Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους (000), Έστω η συνάρτηση f, α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι: i συνεχής στο 0 ii παραγωγίσιμη στο 0 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A, (Εσπερινά 008) Δίνεται η συνάρτηση f : α,β με α 0 β, η οποία είναι συνεχής στο α,β παραγωγίσιμη στο α,β Αν ισχύει f α 5β και f β 5α α) Η εξίσωση f 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο α,β β) Υπάρχει σημείο Mξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της f ε : 5y 00 0 γ) Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή, να αποδείξετε ότι: και C είναι κάθετη στην ευθεία 5 α β (Εσπερινά 00) α, 4Δίνεται η συνάρτηση f : R, με f α,β η οποία είναι συνεχής β, στο 0 α) Να αποδείξετε ότι β β α και ότι α β) Αν α f 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να βρείτε τα α και β 5 δ) Αν α και β να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 4,f (Ε 0), να αποδείξετε η εξίσωση

ΘRolle ΘΜT Συνέπειες ΘΜΤ 5Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει f 0 για κάθε 0, f 0 και f 4, να δείξετε ότι: C σ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0, α) Η ευθεία y τέμνει τη f β) υπάρχει 0,, τέτοιο ώστε f 4 f f f f 5 5 5 5 4 M,f γ) υπάρχει 0,, τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο είναι παράλληλη στην ευθεία y 000 (000) 6Έστω η συνάρτηση f : α,β η οποία είναι συνεχής στο f α β, f β α α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ α,β τέτοια ώστε : f ξ f ξ 4 0 να Αν α,β, παραγωγίσιμη στο α,β α,β (00) 7α) Να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση f ορισμένη στο έχει την ιδιότητα f f αν και μόνο αν f ce, c π π β) Να βρεθεί συνάρτηση g ορισμένη στο διάστημα, η οποία ικανοποιεί τις g 0 99 (99) σχέσεις gσυν gημ gσυν και 8Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με α) Να δείξετε ότι η f είναι - β) Αν η C f διέρχεται από τα σημεία A,005 και B, f 004 f 8 f 0 για κάθε, να λύσετε την εξίσωση γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της C f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία ε: y 005 (005) 668 9Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f 0 0 για την οποία ισχύει ότι: f f ημ για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g f συν είναι σταθερή στο β) Να αποδείξετε ότι f συν, 0 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συν ημ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 0,π ξημξ συνξ ξ π τέτοιο, ώστε π π, (0) και

Μονοτονία - Ακρότατα 0Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τέτοια, ώστε: f f e για κάθε με f 0 α) Να αποδείξετε ότι e f, β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f (000) Tη χρονική σ+τιγμή t 0 χορηγείται σ έναν ασθενή ένα φάρμακο Η συγκέντρωση του φαρμάκου αt στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση f t,t 0,α,β και t ο χρόνος t β σε ώρες Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου α) Να βρείτε τις τιμές των α, β β) Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά (000) Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά Έστω f t η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή 8 του, όπου t 0 Αν ο ρυθμός μεταβολής της f t είναι t α) Να βρείτε τη συνάρτηση f t β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωση του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t 8 υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t 0 η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί (Δίνεται ln,4 ) (000) Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, ισχύει f βf γf 6 για κάθε, ότι: όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με β γ α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f() 0 στο ανοικτό διάστημα (0,) (00) 4α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ημ,, είναι γνησίως αύξουσα β) Η εξίσωση ημ έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα 0, (00) 5Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι - α) Να δείξετε ότι η g είναι -

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση: g f g f έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα (00) 6Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι f f f 0 για κάθε σχέσεις: και α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική ρίζα f γ) Έστω η συνάρτηση g f Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 ο k 7Δίνεται η συνάρτηση f,, της οποίας η εφαπτομένη της γραφικής 4 O 0, 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ παράστασης στο σημείο α) Να αποδείξετε ότι k 4 β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και να βρείτε γ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα,4 υπάρχει μοναδικό σημείο ξ, στο οποίο η εφαπτομένη της f είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου A,f και 8Δίνεται η συνάρτηση f ln ln, > 0 ln ln, > 0 ii Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, α) i Να αποδείξετε ότι: β) Να υπολογίσετε το lim ln B 4,f 4 (00) (Εσπερινά 005) γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α0, τέτοιος ώστε α α α α 9 ίνεται η συνάρτηση f ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της g ln στο σημείο γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης Aα,ln α με α 0 β h e στο σημείο Bβ,e είναι ρίζα της εξίσωσης f 0 και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με β ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α (006) δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες (006) 0Για κάθε k δίνεται η συνάρτηση f k 0, α) Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(,f()) είναι παράλληλη στον άξονα β) Για k = i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα,0 4

iii για κάθε α4,5 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = α 5 έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα 0, (Εσπερινά 006) Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει: f f 8 8 για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η f είναι - f 0 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα στο γ) Αν για τη συνάρτηση g : ισχύει ότι f g f 5 0,, για κάθε, να βρείτε το 0 στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο (Εσπερινά 007) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει α) Να βρείτε το f 0 f ημ για κάθε 0 π β) Να αποδείξετε ότι f για κάθε 0, π γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο,π (Εσπερινά 007) Δίνεται η συνάρτηση f ln, 0 4 α) Να αποδείξετε ότι f 0 5, f 5 0 και f e 0 e 4 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M,f γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f f 0 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο 4Δίνεται η συνάρτηση f λ, λ, 0, (Ομογενείς 007) α) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0, να βρείτε την τιμή του λ β) Για λ 0 i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλες στην ευθεία y 9 f 0, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο iiiνα αποδείξετε ότι η εξίσωση διάστημα 0, (Εσπερινά 009) 5Δίνεται η συνάρτηση f συν, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο f 0 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα γ) Να λύσετε την εξίσωση f 8 f 6 0,π f δ) Να βρείτε το όριο lim (Εσπερινά 00) 0 6Δίνεται η συνάρτηση f 9 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

β) Να βρείτε την παράγωγο της f: i στο διάστημα, ii στο 0 γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f (Εσπερινά 00) 7Δίνεται η συνάρτηση f α, όπου α,β ακέραιοι αριθμοί Η γραφική παράσταση της β 5 f στο σημείο της A, δέχεται εφαπτομένη της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι 5 8 α) Να αποδείξετε ότι α και β 4 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f k 4k 4 0 () είναι ισοδύναμη με την δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f k, k και στη συνέχεια να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης () για τις διάφορες τιμές του k (Εσπερινά 0) 8Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο Rγια την οποία ισχύουν: f ημ f, lim και f 0 f 0 f 0 0 f - α) Να αποδείξετε ότι β) Αν η α και g f, και α ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα 0,, να βρείτε τον αριθμό α γ) Για α να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο ξ 0, f ξ - ξ τέτοιο ώστε δ) Για α να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμενου ερωτήματος (Εσπερινά 0) 9Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα, συνάρτηση f με f 0 και η συνάρτηση g f,, με g β,,, όπου β Δίνεται επιπλέον ότι η παράγωγος f της f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινό σημείο με τετμημένη 0 0 και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό g 0 β και ότι η κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των β) Να δείξετε ότι συναρτήσεων f και g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη 0 0 είναι η y β,, έχει μοναδική ρίζα το 0,, για κάθε, γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f β δ) Να δείξετε ότι f β (Επ Εσπερινά 0) 0Θεωρούμε τη συνάρτηση f : με τύπο f Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη f f β)η εξίσωση, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα γ) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης 6

Τιμής στα διαστήματα,,, και, και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχουν και ξ, τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση: f ξ f ξ f ξ ξ,, ξ, Έστω f : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f f 0 για κάθε χ και f 0 0 α) Να βρείτε την f β) Αν f, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα 4 γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f f στο έχει μία τουλάχιστον ρίζα 0, και μια τουλάχιστον ρίζα στο,4 4 9 4 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση f, (Εσπερινά 0) 0,4 (Επ Εσπερινά 0) α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία: i είναι παράλληλη προς την ευθεία y 4 και ii η τετμημένη του σημείου επαφής της με τη γραφική παράσταση της f είναι ακέραιος αριθμός g f, έχει δύο θέσεις τοπικών γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ελαχίστων και μια θέση τοπικού μεγίστου (Εσπερινά 04) Δίνεται η συνάρτηση f α,, α 0 α) Να υπολογίσετε την τιμή του α, ώστε η ευθεία ε: y 4 να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο A,f Στη συνέχεια, για α β) i Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f f 0 ii Να λύσετε στο την ανίσωση f γ) Να υπολογίσετε το όριο lim ημ 0 (Επ Εσπερινά 04) Κυρτότητα 4Έστω η συνάρτηση f συνα συν α ημ α,,α Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή (00) 5Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο α β 0 γ α,β, δ α,β, έτσι ώστε (α,β) Αν ισχύει f f και υπάρχουν αριθμοί f γ f δ 0, να αποδείξετε ότι: 7

α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f 0 στο διάστημα β)υπάρχουν σημεία ξ,ξ α,β τέτοια ώστε f ξ 0 και f ξ 0 α,β γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f (00) 6Δίνεται η συνάρτηση f ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατά της β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f (004) ln, 0 7Δίνεται η συνάρτηση f 0, 0 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της α γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης e για όλες τις τιμές του πραγματικού αριθμού α f f f για κάθε 0 (008) δ)να αποδείξετε ότι 8Δίνεται η συνάρτηση f α ln α) Αν f για κάθε, να αποδείξετε ότι α,, α 0 με α β) Για α e, i να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή ii να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, e,0 και γνησίως αύξουσα στο iii αν β,γ,0 0,, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f β f γ 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, (009) 9Δίνεται η συνάρτηση f ln e, R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη γ) Να αποδείξετε ότι: f f ln, για κάθε 0, (Ομογενείς 0) 40Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα, συνάρτηση f με f 0 και η συνάρτηση g f,, με g() β -,,,όπου β Δίνεται επιπλέον ότι η παράγωγος f της f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινό σημείο με τετμημένη 0 =0 και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό g 0 β και ότι η κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων β) Να δείξετε ότι των συναρτήσεων f και g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη 0 =0 είναι η y β,,, για κάθε, γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f β δ) Να δείξετε ότι f β, έχει μοναδική ρίζα το 0 (Εσπερινά 0) 8

4Δίνεται η συνάρτηση f ln, 0 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, ως προς τη κυρτότητα β) Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα α,α 4 f f 4 να έχει τουλάχιστον μία ρίζα γ) Να λύσετε στο διάστημα 0, την ανίσωση και να μελετήσετε την f η εξίσωση ln Ομογενείς 0 Ασύμπτωτες- De l Hospital 4Έστω f,g : συνεχείς συναρτήσεις με f g 4 για κάθε Έστω ότι η ευθεία y 7 είναι ασύμπτωτη της C f στο α) Να βρείτε τα όρια: i g lim και ii g ημ lim f() β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C g στο (000) α β f, -,α,β Αν η ευθεία ε: y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, να βρείτε τα α,β (00) 4Έστω η συνάρτηση α, 44Δίνεται η συνάρτηση f,α - - e ln,, e α) Να υπολογίσετε το όριο lim β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 γ) Για α ξ, τέτοια, ώστε η να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο A ξ, f ξ να είναι παράλληλη στον άξονα (00), 0 45Δίνεται η συνάρτηση f α β, 0 όπου α,β ln, α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ισχύει: α και β 0, τότε: f i Να υπολογίσετε το lim f f ii Να υπολογίσετε τα όρια: lim, f f lim (004) 46Δίνεται η συνάρτηση f α k, α,k και 9

α) Αν η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο, να αποδείξετε ότι α και k β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ,, στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι παράλληλη στον άξονα γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο 0 (Εσπερινά 005) λ, 4 47Δίνεται η συνάρτηση f με λ 8 4, 4 α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 β) Για λ 0 i να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ii να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο (006), 8 48Δίνεται η συνάρτηση f 5 6, α) Να αποδείξετε ότι η αι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M 0, f 0 γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία 49Δίνεται η συνάρτηση f ln, 0 α) Να αποδείξετε ότι f για κάθε 0 y είναι ασύμπτωτη της Cf στο β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f ln, 0 γ) Έστω η συνάρτηση g f k, 0 i Να βρείτε την τιμή του k ώστε η g να είναι συνεχής ii Αν k, να αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 50 Δίνεται η συνάρτηση f k, k α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M,f είναι (Εσπερινά 007) 0,e (008) παράλληλη στον άξονα, να βρείτε το k γ) Για k, i Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα, (Εσπερινά 008) 0

5Δίνεται η συνάρτηση f ln λ ln, α) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο, λ lim f και να είναι πραγματικός αριθμός β) Έστω ότι λ i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της ii να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f iii να αποδείξετε ότι η εξίσωση f α 0 έχει μοναδική λύση για κάθε α 0 (009) α β, 5Δίνεται η συνάρτηση f α,β, α) Αν η f είναι συνεχής στο 0, να αποδείξετε ότι α β 5 β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, να αποδείξετε ότι α και β 4 γ) Για α και β 4, να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f συνάρτησης g, 0 (Εσπερινά 009) α 5Δίνεται η συνάρτηση f e, α α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο A 0,f 0 στην ευθεία y e β) Για α, i να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ii να αποδείξετε ότι ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο 54Δίνεται η συνάρτηση f, 0 Να βρείτε: α) Τα τοπικά ακρότατα της f β) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλη γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A,f δ) Το σημείο Mξ,f ξ, ξ 0, της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με A,f και 00) 55Δίνεται η συνάρτηση f ln, 0 B,f (Εσπερινά α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή β) Να αποδείξετε ότι ο άξονας ψ ψ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f f,e γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (Ομογενείς 00) 56Δίνεται η συνάρτηση f :, δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f 0 f 0 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: e f f f f α) Να αποδείξετε ότι: f ln e για κάθε, β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής ln e συν έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

π 0, (0) 57Έστω η συνεχής συνάρτηση f :,για την οποία ισχύει: f e, για κάθε e, 0 α) Να αποδείξετε ότι f, 0 β) Να αποδείξετε ότι oρίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f και να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A 0,f 0 Στη συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f, έχει ακριβώς μία λύση δ) Να βρείτε το lim ln ln f 0 (Επαναληπτικές 0) 58Δίνεται η συνάρτηση f α β, 0 με α,β α) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, β) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς μία λύση στο 0, γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f: i έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, την οποία και να βρείτε ii έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο για α=0 και β, την οποία και να βρείτε δ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες η f παρουσιάζει στο σημείο 0 τοπικό ακρότατο, το f 7 Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού 0 (Εσπερινά 0) 4 59Δίνεται η συνάρτηση f α,, α α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο A,f να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): y 6 0 Αν α, τότε: β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατά της γ) να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f f 6 δ) να βρείτε το όριο lim (Εσπερινά 0) 60 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: f f f για κάθε f α) Να αποδείξετε ότι f, και στη συνέχεια ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του προηγούμενου ερωτήματτος γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:

f 5 8 f 8 δ) Να βρείτε την τιμή του κ ώστε α lim f κ 5 (Επ Εσπερινά 0) 6Δίνεται η συνάρτηση h,, α είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο, τότε α) Να αποδείξετε ότι α β) i Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο ii Να βρείτε τη κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 Αν η ευθεία με εξίσωση y h 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,0 (Εσπερινά 04) 6Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,, για την οποία ισχύουν: f f για κάθε 0, f 0 α) Να αποδείξετε ότι 9 f, 0 β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f f 0 f για κάθε (Επ Εσπερινά 04) δ) Να αποδείξετε ότι Στέλιος Μιχαήλογλου