Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης) u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας u Ελεγξιµότητα u Παρατηρησιµότητα u Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα
Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H: Συναρτήσεις Μεταφοράς z.o.h Plant G(s) s s e G s e G s G s G ( z) = Z G( s) Z Z ( z ) Z s = = s s s ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ z.o.h /s G ( z) = Z e s s G s = Z G s s Z e s G s s = 3 = ( z ) Z s 3 = ( z ) z z + z = ( z ) Z G s s = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές z + ( z )
Συστήµατα Οδηγούµενα από S/H: Χώρος Κατάστασης z.o.h x =Φ x +Θ u + Plant!x = A x + B u y = D x + E u ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Α =, Β = Φ( ) = e A Θ, C = Φ ( ) = e A = = e A τ Τ B dτ = e A τ Θ B dτ = Τ Τ G ( ) Θ ( ) = ( z) = C z I Φ z + z Προφανώς ίδια µε αυτή που βγήκε από το προηγούµενο παράδειγµα αφου αναφερόµαστε στο ίδιο σύστηµα Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3
Ευστάθεια Εξίσωση Γ.Χ.Α.Σ. : Χ.Α.Σ. : x = A + x + B u x = + f x, u,! ειδική περίπτωση του Αρχική Κατάσταση : Αλληλουχία σηµάτων εισόδου : x u = { u,u,,u } u =ϕ x x : «επίλυση», δηλαδή αλληλουχία καταστάσεων που προκύπτει µε είσοδο u και αρχική κτάσταση x, x u x u u x x = x =ϕ x u, Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4
Αν υπάρχει xe Ευστάθεια συνεχ. έτσι ώστε x = + f x, u, = τότε x e : «κατάσταση ισορροπίας» δηλαδή x f ( x ) e e,, Για Γ.Χ.Α.Σ. x A x B u x A x A I x = + = = + e e e Αν λ = eig ( A) τότε η παραπάνω εξίσωση έχει λύση µόνο το x e = που, κατά συνέπεια, είναι το µοναδικό Σ.Ι. του ΓΧΑΣ. Ειδάλλως, υπάρχουν άπειρα Σ.Ι. και είναι αυτά που αντιστοιχούν στα ιδιοδυανύσµατα του για. A λ = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5
Ευστάθεια κατά Lyapunov Μία κατάσταση ισορροπίας συστήµατος ευσταθής αν : ενός είναι για κάθε σφαιρική περιοχή γύρω από το xe µε ακτίνα ε > είναι δυνατόν να ευρεθεί µία άλλη σφαιρική N x e, περιοχή δ, γύρω από την e, µε ακτίνα, έτσι ώστε δ ε > αν το σύστηµα εκκινήσει από µία κατάσταση ( x ) xe δ εντός αυτής (δηλ. της στήµατος δεν πρόκειται να εξέλθει της, δηλαδή όπου x = ϕ x µε u = u i =, i =,,, u x e x = + f x, u, ( ), Nε x e x Nε x e N x e ) τότε η πορεία του ελευθέρου συ ε u { } x x < ε e Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6.
Μία κατάσταση ισορροπίας x e ενός συστήµατος x =, είναι ασυµ+ f x, u, πτωτικα ευσταθής αν για κάθε σφαιρική περιοχή N x e γύρω από την µε ακτίνα είναι ε e δυνατόν να ευρεθεί µία άλλη σφαιρική περιοχή N x e δ γύρω από την e µε ακτίνα, έτσι ώστε αν το σύστηµα εκκινήσει από µία κατάσταση εντός αυτής u τότε η πορεία του ελευθέρου συστήµατος u = u i =, i =,,, : δεν πρόκειται να εξέλθει της, δηλαδή και u e θα ανήκει τελικά εντός της N ( x e ), δηλαδή x δ u ( ) x e < δ + ε, δ, Δηλαδή όταν η κατάσταση ισορροπίας x e είναι ασυµπτωτικά ευσταθής τότε : είναι ευσταθής κατά Lyapunov και. Ασυµπτωτική Ευστάθεια x ε > x ( ) δ ε, > ( x ) xe δ = ϕ x x, lim x = x e { } ε N x e x x < ε Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7
Ασυµπτωτική Ευστάθεια: ΓΧΑΣ Κριτήρια Ευστάθειας Δεδοµένου ότι το Σ.Ι. είναι: Όµως επειδή: πρέπει Προκύπτει η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ασυµπτωτική ευστάθεια: x = limx = x = = = e e + x A x x A x lim A =. Δεδοµένου ότι: A eig A = λi λi eig A [ ] λi < λi eig A Συγκρίνετε την µε την αντίστοιχη για συνεχή ΓΧΑΣ!!! [ ] Ζ s Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8
Ασυµπτωτική Ευστάθεια: ΓΧΑΣ Κριτήρια Ευστάθειας Τρόπος ελέγχου ευστάθειας ψηφιακού ΓΧΑΣ: Βήµα : χρήση µετασχηµατισµού Mobius w + w (µετασχηµατίζει το δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου) Βήµα : χρήση του κριτηρίου Routh-Hurwitz. Χαρ. Πολυώνυµο ψηφιακού ΓΧΑΣ: f z Πολυώνυµο στο οποίο εφαρµόζεται το Routh-Hurwitz: z = = a n z n + a n z n + + a z + a = w + F w f w w = ( ) n Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9
Ελεγξιµότητα Η ελεγξιµότητα είναι αναγκαία συνθήκη για µία σειρά προβληµάτων που σχετίζονται µε τον αυτόµατο έλεγχο π.χ. τοποθέτηση πόλων, βέλτιστος έλεγχος κλπ. x = A x + + B u A. Ας θεωρήσουµε το Γ.Χ.Α. σύστηµα µε Το σύστηµα είναι ελέγξιµο αν είναι δυνατόν να ευρεθεί µία σειρά εισόδων ελέγχου { u,u,,u } l που οδηγεί το σύστηµα από οιαδήποτε αρχική κατάσταση x σε f n µία τελική κατάσταση x R µέσω ενός πεπερασµένου αριθµού βηµάτων l x u x f x u x u l Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές
Ελεγξιµότητα συνεχ. Η λύση του Γ.Χ.Α. συστήµατος αν εφαρµοσθεί η ακολουθία ελέγχων u,u,,u l είναι { } και επειδή απαιτούµε l x f = x l = A l x + A l j B u j = A l x + B AB! A l B j= x f A l x = C l U l x x l = A l x + f l j= = x παίρνουµε l όπου A l j B u j C l = B AB! A l B U l = u l " u u Αναγκαία συνθήκη υπάρξεως ακολουθίας εισόδων υπάρξεως λύσεων γιά το U l = u l! u u u,u,,u l ran C l { } είναι: = n (δηλ. u l " u u Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές
Ελεγξιµότητα συνεχ. Αν ran C l < n µήπως, επειδή C l+ = B AB! A l B πράγµα που συνεπάγεται ότι, µπορούµε να συνεχίσουµε την αύξηση των βηµάτων έως ότου:??? ran( C ) l+ ran( C ) l ran ( C ) l + = = C A l B l n Απάντηση: Το Θεώρηµα Caley-Hamilton είναι a n A n + a n A n + + a A + a I = A n = a n που σηµαίνει ότι ο πίνακας A n, A n,, A οπότε και ο A n B, A n B,, AB,B n A n AB. Κατά συνέπεια a n A n + + a A + a I γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των είναι γραµµικός συνδυασµός των ran C =ran C. n+ n Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές
Ελεγξιµότητα συνεχ. Κατά συνέπεια, η µέγιστη τάξη που µπορεί να επιτευχθεί είναι για l = n οπότε η συνθήκη ελεγξιµότητας (δηλ. υπάρξεως ακολουθίας εισόδων ) είναι: ran( C) = n C = C n = B AB! A n B Πίνακας Ελεγξιµότητας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3
Παρατηρησιµότητα Δυαδική (dual) ιδιότητα της ελεγξιµότητας. Καθορίζει, το κατά πόσο είναι δυνατόν να καθορισθεί η αρχική κατάσταση x ενός συστήµατος µε βάση την παρακολούθηση της ακολουθίας σηµάτων εισόδου - εξόδου. Το Γ.Χ.Α.Σ x + A x B u = + y = C x πεπερασµένος αριθµός είναι παρατηρήσιµο αν υπάρχει ένας βηµάτων που επιτρέπει, µε βάση τις παρατηρήσεις των ακολουθιών εισόδου και εξόδου, τον προσδιορισµό της αρχικής κατάστασης. l { } y, y,, y l u,u,,u l x { } Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4
Παρατηρησιµότητα συνεχ Η λύση του Γ.Χ.Α.Σ. είναι και επειδή y = C x j j j= j j= x = A x + A B u παίρνουµε { } u,u,,u l y = C A x + C A B u Δεδοµένου ότι οι είσοδοι και οι έξοδοι είναι διαθέσιµες, είναι γνωστή και η διαφορά Δ e = y C A j B u j = C A x =,,,,l j= C e που γράφεται σε µορφή πινάκων ως CA e x! = O l x = E l! CA l e l Αναγκαία συνθήκη ευρέσεως της αρχική κατάστασης είναι: ran O l = n x { } y, y,, y l j Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5
Αν = O l ran( O ) l < n ( A ) l C Παρατηρησιµότητα µήπως, επειδή πράγµα που συνεπάγεται ότι, µπο- ρούµε να συνεχίσουµε την αύξηση των βηµάτων έως ότου:??? Απάντηση: Το Θεώρηµα Caley-Hamilton είναι a n A n + a n A n + + a A + a I = A n = a n που σηµαίνει ότι ο πίνακας A n, A n,, A, I CA n,ca n,,ca,c οπότε και ο O l+ = C A C! A ran O l+ n A n CA. Κατά συνέπεια συνεχ. l C ran( O ) l = n ran O l+ a n A n + + a A + a I γράφεται σαν γραµµικός συνδυασµός των είναι γραµµικός συνδυασµός των ran( O ) n+ = ran( O ) n. = Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 6
Παρατηρησιµότητα συνεχ. Κατά συνέπεια, η µέγιστη τάξη που µπορεί να επιτευχθεί είναι για l = n οπότε η συνθήκη παρατηρησιµότητας (δηλ. δυνατότητας ευρέσεως της αρχικής συνθήκης) είναι: ran( O) = n O = O n = C CA! CA n Πίνακας Παρατηρησιµότητας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7
Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Για το εν λόγω σύστηµα, να ελεγχθούν η ελεγξιµότητα & παρατηρησιµότητα τόσο στην συνεχή (αναλογική) µορφή όσο και σε αυτή που προκύπτει σε διάταξη δειγµατοληπτικών δεδοµένων. Λύση: A ω = = εποµένως οι πίνακες ελεγξιµότητας και παρατηρησιµότητας είναι: παράδειγµα: B C = [ ]!x!x y = = ω x x x x + C = [ B AB] = ( C) ran = C O = = ran ( O ) = CA u Εποµένως το Συνεχές σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο. Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8
Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα παράδειγµα: A ω = B = [ ]!x = A x + B u y = C x A cosω sinω Φ = e = ω ωsinω cosω ( cos ω ) ω Θ ( ) = Φ( τ) B dτ = sin ω ω x ( ) x ( ) u ( cosω ) cosω sinω ω x+ = ω x + u ωsin ω cosω sinω ω y = x =Φ +Θ + y = C x Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9
Οι πίνακες ελεγξιµότητας και παρατηρησιµότητας είναι: Εποµένως το σύστηµα είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο, εκτός όταν ισχύει Γιατί? «Φυσική Εξήγηση»: Για Παρατηρησιµότητα ω = κ π ω = κ π ( cosω ) cosω sinω ω x+ = ω x + u ωsinω cosω sinω ω y = [ ] x συνεχ. ω ω C = [ Θ ΦΘ ] = sinω sinω sin ω ω ω C O = C = Φ cosω sinω ω κ =,, κ =,, ( cosω ) ( cosω cos ω) ( ) το σύστηµα γίνεται λ ± x x ω = u + ± y = [ ] x + Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές
Παρατηρησιµότητα συνεχ. λ λ ± x + ± x + u x+ = x ω u ω + = ± x + ± x y = [ ] x y = x x ( ) Που δείχνει ότι η : α) εξελίσσεται χωρίς «έλεγχο» (άµεσο µέσω u( ) ή έµµεσο µέσω x ( )) και β) δεν µπορεί να «παρατηρηθεί» (ούτε άµεσα µέσω της εξόδου y = x ( ) ούτε έµµεσα µέσω της εφόσον δεν την επηρεάζει αυτή). x ( ) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές