Modl matmatic pntru îmbunătăţira calităţii sistmlor lctric Lct.univ.dr.ing. Ghorgh RAŢIU. Introducr Ţinând sama d tndinţl modrn al proictării sistmlor lctric (chipamntlor lctric) d înlocuir a uni proictări d tip dtrminist, cu un coficint d siguranţă als arbitrar, cu o proictar d tip opraţional, în car fiabilitata componntlor lctric constitui dat d intrar, iniţial d proictar, s pun problma dtrminării unor soluţii privind îmbunătăţira fiabilităţii. În vdra rzolvării uni atât d important problm s-au crat difrit modl matmatic pntru îmbunătăţira fiabilităţii. Procupăril s-au îndrptat în două dircţii principal: d modlar şi d rzolvar a problmi dfctlor. S-au crat modl d crştr a fiabilităţii folosind MTBF şi modl al probabilităţii d succs. Modll matmatic au ca scop austara curblor d crştr a fiabilităţii, rlativ la datl d succs-dfct, p o problmă concrtă. Problma st bazată p ipotzl: un program d tstar st compus din N tap şi ficar tapă constă dintr-un număr d tst, singurl dat înrgistrat sunt dacă chipamntul sau lmntul lctric a avut succs sau s-a dfctat în ficar tst. Toat tstl dintr-o tapă a tstării sunt dsfăşurat p obict cu o fiabilitat fixată. Rzultatul ficări tap d tstar st folosit pntru îmbunătăţira chipamntului lctric pntru tstara viitoar din tapa următoar. Când a N-a tapă a programului d tstar a fost compltată, s construişt o curbă aproximativă d crştr la cl N grup d dat succsiv []. 2. Modl d crştr a fiabilităţii p MTBF 2.. Modlul IBM S bazază p rzolvara uni cuaţii difrnţial cf. [2], obţinută în ipotzl: a) sunt posibil două tipuri d dfctări alatoar, având rată constatată d dfctar şi nalatoar, datorat dfctlor d proictar şi xcuţi; b) numărul dfctlor nalatoar st ncunoscut la încputul tstării, dar st fixat; c) dacă N( st numărul dfctlor nalatoar la momntul t, rata d schimbar a lui N( st proporţională cu N(.
Acastă ultimă ipotză implică dn( = k2n( () dt cu soluţia: N( = k (2) und k, k 2 >0 şi k =N(0). Numărul cumulat d dfctări până la momntul t st atunci: V ( = λ t + N(0) N( = λt + k( ) (3) ca c implică faptul că MTBF cum = θ(0,, t θ (0, = (4) λ k2t t + k( ) Doarc cuaţia (4) nu poat fi pusă sub formă liniară în t, stimări pntru paramtrii k, k 2, λ s pot obţin prin procd itrativ. Modlul ţin sama şi d dfctl nalatoar c au fost înlăturat. Dacă q rprzintă acst procnta, atunci q =, ca c implică faptul că timpul pntru liminara a 00 q% din dfctl nalatoar st: ln( q) t q = (5) k2 cuaţi utilă în planificara programului d tstar. 2.2. Modlul ARINC Cf. [2] ar forma gnrală dată d: θ ( 0, t ) = G( θ0 (6) - θ ( 0, st MTBF cum p (0, ; - G ( st funcţia d crştr; - θ 0 st MTBF la t = 0. O formă convnabilă a funcţii d crştr st dată d: β αt G( = C ( C ) (7) Din calculul drivatlor funcţii G( rzultă că pntru o rată / crscătoar, G( crşt pntru t < [( β ) / αβ ] β, iar pntru o rată dscrscătoar, G( crşt încpând cu acastă valoar a lui MTBF. O formă liniară a modlului st: C ln ln = lnα + β ln t (8) C G( Pntru a s aplica modlul, s urmărsc tapl:
a) s considră drpt stimaţi pntru θ 0 prima valoar a datlor; b) pntru ficar prioadă d obsrvaţi s calculază G(=θ(0,/θ 0, und t rprzintă timpul cumulat d la valoara iniţială a datlor; c) s alg o valoar pntru C, factorul d crştr maximă şi s stimază α şi β p forma liniarizată; d) s rptă c), dând difrit valori lui C, pntru a s îmbunătăţi aproximara. Ca mai bună aproximar d la punctul d) ofră stimări pntru α şi β cu car s construişt funcţia d crştr. 2.3. Modlul xponnţial Prsupun: θ ( 0, = k( k ) t>0 cf. [2] (9) Acst modl ar o rată d crştr monoton dscrscătoar şi st un caz particular al modlului ARINC. 2.4. Modlul Lloyd-Lipow Cf. [2] prsupun pntru t>k 2 /k : θ ( 0, = { 0} pntru 0<t<k 2 /k (0) k = 2 θ (0, k t Pntru acst modl k st MTBF limită, iar MTBF iniţial rămân zro până la k 2 /k, ca c nu convin din punct d vdr practic. 3. Modl bazat p probabilităţi d succs În unl aplicaţii, caractristica importantă d fiabilitat st probabilitata d succs, mai als pntru dispozitiv cu durata misiunii fixată, rlativ scurtă. 3.. Modlul Barlow-Schur Folosşt N tap, cu îmbunătăţiri după ficar tapă. Modlul folosşt o distribuţi trinomială, pntru a dfini tri stări: a) succs, b) inrnţă, c) dfctar din cauză stabilită. Probabilitata d dfctar inrntă, notată cu q 0, st prsupusă constantă. Probabilitata d dfctar cu cauză stabilită st q t în tapa i. Dacă în tapa i, i, k, s-au obsrvat dfctl inrnt a i, dfctl cu cauză stabilită b i şi succsl c i, stimatorii d maximă vrosimilitat, fără rstricţii asupra lui q sunt daţi d: = k k 0 ai / ( ai + bi + ci ) i= i= qˆ ()
qˆ i = ( qˆ 0) bi /( bi + ci ), i, k (2) Estimatorii d vrosimilitat maximă pntru r sunt daţi d: ri = qˆ i qˆ o (3) O limită d încrdr infrioară pntru fiabilitata sistmului s poat obţin prin procd binomial. Astfl, pntru a s obţin 00(-α)% limită d încrdr infrioară asupra lui r k, având obsrvat c i succs în n i încrcări, s ia: s = k c i i= şi s dtrmină cl mai mar r, notat r 0. s = n, n n = k n i i= C r ( r) α (4) Atunci r 0 st 00(-α)% limită d încrdr infrioară a lui r k [2]. 3.2. Modlul Bonis Ar forma: Rk = R Qβ (5) - R k st fiabilitata la tapa k; - R st fiabilitata finală; - Q st fiabilitata iniţială; - β st factorul d crştr a fiabilităţii, adică st raportul dintr nfiabilitata la sfârşitul tapi şi ca d la sfîrşitul tapi prcdnt. Modlul st utilizat pntru dtrminara nivlului d fiabilitat la ficar tapă. 3.3. Modlul Gross-Kamins Est un modl adaptiv: k N Rk = ( ) / R α (6) - R k st fiabilitata la tapa k; - R st fiabilitata finală; - α st un paramtru car arată nivlul crştrii într tap; - N st un coficint adaptiv, iniţial luat ca un întrg într 4 şi 8. S stimază R şi α. Dacă R ˆ, atunci N st rdus până când R dvin subunitar. Când ˆ k R şi N=, atunci s prsupun R k = α [3]. k
Not bibliografic [] Panait, V., Popscu, M. O., Calitata produslor şi fiabilitata, Bucurşti, Editura Matrix Rom, 2003. [2] Târcola, C., Filipoiu, A., Bontos, S., Thnici actual în toria fiabilităţii, Bucurşti, Editura Ştiinţifică şi Enciclopdică, 989. [3] Panait, V., Nw lmnts rgarding th quality dsign of lctrical quipmnt, Simpozion U.P.B., 2002.