Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ. Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου. Σχεδίαση φίλτρων

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ Υλοποίηση συστημάτων Διακριτού Χρόνου Σχεδίαση φίλτρων

Αντίστροφος Μετασχηματισμός Ζ

Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Προσεγγίσεις εύρεσης του αντίστροφου ΜΖ Τυπικά ο i-zt γίνεται με μιγαδική ολοκλήρωση που βασίζεται στο θεώρημα ολοκλήρωσης του Cauchy x n = πj C X() n d όπου C κλειστή καμπύλη στην ROC της X() που περικλείει την αρχή των αξόνων κατά αντιωρολογιακή φορά Με εφαρμογή του θεωρήματος των υπολοίπων του Cauchy υπολογίζεται το μιγαδικό ολοκλήρωμα: x n = πj C X() n d = Υπόλοιπα στους πόλους εσωτερικά της ROC Υπόλοιπο X n στο = a k = a k X() n =a k

Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Άλλες προσεγγίσεις, λιγότερο «τυπικές» Μέθοδος παρατήρησης Ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά Ανάπτυγμα σε μερικά κλάσματα

Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Μέθοδος παρατήρησης Γίνεται χρήση γνωστών ζευγών ΜΖ, όπως: a u Για παράδειγμα: X n 4 n Z a xn un 4 a 4 n

Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Μέθοδος αναπτύγματος δυναμοσειράς Ο ΜΖ είναι μια δυναμοσειρά Σε ανεπτυγμένη μορφή είναι: Γενικά ο ΜΖ αυτής της μορφής αντιστρέφεται εύκολα Είναι ιδιαιτέρως χρήσιμη για σειρές πεπερασμένου μήκους Για παράδειγμα: n n n x X 0 x x x x x X X n n n n n x 0 0 n n n n n n x

Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Μέθοδος αναπτύγματος σε μερικά κλάσματα Η γενική μορφή αναπαράστασης ενός ΜΖ είναι: Εφαρμόζεται ανάπτυγμα σε μερικά κλάσματα: Ο πρώτος όρος υπάρχει μόνο εάν M>N Ο όρος B r λαμβάνεται μέσω διαίρεσης Ο δεύτερος όρος αναπαριστά όλους τους πόλους πρώτης τάξης Ο τρίτος όρος αναπαριστά έναν πόλο τάξης s Θα υπάρχει αντίστοιχος όρος για κάθε πόλο υψηλής τάξης Κάθε όρος μπορεί να αντιστραφεί με τη μέθοδο παρατήρησης N k k k M k k k a b X 0 0 s m m i m N i k k k k N M r r r d C d A B X, 0

Αντίστροφος ΜΖ (inverse-zt) Στο γενικό τύπο του αναπτύγματος Οι συντελεστές δίνονται: s m m i m N i k k k k N M r r r d C d A B X, 0 d k k k X d A! d i w s i m s m s m s i m w X w d dw d d m s C

i-zt με ανάπτυγμα σε μερικά κλάσματα Παράδειγμα ης τάξης X X 4 A A 4 ROC : A X 4 A X 4 4 4 X 4 x Σύστημα αιτιατό (δεξιάς πλευράς) n 4 n un- un n

i-zt με ανάπτυγμα σε μερικά κλάσματα Παράδειγμα με χρήση διαίρεσης Παράδειγμα για τάξη αριθμητή >= τάξη παρονομαστή Λόγω τάξης αριθμ. απαιτείται διαίρεση: Μέθοδος των υπολοίπων: 3 X 5 ) 3 ( 3 9 X A 5 X A A X 8 X A 8 9 X n u n u n n x n -8 9

Υλοποίηση συστημάτων διακριτού χρόνου

Ψηφιακά δικτυώματα Διαγραμματικός τρόπος περιγραφής συστημάτων διακριτού χρόνου Ψηφιακά δικτυώματα Γραφήματα με δομικά στοιχεία κλάδους και κόμβους Βοηθούν στην κυκλωματική υλοποίηση συστημάτων Βοηθούν στην ανάλυση συστημάτων y n = a y n + b 0 x[n]

Συστήματα FIR Γενικά για ένα LSI σύστημα που περιγράφεται από την αναδρομική σχέση: Λ λ=0 α λ y n λ = K k=0 β k x n k Όταν η έξοδος προκύπτει ως ένας γραμμικός συνδυασμός των τιμών της εισόδου τότε αναφερόμαστε σε Συστήματα Πεπερασμένης Κρουστικής Απόκρισης (πεπερασμένη διάρκεια) ή Finite Impulse Response (FIR) y(n) = K k=0 π.χ. moving average: y n = 3 β k x n k x n + + x n + x(n )

Για ένα FIR σύστημα Περιγραφή FIR συστημάτων Για h(n) κρουστική απόκριση y(n) έξοδο FIR συστήματος N y n = h(k) x n k k=0 Η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από τη σχέση: N H = h(n) n n=0 Το ψηφιακό δικτύωμα ενός τέτοιου συστήματος είναι: Ο τρόπος αυτός αλγεβρικής και διαγραμματικής περιγραφής του συστήματος λέγεται ευθεία μορφή

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Περιγραφή FIR συστημάτων Tο σύστημα y(n)= x(n)+4 x(n-)+3 x(n-)+x(n-3) με κρουστική απόκριση h(n)= δ(n)+4 δ(n-)+3 δ(n-)+δ(n-3) και συνάρτηση μεταφοράς H()=+4 - +3 - + -3 υλοποιείται διαγραμματικά ως εξής:

Περιγραφή FIR συστημάτων Εκτός από την ευθεία μορφή ένα FIR σύστημα μπορεί να περιγραφεί με σύνδεση σε σειρά απλούστερων (μικρότερης τάξης) FIR συστημάτων Με παραγοντοποίηση της συνάρτησης μεταφοράς και εκμετάλλευση της συνελικτικής και προσεταιριστικής ιδιότητας του μετασχηματισμού Ζ Ο τρόπος αυτός περιγραφής του συστήματος λέγεται μορφή καταρράκτη

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Περιγραφή FIR συστημάτων Έστω το σύστημα y(n)= x(n)+4 x(n-)+3 x(n-)+x(n-3) με συνάρτηση μεταφοράς H()=+4 - +3 - + -3 Με παραγοντοποίηση της H() προκύπτει H()=+4 - +3 - + -3 =(+ - + - ) ( + - ) H()= H () H () h(n)=h (n)* h (n) Άρα το σύστημα αποτελείται από δύο συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά

Συστήματα IIR Γενικά για ένα LSI σύστημα που περιγράφεται από την αναδρομική σχέση: Λ λ=0 α λ y n λ = K k=0 β k x n k Όταν η έξοδος προκύπτει ως ένας γραμμικός συνδυασμός των τιμών της εισόδου και της εξόδου τότε αναφερόμαστε σε Συστήματα Άπειρης Κρουστικής Απόκρισης (άπειρη διάρκεια) ή Infinite Impulse Response (ΙIR) y n = K k=0 β k x n k Λ λ=0 α λ y n λ

Συστήματα IIR συνεχούς μεταβλητής Το απλούστερο αναλογικό φίλτρο IIR είναι αυτό που υλοποιεί το κύκλωμα RC (ομοίως και το RL) Το φίλτρο έχει εκθετική κρουστική απόκριση C dv dt + V R = 0 V t = V 0e t RC h t = t RC e RCu t, H s = V c = V in + RCs Εξαιτίας της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς της απόκρισης το σύστημα αποκρίνεται χωρίς όρια

Περιγραφή IIR συστημάτων Η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από τη σχέση K k=0 β k k H = Λ + λ= α λ λ Διαγραμματική υλοποίηση ευθείας μορφής τύπου Ι

Περιγραφή IIR συστημάτων Η συνάρτηση μεταφοράς δίνεται από τη σχέση K k=0 β k k H = Λ + λ= α λ λ Διαγραμματική υλοποίηση ευθείας μορφής τύπου ΙΙ

Περιγραφή IIR συστημάτων Εναλλακτικά και για «οικονομία» μονάδων καθυστέρησης η ευθεία μορφή ΙΙ αναπαρίσταται:

Περιγραφή IIR συστημάτων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H = 3 + + 4 + 5 3 Περιγράφεται από τα ψηφιακά δικτυώματα:

Σχεδίαση φίλτρων

Διαδικασία σχεδίασης Ξεκινά από προδιαγραφές του φίλτρου Περιορισμοί Πλάτος Φάση Απόκριση συχνότητας Κρουστική απόκριση Βηματική απόκριση Τύπος του φίλτρου (FIR, IIR) Σχεδίαση φίλτρων Τάξη του φίλτρου Ακολουθεί καθορισμός των συντελεστών του φίλτρου Υλοποίηση σε υλικό ή/και λογισμικό Κβαντισμός συντελεστών του φίλτρου (προαιρετικά)

Προδιαγραφές φίλτρων Περίπτωση χαμηλοπερατών φίλτρων Σχεδίαση φίλτρων Σύνολο προδιαγραφών: ω p συχν. αποκοπής στη ζ. διέλευσης ω s συχν. αποκοπής στη ζ. αποκοπής δ p απόκλιση στη ζ. διέλευσης a p =-0log(-δ p ) db δ s απόκλιση στη ζ. Αποκοπής a s =-0log(δ s ) db Απόκλιση Ζώνη διέλευσης Ζώνη αποκοπής Ζώνη μετάβασης

Φίλτρα FIR Χρήση παραθύρων Δειγματοληψία συχνότητας Ισοκυματικά φίλτρα γραμμικής φάσης Σχεδίαση φίλτρων Φίλτρα IIR Μέσω σχεδίασης χαμηλοπερατών αναλογικών φίλτρων Butterworth, Chebyshev, Ελλειπτικά Εφαρμογή μετασχηματισμού συχνοτήτων (υψηπερατά, κλπ) Προσέγγιση των ελαχίστων τετραγώνων Απευθείας στο πεδίο των δειγμάτων (χρόνου)

Δύο γενικοί τρόποι σχεδίασης Σχεδίαση φίλτρων IIR Σχεδίαση αναλογικού IIR και απεικόνιση στο ισοδύναμο ψηφιακό φίλτρο Χρήση αλγοριθμικής διαδικασίας σχεδίασης με επίλυση συστήματος γραμμικών ή μη-γραμμικών εξισώσεων

Σχεδίαση φίλτρων IIR Πρότυπα αναλογικών χαμηλοπερατών φίλτρων Τυπικό σύνολο προδιαγραφών στη ζώνη διέλευσης δ p H a jω

Σχεδίαση φίλτρων IIR Πρότυπα αναλογικών χαμηλοπερατών φίλτρων Εναλλακτικά με χρήση δύο βοηθητικών παραμέτρων: Παράγοντας διακριτικότητας (discrimination factor) d = ( δ p) ε δ = s A Παράγοντας επιλεκτικότητας (selectivity factor) k = Ω p Ω s

Φίλτρο Butterworth Το φίλτρο Butterworth είναι ένα φίλτρο που σχεδιάστηκε ώστε να έχει την πιο ομαλή κατά το δυνατόν απόκριση συχνότητας στην περιοχή διέλευσης Αναφέρεται επίσης ως το περισσότερο επίπεδου πλάτους φίλτρο Περιγράφηκε πρώτη φορά το 930 από το Βρετανό μηχανικό Stephen Butterworth On the Theory of Filter Amplifiers Εικόνα από την εργασία του 930 με καμπύλες για, 4, 6, 8, 0 πόλους

Φίλτρο Butterworth Το τετράγωνο του πλάτους της απόκρισης συχνότητας H a (jω) = + jω N jω c όπου Ν παράμετρος που αντιστοιχεί στην τάξη του φίλτρου (αριθμός πόλων) και Ω c η συχνότητα αποκοπής στα 3dB Το πλάτος μπορεί να γραφεί H a (jω) = + ε jω jω p N, όπου ε = Ω p Ω c Ν

Φίλτρο Butterworth Χαρακτηριστικά Η απόκριση συχνότητας φθίνει με την αύξηση της Ω Το εύρος της ζώνης μετάβασης μειώνεται όσο αυξάνεται η τάξη Ν

Φίλτρο Butterworth H a (jω) = + jω N jω c G a s = H a s H a s = H a (jω) = H a (s) H a ( s) s=jω + s JΩ c N Οι πόλοι της οποίας είναι σε Ν ισαπέχοντα σημεία γύρω από κύκλο ακτίνας Ω c συμμετρικά τοποθετημένα ως προς τον άξονα jω s k = N jω c = Ω c e jn++k N π, k = 0,,, N τάξη Ν=6 τάξη Ν=7 Από τις Ν ρίζες υπολογίζεται η συνάρτηση μεταφοράς H a s = s N + a s N + + a N s + a N

Φίλτρο Butterworth Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να εκφραστεί επίσης ως γινόμενο παραγόντων: H a s = k= N (s s k )/Ω c G 0 = και Ω c = για κανονικοποιημένο φίλτρο Ο παρονομαστής αποτελεί ένα πολυώνυμο Butterworth με γενική κανονικοποιημένη μορφή: B N s = B N s = (s + ) N/ k= (N )/ k= s s cos s s cos G 0 k + N π N k + N π N +, N άρτιος +, N περιττός

Φίλτρο Butterworth Το πολυώνυμο Butterworth για διαφορετικές τιμές Ν δίνει μια σειρά από παράγοντες Για Ν= 8 είναι: από όπου προκύπτουν και οι αντίστοιχες ρίζες του πολυωνύμου όταν βρίσκεται στον παρονομαστή του H(s)

Φίλτρο Butterworth Από την παραγοντοποιημένη μορφή του πολυωνύμου Butterworth για διαφορετικές τιμές του Ν εξάγουμε τους συντελεστές της συνάρτησης μεταφοράς:

Φίλτρο Butterworth Όταν δίνονται οι παράμετροι Ω p, Ω s, δ p, δ s. Από τις προδιαγραφές υπολογίζονται οι παράγοντες διακριτικότητας (d) και επιλεκτικότητας (k). Προσδιορίζεται η απαιτούμενη τάξη του φίλτρου από: N logd logk 3. Τίθεται η συχνότητα αποκοπής των 3dB, Ωc ως: Ω p δ p /N Ωc Ω s δ s /N 4. Γίνεται σύνθεση της συνάρτησης μεταφοράς από πόλους G a s = H a s H a s = + s jω N c που βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο H a s = N k=0 sk s s k s k = Ω c e j N++k N π

Παράδειγμα σχεδίασης χ/π Butterworth Να σχεδιαστεί χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth με προδιαγραφές: f p =6 kh, f s =0 kh, δ p =δ s =0. Υπολογίζονται αρχικά οι παράγοντες διακριτικότητας και επιλεκτικότητας d = ( δ p) δ s Επειδή N logd logk = 0.0487, k = Ω p Ω s = f p f s = 0.6 = 5.9, έπεται ότι απαιτείται τάξη τουλάχιστον 6 Με κεντρική συχνότητα που εντοπίζεται στο διάστημα f p δ p /N = 6770 fc 689 = f s δ s /N Η συνάρτηση μεταφοράς εκτιμάται από το κανονικοποιημένο φίλτρο 6 ης τάξης με αντικατάσταση όπου s το s/ω c H a s = s 6 + 3.8637s 5 + 7.464s 4 + 9.46s 3 + 7.464s + 3.8637s +

Φίλτρο Chebyshev Τα φίλτρα Chebyshev ορίζονται με τη βοήθεια των πολυωνύμων Chebyshev T N x = cos N cos x x cosh N cosh x x > τα οποία δημιουργούνται από την αναδρομική σχέση T k+ x = xt k x T k x, k, T 0 x =, T x = x και παρουσιάζουν τις εξής ιδιότητες x T N x x > T N x τιμή πολυωνύμων αυξάνεται μονοτονικά N T N = Για άρτια N Τ Ν (0)=±, για περιττά N Τ Ν (0)=0 Όλες οι ρίζες του T N (x) βρίσκονται στο διάστημα - x

Δύο οι τύποι των φίλτρων Chebyshev Φίλτρο Chebyshev Chebyshev τύπου Ι Ισοκυματική ζώνη διέλευσης και μονότονα φθίνουσα ζώνη αποκοπής Η συνάρτηση μεταφοράς περιλαμβάνει μόνο πόλους Chebyshev τύπου ΙΙ Μονότονη ζώνη διέλευσης και ισοκυματική ζώνη αποκοπής Η συνάρτηση μεταφοράς περιλαμβάνει πόλους και μηδενικά

Chebyshev τύπου Ι Πολυώνυμα τύπου Ι Φίλτρο Chebyshev T k+ x = xt k x T k x, k, T 0 x =, T x = x

Chebyshev τύπου Ι Φίλτρο Chebyshev Το πλάτος της απόκρισης συχνότητας δίνεται: H a (jω) = + ε Ω T N Ω p όπου Ω p η συχνότητα αποκοπής στη ζώνη διέλευσης και ε η παράμετρος που ελέγχει το πλάτος της κυμάτωσης οδηγώντας σε ταλάντωση μεταξύ και /( + ε ) απόκριση για περιττή τάξη Ν=5 απόκριση για άρτια τάξη Ν=6

Φίλτρο Chebyshev Πολυώνυμα Chebyshev τύπου Ι για Ν= 5 στο - x

Chebyshev τύπου Ι Η συνάρτηση μεταφοράς έχει τη μορφή H a s = H a 0 N k=0 Φίλτρο Chebyshev sk, H s s a 0 = ε / για N άρτιο k για N άρτιο Βήματα σχεδίασης. Με δεδομένα Συχνότητα αποκοπής στη ζώνη διέλευσης και αποκοπής (Ω p, Ω s ή f p, f s ) Κυμάτωση στη ζώνη διέλευσης (είτε ως δ p, δ s είτε ως ε, A). Υπολογισμός παραγόντων επιλεκτικότητας k, διακριτικότητας d 3. Προσδιορισμός τάξης N cosh ( d ) cosh ( k ) 4. Δημιουργούμε την G a s = H a s H a s = +ε T N (s/jω) 5. Εξάγουμε την H a (s) από τους πόλους της G a (s) στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο (s-plane)

Παράδειγμα σχεδίασης χ/π Chebyshev I Να σχεδιαστεί χαμ/τό φίλτρο Chebyshev τύπου I με προδιαγραφές: f p =6 kh, f s =0 kh, δ p =δ s =0. Υπολογίζονται αρχικά οι παράγοντες διακριτικότητας και επιλεκτικότητας d = ( δ p) δ s = 0.0487, k = Ω p Ω s = f p f s = 0.6 Επειδή N cosh ( d ) cosh ( = 3.38, απαιτείται τάξη τουλάχιστον N=4 ) k Συνεπώς το πολυώνυμο Chebyshev I είναι T 4 x = 8x 4 8x + Άρα H a (jω) = +ε T N Ω Ωp, όπου Ω p = πf p, T 4 Ω Ω p = 8 Ω Ω p 4 8 Ω Ω p + και ε = δ p / = 0.4843

Chebyshev τύπου IΙ Πολυώνυμα τύπου ΙI Φίλτρο Chebyshev U k+ x = xu k x U k x, k, U 0 x =, U x = x

Chebyshev τύπου ΙΙ Φίλτρο Chebyshev Το πλάτος της απόκρισης συχνότητας δίνεται: H a (jω) = +ε U N Ω s Ωp U N Ωs Ω Ω p συχνότητα αποκοπής στη ζώνη διέλευσης Ω s συχνότητα αποκοπής στη ζώνη αποκοπής και ε η παράμετρος που ελέγχει το πλάτος της κυμάτωσης οδηγώντας σε ταλάντωση μεταξύ και /( + ε ) ή μεταξύ 0 και /Α απόκριση για περιττή τάξη Ν=5 απόκριση για άρτια τάξη Ν=6

Φίλτρο Chebyshev Πολυώνυμα Chebyshev τύπου ΙI για Ν= 5 στο - x

Chebyshev τύπου IΙ Η συνάρτηση μεταφοράς έχει τη μορφή H a s = με πόλους στα σημεία a k = Ω s N ak k=0 b k s b k s a k Φίλτρο Chebyshev s k και s k οι πόλοι ενός φίλτρου τύπου Ι τα μηδενικά είναι πάνω στο φανταστικό άξονα όπου U N Βήματα σχεδίασης Ω s Ω = 0 Όμοια με τύπου Ι με μόνη διαφορά στον υπολογισμό: ε = δ s /

Παράδειγμα σχεδίασης χ/π Chebyshev II Να σχεδιαστεί χαμ/τό φίλτρο Chebyshev τύπου II με προδιαγραφές: f p =6 kh, f s =0 kh, δ p =δ s =0. Υπολογίζονται αρχικά οι παράγοντες διακριτικότητας και επιλεκτικότητας d = ( δ p) δ s = 0.0487, k = Ω p Ω s = f p f s = 0.6 Επειδή N cosh ( d ) cosh ( = 3.38, απαιτείται τάξη τουλάχιστον N=4 ) k Συνεπώς το πολυώνυμο Chebyshev II είναι U 4 x Άρα H a (jω) = +ε U N Ωs Ωp U N Ωs Ω, = 6x 4 x + όπου Ω p = πf p, U 4 Ω s Ω p = 6 Ω s Ω p 4 Ω s Ω p + και ε = δ s / = 0.

Φίλτρα IIR από αναλογικά φίλτρα Σχεδίαση ψηφιακού από πρότυπο αναλογικό φίλτρο απαιτεί μετασχηματισμό της h a t σε h(n) Απεικόνιση του μιγαδικού s-επιπέδου στο -επίπεδο H = H a (s) s=m() με s=m() τη συνάρτηση απεικόνισης Ιδιότητες της m() για να είναι αποδεκτό το φίλτρο Ένα-προς-ένα απεικόνιση από τον άξονα jω στο μοναδιαίο κύκλο (διατήρηση χαρακτηριστικών του αναλογικού φίλτρου) Το αριστερό ημιεπίπεδο πρέπει να απεικονίζεται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου (διατήρηση της ευστάθειας) Η m() ρητή συνάρτηση για απεικόνιση σε ρητή H()

Φίλτρα IIR από αναλογικά φίλτρα Τυπικές προσεγγίσεις για απεικόνιση αναλογικών φίλτρων σε ψηφιακά Κρουστική αμεταβλητότητα (impulse invariance) Δειγματοληψία της κρουστικής απόκρισης του αναλογικού φίλτρου Διγραμμικός μετασχηματισμός (bilinear transformation) Απεικόνιση του s-επίπεδο στο -επίπεδο με δεδομένη σχέση

Φίλτρα IIR από αναλογικά φίλτρα Διγραμμικός μετασχηματισμός Η απεικόνιση ορίζεται από τη σχέση s = T s + Η συνάρτηση μεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου είναι: H = H a s = H a T s + Η σχέση μεταξύ του άξονα jω και του μοναδιαίου κύκλου είναι μη γραμμική και εκφράζεται από τη συνάρτηση στρέβλωσης συχνότητας (frequency warping function) ω = tan ΩT s αντίστροφα είναι: Ω = T s tan ω ως αποτέλεσμα της στρέβλωσης ο Μ/Σ διατηρεί μόνο το πλάτος της απόκρισης συχνότητας του αναλογικού φίλτρου

Φίλτρα IIR από αναλογικά φίλτρα Η απεικόνιση του διγραμμικού μετασχηματισμού

Φίλτρα IIR από αναλογικά φίλτρα Διγραμμικός μετασχηματισμός - Βήματα διαδικασίας Για ζητούμενο χαμηλοπερατό διακριτό φίλτρο με προδιαγραφές που ορίζονται από τα ω p, ω s, ω c, δ p, δ s Πραγματοποιείται αποστρέβλωση (prewarping) της συχνότητας με τη σχέση Ω = T s tan ω Σχεδιάζεται το αναλογικό φίλτρο Εφαρμόζεται ο διγραμμικός μετασχηματισμός και λαμβάνεται το διακριτό φίλτρο

Φίλτρα IIR από αναλογικά φίλτρα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σχεδίαση χαμηλοπερατού φίλτρου πρώτης τάξης με συχνότητα αποκοπής των 3dB ω c =0.5π με διγραμμικό μετασχηματισμό φίλτρου Butterworth με συν. μεταφοράς H a s = + s Ω c Η συχνότητα αποκοπής Ω c του αναλογικού φίλτρου υπολογίζεται με αποστρέβλωση: Ω c = tan ω c T s Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς είναι: H a s = Με διγραμμικό μετασχηματισμό έχουμε H = H a T s + = = 0.88 T s + s T s 0.88 + + 0.88 = 0.9 0.46 +