Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β R και z =, τότε α = και β =. Σ Λ 3. * Αν z = κ + λi, κ, λ R, τότε Re (z) = κ. Σ Λ 4. * Αν z = + ( - )i,, R και Ιm (z) =, τότε =. Σ Λ 5. * Αν z, z C µε Re (z + z ) =, τότε Re (z ) + Re (z ) =. Σ Λ 6. * Αν z = α + βi, αβ, τότε ο = + i. Σ Λ z α β 7. * Για κάθε µιγαδικό αριθµό z ορίζεται z =. Σ Λ 8. * Αν z C, τότε z = z. Σ Λ 9. * Ο αριθµός z είναι πραγµατικός, αν και µόνο αν z = z. Σ Λ. * Ο αριθµός z είναι φανταστικός, αν και µόνο αν z = - z. Σ Λ. * Αν z = α + βi και z + z = α, τότε z = z. Σ Λ. * Αν i = -, τότε i 3 = i. Σ Λ 3. * Η διαφορά δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι φανταστικός αριθµός. Σ Λ 4. * Οι εικόνες των φανταστικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στον άξονα. Σ Λ 5. * Οι εικόνες των αντίθετων µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία συµµετρικά ως προς τον άξονα. Σ Λ 6. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο µε Re (z) = βρίσκονται στην ευθεία =. Σ Λ 7. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο µε Ιm (z + i) = 8 βρίσκονται στην ευθεία = 8. Σ Λ 8. * Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των µιγαδικών z και z αντιστοίχως στο µιγαδικό επίπεδο και ο άξονας είναι η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος Μ Μ, τότε είναι z = z. Σ Λ 9. * Το µέτρο του z = - + 3i είναι 3. Σ Λ
. * Για κάθε z, z C ισχύει z + z = z + z. Σ Λ. * Η εξίσωση z - z = z - z, z, z, z C, παριστάνει τη µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος που έχει άκρα τα σηµεία Α (z ) και B (z ). Σ Λ. * Αν K (z ) η εικόνα του µιγαδικού z στο µιγαδικό επίπεδο, τότε η εξίσωση z - z = ρ, ρ >, z C, παριστάνει κύκλο µε κέντρο το K (z ) και ακτίνα ρ. Σ Λ 3. * Στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες των µιγαδικών z λ = λ + (λ + ) i βρίσκονται πάνω στον άξονα για κάθε λ R. Σ Λ 4. * Η εξίσωση z - z = z - z µε άγνωστο το z C και z, z C έχει µόνο µια λύση. Σ Λ 34. * Η εξίσωση z 3 - i = έχει µοναδική ρίζα τον z = i. Σ Λ 36. * Η εξίσωση - + λ =, λ R, µπορεί να έχει ρίζες τους µιγαδικούς + i και - i. Σ Λ 37. * Αν η εξίσωση α + β + γ =, α, α, β, γ R έχει ρίζα τον + i θα έχει και τον 5 + i. Σ Λ 38. * Η εξίσωση α + β + γ =, α, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C. Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ισότητα + ( - ) i = 3 + 4i,, R, ισχύει αν και µόνο αν Α. = 3 ή = 5 Β. = 3 και = 5 Γ. = 3 ή = 4. = 3 και = 4 Ε. + = 7. * Αν z = α + βi µε αβ και z ο συζυγής του ποια από τις παρακάτω προτάσεις δεν είναι σωστή; Α. z + z πραγµατικός αριθµός Β. z - z φανταστικός αριθµός Γ. z z φανταστικός αριθµός. - z z πραγµατικός αριθµός Ε. z + z πραγµατικός αριθµός 3. * Ο αριθµός i ισούται µε: Α. i Β. Γ. -. i Ε.
3 4. * Aν ν Ν, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι σωστή η Α. i 4ν = Β. i 4ν+ = - i Γ. i 4ν+ = -. i ν+4 = i ν Ε. i 4ν+3 = - i 5. * O Α.. - 4i + 4i - - 4i ισούται µε Β. - + 4i Γ. - 4i Ε. κανένα από τα προηγούµενα + i 6. * To - i 8 ισούται µε Α. + i Β. - i Γ. i. Ε. - 7. * Αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού w = ( + ) + ( - ) i,, R, στο µιγαδικό επίπεδο είναι η αρχή των αξόνων, τότε ο z = + i ισούται µε Α. - i Β. + i Γ. - - i. - + i E. + i 8. * Η εικόνα κάθε φανταστικού αριθµού στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση Α. = Β. = - Γ. =. = Ε. σε καµία από τις προηγούµενες. 9. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών + 3i και 3 + i στο µιγαδικό επίπεδο έχουν άξονα συµµετρίας την ευθεία Α. = Β. = 3 Γ. =. = - Ε. =. * Αν η διανυσµατική ακτίνα του µιγαδικού αριθµού z έχει φορέα τη διχοτόµο της ης και 4ης γωνίας των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου, τότε ο z µπορεί να είναι ο Α. + i Β. - + i Γ. + i. - - i Ε. - - i. * Στο µιγαδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών µιγαδικών αριθµών είναι σηµεία συµµετρικά Α. ως προς τον άξονα Β. ως προς τον άξονα Γ. ως προς την ευθεία =. ως προς την ευθεία = - Ε. ως προς την αρχή των αξόνων. * Αν η εικόνα του µιγαδικού z στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµείο της ευθείας + 3 - =, τότε ο z δεν µπορεί να είναι ο
4 Α. Β. - 3 i Γ. 5-3i. 3 i Ε. + i 3. * Οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών z = - - i, z = 5 + i, z 3 = 5 - i και z 4 = - + i στο µιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές Α. τετραγώνου Β. ορθογωνίου Γ. τραπεζίου. ρόµβου Ε. τυχαίου τετραπλεύρου 4. * Αν z = + i, R και z =, τότε µια τιµή του είναι Α. B. 4 Γ. 3. 5 E. 5. * Αν για το µιγαδικό αριθµό z είναι z = z τότε από τα παρακάτω ισχύει το Α. Im (z) < B. Im (z) = Γ. Im (z) >. Im (z) = Re (z) E. κανένα από τα παραπάνω 6. * Αν οι εικόνες δύο µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών z και z είναι στο ίδιο τεταρτηµόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις µπορεί να ισχύει; Α. z = - z B. z = z Γ. z = - z. Ιm (z ) + Im (z ) = E. κανένα από τα παραπάνω - i 7. * Το µέτρο του µιγαδικού z = είναι + i Α. B. Γ. -. E. - 8. * Αν z = + i,, R, από τις παρακάτω ισότητες δεν είναι πάντα σωστή η Α. z = z Β. z = - z Γ. z = z. z = + (-) Ε. z = z 9. * Αν z = 3 και z = 4 + 3i τότε η µεγαλύτερη τιµή του z + z είναι Α. 5 Β. 8 Γ. 9. Ε. 4. * Αν z = και - z = 5 η ελάχιστη τιµή του z z είναι Α. B. 3 Γ. 5. 7 E.. * Ποια είναι η καλύτερη προσεγγιστική τιµή για το µέτρο του µιγαδικού z = - 5-7i;
5 Α. 5 5 B. 9 Γ. 8 6. 8 8 E. 8. * Αν το σηµείο Ρ (, ) είναι η εικόνα των µιγαδικών z = + i,, R, στο µιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει z - 3 = 5, το Ρ (, ) βρίσκεται πάνω σε Α. ευθεία B. έλλειψη Γ. κύκλο. παραβολή E. υπερβολή 3. * Η εξίσωση z - (+ i) = 4 παριστάνει στο µιγαδικό επίπεδο κύκλο µε Α. κέντρο (-, ) και ακτίνα 4 B. κέντρο (, - ) και ακτίνα Γ. κέντρο (, - ) και ακτίνα 4. κέντρο (, ) και ακτίνα E. κέντρο (, ) και ακτίνα 4 4. * Θεωρούµε στο µιγαδικό επίπεδο τον κύκλο µε κέντρο το Ο (αρχή των αξόνων) και ακτίνα. Από τους παρακάτω αριθµούς έχει εικόνα πάνω στον κύκλο ο Α. z = + 3i B. z = 3 + i 7 Γ. z = - i 8. z = 8 + 6i E. z = + i 8 5. * Το σύνολο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z στο µιγαδικό επίπεδο για τους οποίους ισχύει z - = z - i είναι Α. ο άξονας B. η ευθεία = Γ. ο άξονας. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, ) και (, ) E. η µεσοκάθετος του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, ) και (, ) 6. * Αν η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z βρίσκεται επάνω στον κύκλο z =, τότε η εικόνα του w = z 3 βρίσκεται Α. στον ίδιο κύκλο B. στον οµόκεντρο κύκλο ακτίνας 3 Γ. στον οµόκεντρο κύκλο ακτίνας 3. στην ευθεία µε εξίσωση = 3
6 E. κανένα από τα παραπάνω 7. * Αν η εξίσωση z = z κi επαληθεύεται από τους µιγαδικούς αριθµούς που η εικόνα τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία =, ο πραγµατικός αριθµός κ ισούται µε Α. B. - Γ.. - E. 4 8. * Στο µιγαδικό επίπεδο ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (, ) και ακτίνα 3 είναι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του µιγαδικού z για τον οποίο ισχύει Α. z - ( - i) = 3 B. z - (+ i) = 3 Γ. z - ( + i) = 9. z - ( + i) = 3 E. z + ( + i) = 3 9. * Αν οι εικόνες των µιγαδικών z, z, z 3 δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία τότε το πλήθος των λύσεων του συστήµατος z z = z z = z z 3 µε ά- γνωστο τον z C είναι Α. B. 3 Γ.. 4 Ε. 3. * Οι µιγαδικοί αριθµοί z που οι εικόνες τους στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του σχήµατος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α. z + < και z + i < B. z < και z + i < Γ. z > και z i >. z < και z i < Ε. z + < και z i < 3. * Οι µιγαδικοί αριθµοί z που οι εικόνες τους βρίσκονται στο γραµµοσκιασµένο τµήµα του σχήµατος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α. z < και z 3 < 3 4 B. z < και z 3 > Γ. z + < και z 3 >. z + < και z + 3 > Ε. z > και z 3 <
7 44. * H εξίσωση - + α =, α R, έχει ρίζα τον + i. Ο α ισούται µε Α. B. 4 Γ.. E. - 45. * Αν Ρ () πολυώνυµο τουλάχιστον ου βαθµού µε πραγµατικούς συντελεστές και η εξίσωση P () = έχει ρίζα τον αριθµό - i, θα έχει οπωσδήποτε και τον Α. + i B. + i Γ. + i 33. + i E. - i 4 Ερωτήσεις συµπλήρωσης. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα για τους αριθµούς που δίνονται στην αριστερή στήλη: z Re (z) Im (z) - z z - + 3i - i - 5 3i z z. * Οι αριθµοί z, z είναι µιγαδικοί. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: µιγαδικός αριθµός z z = 3 + i z = - + i z z = z z z = z z 3 = Ερωτήσεις αντιστοίχισης. * Στα σχήµατα της στήλης Α φαίνονται τόξα κύκλων στα οποία βρίσκεται η εικόνα του µιγαδικού αριθµού z στο µιγαδικό επίπεδο. Να συµπληρώσετε τον
8 παρακάτω πίνακα ώστε σε κάθε σχήµα της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β M(z). z =, Im (z) και Α. Re (z) 4. z - = και Im (z) M(z) 3. z = και Re (z) Β. 4 4. z + = και Re (z) < Γ. 4 M(z) Α Β Γ
9 3. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ώστε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο της στήλης Α να αντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α γεωµετρική περιγραφή των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο Στήλη Β σχέση που ικανοποιεί ο µιγαδικός αριθµός z Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) και ακτίνας 3 Β. µεσοκάθετος του τµήµατος µε άκρα τα σηµεία (, ), (, - ). z + + i = 3. z = 3 3. z i = 3 Γ. κύκλος κέντρου Ο (, ) και ακτίνας 3 4. z + = z i 5. z = z + i Α Β Γ 5. * Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα έτσι ώστε σε κάθε γραµµή της στήλης Α να αντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β
4 Α. 4 4 ) z - z = 8i 4 ) z = 4 Β. 3) z - = 4 4 6 Γ. 4 (ε) 4) z + z = 5) z = - z (ε). Α Β Γ