A) výpočet momentu zotrvačnosti

A) výpočet momentu zotrvačnosti (N /, 8). Vypočítajte moment zotrvačnosti symetricky splackateného kotúčika toaletného papiera s hmotnosťou m, výškou h, s vonkajšou stranou dĺžky a a vnútornou stranou dĺžky b okolo osi O (viď obrázok). (HINT: Pri výpočte môžete využiť poznatok, že moment zotrvačnosti plnej kocky s hmotnosťou m a so stranou a okolo osi prechádzajúcej stredmi protiľahlých strán je ma 6 I =.) m a 6 ( + b ). Vypočítajte moment zotrvačnosti nasledovných homogénnych útvarov: (Hajko, III/9) a) tyče s dĺžkou l a hmotnosťou M vzhľadom na os i) prechádzajúcu koncovým bodom tyče, Ml 3 ii) prechádzajúcu stredom tyče, Ml (Hajko, III/) b) kruhovej dosky s hmotnosťou M a polomerom R vzhľadom na os prechádzajúcu stredom dosky kolmo na rovinu dosky, (doc. Ševčík) c) kruhovej dosky s hmotnosťou M a polomerom R vzhľadom na os ležiacu pozdĺž priemeru, MR MR 4 verzia ZS /8

d) valca s výškou h, vnútorným polomerom R a hmotnosťou M vzhľadom na os, ktorá prechádza stredovou osou valca, (MMF, s. 45) e) valca s výškou h, vnútorným polomerom R a hmotnosťou M vzhľadom na os, ktorá prechádza stredom valca a je kolmá na geometrickú os, MR (MMF, s. 6) R M f) valca s hustotou ρ, výškou H, vnútorným polomerom R a vonkajším polomerom R vzhľadom na os, ktorá prechádza stredom dutiny valca, (MMF, s. 43) M h + 4 ( R + R ) M = πρh ( R R ), g) disku s polomerom R a hmotnosťou M vzhľadom na zvislú os prechádzajúcu stredom disku, (MMF, s. 45) h) gule s hmotnosťou M a polomerom R vzhľadom na os predchádzajúcu jej stredom, (MMF, s. 5) i) polguľového plášťa s hmotnosťou M a polomerom R vzhľadom na os predchádzajúcu jeho stredom a súčasne stredom podstavy, MR MR 5 (MMF, s. 47) j) kužeľa s polomerom podstavy R a výškou H vzhľadom k priemeru podstavy, πhr 6 MR 3 ( H + 3R ) verzia ZS /8

(Klimo - Mechanika) k) obdĺžnikovej dosky (so stranami a, b a hmotnosťou M) vzhľadom na uhlopriečku, (Klimo - Mechanika) l) obdĺžnikovej dosky (so stranami a, b a hmotnosťou M) vzhľadom na súradnicové osi prechádzajúce stredom obdĺžnika a majúce v ňom svoj počiatok, M 6 a b a + b (FX, A3) m) obdĺžnikovej dosky (so stranami a, b a hmotnosťou M) vzhľadom na uhlopriečku, I x a b = mb ; I y = ma ; I z = m ; 6 a + b M 6 a b a + b n) kocky (s hranou dĺžky a a hmotnosťou M) vzhľadom na os prechádzajúcu stredmi dvoch protiľahlých stien, Ma 6 o) pravidelného štvorstenu (s hmotnosťou M a dĺžkou hrany a) vzhľadom na os prechádzajúcej vrcholom a stredom protiľahlej steny, Ma p) pravidelného osemstenu (s hmotnosťou M a dĺžkou hrany b) vzhľadom na os prechádzajúcu stredmi dvoch protiľahlých stien, Ma verzia ZS 3/8

(MMF, s. 46; Hajko III/) 3. Vypočítajte tenzor momentu zotrvačnosti homogénneho kvádra s rozmermi a, b, c a hmotnosťou M. M ( b + c ) M ( a + c ) M ( a + b ) (MMF, s. 47) 4. Vypočítajte tenzor momentu zotrvačnosti homogénnej kocky s dĺžkou hrany a a hmotnosťou M. M a 6 M a 6 M a 6 B) pohyb dokonale tuhého telesa (Hajko, III/34) 5. Homogénna kruhová doska s hmotnosťou m = kg a polomerom r = cm sa kýve ako fyzikálne kyvadlo okolo vodorovnej osi, prechádzajúcej obvodom dosky. Nájdite periódu T tohto fyzikálneho kyvadla a jeho redukovanú dĺžku l. 3r 3 T = π =,77s; l = r = 5cm g (Hajko, III/35) 6. Daná je priama homogénna tyč dĺžky l = m. Nájdite vzdialenosť od stredu tyče, v korej je potrebné tyč upevniť, aby sa kývalo ako fyzikálne kyvadlo s minimálnou periódou. l =,9m 3 (N /, 39) 7. Na vodorovne rotujúci disk s kinetickou energiou E dopadne zhora druhý (rovnaký, ale nerotujúci) disk. Aká bude výsledná rotačná energia sústavy? E verzia ZS 4/8

(N /, 7) 8. Disk s hmotnosťou m a polomerom R sa voľne otáča veľkosťou uhlovej rýchlosti ω. Následne naň položíme nerotujúci disk s tým istým polomerom a s hmotnosťou m. O akú teplotu sa disky ohrejú? Predpokladajte, že oba disky sú vyrobené z materiálu s mernou tepelnou kapacitou c a majú všade rovnakú hrúbku. (Hajko, III/3) mm R ω 4 c( m + m ) 9. Homogénne teleso guľového tvaru s polomerom r a hmotnosťou M sa valí vplyvom svojej tiaže po naklonenej rovine, zvierajúcej s vodorovnou rovinou uhol α. Akú veľkosť rýchlosti v má ťažisko gule po prebehnutí dráhy s a v akom vzťahu je táto veľkosť rýchlosti k veľkosti rýchlosti v *, ktorú by malo ťažisko gule pri čistom šmýkaní bez trenia po uvedenej naklonenej rovine? v = gs sinα ; v = 7 5 v 7 (Hajko, III/33). Homogénny rotačný valec s polomerom r a hmotnosťou m sa valí bez prešmykovania vplyvom vlastnej tiaže po naklonenej rovine s uhlom sklonu α. Určite veľkosť zrýchlenia ťažiska valca a * a veľkosť rýchlosti v *, ktorú má ťažisko po prejdení dráhy s, keď v čase t = bol valec v pokoji. (Hajko, III/3) a = gs sin g sinα; v = α 3 3. Tyč s hmotnosťou m = kg a dĺžkou l = m je uložená na vodorovnej osi, prechádzajúcej koncovým bodom tyče. Akou veľkosťou rýchlosti v prebehne druhý koncový bod tyče svojou najnižšou polohou, keď tyč pustíme z najvyššej polohy(viď obrázok)? Akou veľkosťou sily F je namáhaná os tyče v okamihu prechodu tyče najnižšou polohou? [ v = 6gl = 7,7m. s ; F = 4mg = 78, 5N ] verzia ZS 5/8

(Hajko, III/7). Drevená tyč dĺžky l = 4 cm a hmotnosti m = kg sa môže otáčať okolo osi, ktorá je na tyč kolmá a prechádza jej stredom. Na koniec tyče narazí strela hmotnosti m = g, ktorá letí veľkosťou rýchlosti v = m.s - v smere kolmom na os i na tyč. Nájdite veľkosť uhlovej rýchlosti ω, ktorou sa tyč dá do otáčavého pohybu, keď v nej strela uviazne. mvl ω = I = 9,Hz ; kde : I = ml (N /, 8; FYKOS VIII-IV.4 otázka na prejdený uhol valca do zastavenia) 3. Tenkostenný valec s polomerom R sme roztočili veľkosťou uhlovej rýchlosti ω a postavili ho ku stene (viď obrázok). Koeficient trenia medzi valcom a podlahou a medzi valcom a stenou je rovný μ. Určite, po koľkých obrátkach sa valec zastaví. ω R 8π. µ g ( + µ ) ( + µ ) (N /, 34) 4. Malý valček s polomerom r a hmotnosťou m sa kotúľa bez prešmykovania z bodu A do bodu B (viď obrázok). Aká musí byť výška H, aby sa tam vôbec dokotúľal? H = R 4 verzia ZS 6/8

(N /, 38) 5. Vo veľkej miestnosti sa nachádza koberec tvaru štvorca. Ak ho roztočíme okolo vrcholu, trením sa zastaví za čas t. Za aký čas sa koberec zastaví, ak ho tou istou veľkosťou uhlovej rýchlosti roztočíme okolo stredu? (N /, 36) 6. Hore naklonenou rovinou ťaháme homogénny valec s polomerom R a hmotnosťou M za stredovú osku silou F. Aký najmenší musí byť koeficient statického trenia f medzi valcom a naklonenou rovinou, aby valec v takejto situácii neprešmykoval? f t F α 3 Mg cosα tg (N 8/9, 8) 7. Peťo hodil bowlingovú guľu veľkosťou rýchlosti v rovno po dráhe s koeficientom statického trenia f. Dal jej však spätnú rotáciu s veľkosťou uhlovej rýchlosti ω. Aká najmenšia musí byť táto veľkosť uhlovej rýchlosti, aby sa guľa po určitom čase začala kotúľať naspäť? Polomer gule je R a jej hmotnosť M. (N 8/9, 33) 8. Puk s hmotnosťou m má tvar valca s polomerom R. Roztočíme ho veľkosťou uhlovej rýchlosti ω a položíme na ľad. Koeficient šmykového trenia medzi ľadom a pukom je f. Ako dlho potrvá, kým sa puk zastaví? ω > 5 v R 3ωR 4 fg (N 5/6, 5) 9. Po vodorovnej rovine sa bez prešmykovania veľkosťou rýchlosti v valí dutý valec (bez podstáv), vo vnútri ktorého sa nachádza malé teliesko. Koeficient statického trenia telieska o vnútro valca je f. Po prejdení akej vzdialenosti l sa valec prvý raz zastaví, ak hmotnosť je M a telieska m? Predpokladajte, že teliesko sa vzhľadom na os valca nepohybuje. l = + f gf M + v m verzia ZS 7/8

(N 4/5, ). Skrutku zaťahujeme momentom sily veľkosti M. Akou veľkosťou sily F je táto skrutka tlačená dovnútra, ak pootočenie skrutky o uhol φ spôsobí jej posunutie o vzdialenosť x? ϕ F = M x (N 4/5, 4). Malé teleso hmotnosti m narazí neznámou veľkosťou rýchlosti v do gule s hmotnosťou M a polomerom R, ktorá sa otáča okolo stredu s periódou T (os rotácie je kolmá na rovinu papiera (viď obrázok). Ťažisko gule bolo na začiatku v pokoji. Po zrážke sa guľa prestala otáčať, ale pohybuje sa rovnomerne priamočiaro. Aká je veľkosť rýchlosti gule po zrážke? Moment zotrvačnosti gule je MR a zrážka bola dokonale nepružná. 5 4πR 5T sinα M M + m (N 6/7, 3). Telekomunikačný kábel je navinutý na cievke s vnútorným polomerom R a vonkajším R. Kábel je tenký, ale jeho hmotnosť M je oveľa väčšia ako hmotnosť cievky. Spojár Filip začne zospodu cievky ťahať kábel silou F. Ktorým smerom a s akou veľkosťou zrýchlenia sa začne kotúľať cievka, ak je trenie medzi ňou a zemou dostatočne veľké na to, aby neprešmykovala? F doprava; 5 M verzia ZS 8/8

(N 7/8, 3) 3. Planéta Malého princa je homogénna guľa s polomerom R. Malý princ na jej povrch upevnil raketový motor, ktorý na ňu po zapnutí začne pôsobiť silou veľkosti F v smere dotyčnicovom k povrchu. V jeho planéte sa nachádza priamka, ktorej body v okamihu spustenia motora majú nulové zrýchlenie. Ako ďaleko od motora sa táto priamka nachádza? 7 R 5 (N /3, 49) 4. Homogénna planétka tvaru gule s hmotnosťou m, polomerom R a momentom zotrvačnosti I sa nachádza v beztiažovom stave. V jednom mieste na povrchu má k sebe pripevnený ideálny motor, ktorý po zapnutí začne ťahať silou veľkosti F v dotyčnicovom smere. Určite zrýchlenie motora tesne po jeho zapnutí. 7F m (FKS 993/994, A-4.4) 5. Sud tvaru valca polomeru R, v ktorom je voda hmotnosti m, sa valí po naklonenej rovine so sklonom α, pričom po ňom beží pes tak, že je stále v jeho najvyššom bode (viď obrázok). S akou veľkosťou zrýchlenia sa pohybuje sud? Hmotnosť samotného suda považujte za zanedbateľnú voči hmotnosti vody v ňom. m + M m + M ( + cosα ) (FKS /, B-5.3) 6. Túžba po prvenstve priviedla jedného dňa Lewisa Hamiltona k tomu, aby vyzval Sebastiana Vettela na súkromné preteky len ty a ja. Dohoda bola jasná: rovnaké autá, s rovnakými karosériami, hmotnosťami a kolesami (t.j. rovnaké hmotnosť a moment zotrvačnosti). Deň pred odhalením pravdy však Vettel nemohol zaspať a rozhodol sa poistiť. Kolesá na svojej formule vymenil za rovnako ťažké a s rovnakým momentom zotrvačnosti, ale s väčším polomerom. Pomôže mu tento nie práve najférovejší ťah k víťazstvu a prečo? [z úvah o kinetickej energii kolies a trecej sile medzi kolesami a vozovkou: áno] (FKS 995/996, B-5.3) 7. Na šikmú plochu so sklonom φ položíme zrolovaný koberec dĺžky L. Za aký čas sa celý vystrie? 3L g sinϕ verzia ZS 9/8

(FKS 994/995, B-3.3) 8. Zúrivý pološialený indián vystrelil svoj ultrašíp s hmotnosťou m veľkosťou rýchlosti v do lopatky veterného mlyna. Akou veľkosťou uhlovej rýchlosti sa tento začne otáčať, ak jeho hmotnosť je M, dĺžka lopatiek je l a šíp sa zabodol presne do okraja lopatky? l 3mv ( M + 3m) (FYKOS XII-V.) 9. Dve fľaše (jednu plnú vody a jednu prázdnu) necháme kotúľať po naklonenej rovine. Ktorá fľaša sa skotúľa skôr? Pokiaľ tie isté fľaše vyšleme s rovnakou počiatočnou rýchlosťou po naklonenej rovine nahor, ktorá sa dokotúľa vyššie? (FYKOS XVI-II.) [skotúľa sa skôr plná; vyššie vystúpi prázdna] 3. Vesmírna loď sa skladá z dvoch kabín s hmotnosťami M, medzi nimi sa nachádza spojnica dĺžky l (loď vyzerá trochu ako činka). Jedna z kabín bola zasiahnutá malým (s hmotnosťou m «M), ale pekelne rýchlym (veľkosť rýchlosti u) meteoroidom. Po tejto fatálnej kolízii sa loď začala pohybovať a tiež rotovať (veľkosť uhlovej rýchlosti rotácie označíme ω). Ako ďaleko od nezasiahnutej kabíny onen meteoroid preletel? Môžete predpokladať, že veľkosť rýchlosti zvyšku po meteoroide vzhľadom ku kabíne je zanedbateľná v porovnaní s veľkosťou rýchlosti u. (FKS 996/997, B-.) 4 Ml ω um 3. Tuhá kocka sa pohybuje v priestore. Body B, C sa pohybujú v istom momente veľkosťou rýchlosti v smerom dole (viď obrázok). Veľkosť rýchlosti bodu A je v. Ktoré body kocky sa pohybujú najrýchlejšie a aká je ich veľkosť rýchlosti? [hrana naproti hrane BC] verzia ZS /8

(Morin) 3. Na homogénny kruhový kotúč (s polomerom R a hmotnosťou μ), ktorý sa môže otáčať okolo pevnej vodorovnej osi, je navinutá niť. Voľný koniec nite je zaťažený závažím s hmotnosťou m. Riešte pohyb tejto sústavy spôsobený tiažou závažia [t.j. nájdite závislosť x = x (t)]. Trenie zanedbajte. (Morin) x = m g t µ + m 33. Podľa obrázka sa niť navíja na valec s hmotnosťou M. Na druhej strane nite je cez nehmotnú kladku upevnené teleso s hmotnosťou m. Valec rotuje bez prekĺzavania po naklonenej rovine so sklonom θ. Aká bude veľkosť zrýchlenia telesa m? ( M sinθ m) g 3 M + m 4 (Morin) 34. Malá guľôčka s hmotnosťou m narazila kolmo na paličku dĺžky l a rovnakej hmotnosti m. Palička bola pred zrážkou v pokoji. V akej polohe by mala guľôčka naraziť dokonale pružne na paličku tak, že guľôčka a ťažisko paličky sa po zrážke pohybujú rovnakou rýchlosťou? l 6 (Morin) 35. Uvažujme hmotnú kladku (viď obrázok). Niť je nehmotná a nekĺže sa po kladke. Nájdite veľkosť zrýchlenia telies m a m. g 7 verzia ZS /8

(FYKOS XII-I.P; na podobný princíp sú už dva neohviezdičkované nábojové príklady) 36. (*) Vo vesmíre sa nachádza homogénna planétka s hmotnosťou m a polomerom R, na ktorej povrch pripevníme raketový motor. Motor je ideálne zariadenie, ktoré má nulovú hmotnosť a bez ohľadu na čokoľvek dokáže vyvinúť určitý ťah F v dotyčnicovom smere k povrchu. Motor je upevnený k povrchu planétky a nemôže sa od neho odpútať. Určite, ako sa bude planétka pohybovať po uvedení motoru do činnosti. [veľkosť uhlovej rýchlosti planétky po určitom čase t bude 5 F t mr 5 F φ t = t ; 4 mr a jej uhol otočenia ( ) d x F d y F = cos ] dt m dt m pre pohyb ťažiska planétky získame diferenciálne rovnice φ ( t ), = sinφ ( t ) (FKS 996/997, A-.) 37. (*) Disk hmotnosti M a polomeru R rotuje uhlovou rýchlosťou ω. Položíme na neho druhý disk hmotnosti m a polomeru r. Za aký čas t budú disky rotovať rovnakou uhlovou rýchlosťou, ak koeficient šmykového trenia medzi diskami je f? ( ) t 3 ω = r, r = min r R g f mr, min 4. + r min MR (FYKOS VIII-V.3) 38. (*) Drevenú guľu a drevený valec s rovnakým polomerom a z rovnakého materiálu vrhneme (bez roztočenia, viď obrázok) rýchlosťou v po podlahe a sledujeme, na akej rýchlosti v sa pohyb telies ustáli. Ktoré z telies bude rýchlejšie? Určite konečné veľkosti rýchlosti oboch telies. Uvažujte iba šmykové trenie s koeficientom μ, valivé trenie zanedbajte. v VALEC 5 = v, vgula = v 3 7 (FKS 995/996, A-6.) 39. (*) Guľu rotujúcu uhlovou rýchlosťou ω položíme na stôl tak, že os rotácie je rovnobežná so stolom. Určite, akú vzdialenosť guľa prejde, kým neprestane prešmykovať. Koeficient šmykového trenia je f. ( r ) ω 49 fg verzia ZS /8

(FYKOS XIV-III.) 4. (*) Nad vodorovnou podložkou sa nachádza homogénna guľa s polomerom R, ktorá rotuje veľkosťou uhlovej rýchlosti ω okolo vodorovnej osi. Akou veľkosťou rýchlosti v ju musíte vrhnúť vo vodorovnom smere kolmom na os rotácie, aby sa po sérii dopadov na podložku zastavila? Valivý odpor je nulový, nie však šmykové trenie. 5 Rω (FKS /3, A-.4) 4. (*) Akú najvyššiu hranatú prekážku dokáže prejsť klaun na cirkusovom jednokolesovom bicykli? Polomer kolesa je R, koeficient statického trenia kolesa o prekážku je f. h R f + (FKS 993/994, B-.3) 4. (*) Tyč dĺžky L s rovnomerne rozloženou hmotnosťou M visí zavesená na lankách za svoje konce. Jeden zo závesov prestrihneme. Akou veľkosťou sily je v tomto okamihu napínaný druhý záves? Mg 4 (FKS 999/, A-.4; FKS 993/994, A-3.4) 43. (*) Plný disk s hmotnosťou M a polomerom R sa otáča veľkosťou uhlovej rýchlosti ω. Zvrchu naň necháme pomaly padnúť latku hmotnosti m tak, že keď sa táto dotýka kotúča, zviera s vodorovnou rovinou uhol α a uhol medzi dotykovým bodom a najvrchnejším bodom kotúča je 45. Koeficient šmykového trenia medzi doskou a diskom je f. Koľko N otáčok kotúč ešte urobí, ak sa otáča: MRω a) v smere N = + tgα 8π. mg f f b) proti smeru hodinových ručičiek? MRω N = + + + tgα 8π. mg f f verzia ZS 3/8

(FKS 995/996, B-4.4) 44. (*) Ceruzka je postavená na podložke v zvislej polohe. Vďaka malému impulzu začne ceruzka padať. Popíšte jej pohyb, kým nedopadne. Koeficient statického trenia medzi hrotom ceruzky a podložkou je μ, uhol odklonu ceruzky od zvislej polohy je φ. [koniec ceruzky sa po okamih dopadu bude pohybovať s veľkosťou zrýchlenia 3 µ g g sin ϕ ] 4 (FKS /, A-.3) 45. (*) Máme komín postavený z kociek. Tieto kocky sa po sebe vodorovne šmýkať nemôžu, ľahko sa však rozoberú v zvislom smere. Komín začne padať zo zvislej polohy po jemnom ťuknutí. Pri akom uhle sklonu α a v ktorom mieste sa počas pádu začne rozpadať (v smere komína)? [α 45 ] (FKS /, B-3.3) 46. (*) Predstavte si rolku toaletného papiera s dĺžkou l, hmotnosťou m, vonkajším polomerom R a vnútorným polomerom r. Pevne chytíme jej voľný koniec a kotúč necháme padať z vysokej budovy. Vyjadrite veľkosť rýchlosti v pohybu rolky vo výške h pod miestom, z ktorého sme ju pustili. Odpor vzduchu zanedbajte. v l h = hg + l h ( l h) R ( ) + l + h r ( ) + l h R hr (N 6/7, 6) 47. (*) Skrutka s hmotnosťou m má tvar valca s polomerom r a malými vytŕčajúcimi závitmi. Polovicou svojej dĺžky je zaskrutkovaná do zvislej diery, v ktorej sa môže bez trenia otáčať, a tým ďalej zaskrutkovávať. Ak ju ponecháme samú na seba, začne sa otáčať pod vplyvom gravitačnej sily. Za aký čas bude zaskrutkovaná celá, ak jej dĺžka je l a rozostupy medzi susednými drážkami závitu sú Δl? Moment zotrvačnosti skrutky je I = mr. l g π. r + l verzia ZS 4/8

(FKS 994/995, A-6.3) 48. (*) Vianočná guľa sa kotúľa dolu naklonenou rovinou so sklonom α, pričom prešmykuje. Určite jej veľkosť zrýchlenia a, ak poznáte polomer gule R, jej hmotnosť M a koeficient šmykového trenia medzi guľou a rovinou f. [ v > ω. r : a = g ( sinα f cosα ); v < ω. r : a = g ( sinα + f cosα )] (N 6/7, 8) 49. (*) Máme homogénnu ceruzku valcovitého tvaru, okolo ktorej sú v jednej vrstve rovnomerne striedavo navinuté červená, zelená a modrá nitka, jedna vedľa druhej. Polomer ceruzky je R = 4 mm. Ceruzka je na naklonenej rovine s uhlom sklonu α =. Na začiatku sme ceruzku držali. Po akom čase T od okamihu, v ktorom ju pustíme, sa nám začne javiť biela? Reakčný čas oka je τ = s. Ceruzka pri svojom pohybe neprešmykuje a jej 8 moment zotrvačnosti je I = mr. 3πR T =, 6s τ. g sinα (FYKOS XXII-II.3) 5. (**) Malá guľa (s hmotnosťou m a polomerom r) stojí v pokoji na veľkej guli (s hmotnosťou M a polomerom R), ktorá voľne leží na podložke. Do malej gule nepatrne strčíme a tá sa zvalí na zem. Ako ďaleko od pôvodného bodu dotyku veľkej gule s podložkou malá guľa dopadne? M rr m + M (FKS /, A-3.) 5. (**) Na obrázku je nakreslený prierez mantinelu biliardového stola. Je tak skonštruovaný, aby pri náraze naň biliardová guľa neprešmykovala. Vypočítajte, aká musí byť výška h hornej hrany mantinelu, ak je polomer biliardovej gule r. [ h, 4r ] verzia ZS 5/8

(FYKOS X-V.3) 5. (**) Majme dva duté valce vonkajších polomerov R, R a vnútorných polomerov r, r (r < R < r < R ). Valce sú vložené do seba (viď obrázok) a navzájom sa po sebe valia, ale nekĺžu. Vonkajší valec sa začne valiť po naklonenej rovine s uhlom sklonu α. Akú veľkosť zrýchlenia celá sústava dosiahne? Hmotnosti valcov sú M, M a materiál valcov môžeme považovať za homogénne. (FYKOS XI-III.4) 53. (**) Majme homogénny valec a homogénny kváder. Obe telesá sú vyrobené z rovnakého materiálu a majú rovnakú hmotnosť. Hodíme ich súčasne vedľa seba na stôl rovnakou počiatočnou rýchlosťou v (hodíme ich rovnobežne s rovinou stola, zvislá zložka rýchlosti pri dopade je nulová). Valec spočiatku nerotuje. Ktoré teleso sa bude pohybovať rýchlejšie? Popíšte jednotlivé fázy pohybu kvádra a valca. (Uvažujte, že šmyková trecia sila je charakterizovaná iba koeficientom šmykového trenia, valivé trenie neuvažujte.) (FX, E) [do času v 3gf ( M + M ) R + r ( ) ( R + r ) M + M + M + M sa obe telesá pohybujú rovnakou rýchlosťou; po tomto čase si valec zachová konštantnú rýchlosť, kým kváder bude ďalej spomaľovať až do zastavenia] 54. (**) Bzdušo si svoju krištáľovú guľu položil na veľký stôl pokrytý obrusom. Keď mal slávnostnú náladu, veľkolepo strhol obrus zo stola (vodorovným pohybom). Aká bude rýchlosť gule po tom, ako na stole prestane prešmykovať? Môžete predpokladať, že toto sa stane ešte predtým, ako guľa spadne zo stola, a že guľa pri stŕhaní obrusu neposkakuje. Polomer gule je R, hmotnosť M, koeficient trenia o obrus f a o stôl f. 4 [ ; za podmienky, že trecia sila v každom čase leží v rovine stola] R g sin α 4 R R r (FYKOS XV-V.3) 55. (**) Rebrík je bez trenia opretý o stenu a podlahu. Rebrík má dĺžku l a hmotnosť m. Uhol, ktorý zviera rebrík so zvislicou je φ. a) V akej polohe sa rebrík oddelí od zvislej steny (pre jeho všeobecnú počiatočnú polohu)? b) Ako ďaleko od steny rebrík dopadne, ak čas jeho pádu je t? [keď ťažisko rebríka bude v /3 počiatočnej výšky] l 3 l sin arccos cosϕ + t cos ϕ 3 g verzia ZS 6/8

(FYKOS XVIII-IV.) 56. (**) Valček s malým polomerom r a hmotnosťou m sa kotúľa z naklonenej roviny a na jej konci prejde hladko do vodorovného pohybu po podložke. Pritom na seba namotáva niť s dĺžkovou hustotou ρ. V akej vzdialenosti od konca naklonenej roviny sa valček zastaví? Výška naklonenej roviny je h a jej sklon α. Trenie zanedbajte. mh m ρ. r ( cosα ) ρ h h + r sinα sinα (FYKOS XVII-V.) 57. (**) Máme rotujúcu dosku, ktorá sa otáča uhlovou rýchlosťou ω okolo svojej osi. Na dosku nepôsobia žiadne vonkajšie momenty síl. Smerom do stredu dosky ide lokomotíva s hmotnosťou m po koľajniciach pripevnených k doske. Doska mení svoju uhlovú rýchlosť. Určite pôvod, veľkosť a smer momentu sily M, ktorá túto zmenu spôsobí. J [platí zákon zachovania momentu hybnosti; M = mvrω J + mr ; smer momentu sily je zhodný so smerom vektora ω ] (J moment zotrvačnosti dosky, v veľkosť rýchlosti mašinky vzhľadom na vonkajšieho pozorovateľa, r vzdialenosť lokomotívy od osi otáčania [stredu dosky]) C) odhadovačky (FKS 995/996, A-5.3; analogické FYKOS XV-III.) 58. Odhadnite, akú veľkú (mechanickú) energiu má v každom okamihu tanečný pár tancujúci klasický viedenský valčík. [ ] (FKS /, B-3.) 59. (*) Odhadnite, koľko energie vynaloží krasokorčuliar na skočenie trojitého rittbergera. [ ] (FYKOS XI-V.5) 6. (**) Odhadnite, akú ťažkú kocku možno prevrátiť streľbou zo samopalu (či skôr menšieho dela) s parametrami: 5 striel za sekundu, veľkosť rýchlosti strely 5 m.s -, hmotnosť strely g. Kocka má hranu dĺžky m, po podložke nekĺže. [, 75 kg] verzia ZS 7/8

D) príklady na zamyslenie (kvalitatívne) (FKS 998/999, A-.4) (*) Možno ste sa už niekedy pokúšali udržať na dlani vo zvislej polohe palicu. Akú palicu je ľahšie udržať: kratšiu alebo dlhšiu? Prečo? [ ] (FYKOS XX-IV.) (*) Určite ste si v supermarkete všimli, že plastová fľaša vášho obľúbeného nápoja sa pri rozbehnutí pohyblivého pásu pokladne začne otáčať a k pokladni ju často musíte postrčiť rukou. Prečo je tomu tak? [ ] verzia ZS 8/8