Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα, το γινόμενο, τη διαφορά και το πηλίκο μιγαδικών αριθμών β. το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού και να λύνει προβλήματα σε συνδιασμό με τις κωνικές τομές. Να γνωρίζει: α. την έννοια του συζυγούς ενός μιγαδικού αριθμού β. τις ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών αριθμών.
0. Μιγαδικοί αριθμοί Τύποι - Βασικές έννοιες ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: Τύποι - Βασικές έννοιες Πράξεις στο σύνολο των μιγαδικών α βi γ δi α γ β δ i. Πρόσθεση: + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = α+ βi γ + δi = αγ + αδi + βγi+ βδi =. Πολλαπλασιασμός: ( )( ) = αγ + αδi + βγi βδ = ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) i 3. Διαίρεση: Η διαίρεση εκτελείται με τη βοήθεια του συζυγούς του μιγαδικού του παρονομαστή. Έστω = α+ βi, = γ + δi 0. Τότε: ( α+ βi)( γ δi) ( )( ) α+ βi αγ+ βδ βγ αδ = = =... = + i γ+ δi γ+ δi γ δi γ + δ γ + δ Δύναμη μιγαδικού αριθμού Όμοια όπως στο R ορίζουμε για τον μιγαδικό = α+ βi: i. = 0 ii. =, 0 v iii. = v *, v N, 0 v v iv. =, v N, v >, αν υ = 0 i, αν υ v. v υ = i = i =, αν υ = i, αν υ = 3 Ιδιότητες συζυγών Ι. Για τους συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς = α+ βi και = α βi ισχύουν: = + ii. + = α= Re( ) iii. = = ( ( )) i. α β βi Im i ΙΙ. Έστω ο μιγαδικός αριθμός = α+ βi. Τότε: i. Ο αριθμός είναι πραγματικός αν και μόνο αν = ii. Ο αριθμός είναι φανταστικός αν και μόνο αν = III. Για τους μιγαδικούς,, ισχύουν i. = ii. + = + και γενικότερα + +... + = + +... + v v
Τύποι - Βασικές έννοιες Μιγαδικοί αριθμοί. iii. = και γενικότερα... =... για κάθε v v v N *. = iv. ( 0) v v. ( ) ( ) v = για κάθε θετικό ακέραιο v. Επίλυση της εξίσωσης α + β + γ = 0 () στο C με α, β, γ R, και α 0 Είναι Δ = β 4αγ (διακρίνουσα της ()) β± Αν Δ > 0 η () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες : =, α Αν Δ = 0 η () έχει μία διπλή πραγματική ρίζα: β = α Δ β± i Δ Αν Δ< 0 () έχει δύο ρίζες μιγαδικούς συζυγείς: =, α β γ Ισχύουν οι τύποι Vieta, δηλαδή + = και = α α Μέτρο μιγαδικού αριθμού Έστω ο μιγαδικός αριθμός = x+ yi και Μ() η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο. Ονομάζουμε μέτρο του μιγαδικού την απόσταση του Μ() από την αρχή Ο(0,0) των αξόνων και συμβολίζουμε: = OM = OM = x + y Ιδιότητες του μέτρου ( ) Έστω = x+ yi τότε = = = = x + y Για κάθε μιγαδικό = x+ yi ισχύει = = = x + y Αν, μιγαδικοί αριθμοί τότε: = και γενικότερα...v =... v και v v = v N* Αν, μιγαδικοί αριθμοί με 0 τότε =, Αν, Cτότε + + (τριγωνική ανισότητα)
. Μιγαδικοί αριθμοί Τύποι - Βασικές έννοιες Για τις εικόνες των μιγαδικών,, ισχύει ακόμα OM ON = NM ή MN = δηλαδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με τήν απόσταση των εικόνων τους. Έστω ο μιγαδικός 0 = x0 + y0i και ένας θετικός πραγματικός ρ. Η εξίσωση 0 = ρ είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο την εικόνα K( x 0,y 0) του 0 και ακτίνα ρ. Έστω οι μιγαδικοί,. Η εξίσωση = είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος με άκρα τα A( ) και B ( ).
Βήμα ο Μιγαδικοί αριθμοί 3. µ µ µ i i µ µ. M(, ) M(, ) i i µ -, µ ( i) ( i) ( ) ( )i µ µ M(, ). µ, OM OM OM. µ µ i i - µ. M(, ) M(,) - i i µ, ( i) ( i) ( ) ( )i µ µ N(, ). µ, ON OM OM
4. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα ο 3 i, i i 0, µ µ µ ; µ i i i 0, µ i µ µ µ - µ µ : i ( i)( i) ( ) ( )i i. i ( i)( i), i i. i 4 µ µ i, µ ; µ µ µ i, µ µ 4, µ 4, µ :, 0 4 4 4 i, i i i i (i ) i i i -, i, 3. 5,, µ - µ. = i = i µ :
Βήμα ο Μιγαδικοί αριθμοί 5. ( i) ( i) ( ) ( )i ( ) ( )i ( i) ( i). 6 0 µ,, µ 0. µ µ µ - C. µ, 0, µ µ,, µ 0. µ µ µ, µ µ µ, µ :, 4 4., µ : 0. T µ :, 0. T µ µ : 0.T, ( )( ) i ( ) 4 4 ( ), - : i i i. : i,
6. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα ο 7,, µ µ : µ. ( )( ),, µ -. 8,, µ µ µ - µ µ. µ µ - µ µ µ µ - µ : OM M M OM OM M M, µ µ ON µ µ µ MM ( µ- µ ). : M M ) (
Βήμα ο Μιγαδικοί αριθμοί 7. Α. Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η έννοια του μιγαδικού αριθμού.. Πράξεις στο C. - Πράξεις σελ. 95, άσκηση 6 -Ισότητα μιγαδικών σελ. 95, άσκηση 7 -Εξισώσεις ου βαθμού στο C σελ. 96, άσκηση -Εξισώσεις που περιέχουν Z σελ. 4, άσκηση 7 (γενικές) -Δυνάμεις του i σελ. 93, εφαρμογή σελ. 96, άσκηση 3,4 (Β ομάδα) σελ. 93, εφαρμογή σελ. 96-97, άσκηση, 6, 8 (Β ομ.) σελ. 0-0, άσκηση, 3, 4 (Β ομ.) -Εξισώσεις ου Βαθμού σελ. 96, άσκηση 3, 4 -Γεωμετρικοί τόποι σελ. 97, άσκηση 9 σελ. 3, άσκηση, 3 (Γενικές).3 Μέτρο Μιγάδικου -Εύρεση μέτρου σελ. 99, εφαρμογή σελ. 00, άσκηση -Αποδεικτικές ασκήσεις σελ. 0, άσκηση 9 -Εξισώσεις με μέτρα σελ. 0, άσκηση 3 (Α ομάδα) -Ανισοτικές ασκήσεις σελ. 0, άσκηση (Β ομάδα) -Γεωμετρική ερμηνεία σελ. 99-00, εφαρμογή
8. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα ο Z Z σελ. 0, άσκηση 4,5,6,7,8 (Α ομάδα) και γεωμετρικοί τόποι σελ. 0, άσκηση 5, 6, 7, 8, 9 σελ. 3, άσκηση 4 -Συνδιαστικές με ανάλυση -Ερωτήσεις κατανόησης σελ. 4-5, άσκηση,, 3
Βήμα 3 ο Μιγαδικοί αριθμοί 9.. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει η σχέση: = + Re( ) () και η συνάρτηση f με ( ) f =. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι η παραβολή με εξίσωση: y = 4x. β. Να βρείτε τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την σχέση () και για τους οποίους ισχύει: f( ) = 4+ i. γ. Να βρείτε τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την σχέση () και για τους οποίους ισχύει: f( ) = 3. Λύση α. Έστω = x + yi, με x και y πραγματικούς. Τότε: ( ) ( ) = + Re x+ yi = + x x + y = + x () Πρέπει + x 0 x.τότε η () γράφεται ισοδύναμα: () ( ) ( ) που είναι εξίσωση παραβολής. x + y = + x y = 4x β. ( ) ( ) ( ) f = 4+ i = 4+ i x+ yi x+ yi = 4+ i ( ) ( ) ( ) x 5x = 4 διότι y = 4x x y x + y x i = 4+ i y( x ) = x 5x+ 4= 0 x = ήx = 4 x = x = 4 ή y( x ) = y( x ) = y= y= /7 Άρα υπάρχουν δύο μιγαδικοί οι : = + i και = 4+ i. 7 Aπό τους οποίους μόνο ο ανήκει στην παραβολή y = 4x
0. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 3 ο γ. ( ) ( ) f = 3 = 3 = 3 3 = 0 = 0 = 0 = 0 ή ή ή 3 Re( ) 3 = + = Re( ) = x = Ο μιγαδικός = 0 ανήκει στην παραβολή y Re() = x =, όμως είναι οι = 0, = + i και = i = 4x. y = 4 y=±, άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί. Δίνεται η συνάρτηση f( ) + =, όπου = x +yi με x,y πραγματικούς και 0. α. Να γραφεί ο μιγαδικός f() στη μορφή α + βi. β. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία: f() πραγματικός πραγματικός γ. Αν ισχύει f( ) f( ) =, να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι κύκλος κέντρου Κ(,0) και ακτίνας R =. δ. Για τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του μέτρου f( ). Λύση α. Εχουμε: f( ) ( x+ ) + yi ( x yi) + x+ yi+ x + y + x y = = = = + i x+ yi x + y x + y x + y y f R Im f = 0 = 0 y = 0 y = 0 R x + y β. Είναι: ( ) ( ( )) γ. ( ) ( ) ( + )( + ) + + + + + f f = = = = + + + = + = x + y x y x x y x 0, που παριστάνει κύκλο με κέντρο (,0) και ακτίνα R =. + f = = = δ. ( )
Βήμα 3 ο Μιγαδικοί αριθμοί. Όμως η εικόνα του κινείται σε κύκλο με κέντρο (,0) και ακτίνα R =. Άρα Έτσι: max{ } = + R = + και min{ } = R = = max{ f ( ) } = = και min{ f ( ) } = = min max + { } { } * 3. Δίνεται ο μιγαδικός 0 και η συνάρτηση f:n C με ( ) ( ν f ν = i ). * α. Να δείξετε ότι για κάθε ν N ισχύει: f ( ν) f( ν+ ) f( ν+ ) f( ν+ 3) = 0. β. Αν ισχύει f() 3 = 3i, να δείξετε ότι: = + i. γ. Για τον μιγαδικό του προηγούμενου ερωτήματος να υπολογίσετε το μέτρο του μιγαδικού w = f ( ν+ ) f( ν), για κάθε ν N. * Λύση: * α. Αν ν= 4κ, κ Ν τότε ( ) ( 4κ f ν = i ) = 0 * Αν ν= 4κ+, κ Ν τότε ( ) ( 4κ+ 4 f ν+ 3 = i ) = 0 * Αν ν= 4κ+, κ Ν τότε ( ) ( 4κ+ 4 f ν+ = i ) = 0 * Αν ν= 4κ+ 3, κ Ν τότε ( ) ( 4κ+ 4 f ν+ = i ) = 0 * Άρα για κάθε ν Ν, f ( ν) f( ν+ ) f( ν+ ) f( ν+ 3) = 0. β. () ( 3 f 3 = 3i i ) = 3i ( i) = 3i 3i ( 3i)( + i) 4+ i = = = = + i i ( ) + ( ) γ. ( ) ( ) ( ν+ ) ( ν w = f ν+ f ν = i ) = ( ν+ ν ) ν = i i + = i ( i ) ν ν ν ν Έτσι: w = i ( i ) = i + i = i ( ) + + = 5 = 0 4. Δίνονται οι μιγαδικοί, w και u = w. α. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει =. β. Αν για τους και w ισχύει: + w = w, να δείξετε ότι ο αριθμός u = w είναι φανταστικός.
. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 3 ο γ. Αν επιπλέον ισχύει ότι w = + i, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών. Λύση: α. Αν = α+ βi, α,β R τότε: = α + βi = ( α βi) α + βi = α + βi α= 0 α= 0 Re() = 0 είναι φανταστικός β. + w = w υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: ( )( ) ( )( ) + w = w + w + w = w w ( + w)( + w) = ( w)( w) + w + w + ww = w w + ww w = w w = w u = u που σημαίνει ότι ο είναι φανταστικός. γ. Αν w = + i και = x+ yi, x,y R τότε: ( )( ) ( ) ( ) u = w = x+ yi + i = x+ xi+ yi+ yi = x y + x+ y i Αφού ο u είναι φανταστικός, ισχύει: Re( u) = 0 x y = 0 y = x Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι η ευθεία y = x. + 3i 5. Δίνονται οι μιγαδικοί και w =, με 3. + 3 α. Αν = x+ yi, x,y R να γράψετε τον w στην μορφή α+ βi. β. Να δείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός τότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία y = x 3. γ. Να δείξετε ότι αν w =, τότε η εικόνα του κινείται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Λύση: α. ( ) ( ) [( ) ] x+ yi+ 3i x+ y+ 3 i x+ y+ 3 i x+ 3 yi w = = = = x yi 3 ( x 3 ) yi ( ) + + + + x+ 3 + y ( + ) + ( + )( + ) ( + ) x x 3 xyi x 3 y 3 i y 3 yi = = ( x+ 3) + y ( ) ( ) ( )( ) x x+ 3 + y y+ 3 xy+ x+ 3 y+ 3 = + i ( x+ 3) + y ( x+ 3) + y
Βήμα 3 ο Μιγαδικοί αριθμοί 3. x + y + 3x+ 3y 3x + 3y + 9 Έτσι Re( w) =, Im( w) = ( x+ 3) + y ( ) x+ 3 + y β. Ο w είναι πραγματικός, αν και μόνον αν, ( ) Im w 0 3x 3y 9 0 y x 3 = + + = = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η ευθεία y= x 3, με εξαίρεση το σημείο ( 3,0), αφού πρέπει + 3 0 x+ 3+ yi 0 x 3 και y 0 γ. + 3i w = = + 3i = + 3 + 3 x+ ( y+ 3) i = ( x+ 3) + yi ( ) ( ) 3 x + y+ 3 = x+ 3 + y x + y+ 3 = 4 x+ 3 + y Υψώνουμε στο τετράγωνο: ( ) ( ) x + y + 6y + 9 = 4x + 4x + 36 + 4y 3x + 3y + 4x 6y + 7 = 0 x + y + 8x y + 9 = 0 Eπειδή 8 + ( ) 4 9 = 64 + 4 36 = 3 > 0, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ( 4,) και ακτίνα 3 R = =. 6. Αν, είναι μιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει: 0, 0 και + = (). α. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός w = είναι φανταστικός. i β. Να δείξετε ότι +. +, γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αν = + i. Λύση: α. + = υψώνουμε στο τετράγωνο: ( )( ) ( )( ) + = + + = + + + = +
4. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 3 ο = = = w w Όμως: αν w = α+ βi, α, β R. w = w α+ βi= ( α βi) α+ βi= α+ βi α= 0, άρα ο w είναι φανταστικός. (ος τρόπος: Διαιρούμε με, οπότε + = w+ = w, αρα η εικόνα του w ανήκει στην μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα ( ) ( ) w φανταστικός.) β. Η προς απόδειξη σχέση γίνεται: + + + + = +, άρα ισχύει και η αρχική. γ. Για + + i = i ( i) = ( + i) Άρα η εικόνα του κινείται στην μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα A(, ) και B, ( ) που είναι η ευθεία: () ε :y= x A,0 B,0 yy', άρα, που ισχύει διότι 7. Δίνονται οι μιγαδικοί 0, w = και u= τέτοιοι ώστε οι εικόνες των και w σχηματίζουν με την αρχή των αξόνων Ο, ορθογώνιο τρίγωνο στο Ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι οι διχοτόμοι των αξόνων χωρίς το σημείο τομής τους. β. Να δείξετε ότι ο u είναι φαντασικός. Λύση: γ. Αν ισχύει =, να βρείτε το μέτρο του u. α. Έστω = x+ yi τότε w = = x y i. x+ yi x + y x + y
Βήμα 3 ο Μιγαδικοί αριθμοί 5. Έστω Μ η εικόνα του OM ( x, y) πρέπει: y x, Μ η εικόνα του w x y OM, x + y x + y y x y= x OM OM λ λ = = y = x ή, 0 y = x Άρα γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του ορθοκανονικού συστήματος χωρίς το O0,0. ( ) β. ( ) ( ) u = u = x+ yi u = x y + xyi Όμως από το α. ισχύει y = x (και 0, x 0 και y 0 ) Έτσι ( u = x x ) + xyi = xyi, άρα xy 0 ο u είναι φανταστικός. γ. = w = () Όμως w : απόσταση των εικόνων του και του w ( MM ). Στο τρίγωνο ΟΜ Μ εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε: ( ) ( ) ( ) MM = OM + OM w = + w ( ) = + w + = + = 0 () ( ) = 0 = = Έτσι u = = =. 8. Αν C 7 6 και ισχύει ( + i) + ( i) ( i) = 0, με i, να αποδείξετε ότι: α. + i = ( + i) + 4 β. w = R + i γ. u= ( + i) 3 I Λύση: 7 6 7 6 Είναι: ( + i) + ( i) ( i) = 0 ( + i) + i ( i) = 0
6. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 3 ο 7 6 7 6 ( + i) + ( i)( i) = 0 ( + i) = i( i) ( ) 7 6 α. Έχουμε: ( + i) = i( i) και επομένως τα μέτρα τους είναι ίσα, δηλαδή: Όμως i = ( i) = + i οπότε 7 6 + i = i i 7 6 + i = + i και αφού + i 0 είναι: + i + i 7 6 = + i = + i = 4 β. Είναι: + i = ( + i)( + i) = = ( + i)( i) i = ( ) + i ( ) ( ) ( ) + i + 4 + i 4 Έχουμε: w = = + = + i+ i= + = Re() + i + i + i Άρα w R. 3 7 6 γ. Είναι: ( ) ( ) ( ) () 6 6 u = + i = + i + i = i( i) ( + i) = 6 6 6 = i( + i) ( + i) ( ) = i + i = i + i = i 3 Έτσι u = i, άρα u I.
Βήμα 4 ο Μιγαδικοί αριθμοί 7..α. Να λύσετε στο C την εξίσωση: = 0 β. Να σχεδιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του C, αν = 4i.. Δίνεται ο μιγαδικός = x + yi, όπου x, y R και x 0, y. Αν i + i =, τότε: α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του. β. Να προσδιορίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του και να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία.
8. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 4 ο 3. Έστω ότι για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: 4 + 9i. Να αποδείξετε ότι: 3 7 + 5i 7 4. α. Να προσδιορίσετε γεωμετρικά τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του αν 5. β. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι: ( ) 0 + i 5. Δίνεται ο μιγαδικός και έστω f () =, α. Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός w = [ f ()] 004 είναι πραγματικός. f () β. Να αποδείξετε ότι: = f () + i γ. Αν = και Μ είναι η εικόνα του f() στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
Βήμα 4 ο Μιγαδικοί αριθμοί 9. 6.α. Αν για το μιγαδικό ισχύουν + < και + <, να δειχθεί ότι. β. Αν, C με 0, να δειχθεί η ισοδυναμία: + = + R
30. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 5 ο Θέμα ο Α.α. Γράψτε τις ιδιότητες που γνωρίζετε για συζυγείς μιγαδικούς και για το μέτρο μιγαδικού. (Μονάδες 3) β. Αποδείξτε ότι: + = + (Μονάδες 5) Β.. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ έναν αριθμό από το έως το 8 ώστε καθένα από τα σχήματα της πρώτης στήλης να ταιριάξει με την κατάλληλη εξίσωση της δεύτερης στήλης.
Βήμα 5 ο Μιγαδικοί αριθμοί 3. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α.. + =. i = 4 3. i = Β. 4. = 5. + i = Γ. Δ. 6. + = 4 7. + i = 8. = (Μονάδες 5) Β.. Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) α. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. (Μονάδες 4) β. Ο κύκλος με εξίσωση i = εφάπτεται στον πραγματικό άξονα. (Μονάδες 4) γ. Αν i = τότε η μέγιστη τιμή του είναι ίση με 8. (Μονάδες 4) Θέμα 0 Α. Να γράψετε στη μορφή α+βi, όπου α,β R, τους αριθμούς: Α. 3i Β. i 3 4i (Μονάδες )
3. Μιγαδικοί αριθμοί Βήμα 5 ο α. Αν εικόνα του C γράφει την ευθεία y=x τότε η εικόνα του γράφει την ευθεία: Α. y = 0 Β. x = 0 Γ. x + y = 0 Δ. y = x + Ε. y = x + (Μονάδες 7) β. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστες έχει ρίζα τον αριθμό 3i 3. Η άλλη ρίζα της είναι ο αριθμός: Α. 3 i 3 Β. 3 3i Γ. 3 3i Δ. 3 + 3i Ε. 3 + 3i (Μονάδες 6) Θέμα 3 0 Α. Στο διπλανό σχήμα να χαράξετε την ευθεία i = + και να γραμμοσκιάσετε την περιοχή του μιγαδικού επιπέδου τα σημεία της οποίας επαληθεύουν την σχέση i +. (Μονάδες 3) Β. Αν η εικόνα του βρίσκεται στο εσωτερικό κύκλου με κέντρο την εικόνα του -i και ακτίνα τότε: Α. + i < Β. + i < Γ. + i < 4 Δ. + i < 4 Ε. + + i < (Μονάδες )
Βήμα 5 ο Μιγαδικοί αριθμοί 33. Θέμα 4 0 Έστω, w μιγαδικοί που συνδέονται με τη σχέση w = +, με 0. Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται στον κύκλο x + y = 4, να αποδείξετε ότι η εικόνα του w κινείται σε έλλειψη. (Μονάδες 5)