ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ. Όριο και συνέχεια συνάρτησης...... 2 Ασύμπτωτες ευθείες γραφικών παραστάσεων.. 9 Παράγωγος μελέτη και γραφική παράσταση συναρτήσεων με παραγώγους.. 11 Γραφικές παραστάσεις ρητών συναρτήσεων..... 18 Το Αόριστο ολοκλήρωμα. Μέθοδοι ολοκλήρωσης... 28 Ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων 36 Το Ορισμένο ολοκλήρωμα.....41 Γενικές ασκήσεις στα ολοκληρώματα 46 1

ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω y =f(x) μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, με πεδίο ορισμού D(f ) ℝ. Θεωρούμε ένα σημείο xo ϵ ℝ. Θα λέμε ότι η f(x) συγκλίνει ή τείνει προς ένα σημείο l ϵ ℝ, ενώ το x τείνει προς το xo, αν και μόνο αν οι τιμές της f(x) πλησιάζουν όλο και περισσότερο προς το l, όταν το x πλησιάζει όλο και περισσότερο προς το xo, χωρίς να μπορεί να γίνει ποτέ ίσο με το xo. Συμβολικά γράφουμε: = l. To xo μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού D(f, μπορεί όμως και να μην ανήκει. Αν το x τείνει προς το xo από μικρότερες τιμές, τότε το όριο αυτό λέγεται αριστερό πλευρικό όριο. Συμβολικά γράφεται:. Αν το x τείνει προς το xo από μεγαλύτερες τιμές, τότε το όριο αυτό λέγεται δεξιό πλευρικό όριο. Συμβολικά γράφεται:. Για να υπάρχει το όριο της f(x) στο σημείο xo, θα πρέπει να υπάρχουν και τα δυο πλευρικά όρια και να είναι ίσα. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ 1. 2. =, c ℝ. = 3. 4. 5. = =, εφ όσον, εφ όσον Παραδείγματα: i) iii) ℝ. =4 = 0. ii) =2 = 1. 2

ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - Θα λέμε ότι μια συνάρτηση τείνει προς το θετικό άπειρο, ενώ το x τείνει σε ένα σημείο xo, (, αν και μόνον αν οι τιμές της παραμένουν μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό, ενώ το x πλησιάζει προς το xο. - Θα λέμε ότι μια συνάρτηση τείνει προς το αρνητικό άπειρο, ενώ το x τείνει σε ένα σημείο xo, (, αν και μόνον αν οι τιμές της παραμένουν μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό, ενώ το x πλησιάζει προς το xο. Επίσης η μεταβλητή μπορεί να τείνει προς το θετικό ή το αρνητικό άπειρο, αν αυτό επιτρέπεται από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Οπότε, εκτός από τα παραπάνω, μπορούμε να έχουμε και όρια των μορφών:,, Παράδειγμα: = 0,. =+ Επιτρεπτές πράξεις: =+, = 0, όπου ν Ν. =+, αν ν άρτιος, =-, αν ν περιττός. = 0. ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Υπάρχουν περιπτώσεις, στις οποίες οι ιδιότητες των ορίων μας οδηγούν σε απροσδιοριστία. Οι κυριότερες απροσδιόριστες μορφές είναι:,, + -, 0, 0 3

ΑΡΣΗ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ Α) Απροσδιοριστία της μορφής Όταν καταλήξουμε σε απροσδιοριστία μορφής, θα πρέπει με κατάλληλες μετατροπές να αλλάξουμε τη μορφή της συνάρτησης. Παραδείγματα: 1) =. Αν όμως παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή θα έχουμε: = = = 2. 2) = = =. 3) = = = =. B) Απροσδιοριστία της μορφής Εδώ παρουσιάζονται τρεις περιπτώσεις: Ι. Αν ο αριθμητής και ο παρανομαστής είναι πολυώνυμα ίδιου βαθμού, τότε το όριο είναι το πηλίκο των συντελεστών των μεγιστοβαθμίων όρων( δηλαδή των όρων που έχουν το μεγαλύτερο εκθέτη). Παραδείγματα: 1) = = = =. 4

2) = = = = -. ΙI. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από το βαθμό του παρανομαστή, τότε το όριο είναι το + ( ή το - ). Παραδείγματα: 1) = = = =+. 2) = = =+. ΙII. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από το βαθμό του παρανομαστή, τότε το όριο είναι το 0. Παραδείγματα: 1) = = = = = = = 0. 2) = = = = = 0. 5

Γ) Απροσδιοριστία της μορφής + - Η περίπτωση αυτή μετατρέπεται σε μορφή ή, χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση. Δ) Απροσδιοριστία της μορφής 0 ( ) ή ( ) 0 Οι περιπτώσεις αυτές επίσης μετατρέπονται σε μια από τις μορφές ή. Παράδειγμα: = = = = = = = = = 2 Παρατήρηση: Οι περιπτώσεις απροσδιοριστίας και μπορούν επίσης να αντιμετωπισθούν και με εφαρμογή του Κανόνα δούμε και στο επόμενο κεφάλαιο., όπως θα Πράγματι στις παραπάνω περιπτώσεις, αν ο αριθμητής και ο παρανομαστής αποτελούν παραγωγίσιμες συναρτήσεις και επίσης αν υπάρχει το, τότε ισχύει : =. Επίσης ισχύει: = και =. 6

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω y =f(x) μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, με πεδίο ορισμού D(f ) R. Η f(x) θα λέγεται συνεχής σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της, ή σε όλο το πεδίο ορισμού της, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος αυτού ή του πεδίου ορισμού της. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το R. 2. Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. 3. Η συνάρτηση f (x)= είναι συνεχής για κάθε x για το οποίο ισχύει 0. 4. Η συνάρτηση f (x)= είναι συνεχής για κάθε x R. 5. Αν οι συναρτήσεις f (x) και είναι συνεχείς σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού τους, τότε είναι συνεχείς στο xo και οι συναρτήσεις και. ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Η f(x) θα λέγεται, συνεχής από τα δεξιά σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το δεξιό πλευρικό όριο και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα λέγεται συνεχής από τα αριστερά, σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το αριστερό πλευρικό όριο και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα είναι συνεχής σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της αν υπάρχουν τα δυο πλευρικά όρια και συμπίπτουν, δηλαδή αν: = = f(xο). 7

Παραδείγματα: 1. Η συνάρτηση f(x) = είναι συνεχής στο σημείο 2. H συνάρτηση f(x) = είναι συνεχής από τα δεξιά στο σημείο. 3. H συνάρτηση f(x) = 0 είναι συνεχής από τα αριστερά στο σημείο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να βρεθούν τα όρια: α β γ 2. Επίσης τα όρια: α β γ) δ) ε ζ η). Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια, η συνάρτηση: 4. Ομοίως για τη συνάρτηση: f(x) = 5. Ομοίως για τη συνάρτηση: f(x) = 6. Να βρεθεί το α, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση: 8

AΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Αν Cf είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y = f(x), τότε μια ευθεία y = αx+β θα λέγεται ασύμπτωτη ευθεία της Cf, αν η καμπύλη Cf πλησιάζει διαρκώς την ευθεία, χωρίς να τη συναντήσει ποτέ. 1. Αν = + (ή - ), τότε η κατακόρυφη ευθεία στο σημείο x = xo είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη της f(x). 2. Αν = β, τότε η ευθεία y = β είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη της f(x). 3. Αν β ] = 0 για α 0 (1) τότε η ευθεία με εξίσωση y = αx+β είναι μια πλάγια ασύμπτωτη της f(x). Σε αυτή την περίπτωση, από τη σχέση (1) θα έχουμε: ή - α - ] = 0 ή - α - = 0 ή = α (2) Επίσης από την (1) θα έχουμε: β ] = 0 β] = 0 ή ] = β (3) Άρα ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η ευθεία y = αx+β, α 0, πλάγια ασύμπτωτη της Cf, είναι να ισχύουν ταυτόχρονα οι ισότητες (2) και (3). Οι ισότητες αυτές είναι οι τύποι που μας δίνουν τους συντελεστές της εξίσωσης της ασύμπτωτης ευθείας y = αx+β. Αν το α 0, τότε η ασύμπτωτη είναι πλάγια. Αν το α = 0, τότε η ασύμπτωτη είναι οριζόντια που είναι η ευθεία y = β. Άρα αν η f(x) έχει οριζόντια ασύμπτωτη δεν μπορεί να έχει πλάγια και αντιστρόφως. 9

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 1. Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη: α) f(x) = β) g(x) = 2. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων: α) f(x) = β) g(x) = γ) h(x) = δ) r(x) = ε) στ) s(x) = ζ) t(x) = 3. Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια και να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης των παρακάτω συναρτήσεων: α) β) g(x) = γ) h(x) = t(x) = 4. Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = ; Α) y = 0 Β) y = 1 Γ) y = x + 1 Δ) y = -1 Ε) y = 2 10

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση y =f(x) ορισμένη σε ένα διάστημα α, β R και xo ϵ α, β. Η συνάρτηση f(x) λέγεται παραγωγίσιμη στο xο, όταν ο λόγος μεταβολής έχει πεπερασμένο όριο στο xο, δηλαδή υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. Συμβολικά γράφουμε: f (xo) = = x = Αν τώρα πάρουμε όλα εκείνα τα x ϵ α, β για τα οποία υπάρχει η παράγωγος της f(x) και σε κάθε ένα από αυτά αντιστοιχίσουμε την παράγωγο της σ εκείνο το σημείο, τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, που συμβολίζεται με f (x) και λέγεται παράγωγος συνάρτηση της f ή απλά παράγωγος της f. Η νέα συνάρτηση θα έχει πεδίο ορισμού το σύνολο εκείνων των x ϵ α, β, για τα οποία υπάρχει η παράγωγος της f. Εξ άλλου, αν θεωρήσουμε ένα hϵ R, τέτοιο ώστε +h) ϵ α, β, τότε ο λόγος μεταβολής της f, μεταξύ και +h, γράφεται και ως συνάρτηση του h:. Και η παράγωγος στο x0 θα είναι: f (xo) =. 2. Θεώρημα: Αν μια συνάρτηση f έχει παράγωγο ή είναι παραγωγίσιμη) σε ένα σημείο xο, τότε είναι συνεχής σ αυτό το σημείο. Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν είναι η f(x) συνεχής σ ένα σημείο xο τότε δεν υπάρχει πάντα η παράγωγος της σ αυτό το σημείο. 11

. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου 4. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Η συνάρτηση παράγωγος της f(x, μπορεί να είναι επίσης παραγωγίσιμη οπότε ορίζεται: - η δεύτερη παράγωγος f (x), - η τρίτη παράγωγος f (x), κ.λπ. Και γενικότερα μπορεί να υπάρχει μια ν-οστή παράγωγος της f(x), f (v) (x), όπου ν N, ν ) 12

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων I. Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης y = c είναι το μηδέν. Π.χ Αν y = f(x) = τότε f (x) = 0 II. Παράγωγος μονωνύμου : Αν f (x) = x n τότε f (x) = nx n-1 Π.χ Αν f (x) = x 3 τότε f (x) = 3x 2 Αν f (x) = 3x 2 τότε f (x) = x = 6x Αν f (x) = x τότε f (x) = x o III. Παράγωγος ρίζας Αν f (x) =, τότε f (x) = x ϵ ο, Αν f (x) =, τότε f (x) = ν ϵ N. IV. Αν f (x ημx τότε f (x συν χ V. Αν f(x συν x τότε f x) = -ημ x VI. Αν f(x εφ x τότε f x) = = 1+ VII. Αν f(x σφ x τότε f x) = = - (1+ ) VIII. Αν f(x) =, τότε f x) =, όπου = 2,71828 IX. Αν f(x) =, τότε, Από τη γνωστή ισότητα: =, θα έχουμε: ( ) =( (xlna lna ή ο, Παρατήρηση: Εδώ εφαρμόστηκε ο κανόνας παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης που θα αποδειχθεί παρακάτω: Δηλ. = [f(g(x f g(x g x) X. Αν f(x) = ln x, τότε f x) = x>o. XI., ό, ο, Διότι = τύπος αλλαγής βάσης λογαρίθμων 13

Κανόνες παραγώγισης Ι. [α f(x α f x) ΙΙ. [f(x g(x f x g x) ΙΙΙ. [f(x g(x f x g(x) + f(x g x) IV. = και = V. =. Κανόνας της αλυσίδας Εφαρμογές των παραγώγων I. Άρση της απροσδιοριστίας ώ Αν έχουμε δύο συναρτήσεις f, g, παραγωγίσιμες σ ένα σημείο xo με g (xo 0 και f(x) = 0, 0, και επίσης αν υπάρχει το, τότε ισχύει : =. Το θεώρημα ισχύει και για όρια των συναρτήσεων στο ή -. II. Θεώρημα Fermat): Αν μια συνάρτηση f, i) Είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα ii) Παρουσιάζει τοπικό ακρότατο μέγιστο ή ελάχιστο σ ένα σημείο xo ϵ D(f και iii) Είναι παραγωγίσιμη στο xo, τότε ισχύει f (xo )=0 III. Θεώρημα Rolle: Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία υποθέτουμε ότι: i) Είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β. ii) Είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β. iii) Ισχύει f(α) = f β, Τότε υπάρχει σημείο xo ϵ α, β, για το οποίο η παράγωγος είναι μηδέν : f (xo ) = 0 14

IV. Θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο xo ϵ α, β τέτοιο ώστε: f (xo) = V. Μονοτονία συνάρτησης: 1) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β και για κάθε σημείο του ανοικτού διαστήματος α, β υπάρχει η παράγωγος και είναι θετική, τότε η f είναι αύξουσα στο α, β. 2) Αν η f είναι συνεχής στο α, β, παραγωγίσιμη στο α, β και η παράγωγος είναι αρνητική για κάθε σημείο του α, β, τότε η f είναι φθίνουσα στο α, β. 3) Αν η παράγωγος f της f μηδενίζεται σε ένα σημείο αλλάζοντας πρόσημα δεξιά και αριστερά του σημείου αυτού, τότε στο σημείο αυτό υπάρχει ακρότατη τιμή, μέγιστο ή ελάχιστο. VI. Η Σημασία της δεύτερης παραγώγου για τα τοπικά ακρότατα μέγιστα ή ελάχιστα. Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία υπάρχει η παράγωγος και η δεύτερη παράγωγος σ ένα σημείο xο. Αν όπως προαναφέρθηκε, η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο στο xo, τότε η f έχει ακρότατη τιμή στο xo. Σ αυτή την περίπτωση, το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου αποτελεί ένα κριτήριο για το αν η ακρότατη αυτή τιμή είναι μέγιστο ή ελάχιστο (Κριτήριο δεύτερης παραγώγου ). Πιο συγκεκριμένα ισχύει: 1. Αν η f (xo 0 τότε η f έχει ελάχιστο στο xo. 2. Αν η f ( xo 0 τότε η f έχει μέγιστο στο xo. 15

Γεωμετρική σημασία της δεύτερης παραγώγου 1. Αν η f (x 0 τότε η καμπύλη της f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Π.χ 2. Αν η f (x 0, τότε η καμπύλη της f, στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Π.χ Σημείο Καμπής Αν η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο σε ένα σημείο xο, τότε το σημείο αυτό λέγεται σημείο καμπής. Π.χ Το xο είναι σημείο καμπής αν f (xo δεξιά του xο. 0 και η f αλλάζει πρόσημο αριστερά και 16

Παράδειγμα: Αν f(x) =, τότε f (x) = και f (x) =, f (x) = 0 0 0 0 ή 0 0 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μέγιστο στο xο 0, το σημείο 0, 0 0,. Επίσης έχει ελάχιστο στο xo, το σημείο, f ) = (4, -24). Η καμπύλη έχει σημείο καμπής στο σημείο xo, το σημείο, = (2, -8). x - 0 2 4 f x) + 0 - - 0 + f x) - - 0 + + f(x) max 8 min -8 Σ. καμπής -24 Ασκήσεις 1. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία καμπής και να γίνει μελέτη ως προς τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 0 9) 10) 11) 12) 13) 14) 17

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν η συνάρτηση είναι της μορφής, λέγεται ρητή ή κλασματική. Τότε το πεδίο ορισμού είναι το R - ύ ώ ή Στις ρητές συναρτήσεις παρουσιάζονται ασύμπτωτες ευθείες. Η μελέτη και η γραφική παράσταση μιας ρητής συνάρτησης, ακολουθεί την ίδια διαδικασία, όπως και στις πολυωνυμικές, αλλά επί πλέον θα πρέπει να προσδιοριστούν και οι ασύμπτωτες ευθείες, κατακόρυφες και οριζόντιες κ πλάγιες, όπως αναφέρεται στη σελίδα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση 1. Πεδίο ορισμού R 2. Κατακόρυφες ασύμπτωτες: κατακόρυφη ασύμπτωτη Άρα η ευθεία x είναι Οριζόντιες πλάγιες Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη. 0 0 Άρα η ευθεία α β με α 0, β, δηλαδή η ευθεία 0 ή y = 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη. 18

3. Μονοτονία ακρότατα: 0 Η παράγωγος είναι αρνητική για κάθε x στο πεδίο ορισμού της f, άρα δεν υπάρχουν μέγιστα ή ελάχιστα. 0 0. Άρα δεν υπάρχουν σημεία καμπής. 0 0 0 0 Άρα η είναι θετική για. 4. Τομές με άξονες: Για 0,. Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0, -3). Για 0 έ 0 0 Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα x x στο σημείο,0 5. Πίνακας μεταβολών μονοτονίας Γραφική παράσταση 19

II. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης: Λύση: 1. Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, βρίσκουμε τις ρίζες του παρανομαστή και τις αποκλείουμε. 0 0. Άρα το Πεδίο Ορισμού είναι το R, 2. Βρίσκουμε τις τομές της καμπύλης με τους άξονες Για 0, 0. Άρα η καμπύλη τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0, Για 0 θα έχουμε 0 0 = 16-12 = 4 Άρα. Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα x x στα σημεία,0 και,0. 20

3. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, επειδή είναι ρητή. 4. Δεν είναι άρτια ούτε περιττή ούτε περιοδική 5. Ασύμπτωτες α Κατακόρυφες Άρα υπάρχουν δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες και είναι οι ευθείες x = -1και x= 5. β Οριζόντιες πλάγιες Αν υπάρχει οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη, θα είναι της μορφής, όπου α = 0 0 0 0 β β 0 Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη και είναι η ευθεία y = 1 6. Μονοτονία - ακρότατα Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης 21

Ρίζες πρώτης παραγώγου 0 0 Πρόσημο πρώτης παραγώγου 0 0 0 Οι παράγοντες και είναι θετικοί και δεν επηρεάζουν το πρόσημο. Άρα μπορούμε να τους διαγράψουμε διαιρώντας με αυτούς και τα δυο μέλη της ανίσωσης. Οπότε η ανίσωση θα γίνει: Άρα: 0 0 0 Άρα το είναι ακρότατη τιμή διότι η παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο. Κατόπιν βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο: = = = =. 22

Ρίζες δεύτερης παραγώγου 0 0 0 0 Άρα η δεύτερη παράγωγος δεν έχει ρίζες, άρα δεν υπάρχουν σημεία καμπής. Πρόσημο δεύτερης παραγώγου 0 0 0 Οι παράγοντες, και είναι μονίμως θετικοί άρα μπορούν να διαγραφούν με διαίρεση και των δυο μελών, χωρίς να επηρεαστεί το πρόσημο της ανίσωσης. Άρα η ανίσωση θα γίνει : 0 ή Συγκεντρώνουμε τα συμπεράσματα μας στον παρακάτω πίνακα μονοτονίας της συνάρτησης και βάσει του πίνακα αυτού σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ 23

III. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση 1. Πεδίο ορισμού είναι το R 2. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, ως ρητή. 3. Δεν είναι άρτια ούτε περιττή αφού 4. Τομές με άξονες Τέμνει τον άξονα y y για 0. Θέτοντας 0, θα έχουμε 0, άρα τέμνει τον y y στο σημείο 0,. Τέμνει τον άξονα x x για 0. Θέτοντας 0, θα έχουμε: 0 0.. Άρα τέμνει τον x x στα σημεία,0 και,0. 24

5. Ασύμπτωτες α Κατακόρυφες Άρα η ευθεία x 0 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη β Οριζόντιες - πλάγιες Αναζητούμε την, όπου α και α 0. β 0. Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη, και είναι η ευθεία y=1. 6. Μονοτονία - ακρότατα Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, τις ρίζες της και το πρόσημο της: 0 0 0 0 1 7/3 + + 0 0 0 0 0 0 25

Πίνακας μεταβολών 26

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ I. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) ΙΙ. Έστω η συνάρτηση πεδίου ορισμού της στα οποία η. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο σημεία του παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. ΙΙΙ. Αν η συνάρτηση στο x0, ποιο από τα παρακάτω είναι το m; Α -3 Β -2 Γ -1 Δ Ε έχει ένα τοπικό ελάχιστο IV. Έστω η συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι έχει δυο σημεία καμπής και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων αυτών. V. Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με α, βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. VI. Δίνεται η συνάρτηση. Αν γνωρίζετε ότι η παράγωγος της έχει τοπικό ελάχιστο -, βρείτε ποια από τις παρακάτω είναι η θετική τιμή του α ; Α 0 Β Γ Δ Ε VΙI. Δίνονται οι συναρτήσεις: και. Να βρείτε το α ϵ R, ώστε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της βρίσκεται πάνω στην πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της x. να, όταν 27

ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η εύρεση του ολοκληρώματος μια συνάρτησης είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση θα λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα ή παράγουσα της συνάρτησης, αν η παράγωγος της είναι η, δηλαδή αν ισχύει:. Παράδειγμα 1 Η είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα ή μια παράγουσα της συνάρτησης, διότι. Αν η είναι αόριστο ολοκλήρωμα της, τότε και κάθε άλλη συνάρτηση της μορφής, με c ϵ R, είναι επίσης αόριστο ολοκλήρωμα της αφού η παράγωγος σταθερού αριθμού είναι μηδέν και θα ισχύει: 0. Το αόριστο ολοκλήρωμα της συμβολίζεται Έτσι, για το προηγούμενο παράδειγμα θα έχουμε:, c ϵ R. Η σταθερά c μπορεί να προσδιοριστεί αν μας δοθεί κάποια αρχική συνθήκη. Παράδειγμα : Αν μας δοθεί στο προηγούμενο παράδειγμα ότι, τότε θα έχουμε ή. Λύνουμε ως προς c και βρίσκουμε ή. 28

Η ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Η συνάρτηση είναι μια γραμμική συνάρτηση, δηλαδή ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Οι παραπάνω δυο ισότητες μπορεί να ισχύουν συγχρόνως: Ι Επίσης η Ι μπορεί να γενικευθεί για n συναρτήσεις, όπου n Ν: Παράδειγμα Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Στην οικονομία η παράγωγος εκφράζει το οριακό κόστος, ενώ το ολοκλήρωμα εκφράζει το συνολικό κόστος. Παράδειγμα Αν το οριακό κόστος παραγωγής ποσότητας Q ενός προϊόντος είναι και αν για την, παραγωγή μιας μερικής μονάδας του προϊόντος το συνολικό κόστος είναι 0, να βρεθεί το συνολικό κόστος παραγωγής. Λύση: Το συνολικό κόστος παραγωγής θα είναι το αόριστο ολοκλήρωμα του οριακού κόστους: Και επειδή C 0 έπεται ότι: 0, άρα 0, άρα 0. Άρα τελικά το συνολικό κόστος θα είναι:. 29

ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 1. 2. 3. διότι 4., όπου, α ϵ R 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. x ϵ, 12. 30

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Από τη θεωρία των παραγώγων γνωρίζουμε ότι ό ί ά ώ Αν συμβολίσουμε με και τις πολύ μικρές οριακές τιμές μεταβολής των x και f(x), προκύπτει ο συμβολισμός της παραγώγου του Leibnitz, δηλαδή ότι: ά ϵ ί ί Από την ταύτιση των δυο συμβολισμών που μας δείχνει αυτή η ισότητα δηλαδή από τη σχέση έπεται ότι (1) Η ποσότητα, δηλαδή το γινόμενο λέγεται διαφορικό της. Αν στη σχέση πάρουμε το ολοκλήρωμα και στα δυο μέλη και εφαρμόσουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος, θα έχουμε: Αυτό σημαίνει ότι τα σύμβολα και d αλληλοαναιρούνται με τη σειρά που είναι γραμμένα. Ακόμα ισχύει: Για κάθε c ϵ R, και Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων 1) 2) 3) (3 1)927+ 31

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Α. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες ή Παραγοντική ολοκλήρωση Αν f(x και g(x είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, από τη σχέση της παραγώγισης γινομένου και τη γνωστή σχέση που συνδέει τους δύο συμβολισμούς της παραγώγου και ορίζει το διαφορικό μιας συνάρτησης, δηλαδή από τη σχέση: θα έχουμε:, Αν πάρουμε το ολοκλήρωμα κατά μέλη, θα έχουμε: ή ή (1) Αυτός ο τύπος είναι ο τύπος της παραγοντικής ολοκλήρωσης και εφαρμόζεται για να αλλάξει η συνάρτηση που πρέπει να ολοκληρωθεί και να γίνει έτσι ευκολότερος ο υπολογισμός του ολοκληρώματος ισχύει όταν οι συναρτήσεις έχουν συνεχείς παραγώγους. Παραδείγματα α Tα παρακάτω ολοκληρώματα έχουν υπολογισθεί με παραγοντική ολοκλήρωση: 1. 2. 32

= β Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:. Λύση: = =. 33

Β. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Στη μέθοδο αυτή δεν υπάρχει γενικός κανόνας, απλώς γίνεται αλλαγή μεταβλητής με σκοπό να γίνει πιο απλός ο τύπος της συνάρτησης και έτσι να υπολογισθεί πιο εύκολα το ολοκλήρωμα. Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων με αντικατάσταση. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα αυτό θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. Αυτό σημαίνει ότι θα επιλέξουμε να συμβολίσουμε ένα μέρος του τύπου της συνάρτησης μας με άλλη μεταβλητή και θα εκφράσουμε ολόκληρο τον τύπο συναρτήσει της νέας μεταβλητής. Συγκεκριμένα θέτουμε: (1). Παίρνουμε τα διαφορικά και στα δύο μέλη της. Από τη γνωστή σχέση ή ή. έπεται: Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα: 34

2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Θέτουμε. Παίρνουμε τα διαφορικά και στα δύο μέλη: Αντικαθιστούμε:.. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:. Λύση: Θέτουμε, άρα ή ή Αντικαθιστούμε:. 35

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν έχουμε να ολοκληρώσουμε μια ρητή συνάρτηση δηλαδή μια συνάρτηση της μορφής όπου τα f(x και g(x είναι μη μηδενικά πολυώνυμα, τότε θα πρέπει να προσέξουμε το βαθμό των πολυωνύμων f(x και g(x). Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον βαθμό του παρανομαστή τότε θα πρέπει να γίνει η διαίρεση των πολυωνύμων και να γραφτεί το κλάσμα σύμφωνα με την ισότητα της διαίρεσης, δηλαδή το γνωστό τύπο του Ευκλείδη: Οπότε το κλάσμα, ό 0 ή, 0 θα αναλυθεί σε άθροισμα ενός πολυωνύμου πηλίκο και ενός άλλου κλάσματος στο οποίο ο βαθμός του αριθμητή θα είναι μικρότερος από το βαθμό του παρανομαστή. Κατόπιν ο παρανομαστής θα αναλυθεί σε άθροισμα απλών κλασμάτων, δηλαδή κλασμάτων της μορφής: πραγματικές,τις. όταν ο παρανομαστής είναι τριώνυμο β βαθμού και έχει ρίζες Γενικότερα στο άθροισμα που θα προκύψει, επειδή μπορεί να υπάρχουν και διπλές ρίζες ή ρίζες με βαθμό πολλαπλότητας λ, σε κάθε πραγματική ρίζα ρ του παρανομαστή, αντιστοιχούν τα κλάσματα,,,, αν η ρίζα έχει πολλαπλότητα λ. Συνήθως ασχολούμαστε με περιπτώσεις όπου λ, ή. Επίσης μπορεί να υπάρχουν στον παρανομαστή παράγοντες της μορφής 0 Σε κάθε τέτοιο παράδειγμα αντιστοιχούν τα κλάσματα:,,, 36

Παραδείγματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: και το ολοκλήρωμα θα γίνει: =. Για το εφαρμόζουμε τη μέθοδο αντικατάστασης: Θέτουμε, άρα, άρα και επομένως + c. Επίσης είναι βασικός κανόνας ολοκλήρωσης ότι:. Άρα τελικά θα έχουμε: 2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Επειδή ο παρανομαστής έχει διπλή ρίζα η ρητή συνάρτηση θα χωριστεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 37

1 x+1 1. 0 Οπότε το ολοκλήρωμα θα γίνει: 3. Επίσης το ολοκλήρωμα: Λύση: Το ολοκλήρωμα γράφεται: και επειδή το είναι μόνιμα θετική παράσταση, δηλαδή δεν έχει ρίζες πραγματικές, η συνάρτηση θα αναλυθεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 1 x 2 +1 x Οπότε θα έχουμε: 38

ή ή 0 0 Α, Β -, Γ 0. και το ολοκλήρωμα θα είναι: 4. Επίσης το ολοκλήρωμα: Λύση: Το ολοκλήρωμα γράφεται: =. Και επειδή το έχει αρνητική διακρίνουσα ( <0), δηλαδή δεν έχει ρίζες πραγματικές, η συνάρτηση θα αναλυθεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 1 x Β Γ Β Α Γ 39

0 Άρα:. Ασκήσεις Με τον ίδιο τρόπο να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: 1) 2) 3) 5) 6) 7) 40

ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρούμε μια συνάρτηση, ορισμένη και συνεχή σε ένα κλειστό διάστημα,. Αν πάρουμε μια διαμέριση του διαστήματος, δηλαδή ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων,, του,, για το οποίο ισχύει: και συμβολίσουμε τα μήκη των υποδιαστημάτων που δημιουργούνται μέσα στο, ως διαφορές:,,,, τότε αν τα μήκη αυτά τα θεωρήσουμε ίσα, το κάθε ένα από αυτά θα είναι:,,.. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν Ε της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη και τις ευθείες,, κατασκευάζουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα πλευράς Δx και ύψους ίσου με την ελάχιστη τιμή της στο αντίστοιχο υποδιάστημα. 41

Θέτουμε στο διάστημα,. Όταν το, τότε 0 Τότε το άθροισμα των εμβαδών όλων των παραπάνω ορθογωνίων πλησιάζει, παραμένοντας μικρότερο, το ζητούμενο εμβαδόν Ε. Γράφουμε: Το σύμβολο του απείρου αθροίσματος μπορεί να αντικατασταθεί από το σύμβολο του ολοκληρώματος και το εμβαδόν αυτό που αποτελεί το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των στοιχειωδών αυτών ορθογωνίων, λέγεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο διάστημα, και συμβολίζεται Το ορισμένο ολοκλήρωμα έχει μια ορισμένη τιμή σε αντίθεση με το αόριστο ολοκλήρωμα που είναι συνάρτηση. Η τιμή αυτή μπορεί να υπολογισθεί αν χρησιμοποιήσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού (Newton-Leibnitz), το οποίο αναφέρει ότι: Αν είναι το αόριστο ολοκλήρωμα ή παράγουσα της στο διάστημα,, τότε το ορισμένο ολοκλήρωμα της είναι ίσο με Συμβολικά γράφουμε: (1) Με τη βοήθεια του θεωρήματος αυτού το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τη σχέση ή παράγουσα της., αφού πρώτα βρεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα 42

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος 1. 0 2. 3., όπου Υπολογισμός εμβαδών Όπως αναφέρεται και παραπάνω, το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες και, καθώς και από τον άξονα x x. Αυτό όμως ισχύει όταν 0. Γενικότερα το εμβαδόν αυτό θα είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος: Παραδείγματα 1.. 2. = [x - 0 3. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα x x και τις ευθείες και. Λύση 0 2 6 43

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι θετική στο διάστημα, Άρα:. διότι 0 4. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα χ χ και τις ευθείες x = -2 και x = 1. Λύση: Θα κάνουμε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση τέμνει τον άξονα x x για 0. 0, δηλαδή όταν 44

Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι: = = = [ - x 2-3 ] - [ - x 2-3 ] = = -1+ 3-( -4 + 6)] [ -1-3-( - -1 +3)] = = [ - -1 + 3+ + 4 6] [ -1 3 + + 1-3 ] = = - [ = - = + 6 = =. 45

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: α β γ δ ε στ ζ η 2. Επίσης τα ολοκληρώματα: ( x 1) dx 3 α) 2 x 2x β) 2 4 x dχ γ) δ) 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τις ευθείες, και τον άξονα x x 4. Ομοίως το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τις ευθείες 0, και τον άξονα x x 5. Βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη καμπύλη και την ευθεία. 6. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :. 46