LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE

Materiāls ņemts no grāmatas:andžāns Agnis, Bērziņa Anna, Bērziņš Aivars "Latvijas matemātikas olimpiāžu (5-5) kārtas (rajonu) uzdevumi un atrisinājumi" LATVIJAS RAJONU 43 OLIMPIĀDE ATRISINĀJUMI 43 Pārlokot sloksnīti uz pusēm Iegūstam 48 cm garu sloksnīti Pēc tam pārlikam to uz pusēm, un tā 5 reizes Tā ar locījuma līnijām sadalīsies 3 trīs centimetrus garos gabalos Atskaitīsim 5 šādus gabalus no sloksnītes gala un nogriezīsim šo gabalu Šis gabals būs tieši 45 cm garš 43 To var izdarīt, piemēram, tā, kā parādīts 435 zīmējumā 7 4 5 6 3 435 zīm Iespējami arī citi varianti 433 Dotais reizinājums ir lielāks par 36 000 000 58 000 000 = 088 000 000 000 000 un mazāks par 37 000 000 59 000 000 = 03 000 000 000 000, Tātad tas satur 6 ciparus un sākas ar Reizinājuma pēdējais cipars ir atkarīgs tikai no reizinātāju pēdējā cipara; tā kā 9 = 8, tad reizinājuma pēdējais cipars ir 8

434 Var uzzīmēt nogriežņus tā, lai katrs krustotos ar katru un visi krustpunkti būtu dažādi; piemēram, kā parādīts 436 zīmējumā 436 zīm Šeit veidojas 5 krustpunkti Tā kā divi nogriežņi nevar krustoties vairāk kā vienā punktā, tad kopējais krustpunktu skaits nevar būt lielāks par 5 Pakāpeniski saīsinot no viena gala kādu no nogriežņiem, viens krustpunkts pazudīs Iegūsim 4 krustpunktus Atkārtojot šo procesu iegūsim 3,,,, 0 krustpunktus Atbilde: krustpunktu skaits var būt jebkurš vesels skaitlis no 0 līdz 5 435 a) Jā, tā var būt; skat 437 zīm ` 437 zīm b) Jā, tā var būt; zīmējumu veidojam līdzīgi a) punkta zīmējumam, tikai "kāpnīti" ievietojam kvadrātā ar izmēriem 499 499 c) Nē, nevar būt Ievērosim, ka stūru skaits ir vienāds ar līnijas posmu skaitu Bet posmu skaitam ir jābūt pāra skaitlim, jo aiz katra horizontālā posma seko vertikālais posms un otrādi Tas nozīmē, ka horizontālo un vertikālo posmu skaiti ir vienādi, un kopējais posmu skaits ir pāra skaitlis 993 436 Tāds skaitlis, piemēram, ir 994 994 Tiešām, 993 993 993 [ 994 994 ] = 994, { 994 } 994 = 994 un [ 993 ] { 994 993 993 } = 994 = 993 994 994 994 994 Pavisam tādu skaitļu ir bezgalīgi daudz Varam izvēlēties jebkuru naturālu skaitli n 994 un iegūt prasīto skaitli n + 993 n

437 a) Nē, nevar, jo kopējais taisnstūra rūtiņu skaits nedalās ar 4, bet katra figūra aizņem 4 rūtiņas; tātad kopējais noklāto rūtiņu skaits dalīsies ar 4 b) Jā, var; skat, piemēram, 438 zīm 438 zīm 438 Skaitlis 45 sarkanajā rindā pirmo reizi parādās zem skaitļa 99999 Bet tieši pirms šī skaitļa zilajā rindā atrodas skaitļi 99954, 99963, 9997, 9998, 99990 Zem šiem skaitļiem būs parakstīti skaitļi 36 Tātad sarkanajā rindā ātrāk parādīsies pieci pēc kārtas skaitļi 36 439 Jā, var Visas šķautnes var iedalīt trīs virzienu grupās (no katras virsotnes iziet pa vienam nogrieznim katrā virzienā; skat 439 zīm) 439 zīm Visas pirmajā virzienā ejošās virsotnes numurēsim ar skaitļiem, 4, 7, 0 (šie skaitļi, dalot ar 3, dod atlikumā ; tos var pierakstīt kā 3 a + ) Visas otrajā virzienā ejošās virsotnes numurēsim ar skaitļiem, 5, 8, (šie skaitļi, dalot ar 3, dod atlikumā ; tos var pierakstīt kā 3 b + ) Visas trešajā virzienā ejošās virsotnes numurēsim ar skaitļiem 3, 6, 9, (šie skaitļi, dalot ar 3, dod atlikumā 0; tos var pierakstīt kā 3 c ) Tad katrā virsotnē ieejošo šķautņu numuru summa ir Šī summa dalās ar 3 ( 3 + ) + ( 3b + ) + 3c = 3( a + b + ) a 3

430 Nē, nevar Pieņemsim pretējo, ka to var izdarīt Visu izrakstīto skaitļu summa ir 36 Sadalīsim pirmos 5 izrakstītos skaitļus piecās grupās pa trim pēc kārtas ņemtiem Katrā šādā grupā skaitļu summa nepārsniedz 4; tātad pirmo 5 izrakstīto skaitļu summa nepārsniedz 5 4 = 0 Tā kā visu izrakstīto skaitļu summai jābūt 36, tad pēdējais skaitlis ir ne mazāks par 36 0 = 6 ; tātad tas ir skaitlis 6 Aplūkojot pēdējos 5 skaitļus, līdzīgi pierāda, ka arī pirmais skaitlis ir 6 Iegūta pretruna 43 a) Jā, var; piemēram, 5, 368, 479 b) Jā, var; piemēram, 3, 456, 789 c) Nē, nevar Visu trīs skaitļu ciparu summu summa ir 45 Ja izpildās uzdevuma nosacījumi, tad pirmo divu skaitļu ciparu summas dalās ar 3, bet trešā skaitļa ciparu summa nedalās ar 3 Tas nozīmē, ka visu trīs skaitļu ciparu summu summa nedalās ar 3, bet 45 ar 3 dalās 43 Vispirms pierāda formulu ( + + 3 + + n) = n ( n + ) No nevienādībām L 99 00 = 39800 < 39860 = 9930 < 4000 = 00 0 seko, ka mazākais nepieciešamais naturālo skaitļu daudzums ir 00 433 Jā, to var izdarīt, piemēram, kā parādīts 430 zīmējumā - - - - - - - - 430 zīm 434 Tā kā no katra 43 zīm attēlotā "dubulttrijstūrīša" jāizgriež vismaz viena rūtiņa, tad jāiekrāso vismaz 5 rūtiņas 43 zīmējumā parādīts, ka ar 5 rūtiņu iekrāsošanu pietiek 43 zīm 43 zīm 4

435 Atliekam vienu monētu malā, bet atlikušās 99 monētas sadalām 4 grupās A, B, C, D pa 498 monētām katrā Pirmajā svēršanas reizē uz viena svaru kausa noliekam grupas A un B, bet uz otras grupas C un D ) Ja kausi atrodas līdzsvarā, tad malā atliktā monēta ir viltota, un uz katra svaru kausa atrodas tieši viena viltotā monēta Salīdzinot grupas A un B, noskaidrojam to grupu, kurā visas monētas ir īstas (tā ir smagākā grupa) ) Ja grupa A un B pārsver grupu C un D, tad grupās A un B ir ne vairāk par vienu viltotu monētu Salīdzinot grupas A un B, noskaidrojam to grupu, kurā visas monētas ir īstas (tā ir smagākā grupa) 436 Dotie skaitļi ir vienādi ar trešais ir vienādi 6 8 8,, ; tātad, pirmais ir lielākais, bet otrais un 437 Jā, to var izdarīt, piemēram, tā kā parādīts 433 zīmējumā 433 zim 438 Pareizināsim otro vienādojumu ar z un atņemsim pirmo, pareizinātu ar t ( xz yt) = z t y ( z + t ) = z t z ( xt + yz) t Taču dots, ka neviens no skaitļiem nav 0, un tāpēc y z + t z + t > z ( ) t Tātad šādi veseli skaitļi neeksistē 439 a) Nē, nevar būt Ja sešstūrim visi 6 iekšējie leņķi būtu šauri, tad to summa būtu mazāka par 90 = 540 6, bet tai jābūt ( 6 ) = 70 80 b) Jā, tā var būt Sešstūris, kas parādīts 434 zīmējumā, apmierina uzdevuma nosacījumus Tas iegūts, krustojot divus vienādsānu šaurleņķu trijstūrus 5

433 zīm 430 Skaitļus kārtosim augoša secībā pēc kārtas Vieninieks jau atrodas kādā noteiktā vietā Pieņemsim, ka skaitļi,,, k jau sakārtoti pēc kārtas Skaitlis k + arī atrodas noteiktā vietā Tātad skaitļi pa riņķi izvietoti šādi:,,, k,, k +, No skaitļa k līdz skaitlim k + neatrodas neviens skaitlis ar kuru nevarētu mainīties vietām skaitlis k Tāpēc mēs viņu varam pārvietot blakus skaitlim k + un iegūt situāciju:,,, k,, k, k + Pēc tam pārvietojam skaitli k blakus skaitlim k, utt Turpinot šo procesu, iegūstam prasīto sakārtojumu p 43 No dotā seko, ka q < 0 un p q = 0 No pirmās nevienādības seko, ka 4 q > 0 Iegūstam 3 p 9 3q = 4 Tātad kvadrāttrinoma vienādojumam ir divas saknes 3 ( p q) + q > 0 x + 3px + 3q diskriminants ir pozitīvs, un aplūkojamam 43 Nē, nevar būt Iegūto skaitļu summām jābūt vienādām zēniem un meitenēm Bet dotos skaitļus nevar sadalīt divās grupās ar vienādām summām, jo visi skaitļi, izņemot vienu, dalās ar 3; tātad vienas grupas skaitļu summa dalīsies ar 3, bet otras -- nē, un summas nebūs vienādas 433 Ievērosim, ka < x + x < ( x + ) x Tātad x + x nevar būt naturāla skaitļa y kvadrāts, jo atrodas starp diviem sekojošiem naturālu skaitļu kvadrātiem 6

434 Pieņemsim, ka diagonāles ir perpendikulāras (skat 43 zīm) B A O C Tad pēc Pitagora teorēmas D 43 zīm + CD = ( AO + OB ) + ( CO + OD ) ( AO + OD ) + ( BO + OC ) = AD + BC AB = Apgrieztais apgalvojums Pieņemsim pretējo, ka diagonāles nav savstarpēji perpendikulāras (skat 43 zīm) B AB + + CD = AD BC, bet M N A C 43 zīm Novilksim perpendikulus BM un DN pret diagonāli AC Tā kā AC un BD nav perpendikulāri, tad MN > 0 Tad AB + + CD = AN + MB + CN ND, bet AD + No šejienes seko, ka + BC = AN + ND + BM MC AM + Bet tā nevar būt, jo + CN = AN CM AM < AN un CN < CM (vai otrādi) Iegūta pretruna 435 Ja nevienā komisijā nav vairāk par 8 deputātiem, tad jebkuram deputātam A, lai 64 varētu būt kopā ar 64 citiem, jāpiedalās vismaz > 9 komisiju darbā 7 Ja ir kāda komisija K ar vismaz 9 deputātiem, tad aplūkosim deputātu Z, kas tajā neietilpst Ar katru no 9 komisijas K deputātiem viņš sastopas kādā no komisijām; tātad viņš darbojas ne mazāk kā 9 komisijās D 7

436 No trijstūra nevienādības seko, ka BC + CA > AB Tā kā BC > CA (jo pret lielāku leņķi atrodas lielāka mala), tad BC > AB, kas arī bija jāpierāda 437 Tā kā x 0, tad dotais vienādojums ekvivalents apgalvojumam x = x a vai x = a x Tātad uzrādītajiem vienādojumiem kopā jābūt trim saknēm Tas iespējams trīs gadījumos: ) Pirmajam vienādojumam ir divas saknes, otrajam -- viena, atšķirīga no pirmā vienādojuma saknēm Tātad otrā vienādojuma x + x a = 0 diskriminants D = 4a = 0 a = 4 ) Otrajam vienādojumam ir divas saknes, pirmajam -- viena, atšķirīga no otrā vienādojuma saknēm Līdzīgi iegūstam, ka a = 4 3) Abiem vienādojumiem ir divas saknes, bet viena ir kopīga Apzīmēsim kopīgo sakni ar c Iegūstam divas vienādības c = c a c a = a c c = a c = a c Ievietojot pirmajā vienādībā c = a, iegūstam a = a a = 0 a = 0 Pārbaude parāda, ka visas trīs iegūtās a vērtības der 438 Sadalām dārgakmeņus 8 kaudzītēs: 37 = 8' + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + Pārbaudām kaudzītes pēc kārtas, kamēr atrodam radioaktīvo elementu Ja tas atrodas i-tajā kaudzītē, tad esam iztērējuši i dālderus un nevaram pārdot visus pārējos dārgakmeņus, peļņa būs ( 37 ( 9 ) + i) = 8 i dālderi 9 i Tātad, pārdodot Ja 7 kaudzītes pārbaudītas un radioaktīvu dārgakmeņu nav, tad peļņa būs 35 7 = 8 dālderi 8

439 Apzīmējam ABS = α ; tad arī MDO = α kā leņķi ar savstarpēji perpendikulārām malām (skat 43 3 zīm) B D V M K O F N T A S C 433 zīm T ir trijstūra ABC mediānu krustpunkts Tāpēc kā arī OD OB DM BT = 3 3 DF BS = DK BS = AS BS = tg α Tā = tgα, tad trijstūri MDO un TDB ir līdzīgi; tātad DMO = DTO No šejienes seko, ka TNO = OVM = 90 4330 Izvēlēsimies skaitļus, kas dalās ar vai 3 Šādu skaitļu ir 993 993 993 = 38 + 3 6 Starp jebkuriem trim no tiem būs vai nu divi, kas dalās ar, vai divi, kas dalās ar 3 433 Sistēmai var būt 0, vai atrisinājumi Pirmā vienādojumu atrisinājumu kopa plaknē ir riņķa līnija Otrā vienādojuma atrisinājumu kopa ir taisne Taisnei un riņķa līnijai var būt 0, vai kopīgi punkti 433 Novelkam caur plaknei π tuvāko virsotni plakni π, kas paralēla π Leņķi ar plakni π ir tādi paši kā ar plakni π Tālākās virsotnes "augstums" virs π ir a sinα (skat 434 zīm) a α a β a γ 434 zīm 9

Tas sastāv no diviem nogriežņiem, kuru garumi ir a sin β un a sinγ Tātad sin α = sin β + sinγ 4333 Izdalot skaitli n ar tā dalītāju, iegūstam skaitļa n dalītāju; vēl vairāk, izdalot n pēc kārtas ar visiem tā dalītājiem, mēs iegūstam visus n dalītājus Pareizinot doto vienādību ar n, iegūstam n n n d + d + L+ d k = + + L + d d d Šī vienādība, protams, ir pareiza, jo abās tās pusēs uzrakstīta visu skaitļa n dalītāju summa 4334 Pieskaitot dotajām nevienādībām vieninieku, iegūsim nevienādības ( a ) b ( a + ) a b a + ( b ) a ( b + ) b b a b + b 4335 Aplūkosim 435 zīmējumu k b a b + 435 zīm Apzīmēsim sešstūra malas garumu ar a, bet nogriežņu garumus pēc kārtas ar b z, s, K, b, z, Katrai sešstūra virsotnei uzrakstīsim formulu par sekantes un, 6 6 s6 tās ārējās daļas reizinājumu: b a a = a a b b b L 6 ( ) 6 ( 6 ) ( a a ) = a ( a b ) ( a a ) = a ( a b ) 6 5 5 Saskaitot šīs vienādības, savelkot līdzīgos locekļus un saīsinot ar a iegūstam b + L + = + L + b6 a a6 4336 Vienādojumu var pārveidot formā sin 65x sin 6x = 0 ; no kurienes πn πn x =, x = Pirmā sērija dod 30 atrisinājumus, otrā -- 5 atrisinājumus; starp 65 6 tiem ir 6 sakrītoši Tātad meklējamais atrisinājumu skaits ir 30 + 5 6 = 56 0

4337 Visi trijstūri, kas atrodas ārpus iekšējā sešstūra ir līdzīgi ( tas seko no atbilstošo leņķu vienādības) Skat 436 zīm A6 A A A3 A5 A4 436 zīm Trīs trijstūru, kuru divas malas ir sarkanās (zīmējumā tumšākās), laukumu summa ir vienāda ar pārējo trijstūru laukumu summu Atliek atzīmēt, ka līdzīgu trijstūru laukumi proporcionāli atbilstošo malu kvadrātiem; tātad A A + A A + A A = A A + A A + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A ) 3 4 5 6 3 4 5 6 A 4338 Ja 0 x y z, tad S = Ja 0 y x z, tad S = 3 ( z ) + x ( y x) + y ( z y) + z x 0 3 ( z ) + x( z x ) + y( x y ) + y z 0 Citi gadījumi reducējas uz vienu no apskatītajiem Tātad S Ja, piemēram, x = un y = z = 0, tad S = Tātad meklējamais minimums ir 4339 Aplūkosim 437 zīm B C A D B C A D 437 zīm No taisnstūru ABB A un DCC D vienādības seko, ka to diagonāles AB un CD ir vienādas Līdzīgi pamato vienādību AD = CB Tātad trijstūri AD B un CB D ir vienādi (viena mala kopīga, pārējās atbilstoši vienādas) No šejienes seko, ka D AB = DCB Līdzīgi pierāda, ka D AC = D BC un CAB = CDB

Tātad leņķu lielumu summa, kurus veido diagonāles, kas iziet no virsotnes A, ir vienāda ar trijstūra CB D iekšējo leņķu summu, ti ar 80 4340 Ja ir 3n vienas krāsas zīmuļi, tad visiem bērniem var uzdāvināt pa trim vienas krāsas zīmuļiem Pretējā gadījumā, katras krāsas zīmuļu ir ne vairāk kā 3n ; tātad divu krāsu zīmuļu ir ne vairāk kā 6n Tas nozīmē, ka katras krāsas zīmuļi ir ne mazāk kā ( n ) ( 6n ) = n zīmuļus 7 ; tātad katram bērnam var iedot triju dažādu krāsu