4x + 4 = 0, με 0, έχει δύο ρίζες πργμτικές κι άνισες. Το τριώνυμο έχει Δ=0 κι έχει μι διπλή ρίζ.. Η εξίσωση x - x + = 0, με 0, δεν έχει πργμτικές ρίζες. Το τριώνυμο έχει Δ= - 4 < 0 κι δεν έχει ρίζες.. Η εξίσωση x + 3x + = 0 δεν έχει πργμτικές ρίζες. Το τριώνυμο έχει Δ = 3. Η εξίσωση x x 0 πργμτικές ρίζες. 0 κι έχει ρίζες στο R. με 0, έχει δύο άνισες κι ντίστροφες ν = - γίνετι x 0 κι είνι δύντη. Πρτηρούμε ότι S= κι Ρ==. Επομένως οι ρίζες είνι είνι ντίστροφες κι άνισες ν., που 4. x 3x Οι εξισώσεις 0 κι x - 3x + = 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. x 3x 0 x 3x 0 κι x - 0 ( x ή x ) κι x x ενώ x 3x 0 x ή x 5. x 3x Οι εξισώσεις 5 () κι (x + 3x + ) = 5(x - ) () έχουν ίδιες λύσεις. x Oι εξισώσεις είνι ισοδύνμες γι x.η () έχει τις λύσεις : x= ή x =-. Η τιμή x=- δεν είνι λύση της (). 6. Υπάρχουν x, y R που έχουν άθροισμ S = -0 κι γινόμενο P = 6. Οι ριθμοί είνι οι ρίζες της x 0x 6 0 x, x 8. Άρ (x,y)=(,8) ή (8,) 7. Υπάρχουν x, y R που έχουν άθροισμ S = 0 κι γινόμενο P = 5. Οι ριθμοί είνι οι ρίζες της x 0x 5 0 (x 5) 0 x 5. Άρ (x,y)=(5,5) 8. Υπάρχουν x, y R που έχουν άθροισμ S = κι γινόμενο P =. Οι ριθμοί είνι οι ρίζες της x x 0, που είνι δύντη στο R.
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [6] Κεφάλιο 4. Η νίσωση x + λx + λ > 0 με λ 0, ληθεύει γι όλ τ x R. x λx λ 0 x λx λ 0 (x λ) x λ 0, που ισχύει φού λ 0 Το τριώνυμο x λx λ έχει Δ=-3λ < 0 φού λ 0 κι κόμ = > 0. Άρ η νίσωση x + λx + λ > 0 ληθεύει γι όλ τ x R.. Η νίσωση λ x + 4λx + 5 0 με λ 0, ληθεύει γι όλ τ x R. Είνι Δ=6λ -0λ =- 4λ < 0, φού λ 0. κόμ =λ > 0, άρ λ x + 4λx + 5> 0, πάντ 3. Οι νισώσεις x (x - ) 0 κι x - 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. x (x ) 0 x 0 ή x, ενώ x 0 x 4. Οι νισώσεις x (x - ) 0 κι x - 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. x (x ) 0 x 0 ή x, ενώ x 0 x 5. 6. 7. 8. 9. Οι νισώσεις x () κι x - > x + () έχουν τις ίδιες λύσεις. x x x x x x () 0 0 0 (x )(x ) 0 x x x x x ή x, ενώ : () x - x x (x ) Οι νισώσεις 0 () κι x - 0 () έχουν τις ίδιες λύσεις. (x ) (x ) () 0 (x )(x ) 0 κι x x κι x x [,) (, ) (x ) () x 0 x. Άρ δεν έχουν ίδιες λύσεις (x ) Οι νισώσεις 0 () κι (x - ) (x - ) 0 (), έχουν τις ίδιες λύσεις. (x ) (x ) () 0 (x )(x ) 0 κι x x κι x x [,) (, ) (x ) () x 0 ή x x. Άρ δεν έχουν ίδιες λύσεις Οι νισώσεις x 0 κι (x - )(x -) 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. Γι x= η πρώτη δεν ορίζετι ενώ η δεύτερη γίνετι 0 0 κι ισχύει. x 0 (x - )(x -) 0 κι x x (,) [, ) κι (x - )(x -) 0 x (,] [, ). Άρ δεν έχουν ίδιες λύσεις Οι νισώσεις x 0 κι (x - )(x -) 0 έχουν τις ίδιες λύσεις. Γι x= η πρώτη δεν ορίζετι ενώ η δεύτερη γίνετι 0 0 κι ισχύει. x 0 (x - )(x -) < 0 x (,) κι (x - )(x -) 0 x (,] [, ). Άρ δεν έχουν ίδιες λύσεις
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [7] 0. x x Οι νισώσεις () κι (x + ) < (x - )(x + ) () έχουν τις ίδιες λύσεις. x x x x x x (x ) (x )(x ) () 0 0 x x x x (x )(x ) x x x x (x 3) 0 0 (x 3)(x )(x ) 0 (x )(x ) (x )(x ) Με πίνκ προσήμων βρίσκουμε τη λύση : x (, 3) (,) () (x ) (x )(x ) 0 x 3 0 x (, 3). Άρ δεν έχουν ίδιες λύσεις. Κεφάλιο 6. Υπάρχει συνάρτηση της οποίς η γρφική πράστση διέρχετι πό τ σημεί (,) κι Β(,3). ν υπήρχε θ είχμε f()= κι f()=3, το οποίο ντίκειτι στον ορισμό.. Οι ευθείες y = x - κι y = -x + τέμνοντι. x - = -x + x +x - 3 = 0 (). Είνι : Δ=+ > 0 γι κάθε R. Άρ το σύστημ των εξισώσεων τους έχει δυο λύσεις, οπότε τέμνοντι σε δύο σημεί με τετμημένες τις λύσεις της (). Κεφάλιο 7. ν η πρβολή y = x, 0 διέρχετι πό το σημείο (,), τότε βρίσκετι στο 3 ο κι 4 ο τετρτημόριο. Το (,) επληθεύει την εξίσωση, άρ =, οπότε = > 0 κι η πρβολή βρίσκετι στο ο κι ο τετρτημόριο.. ν το τριώνυμο ƒ(x) = x + βx + γ, 0 έχει ρίζες τους ριθμούς x = - κι x = 3, τότε έχει άξον συμμετρίς την ευθεί x =. Είνι S =-+3== β β, οπότε, άρ η ευθεί x = είνι άξονς συμμετρίς 3. Γι οποιουσδήποτε, β R * η πρβολή y = x κι η υπερβολή μονδικό κοινό σημείο. Γι x 0, 0, είνι : β y έχουν έν κι x β β β β β β x 3 3 x x β x x 3, ν 0 ή x 3, ν 0 4. H υπερβολή y κι η ευθεί y = -x τέμνοντι. x Γι x 0, x x, που είνι δύντη. x