Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε εξίσωση που η τελική της μορφή είνι η x x 0 με 0. Δικρίνουσ της δευτεροάθμις εξίσωσης ονομάζουμε την λερική πράστση θεωρί 6. Δ Ν λυθεί η εξίσωση: x x με 0 4 Λύση: Έχουμε: x x 0 x x 0 (διιρέσμε με 0 ) x x - x x - 4 x + = - x + = (1) 4 4 Δ Θέτουμε Δ -4 κι η (1) ίνετι : x+ = 4 ()
166. Εξισώσεις ου θμού Δικρίνουμε τρείς περιπτώσεις: 1η περίπτωση: Αν Δ > 0 Δ x1 Δ Δ Από () x x ή 4 x Δ Δηλδή ότν Δ > 0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες πρμτικές κι άνισες: - Δ x 1, = η περίπτωση: Αν Δ = 0 0 Απο () x+ = x+ =0 x+ =0 x=. 4 Δηλδή ότν Δ = 0 η εξίσωση έχει μί πρμτική ρίζ διπλή (ή δύο ρίζες ίσες): x 3η περίπτωση: Αν Δ < 0 Δ Τότε 0 4 κι η () είνι δύντη στο R.Δηλδή ότν Δ < 0 η εξίσωση δεν έχει ρίζες πρμτικές. Θεωρί 7. Έστω η εξίσωση x x με 0. Γράψτε τ συμπεράσμτ που έχουμε πό τη λύση της ι διάφορες τιμές της δικρίνουσς Δ. 1) Aν η Δ > 0 τότε η εξίσωση x x 0 έχει δύο ρίζες πρμτικές κι άνισες τις x, Δ 1 ) ν Δ = 0 τότε η εξίσωση x x 0 έχει μι ρίζ διπλή πρμτική την x 3) ν Δ < 0 τότε η εξίσωση x x 0 δεν έχει ρίζες πρμτικές, δηλδή είνι δύντη στο R.
Εξισώσεις ου θμού 167 Θεωρί 8. Έστω η εξίσωση x x με 0. Δείξτε ότι ότν οι κι είνι ετερόσημοι τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πρμτικές κι άνισες. Απόδειξη: Αν οι, ετερόσημοι τότε θ έχουμε < 0 4 0 4 0 Δ > 0 Oπότε η εξίσωση x x 0, 0 έχει δύο ρίζες πρμτικές κι άνισες. Θεωρί 9. Έστω η εξίσωση x x με 0. Δείξτε ότι : ) ν η εξίσωση έχει δύο ρίζες πρμτικές κι άνισες, τότε Δ > 0. ) ν η εξίσωση έχει δύο ρίζες πρμτικές κι ίσες, τότε Δ = 0. ) ν η εξισωση δεν έχει ρίζες πρμτικές, τότε Δ < 0. Απόδειξη: Θ ποδείξουμε το ) με την μέθοδο πωή σε άτοπο. ) Έστω ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες πρμτικές κι άνισες. Θ δείξουμε ότι Δ > 0. Αν ήτν Δ = 0 τότε η εξίσωση θ είχε δύο ρίζες πρμτικές κι ίσες. Άτοπο. Αν ήτν Δ < 0 τότε η εξίσωση δε θ έχει ρίζες πρμτικές. Άτοπο. Δηλδή η Δ δεν μπορεί ν είνι Δ = 0 ή Δ < 0. Άρ Δ > 0, ) Η πόδειξη ίνετι όμοι με το ). Άθροισμ κι ινόμενο ριζών Θεωρί 10. A) Έστω η εξίσωση x x 0, 0, Δ 0 κι x 1, x οι ρίζες της. Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ των ριζών της S x 1 x κι ινόμενο των ριζών της Ρ x 1 x δίνοντι πό τους τύπους: ) S x1 x -, ) Ρ x1 x Β) Πώς ονομάζοντι οι πρπάνω τύποι;
168. Εξισώσεις ου θμού Απόδειξη: Α) Δ 4 η δικρίνουσ. Οι ρίζες x 1, x είνι οι: Δ Δ x1 κι x. Τότε έχουμε: Δ Δ Δ ) x x Δ 1 Δ Δ Δ ) Δ Δ Δ 1 Ρ x x 4 4 4 4 4 4 4 4 Άρ: S = x 1 + x = - Ρ = x 1 x = Β) Οι πρπάνω τύποι ονομάζοντι τύποι του Vietta. Θεωρί 11. Έστω η εξίσωση x x 0, 0, Δ 0. Πώς μετσχημτίζετι η εξίσωση με την οήθει των τύπων του Vietta; Γνωρίζουμε ότι S x1 x (1) κι Ρ x1 x () x x 0 Έχουμε: x x 0 ( 0) (1) x x 0 x - - x 0 x -Sx P 0 () Δηλδή: x x 0 x -Sx P 0 όπου S το άθροισμ κι Ρ το ινόμενο των ριζών. Θεωρί 1. Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση x x 0, 0, μετσχημτίζετι στην ισοδύνμη της εξίσωση x Sx P 0. Δηλδή: x x 0 x Sx P 0 (1) Τί δυντότητες μς δίνει υτός ο μετσχημτισμός;
Εξισώσεις ου θμού 169 Ο μετσχημτισμός (1) μς δίνει τις εξής δυντότητες: 1) Η μορφή x -Sx P 0 είνι μι εξίσωση που έχει ρίζες τ x 1, x με ινόμενο Ρ (στθερός όρος) κι άθροισμ S (ντίθετος συντελεστής του x). Άρ οι δύο ρίζες θ είνι οι δύο ριθμοί που έχουν ινόμενο το στθερό όρο Ρ κι άθροισμ τον ντίθετο συντελεστή του x, δηλδή το S. (Προσοχή: υτή την μέθοδο εύρεσης των ριζών την εφρμόζουμε μόνο ότν ο συντελεστής του x είνι 1 δηλδή = 1, κι ότν μπορούμε με δοκιμές ν ρούμε υτούς τους ριθμούς. Αν δεν μπορούμε δε σημίνει οτι η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Απλά είνι δύσκολη η εύρεση υτών των ριθμών κι τότε ερζόμστε με τη δικρίνουσ Δ). ) Η x -Sx P 0 έχει ρίζες δύο ριθμούς, κ, λ, με ινόμενο κι άθροισμ κ λ S. Άρ ότν νζητούμε δύο ριθμούς με νωστό άθροισμ S κι ινόμενο Ρ ρκεί ν λύσουμε την εξίσωση x -Sx P 0 κι ν ρούμε τις ρίζες της. Αυτές οι ρίζες είνι κι οι ζητούμενοι ριθμοί. 3) Η εξίσωση x -Sx P 0 είνι κτσκευή της εξίσωσης που έχει ινόμενο ριζών το Ρ κι άθροισμ το S. Δηλδή ενώ μέχρι τώρ λύνμε το πρόλημ : ν ρεθούν οι ρίζες της x x 0 τώρ λύνουμε κριώς το ντίστροφο πρόλημ δηλδή ν ρεθεί η εξίσωση που έχει ι ρίζες τους ριθμούς x 1, x. Προφνώς υτή είνι πάντ η x -Sx P 0 όπου: S x1 x, P x1 x Ν ρίσκουμε τις ρίζες μις εξίσωσης ου θμού χωρίς ν την λύνουμε. Ν ρίσκουμε ριθμούς με νωστό ινόμενο κι νωστό άθροισμ. Ν κτσκευάζουμε την εξίσωση που έχει ρίζες τους ριθμούς x 1 κι x. Θεωρί 13. Γράψτε κι ιτιολοήσετε τις συνθήκες ι τ Δ, Ρ, S ώστε η εξίσωση x x 0, 0, ν έχει: ) δύο ρίζες ετερόσημες ) δύο ρίζες θετικές ) δύο ρίζες ρνητικές κι άνισες δ) μί ρίζ το μηδέν κι η άλλη θετική. ) Δύο ρίζες ετερόσημες P 0 Αιτιολόιση: Επειδή P 0 0 0 Δ 0 πο νωστή θεωρί δηλδή Δ > 0 (δύο ρίζες), Ρ < 0 ( ετερόσημες)
170. Εξισώσεις ου θμού ) Δύο ρίζες θετικές Δ 0, Ρ 0, S 0 Αιτιολόηση: Επειδή Δ 0 έχουμε δύο ρίζες. Επειδή Ρ > 0 ρίζες ομόσημες κι επειδή S>0 οι ομόσημες ρίζες είνι θετικές. ) Δύο ρίζες ρνητικές κι άνισες Δ 0, Ρ 0, S 0 Ατιολόηση: Επειδή Δ > 0 έχουμε δύο ρίζες άνισες. Επειδή Ρ > 0 οι ρίζες είνι ομόσημες κι επειδή S < 0 οι ομόσημες ρίζες είνι ρνητικές. δ) Μί ρίζ τo μηδέν κι η άλλη θετική Ρ = 0, S > 0 Αιτιολόηση: Επειδή Ρ 0 x1x 0 x1 0 ή x 0. Επειδή S 0 η άλλη ρίζ είνι θετική (φού η μί είνι μηδέν). Εξισώσεις-προλήμτ που νάοντι σε λύση εξισώσεων θμού Θεωρί 14. Ποι εξίσωση ονομάζετι διτετράωνη κι πώς λύνετι; Διτετράωνη λέετι κάθε εξίσωση της μορφής: 4 x +x + = 0, 0. Γι ν τη λύσουμε θέτουμε όπου x = y οπότε η διτετράωνη εξίσωση ίνετι: 4 x x 0 y y 0, 0. Δηλδή η λύση κάθε διτετράωνης νάετι στη λύση μις δευτεροάθμις εξίσωσης Σημείωση: Η δευτεροάθμι εξίσωση: y + y + = 0, 0 που προκύπτει μετά την ντικτάστση x =y στην διτετράωνη εξίσωση λέετι επιλύουσ της διτετράωνης εξίσωσης x 4 + x + = 0, 0
Εξισώσεις ου θμού 171 Μέθοδοι Που είνι πρίτητες σ όλη την έκτση του κεφλίου. Θ πρέπει τις πρκάτω εκφράσεις ν τις μετφράζουμε σύμφων με τ Δ, Ρ, S. 1. Η εξίσωση x x 0 έχει δύο ρίζες πρμτικές κι άνισες Δ 0, 0. Η εξίσωση x x 0, 0 έχει δύο ρίζες ίσες (ή μί ρίζ διπλή) Δ 0, 0 3. Η εξίσωση x x 0 δεν έχει ρίζες πρμτικές Δ 0 4. Η εξίσωση x x 0, 0 έχει ρίζες πρμτικές Δ 0 5. Οι ριθμοί κ, λ, ρίζες της εξίσωσης x x 0 κ λ κι 6. Η εξίσωση που έχει ρίζες τ Α κι Β είνι η: x - Sx P 0 όπου S = A + B, P = A B κ λ 7. Δύο ριθμοί Α κι Β που έχουν άθροισμ S = A+B κι ινόμενο P AB είνι ρίζες της εξίσωσης x - Sx P 0 8. Οι ρίζες της εξίσωσης x κx λ 0 είνι οι ριθμοί που έχουν ινόμενο λ κι άθροισμ κ. 9. Το τριώνυμο x + x +, ράφετι σν ινόμενο πρωτοάθμιων πρόντων Δ 0, 0 10. Το τριώνυμο x + x +, ράφετι σν τέλειο τετράωνο Δ 0 κι > 0 11. Το τριώνυμο x + x +, ράφετι σν άθροισμ δύο τετρώνων Δ<0 κι > 0 1. Το τριώνυμο x + x +, ράφετι σν διφορά δύο τετρώνων Δ 0 13. Το τριώνυμο x + x +, ράφετι σν τέλειο τετράωνο επί το Δ 0 14. Το τριώνυμο x + x + ράφετι σν άθροισμ δύο τετρώνων επί το Δ 0 15. Στο τριώνυμο x + x + οι,, είνι ρητοί τότε: Οι ρίζες του τριωνύμου είνι ρητές Δ τέλειο τετράωνο. 16. Το τριώνυμο x + x + είνι θετικό ι κάθε x R Δ 0 κι 0. 17. Το τριώνυμο x + x + είνι ρνητικό ι κάθε x R Δ 0 κι 0. 18. Το τριώνυμο x + x + διτηρεί στθερό πρόσημο ι κάθε xr Δ 0 κι 0
17. Εξισώσεις ου θμού Το τριώνυμο x + x +, 0 έχει: 19. Δύο ρίζες ετερόσημες P 0 0. Δύο ρίζες θετικές P > 0, Δ 0, S > 0 1. Δύο ρίζες ρνητικές P > 0, Δ 0, S < 0. Δύο ρίζες θετικές κι άνισες P > 0, Δ > 0, S > 0 3. Δύο ρίζες θετικές κι ίσες Δ = 0, S > 0 4. Δύο ρίζες ρνητικές κι ίσες Δ = 0, S < 0 5. Δύο ρίζες ετερόσημες με μελύτερη πόλυτη τιμή την θετική P < 0 κι S > 0 6. Δύο ρίζες ετερόσημες με μελύτερη πόλυτη τιμή την ρνητική P 0 κι S 0 7. Μι ρίζ το μηδέν P 0 8. Μι ρίζ θετική κι η άλλη το μηδέν P 0 κι S > 0 9. Mι ρίζ ρνητική κι η άλλη το μηδέν P 0 κι S < 0 30. Δύο ρίζες ίσες με μηδέν P 0, Δ = 0 31. Δύο ρίζες ντίστροφες P 1 κι Δ 0 3. Δύο ρίζες ντίθετες P 0 κι S 0 33. Δύο ρίζες ομόσημες Δ 0, P 0 34. Δύο ρίζες διφορετικές κι ομόσημες Δ 0, P 0 35. Δύο ρίζες ομόσημες κι ίσες Δ 0, P 0