Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III

Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Table of Contents 1 Produsul scalar: denitie, proprietati 2 Schimbari de repere ortonormate in plan 3 Aplicatii Oana Constantinescu Lectia III

Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Denitia produsului scalar Denition Fie vectorii liberi nenuli u, v V. Produsul scalar al celor doi vectori se noteaza cu < u, v > (sau (u, v), u v) si se deneste prin < u, v >= u v cos α, unde α este masura unghiului celor doi vectori, α [0, π]. Daca unul dintre vectori este 0, produsul lor scalar este prin denitie 0. Observatie: numele acestui produs de vectori vine din faptul ca rezultatul este un scalar real. Oana Constantinescu Lectia III

Denitia produsului scalar Observatie: unghiul dintre cei doi vectori este unghiul dintre directiile lor, si nu depinde de punctul in care se aplica vectorii.

Interpretare geometrica O interpretare geometrica importanta a produsului scalar este data de proiectia ortogonala a unui vector pe o directie data. Fie d o dreapta cu directia data de u si v = AB. Fie A si B intersectiile dintre dreapta d si planele prin A, respectiv B, perpendiculare pe d.

Proiectia ortogonala Vectorul A B = w se numeste proiectia ortogonala a lui v pe d si se noteaza cu pr d v sau pr u v.

Proiectia ortogonala Observatie: in cazul geometriei plane, cele doua plane ortogonale pe d sunt inlocuite de drepte ortogonale pe d, prin A, respectiv B. Marimea algebrica a vectorului pr u v se noteaza cu mpr u v si se numeste masura proiectiei. Mai exact, daca u 0 este versorul lui u, adica u 0 = u u, atunci pr u v = λu, λ R. Notam λ = mpr u v. Se observa usor pe gura anterioara ca mpr u v = v cos α, unde α [0, π] este masura unghiului dintre v si u.

Proiectia ortogonala Urmarind gura deduceti ca pr u (v + v ) = pr u v + pr u v, mpr u (v + v ) = mpr u v + mpr u v. Interpretarea geometrica a produsului scalar este < u, v >= u mpr u v = v mpr v u.

Proprietatile produsului scalar Theorem Produsul scalar a doi vectori liberi are urmatoarele proprietati: a) < u, v >=< v, u > (simetria); b) < u, v + w >=< u, v > + < u, w >(aditivitatea); c) < λu, v >= λ < u, v >(omogenitatea); d) < u, u > 0, < u, u >= 0 u = 0 (pozitiva denire); e) < u, v >= 0 u v, u, v V si λ R. Deci produsul scalar este o aplicatie <, >: V V R biliniara, simetrica, avand forma patratica asociata pozitiv denita. Observatie: doi vectori sunt perpendiculari daca au directiile perpendiculare.

Baze ortonormate Daca {O; i, j, k} este un reper ortonormat, si vectorii u, v au urmatoarele coordonate: u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, v = y 1 i + y 2 j + y 3 k, atunci produsul lor scalar se calculeaza astfel: < u, v >= x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Denition Norma vectorului liber u este u = < u, u >. Observatie: se verica imediat ca u = u, u V.

Baze ortonormate Daca u = x 1 i + x 2 j + x 3 k, atunci norma sa se calculeaza prin u = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2, iar unghiul dintre vectorii liberi u = x 1 i + x 2 j + x 3 k si v = y 1 i + y 2 j + y 3 k prin cos α = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2.

Proprietatile normei Theorem Norma unui vector liber este o aplicatie : V [0, ), cu proprietatile: 1) v = 0 v = 0; 2) λv = λ v, v V, λ R; 3) < u, v > u v, u, v V. Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari (inegalitatea lui Cauchy); 4) u + v u + v, u, v V. Egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de acelasi sens (inegalitatea triunghiulara).

Cosinusi directori Theorem Fie {i, j, k} o baza ortonormata in V si u un vector liber unitar: u = 1. Daca v face unghiurile α, β, γ respectiv cu vectorii i, j, k, atunci u = (cos α)i + (cos β)j + (cos γ)k. Denition Numerele reale cos α, cos β, cos γ se numesc cosinii directori ai directiei vectorului u si satisfac relatia:. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Schimbari de repere ortonormate in plan Sa presupunem ca R = {O; i, j} si R = {O ; u, v} sunt doua repere ortonormate intr-un plan π. Deci {i, j} si {u, v} sunt doua baze ortonormate in π. Presupunem ca unghiul dintre i si u este α. Oana Constantinescu Lectia III

Schimbari de repere ortonormate in plan Atunci u = (cos α)i + (sin α)j, v = (sin α)i + (cos α)j, sau v = (sin α)i (cos α)j, iar formula corespunzatoare a transformarii de coordonate este: sau x = x cos α + y sin α + a, (1) y = x sin α + y cos α + b, x = x cos α + y sin α + a, (2) y = x sin α y cos α + b, unde am notat cu (x, y) coordonatele in raport cu R, (x, y ) coordonatele in raport cu R si am presupus ca O are in raport cu R coordonatele (a, b).

Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Orientarea planului Pentru a decide care din ecuatiile (1), (2) este cea corecta, trebuie sa stim cum sunt orientate bazele celor doua repere. In plan, pentru determinarea sensului unui unghi, suntem obisnuiti sa folosim sensul acelor ceasornicului si cel trigonometric (invers acelor de ceas), care sunt, prin conventie, sensul negativ, respectiv cel pozitiv. Existenta unghiurilor pozitive si negative determina orientabilitatea planului, iar alegerea numelor de pozitiv si negativ este numita orientare. Oana Constantinescu Lectia III

Orientarea planului Prin denitie, doua baze ale unui plan vectorial sunt la fel orientate daca determinantul matricii de trecere de la o baza la alta este strict pozitiv, si opus orientate daca determinantul anterior este strict negativ. Doua repere sunt la fel orientate daca bazele lor sunt la fel orientate. Relatia la fel orientate este o relatie de echivalenta pe multimea bazelor spatiului liniar al vectorilor liberi, si aceasta multime se imparte in doua clase de echivalenta, disjuncte, astfel incat doua baze din aceeasi clasa sunt la fel orientate, iar doua baze din clase distincte sunt opus orientate.

Orientarea planului Impartirea in cele doua clase se face astfel: se xeaza o baza ortonormata oarecare (i, j) si e o alta baza ortonormata (i, j ). Se roteste i cu un anumit unghi α [0, π] pana cand acesta ajunge peste i. Daca rotatia pozitioneaza si vectorul j peste j, atunci asezam baza (i, j ) in clasa nr. 1. Daca nu, o punem in clasa nr. 2. A alege una dintre aceste clase drept clasa bazelor orientate pozitiv inseamna a orienta spatiul liniar V. Deci se obtine formula (1) pentru repere la fel orientate si formula (2) pentru repere opus orientate.

Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Aplicatii Example Formulati si demonstrati teorema cosinusului intr-un triunghi oarecare, apoi aplicati-o pentru a obtine teorema medianei. Amintim ca, daca notam cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC, opuse varfurilor A, B, respectiv C, atunci teorema cosinusului arma: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos Â. Indicatii: a 2 = BC 2 = BA + AC 2 = BA 2 + AC 2 +2 < BA, AC >= b 2 + c 2 2 < AB, AC >= b 2 + c 2 2bc cos Â. Oana Constantinescu Lectia III

Aplicatii Notam cu D mijlocul laturii (BC) si cu m a lungimea medianei (AD). Atunci m 2 = ( 1 AB + AC ) 2 4m 2 = AB 2 + AC 2 a 2 a + 2 < AB, AC >. Folosind denitia produsului< AB, AC > in care se inlocuieste cos Â din teorema cosinusului, se obtine 4m 2 a = 2(b 2 + c 2 ) a 2.

Aplicatii Example Fie B = (ī, j, k) o baza ortonormata in V. a) Sa se determine α R astfel incat vectorii ā = αī 3 j + 2 k si b = ī + 2 j α k sa e perpendiculari. b) Sa se determine unghiul dintre vectorii ā = 2ī 4 j + 4 k si b = 3ī + 2 j + 6 k. c) Sa se determine vectorul ū cu proprietatile unde ū ā, ū b, ū = 14, ( ū, j) > π 2, ā = 3ī + 2 j + 2 k, b = 18ī 22 j 5 k.

Aplicatii Indicatii: a) α = 6; b) cos( ā, b) = 5 ; c) Presupunem ca 21 ū = xī + y j + z k si se determina x, y, z din conditiile 3x + 2y + 2z = 0, 18x 22y 5z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 196, y < 0.

Aplicatii Example In raport cu reperul ortonormat pozitiv {O; i, j}, punctul A are coordonatele (1, 1). Cu ce unghi trebuie rotite axele de coordonate astfel incat A sa apartina abscisei noului reper {O; i, j }? Indicatii: presupunem ca noul reper este tot pozitiv. Fie α unghiul dintre i si i. Formula schimbarii de repere: { x y = (cos α)x + (sin α)y, = (sin α)x + (cos α)y. Punand conditiile y = 0, x = y = 1, se obtine sin α = cos α, deci α = π. Noile coordonate ale lui A vor (2, 0). 4