ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης της f. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο o, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν f( ) στο (α, o ) και f( ) στο ( o, β), τότε το f( o ) είναι τοπικό μέγιστο της f. ΜΟΝΑΔΕΣ Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ο αντίστροφος του μιγαδικού αριθμού i είναι ο αριθμός i. ΜΟΝΑΔΕΣ β. H ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C f μιας συνάρτησης f μπορεί να διαπερνά την γραφική της παράσταση. ΜΟΝΑΔΕΣ γ. Αν ένα εσωτερικό σημείο o του πεδίου ορισμού Α μιας συνάρτησης f είναι κρίσιμο σημείο της f, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο o και f(). ΜΟΝΑΔΕΣ δ. Αν f, g είναι δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε η σύνθεση g f ορίζεται όταν f(a)b =. ΜΟΝΑΔΕΣ ε. To μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της f είναι ολικό μέγιστο της f. ΜΟΝΑΔΕΣ o ΘΕΜΑ ο Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού z (συνφ)z + (5 ημφ) =, φ [,π]. Να βρεθούν: Β. Οι ρίζες z, z της εξίσωσης και ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των ριζών. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Β. Το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης z z ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Β 3. To μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης z + z ΜΟΝΑΔΕΣ 6 B. Αν ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας φ είναι rad/sec, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου των ριζών όταν φ = ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΘΕΜΑ 3 ο Έστω μια συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύουν: i) H γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων και στο σημείο Α(,f()) δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. ii) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο σύνολο R και για κάθε f() ισχύει: f() e Γ. Να αποδείξετε ότι f() = e e - e +. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ. Nα συγκρίνετε τους αριθμούς f(e ) και f() ΜΟΝΑΔΕΣ Γ 3. Aν η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο σύνολο R, να αποδείξετε ότι: e g() g(f())d g ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Γ. Αν επιπλέον ισχύει e e για κάθε, να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και h() = f(t) et dt έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω λ πραγματικός αριθμός και f μια παραγωγίσιμη στο σύνολο R συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f() i) lim ii) f() για κάθε R iii) f () f() ln( ) για κάθε R Δίνονται επιπλέον οι συναρτήσεις: F() f (t)dt, και G() tf(t) dt, Δ. Να αποδείξετε ότι : α) λ = ΜΟΝΑΔΕΣ β) f() e ln( ), R ΜΟΝΑΔΕΣ
Δ. Να λύσετε στο σύνολο 3 G(), την εξίσωση f(t)dt ΜΟΝΑΔΕΣ F() Δ 3. Να αποδείξετε ότι ΜΟΝΑΔΕΣ 3 f(t)dt tf(t)dt Δ. G() G( ) G() Να αποδείξετε ότι η εξίσωση F() έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (,). ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Δ 5. Αν H() να βρεθεί το lim H() και στη συνέχεια να δειχθεί ότι υπάρχει f() ξ > τέτοιο ώστε lim H ( ) ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Ευχόμαστε ΕΠΙΤΥΧΙΑ Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ Α 3. Σ Σ Λ Λ Λ ΘΕΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Β. Είναι Δ = συν φ + ημφ = (-ημ φ) + ημφ = - (ημφ ) < αφού ημφ. Άρα η εξίσωση έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες τις z = συνφ (ημφ )i και z = συνφ + (ημφ )i Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z θέτουμε συνφ (ημφ )i = + yi όπου [, ] και y[, ] αφού φ[,π] τότε y y Επειδή όμως ημ φ + συν φ = έχουμε + (y ) =. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι το ημικύκλιο κέντρου Κ(,) και ακτίνας ρ = με [, ] και y[, ] Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z θέτουμε συνφ + (ημφ )i = + yi όπου [,] και y[, ] αφού φ[,π] τότε y y Επειδή όμως ημ φ + συν φ = έχουμε + (y + ) =. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι το ημικύκλιο κέντρου Λ(, ) και ακτίνας ρ = με [, ] και y[, ] ος τρόπος : (γεωμετρικά) Επειδή οι μιγαδικοί z, z είναι συζυγείς μιγαδικοί, οι εικόνες τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα χ χ, άρα o γ. τ. των εικόνων του z είναι το συμμετρικό ημικύκλιο των εικόνων του z.
Β. Είναι z z = (ημφ )i άρα z z = ημφ 5 Επομένως το z z γίνεται μέγιστο, όταν η συνάρτηση g(φ) = ημφ παρουσιάζει μέγιστο, δηλαδή στις θέσεις φ = ή φ = π στις οποίες το μέγιστό της έχει τιμή ίση με επομένως ma z z = Και το z z γίνεται ελάχιστο, όταν η συνάρτηση g(φ) = ημφ παρουσιάζει ελάχιστο, δηλαδή στη θέση φ = π/ όπου στη θέση αυτή το ελάχιστο έχει τιμή ίση με επομένως min z z = ος τρόπος : (γεωμετρικά) λόγω συμμετρίας των εικόνων των z, z ως προς χ χ (βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο) το μέγιστο της απόστασης z - z συμβαίνει (για φ= και για φ=π ) στις θέσεις για χ= και χ=- οπότε ma z z =. Όμοια το ελάχιστο (όταν φ=π/) στη θέση για χ=, οπότε min z z =. Β 3. Είναι z + z = συνφ, επομένως z + z = συνφ Επομένως το z + z γίνεται μέγιστο, όταν η συνάρτηση h(φ) = συνφ παρουσιάζει μέγιστο, δηλαδή στις θέσεις φ = ή φ = π στις οποίες το μέγιστό της έχει τιμή ίση με επομένως ma z + z = Και το z + z γίνεται ελάχιστο, όταν η συνάρτηση h(φ) = συνφ παρουσιάζει ελάχιστο, δηλαδή στη θέση φ = π/ όπου στη θέση αυτή το ελάχιστο έχει τιμή ίση με επομένως min z z = B. Επειδή οι ρίζες είναι μιγαδικές συζυγείς έχουν ίσα μέτρα και το κοινό τους μέτρο z είναι ίσο με z ( ) 5 Τότε η παράγωγος της συνάρτησης του μέτρου είναι d z, [, ] d 5 5 Σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας και με τον συμβολισμό Leibniz ισχύει: d z d z d [, ] dt d dt Από όπου έχουμε d z [, ] dt 5 5 Και για φ = έχουμε:
d z dt 5 5 μ.μ./sec 6 Mε χρήση της σύνθετης συνάρτησης η αντιμετώπιση του θέματος είναι: Θεωρούμε τη συνάρτηση h(t) του μέτρου των μιγαδικών αριθμών, τότε h(t) z (t) 5 (t) Τότε η ρυθμός μεταβολής του μέτρου των ριζών είναι: (t) h(t) (t) και για t = t o έχουμε: 5 (t) (t ) 5 o h(t o) (t o) 5 (t o) 5 ΘΕΜΑ ΤΡΙΤΟ μ.μ./sec Γ. Από την υπόθεση ισχύουν f() = και f () = και για κάθε R * έχουμε: f () f () f () f () f() e e (e) Επομένως υπάρχουν σταθερές c, c R τέτοιες ώστε: f() e c,, οπότε ο τύπος της παραγώγου είναι: e c, e c, f(), e c, Επειδή η f είναι συνεχής στο είναι lim f () lim f () f (), άρα α = f () = e + c = c = - e Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο είναι: f() f() f() f() e c e c lim lim lim lim lim (e c ) lim (e c ) Άρα + c = + c c = c = - e Οπότε f () = e e f () = e +e e e f() e e Επομένως υπάρχει c πραγματικός αριθμός ώστε Για = έχουμε f() = - + c c = και τελικά έχουμε: e e f() e e c e f() e e
7 Γ. Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα [, e ], συνεπώς υπάρχει ξ (, e f (e ) f () ) τέτοιο ώστε: f( ) από όπου έχουμε ισοδύναμα e f (e ) f () f ( )(e ) f (e ) f () ( e e )(e ) f (e ) f () (e e)(e ) ά (, e ) Άρα f(e ) > f() η ΛΥΣΗ Για τη συνεχή συνάρτηση f έχουμε ότι: e f () e e e e e(e ) και f () e(e ) ( ή ), οπότε από το διπλανό πίνακα προσήμου η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, +) οπότε ισχύει η συνεπαγωγή e > f(e ) > f() Γ 3. Aπό το πίνακα προσήμου της συνάρτησης f έχουμε, ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών από υπόθεση, επομένως έχουμε: f.. g.. f () f () f () g(f ()) g(f ()) g(f ()) e g(f()) g(f()) g( ) και επειδή η συνάρτηση gof είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων έχουμε: e e g(f ())d g(f ())d g( )d g(f ()) g(f ())d g( ) Γ. Η συνάρτηση f( t) είναι συνεχής στο R ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, οπότε η t() f( t)dt έχει πεδίο ορισμού το R. Θέτουμε u = t, τότε έχουμε du = - dt και τα όρια ολοκλήρωσης από και γίνονται και επομένως έχουμε: t() f( t)dt f(u)( du) f(u)du Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και h έχουν συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος: y f() δηλαδή f() = h() f() h() = k() = (αν ονομάσουμε k() = f() h()) y h() To δε σύστημα έχει μια μόνο λύση αν και μόνο αν η εξίσωση k() = έχει μια μόνο λύση.
Αλλά k() = f() h() = e 8 e e f(t) et dt= e e f (u)du et dt = e e e t = e e f(u)du = e e e e f(u)du = = e e f(u)du Άρα k() = e e = f(u)du Η παραπάνω εξίσωση έχει προφανή ρίζα τη = αφού k() = Αλλά k() = ( e e f(u)du) e e e f() = e f () Επειδή όμως e e δηλαδή k( ) για κάθε R *. για κάθε έχουμε: άρα e e e f () Άρα η συνάρτηση k() είναι γνήσια μονότονη (διότι είναι συνεχής στο ), δηλαδή έχει το πολύ μια ρίζα. Τελικά η k() = έχει μοναδική ρίζα το. ΘΕΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ f() Δ. α Θέτουμε g(), τότε lim g() και f() = g() + Άρα limf() lim(g() ) f() f() f() f() Άρα lim lim f () Είναι f() ά R f() f() δηλαδή η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο που είναι ίσο με. Επομένως έχουμε τις υποθέσεις: Το είναι εσωτερικό σημείο του R H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο R άρα και στο Η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat f() Δ. β Αφού είναι λ = έχουμε: f() [f() ln( )] ( ) f () [f() ln( )] f() ln( ) [f() ln( )] Αν ονομάσουμε h() f() ln( ) η σχέση () γράφεται: f() ln( ) [f() ln( )] h () h() h () h() e h () e h() e h() ()
Συνεπώς υπάρχει c τέτοιο ώστε: e h() = c 9 Για = η παραπάνω σχέση δίνει e h() = c h() = c και η αρχική h() f () ln( ) c επομένως έχουμε: e h() = h() e άρα e f() ln( ) f() e ln( ) ΛΥΣΗ η Ονομάζοντας h() f() ln( ) > (f() > και h() h () h() ln h() h() συνεπώς υπάρχει c πραγματικός αριθμός ώστε: lnh() = + c ln( ) ) η σχέση () γράφεται: και για = έχουμε c = οπότε η παραπάνω σχέση γράφεται: lnh() = h() e άρα e f() ln( ) f() e ln( ) Δ. Είναι Όμως G() f (t)dt F(G()) F(F()) με F() f (t)dt F() F () f() άρα είναι τότε συνεπώς η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα για κάθε, F(G()) F(F()) F(G()) F(F()) G() F() G() F() () με σ() = G() F() () Μια προφανή ρίζα της εξίσωσης () είναι η = Επιπλέον είναι: G () F() G () F () F () f() F() f() F() f(t)dt σ () = γιατί είναι f(t) >, άρα η συνάρτηση σ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα = είναι μοναδική., οπότε η λύση ΛΥΣΗ η Επειδή f(t) > για κάθε t πραγματικό αριθμό και G() F() στο διάστημα G() F() f(t)dt, που έχει γίνει παραπάνω., αρκεί να λυθεί η εξίσωση
Δ 3. Αφού η συνάρτηση σ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, έχουμε: () () G() F() tf (t)dt f (t)dt Δ. Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: G() G( ) G() F() F()( ) G() G( ) G() F()( ) G() G( ) G() Ονομάζουμε φ() = F()( ) G() G( ) G() η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [,] και φ() = G() G() G() G() F() G() φ() = F() G() G(5) G() G() G(5) αλλά από το ερώτημα Δ 3 έχουμε: F() G() και G.. 5 G(5) G() άρα φ() > και από το θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει o (, ) τέτοιο ώστε φ( o ) = δηλαδή η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) ln( ) lim f () lim e ln( ) lim e e ln( ) Αλλά lim lim lim DLH e e ( )e άρα lim f () lim e άρα lim δηλαδή lim H() f() Δ 5. Είναι Για την συνάρτηση H() εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής στο διάστημα [, +], > Συνεπώς υπάρχει ξ (, +) τέτοιο ώστε: ( ) H() H( ) H( ) () H() αλλά lim H() και lim H( ) lim H(u) u άρα για κάθε > υπάρχει ξ > (αφού ξ (, +) ) τέτοιο ώστε lim H ( )