ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστηµα [α, ]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, ], τότε να δείξετε ότι f(t) dt G() G(α). α Μονάδες Β.. Έστω η συνάρτηση f( ηµ. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR και ισχύει f ( συν. Μονάδες 8 Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο [α,] και συνεχής στο (α,], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α,] µία µέγιστη τιµή. Μονάδα. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισµού της, είναι γνησίως µονότονη. Μονάδα γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και τότε lim f(, lim f(. Μονάδα δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR, τότε f(d f( f (d. Μονάδα
ε. Αν lim f( >, τότε f( > κοντά στο. Μονάδα Απάντηση: Α. Θεωρία. (απόδειξη σελ. 5 σχολ. ιλίου). Β.. Θεωρία (σελίδες 4-5) σχολ. ιλίου) Β.. α Λ Λ γ Σ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο Έστω z ένας µιγαδικός αριθµός και f(ν) i ν z, ν IN*. α. Να δείξετε ότι f() + f(8) + f() + f(8). Μονάδες 7. Αν z ρ και Arg(z) θ, να δείξετε ότι f() ρ π π συν + θ + iηµ + θ. Μονάδες 8 γ. Αν z και Arg(z) π, να ρεθεί το εµαδόν του τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των µιγαδικών αριθµών, z και f(). Μονάδες Απάντηση: α. f() + f(8) + f() + f(8) i z + i 8 z + i z + i 8 z i i z + (i ) 4 z + (i ) 6 i z + (i ) 9 z (-) i z + z + (-) 6 i z + (-) 9 z - i z + z + i z - z. z ρ, Arg(z) θ. Για ν έχουµε: f() i z (i ) 6 i z (-) 6 i z i z
Επειδή ο µιγαδικός z έχει µέτρο ρ και πρωτεύον όρισµα θ, θα έχει την ακόλουθη τριγωνοµετρική µορφή: z z (συνθ + i ηµθ) ρ (συνθ + iηµθ) () Η τριγωνοµετρική µορφή του µιγαδικού αριθµού i είναι: π π συν + i ηµ () Εποµένως ο µιγαδικός αριθµός f() i z γράφεται: π π f() συν + i ηµ ηµθ π π ρ συν + θ + i ηµ + θ π π ρ συν + θ + i ηµ + θ [ ρ( συνθ + i )] γ. Σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα και για ρ, θ π έχουµε: z (συν π + iηµ π ), f() iz.έτσι αν Α η εικόνα του z στο µιγαδικό επίπεδο, η εικόνα Β του f() iz προκύπτει από στροφή της διανυσµατικής ακτίνας Α του z κατά π. Επειδή το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο µε µήκη κάθετων πλευρών, θα έχει εµαδόν τετραγωνικές µονάδες. ΘΕΜΑ ο Έστω οι συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το ΙR. ίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι -. α. Να δείξετε ότι η g είναι -. Μονάδες 7
. Να δείξετε ότι η εξίσωση: g(f( + - g(f( + -) έχει ακριώς δύο θετικές και µία αρνητική ρίζα. Μονάδες 8 Απάντηση: α. Επειδή η f είναι συνάρτηση έχουµε ότι για κάθε g( ) g( ) έπεται f ( g( )) f ( g( ) ή ( f o g)( ) ( f o g)( ) (), R µε Επειδή όµως η f o g είναι - στο R προκύπτει από την () ότι. Έτσι δείξαµε ότι:, R µε g ( ) g( ) προκύπτει Άρα η g είναι -.. Έχουµε: ( f( + g( f( + ) g Επειδή η g είναι - στο R, προκύπτει ότι: f( + f( + + + Θεωρούµε την συνάρτηση: h( - +, R H h είναι παραγωγίσιµη ως πολυωνυµική µε: h'( - ( - ) ( - )(+) ή ή 4
H µονοτονία της h( φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Η h στο διάστηµα [-, -] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzno, αφού: Η h συνεχής στο [-, -] ως πολυωνυµική και h(-) h(-) (-) (+) - < Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε h( ). Eπειδή η h στο (-, -] είναι γνησίως αύξουσα η παραπάνω ρίζα είναι µοναδική στο (-, -]. Έχουµε h() και h() -. Επειδή η h είναι συνεχής στο [, ] και h() h() (-) - < προκύπτει ότι στο διάστηµα (, ) η h( έχει µια τουλάχιστον ρίζα. Επειδή ακόµα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [-, ], προκύπτει ότι η ρίζα αυτή είναι µοναδική στο [-, ]. Έχουµε h() - και h() Επειδή η h είναι συνεχής στο [, ] και h() h() (-) - < προκύπτει ότι στο διάστηµα (, ) η h( έχει µια τουλάχιστον ρίζα. Επειδή ακόµα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ), προκύπτει ότι η ρίζα αυτή είναι µοναδική στο [, + ). Επειδή: (-, -) είναι < (, ) είναι > (, ) είναι > Έτσι η h( έχει ακριώς δύο θετικές και µία αρνητική ρίζα στο R. 5
ΘΕΜΑ 4ο α. Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, ]. Να αποδείξετε ότι αν h( > g( για κάθε [α, ], τότε και h(d > g(d. α α Μονάδες. ίνεται η παραγωγίσιµη στο ΙR συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις: f( f(, ΙR και f(). ι) Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f. Μονάδες 5 ιι) Να δείξετε ότι < f( < f (, για κάθε >. Μονάδες ιιι) Αν Ε είναι το εµαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες, και τον άξονα, να δείξετε ότι < E < f(). 4 Μονάδες 6 Απάντηση: α. Θεωρούµε τη συνάρτηση φ( h( - g( [α, ] Η φ( είναι συνεχής στο [α, ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Επειδή είναι h( > g( για κάθε [α,] προκύπτει ότι Φ( > για κάθε [α,]. Σύµφωνα τώρα µε το θεώρηµα σελίδα σχολ. ιλίου έχουµε: d > φ( ή ( - g( ) h( d > ή f(d g(d > Άρα h( d g( d. > 6
.i. Αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο R έχουµε: f' ( f ( - -f( (-f( ή f ( + f ( -f( ή f ( [ + -f( ] ή f( +, αφού + -f( για κάθε R Άρα.ii. f' ( f( f( µε R. + + f( Επειδή είναι f() η ζητούµενη ανίσωση < f( < f ( για > γράφεται: f( f() < f( -f() < f ( ή < < f' (. Η f στο [,] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. άρα υπάρχει f( f() ένα τουλάχιστον ξ (,: f '( ξ ). Τότε όµως αρκεί να δειχθεί < f ( ξ ) < f ( ή f () < f ( ξ ) < f ( ή f () + f () < f (ξ) < f (, µε < ξ <. Έτσι αρκεί να δειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ]. Υπολογίζοντας την f ( έχουµε: ' f ( f ( ( + ) f ' '( ( ) f ( ) + f + + > για κάθε R. ( + ) [ + ] f ( f ( ( ) ( + ) Άρα f γνησίως αύξουσα στο R άρα και στο [,]. 7
.iii. Από.ii. είναι f( > > και επειδή η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιµη στο R άρα και στο [,], θα είναι E f( d. Οι συναρτήσεις, f(, f ( είναι συνεχείς στο R, οπότε µε άση το ερώτηµα α) από < f( < f ( είναι: < d f(d < f (d < E < 4 < E < f () E. 4 Έτσι 4 < E και Ε < f() E < f(). Οπότε τελικά 4 < E < f(). [ f( ] f(d 8