Ευθεί Ενότητ 7. Απόστση σημείου πό ευθεί Εμβδόν τριγώνου Εφρμογές 7.1 Ν βρεθεί η πόστση: i) του σημείου Μ(1,3) πό την ευθεί (ε) με εξίσωση 3x-4y- 11=0, ii) του σημείου Ρ(,-3) πό την (η) με εξίσωση 5x+1y-=0. 7. Ν βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχοντι πό το σημείο Α(1,) κι πέχει πό το σημείο Β(3,1) πόστση d=. 7.3 Δίνοντι οι ευθείες (ε) : 5x-1y+19=0 κι (ζ) : 5x-1y+=0. Ν βρεθεί η πόστση των δύο υτών ευθειών. Σχόλιο Έστω μι ευθεί (ε) με εξίσωση ax +βy +γ=0. Γι την πλούστερη λύση ορισμένων σκήσεων ιδιίτερ χρήσιμες είνι οι εξής πρτηρήσεις : 1. κάθε ευθεί (ζ) η οποί είνι πράλληλη με την ευθεί (ε) : x +βy +γ = 0 έχει τη μορφή (ζ) : x +βy +λ = 0. κάθε ευθεί (η) η οποί είνι κάθετη στην ευθεί (ε) : x +βy +γ = 0 έχει τη μορφή (η) : βx ay +λ = 0 Το πλεονέκτημ νζήτησης των (ζ) κι (η) στην πρπάνω μορφή βρίσκετι στο γεγονός ότι είνι πρίτητος ο προσδιορισμός μόνο μίς πρμέτρου, του λ. 7.4 Ν βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες είνι πράλληλες στην ευθεί (ε) : 3x -4y +5 = 0 κι πέχουν πό το σημείο Α(,3) πόστση d=3. 7.5 Σε έν πρλληλόγρμμο ΑΒΓΔ είνι Α(,3), Β(5,4) κι Δ(-4,-1). Ν βρεθούν: i) οι συντετγμένες της κορυφής Γ, ii) το εμβδόν του πρλληλογράμμου. 7. Δίνοντι τ σημεί Α(-,1), Β(3,5) κι Γ(,4). Ν..ο. τ σημεί Α, Β κι Γ είνι κορυφές τριγώνου. Επιμέλει Σημειώσεων Μνάρς Νικόλος 53
Μθημτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου Μέθοδος Εύρεση μεσοπρλλήλου Δίνοντι δύο πράλληλες ευθείες (ε) κι (ζ). Οι (ε) κι (ζ), ως πράλληλες, μπορεί ν θεωρηθεί ότι έχουν τη μορφή (ε) : x +βy +γ 1 = 0 κι (ζ) : x +βy +γ = 0 με γ 1 γ Η ευθεί (μ) της οποίς τ σημεί ισπέχουν πό τις (ε) κι (ζ) λέγετι μεσοπράλληλος των (ε) κι (ζ). Η εξίσωση της μεσοπρλλήλου βρίσκετι συνήθως ως εξής : Έστω Μ(x,y) έν σημείο της (μ). Τότε Μ(x,y) (μ) d(m, ε) = d(m, ζ) ax y 1 x y 1 (x +βy +γ 1 = x +βy +γ ή 1 x +βy +γ 1 = -x βy γ ) 1 (x +βy) +γ 1 +γ = 0 x +βy + 0 Άρ η εξίσωση της μεσοπρλλήλου (μ) είνι η 1 x +βy + 0 7.7 Ν βρεθεί η μεσοπράλληλος των ευθειών (ε) : x +4y 3 = 0 κι (ζ) : x +4y +11 = 0. 7.8 Δίνοντι οι ευθείες (ε) : 4x 3y = 0 κι (ζ) : 8x -y +1= 0. Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς (η), ώστε η (ε) ν είνι μεσοπράλληλη των (ζ) κι (η). Μέθοδος Εύρεση διχοτόμου Α. Δύο τεμνόμενες ευθείες (ε) κι (ζ) σχημτίζουν τέσσερις, νά δύο κτκορυφήν, γωνίες. Ορίζοντι έτσι δύο ευθείες που διχοτομούν τις γωνίες υτές κι οι οποίες είνι κι κάθετες μετξύ τους. 54 Επιμέλει Σημειώσεων Μνάρς Νικόλος
Ευθεί Η εύρεση των εξισώσεων των διχοτόμων (δ 1 ) κι (δ ) των δύο τεμνόμενων ευθειών (ε) : x +βy +γ = 0 κι (ζ) : Αx +By +Γ = 0 γίνετι ως εξής: Θεωρούμε τυχίο σημείο Μ(x,y) στη διχοτόμο (δ). Τότε ισχύει Μ (δ) d(m, ε) = d(m, ζ) ax y Ax By Η σχέση υτή, μετά τις πλοποιήσεις, δίνει τις εξισώσεις των ζητούμενων διχοτόμων. Β. Γι ν βρούμε τη διχοτόμο της οξείς γωνίς δύο τεμνόμενων ευθειών, θεωρούμε έν σημείο Α της μις πλευράς κι βρίσκουμε τις ποστάσεις πό τις διχοτόμους (δ 1 ) κι (δ ). Η διχοτόμος που πέχει λιγότερο πό το Α είνι εκείνη της οξείς γωνίς. 7.9 Ν βρεθούν οι διχοτόμοι των γωνιών που σχημτίζουν οι ευθείες (ε) : x +y 5 = 0 κι (ζ) : x +y 7 = 0. Ποι είνι η διχοτόμος της οξείς γωνίς ; 7.10 Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι =(,5) κι =(4,9). Ν βρεθεί το εμβδόν του τριγώνου. 7.11 Δίνοντι οι ευθείες (ε) : 4x +3y = 0 κι (ζ) : 4x +3y +10 = 0. Ν βρεθεί η μεσοπράλληλη των ευθειών (ε) κι (ζ). 7.1 Ν βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες είνι κάθετες στην ευθεί (ε) : x +8y 7 = 0 κι πέχουν πό το σημείο Α(1,) πόστση d=3. 7. Δίνοντι οι ευθείες (ε) : x -3y = 0 κι (ζ) : x 3y 5 = 0. Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς (η) της οποίς η πόστση πό την (ε) είνι διπλάσι πό την πόστση της πό τη (ζ). 7.14 Δίνετι το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-3,4), Β(-1,0) κι Γ(3,). i) Ν βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου. ii) Ν βρεθεί το εμβδόν του τριγώνου. iii) iv) Ν βρεθεί η εξίσωση της διχοτόμου της γωνίς Bˆ του τριγώνου. Ν ποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές. 7.15 Η ευθεί (ε) : 3x +4y 5 = 0 είνι μεσοπράλληλη των ευθειών (ζ) κι (η), των οποίων η πόστση είνι 10. Ν βρεθούν οι εξισώσεις των (ζ) κι (η). Επιμέλει Σημειώσεων Μνάρς Νικόλος 55
Μθημτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου 7.1 Ν..ο. το σημείο τομής των ευθειών (ε) : (λ+)x+(λ -3)y +λ - = 0 κι (ζ) : (λ -4)x + (λ +5)y +λ 1 = 0 κινείτι σε στθερή ευθεί, η οποί πέχει πό την ρχή των ξόνων πόστση d=1. 7.17 Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι (ΑΒ): x +y 4 = 0, (ΒΓ): 3x +y = 0 κι (ΑΓ) : x 3y 4 = 0. i) Ν βρεθεί το εμβδόν του τριγώνου. ii) Αν Δ,Ε κι Ζ είνι οι προβολές του σημείου Μ(3,3) στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ κι ΑΓ ντίστοιχ του τριγώνου, ν..ο. τ σημεί Δ, Ε κι Ζ είνι συνευθεικά. 7.18 Δίνετι η εξίσωση x +y 5 + λ(x +y 1) = 0. i) Ν..ο. η εξίσωση υτή πριστάνει ευθεί γι κάθε λ R, η οποί διέρχετι πό στθερό σημείο Ρ. ii) Ν βρεθεί η πόστση του στθερού σημείου Ρ πό την ευθεί (η) : 5x +1y +10 = 0. 7.19 Δίνοντι οι ευθείες (ε): x +λy +1 = 0 κι (ζ): λx +y + μ = 0, όπου λ, μ R. Ν βρεθούν οι τιμές των λ κι μ, ώστε οι δύο ευθείες ν είνι πράλληλες κι η μετξύ τους πόστση ν είνι. 7.0 Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι Α ( 1, ) κι δύο ύψη έχουν εξισώσεις x + y - 1 = 0 κι x y = 0.Ν βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ κι το εμβδόν του τριγώνου. 7.1 Οι ευθείες (ε) : x 3y +10 = 0 κι (ζ) : x +y 8 = 0 τέμνοντι στο Α. Αν Ρ(0,1) κι η ευθεί που διέρχετι πό το Ρ τέμνει τις (ε) κι (ζ) στ Β κι Γ ντίστοιχ, έτσι ώστε το Ρ ν είνι μέσο του ΒΓ, ν βρεθεί το εμβδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Συμπληρωμτική ομάδ. 7. Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι (5,7) κι (4,). Ν βρεθεί το εμβδόν του τριγώνου. 7.3 Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς η οποί είνι πράλληλη στην ευθεί (ε) : 4x +3y 7 = 0 κι πέχει πό το σημείο Α(1,1) πόστση d=3. 5 Επιμέλει Σημειώσεων Μνάρς Νικόλος
Ευθεί 7.4 Δίνοντι οι ευθείες (ε) : x 3y +1 = 0 κι (ζ) : x +5y 9 = 0. Ν βρεθούν οι ευθείες οι οποίες διέρχοντι πό το σημείο τομής των (ε) κι (ζ) κι i) πέχουν πό την ρχή Ο πόστση d=, ii) τ σημεί Α(-1,-1), Β(4,5) ισπέχουν πό υτές. 7.5 Ν βρεθεί η μεσοπράλληλη των ευθειών (ε) : 5x 3y +10 = 0 κι (η) : 5x -3y + = 0. 7. * Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι Α(4,1). Αν οι εξισώσεις δύο διχοτόμων του είνι x y=0 κι 4x +y = 0, ν βρεθεί η εξίσωση της πλευράς ΒΓ. 7.7 Σ έν χάρτη με κρτεσινό σύστημ συντετγμένων τ ζεύγη (t,t+3) κι (3t+3,3t+) πριστάνουν τις συντετγμένες της θέσης δύο υτοκινήτων Α κι Β γι κάθε χρονική στιγμή t0.. Ν..ο. οι τροχιές των δύο υτοκινήτων είνι ευθύγρμμες. β. Ν εξετάσετε ν υπάρχει χρονική στιγμή t κτά την οποί τ δύο υτοκίνητ θ συνντηθούν. γ. Ν..ο. η πόστση των δύο υτοκινήτων σε κάθε χρονική στιγμή είνι τουλάχιστον 10 μονάδες μήκους. Πότε η πόστση γίνετι ελάχιστη; δ. Ν βρεθεί η πόστση του υτοκινήτου Α τη χρονική στιγμή t=1 πό την ευθεί στην οποί κινείτι το Β. Η πόστση υτή είνι η πόστση των τροχιών τους; 7.8 Στο διπλνό σχήμ οι άξονες x x κι y y πριστάνουν δύο ευθύγρμμους δρόμους που διστυρώνοντι κάθετ. Έν κινητό Κ 1 ξεκινά πό το σημείο (-,-1) κινείτι ευθύγρμμ κι κάποι στιγμή περνά πό το σημείο Ο(0,0). Έν άλλο κινητό Κ ξεκινά πό το σημείο Β(3,-) κινείτι ευθύγρμμ κι η τροχιά του σχημτίζει γωνί 45 Ο με το δρόμο x x.. Ν βρείτε τις εξισώσεις των τροχιών των Κ 1 κι Κ. β. Ν εξετάσετε ν οι δύο τροχιές τέμνοντι. γ. Ν υπολογίσετε την οξεί γωνί των δύο τροχιών. δ. Τη στιγμή που το Κ δισχίζει το δρόμο x x,ποι είνι η πόστσή του πό την τροχιά του Κ 1. Επιμέλει Σημειώσεων Μνάρς Νικόλος 57
Μθημτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου 7.9 Έν χωράφι έχει σχήμ τετρπλεύρου ΑΒΓΔ κι γι ν βρεθεί το εμβδόν του, ένς τοπογράφος εργάζετι στο εξής: Από κάποιο σημείο Ο του χωρφιού προχωρά βόρει km κι στη συνέχει 1km δυτικά, οπότε συνντά την κορυφή Α. Από το Ο προχωρά 3km ντολικά κι 1km βόρει, οπότε βρίσκει την κορυφή Β. Επίσης, πό το Ο προχωρά km νότι κι βρίσκει την κορυφή Γ. Τέλος, πό το Ο προχωρά 4km δυτικά κι 1km νότι, οπότε βρίσκει κι την κορυφή Δ.. Ν θεωρήσετε κτάλληλο σύστημ συντετγμένων κι ν γράψετε τις συντετγμένες των κορυφών Α, Β, Γ κι Δ. β. Πόσ χρήμτ θ χρειστεί ο ιδιοκτήτης γι την περίφρξη του χωρφιού, ν κάθε μέτρο περίφρξης στοιχίζει 1,5 ευρώ; γ. Ν υπολογίσετε την ξί του χωρφιού, ν η ξί κάθε στρέμμτος στην περιοχή είνι 7.337 ευρώ. (δίνετι ότι 17 4, 1,414 ). Ασκήσεις πολλπλής επιλογής 7.30 Δίνετι ευθεί (ε): - 3x + y + 1 = 0 κι το σημείο Μ (1, - ). Τότε η πόστση του Μ πό την (ε) είνι Α. - Β. Γ. - Δ. Ε. 7.31 Η πόστση του σημείου Α (- 1, 1) πό την ευθεί x + βy = 0 με > β είνι Α. ( β) β β Β. ( β) β β Γ. - β - β Δ. β β Ε. ( β) β β 7.3 Τ σημεί Ο (0, 0), Α (κ, 0), Β (0, λ) με κ, λ. > 0 ορίζουν τρίγωνο με εμβδόν Α. κλ Β. 1 (κ + λ) κ Γ. κλ Δ. 1 (κ - λ) (κ + λ) Ε. 1 κλ 7.33 Το εμβδόν του τριγώνου με κορυφές Α (0, 0), Β (, 0) κι Γ (, β) Είνι β Α. β Β. β Γ. β Δ. β Ε. 58 Επιμέλει Σημειώσεων Μνάρς Νικόλος
Ευθεί 7.34 Η πόστση του σημείου (5, - 1) πό την ευθεί 3x - y - = 0 είνι Α. 15 Β. 15 Γ. 15 Δ. 15 15 Ε. 15 15 7.35 Το εμβδόν του τριγώνου που ορίζετι πό τους άξονες συντετγμένων κι την ευθεί 3x + 3y = είνι σε τετργωνικές μονάδες 9 Α. Β. 9 Γ. 4 Δ. Ε. 1 Γενικές σκήσεις στην ευθεί. 1. Ν βρεθούν τ κοινά σημεί των γρμμών (C 1 ) : x +y =5 κι (C ) : y =4x. Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι Α(1,1). Η διάμεσος ΒΜ κι το ύψος ΓΔ έχουν ντίστοιχ εξισώσεις x y +4 = 0 κι 3x +y +4 = 0. Ν βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου. 3. Ν βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχοντι πό το σημείο Α(1,3) κι σχημτίζουν με τον άξον x x γωνί ω με ημω = 3/5. 4. Σε έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι Α(8,-). Αν μι διάμεσος κι μι διχοτόμος του τριγώνου, που άγοντι πό την ίδι κορυφή, έχουν εξισώσεις 11x+y 58=0 κι 3x+y-1=0 ντίστοιχ, ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς ΒΓ κι οι συντετγμένες της κορυφής Γ. 5. Η ευθεί (ε) : x +y 3 = 0 τέμνει την ευθεί που ορίζετι πό τ σημεί Α(1,3) κι Β(-4,4) στο σημείο Μ. Ν..ο. ΑΜ=4ΜΒ.. Ν βρεθούν οι ευθείες (ζ) οι οποίες είνι κάθετες στην ευθεί (ε) : x+3y-5=0 κι σχημτίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβδόν Ε=. 7. Έν τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει την πλευρά του ΑΒ στην ευθεί με εξίσωση x+y-1=0. Αν το κέντρο Κ του τετργώνου έχει συντετγμένες Κ(1,), ν βρεθούν οι κορυφές του. 8. ** Ν βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχοντι πό το σημείο Κ(,-1) κι οι οποίες σχημτίζουν με τις ευθείες (ε) : x y +5 = 0 κι (ζ) : 3x +y 1 = 0 ισοσκελές τρίγωνο. Επιμέλει Σημειώσεων Μνάρς Νικόλος 59
Μθημτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου 9. * Δίνοντι οι ευθείες (ε) : x +y 1 = 0 κι (ζ) : x +y 3 = 0 κι το σημείο Ρ(3,-3). Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς (δ) η οποί διέρχετι πό το Ρ κι τέμνει τις (ε) κι (ζ) στ Α κι Β ντίστοιχ, έτσι ώστε το τμήμ ΑΒ ν διχοτομείτι πό την ευθεί (η) : x y 5 = 0. 10. * Δίνοντι οι ευθείες (ε) : (μ+1)x +μy +λ = 0 κι (ζ) : 3x + (μ+)y 7 = 0 Ν βρεθούν τ λ, μ Z, ώστε οι (ε) κι (ζ) ν είνι πράλληλες κι ν πέχουν μετξύ τους πόστση d=. 11. Δίνοντι οι ευθείες (ε 1 ) : y=1, (ε ) : y=, τ σημεί Α(1,3), Β(3,3) κι μι μετβλητή ευθεί (ε) με συντελεστή διεύθυνσης λ=, η οποί τέμνει τις (ε ) κι (ε 1 ) στ σημεί Γ κι Δ ντίστοιχ. Ν..ο. το σημείο τομής Μ των ευθειών ΑΔ κι ΒΓ κινείτι σε μι ευθεί. 0 Επιμέλει Σημειώσεων Μνάρς Νικόλος