Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

2

Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale. Criteriul general al lui Cauchy..... 2.3 Serii de numere reale. Noţiuni generale............. 3.3. Serii remarcabile..................... 4.3.2 Exerciţii rezolvate.................... 4.4 Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente..... 5.5 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă....... 8.6 Şiruri de funcţii.......................... 2.7 Serii de funcţii.......................... 24.8 Serii de puteri........................... 26.9 Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri. 28.0 Serii Taylor............................ 30. Serii Mac-Laurin......................... 3.2 Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite........ 34 2 Spaţiile R n 37 2. Spaţiul cu n dimensiuni..................... 37 2.2 Structura de spaţiu vectorial al lui R n............. 37 2.3 Produsul scalar în R n...................... 38 2.4 Norma în R n........................... 39 2.5 Distanţa în R n.......................... 39 2.6 Vecinătăţile unui punct din R n................. 40 2.7 Mulţimi deschise în R n...................... 4 2.8 Mulţimi închise. Frontieră a unei mulţimi........... 42 2.9 Puncte de acumulare....................... 42 2.0 Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe... 43 2. Şiruri de puncte din spaţiul R n................. 43 3

4 3 Funcţii definite pe mulţimi din R n 45 3. Funcţii reale de variabilă vectorială............... 45 3.2 Limitele funcţiilor reale de variabilă vectorială......... 46 3.3 Continuitatea funcţiilor reale de n variabile reale....... 50 3.4 Derivate parţiale......................... 52 3.5 Derivarea funcţiilor compuse.................. 57 3.6 Diferenţiala unei funcţii reale de două variabile reale..... 62 3.7 Formula lui Taylor pentru funcţii reale de două variabile reale 65 3.8 Extremele funcţiilor reale de două variabile reale....... 69 3.9 Extreme condiţionate (legate) ale funcţiilor reale de două variabile reale............................. 7 3.0 Funcţii implicite de o variabilă................. 73 3. Funcţii de mai multe variabile definite implicit........ 75 3.2 Schimbări de variabilă în expresii ce conţin derivate..... 8 3.3 Schimbări de variabile în expresii ce conţin derivate parţiale. 84 Bibliografie 89

5 PREFAŢĂ Conţinutul acestei cărţi a fost elaborat în concordanţă cu programa disciplinei de Analiză Matematică, semestrul I (28 ore curs, 4 ore seminar), din planul de învăţământ pentru anul I ingineri, Facultatea de Resurse Minerale şi Mediu, specializările CCIA şi MTC din cadrul Universităţii de Nord din Baia Mare. Materialul este structurat în trei capitole. În primul capitol se prezintă: şiruri şi serii numerice, şiruri şi serii de funcţii. Sunt prezentate principalele criterii de convergenţă pentru şiruri numerice: criteriul Weierstrass, criteriul cleştelui, criteriul Cesaro-Stolz, criteriul Cauchy-D Alembert, criteriul raportului, criteriul general de convergenţă al lui Cauchy. Se prezintă apoi rezultate relative la seriile numerice: serie convergentă (divergentă), criteriul lui Cauchy, criteriul lui Leibniz, criteriul Dirichlet-Leibniz, serii cu termeni pozitivi (criteriul comparaţiei, criteriul raportului, criteriul radicalului, criteriul Raabe-Duhamel). În continuare sunt prezentate rezultate principale asupra şirurilor şi seriilor de funcţii, insistându-se asupra seriilor de puteri şi asupra dezvoltării funcţiilor elementare în serii de puteri. Se dau aplicaţii ale acestor dezvoltări la calculul limitelor de funcţii şi la calculul aproximativ al integralelor definite. Capitolul al doilea e dedicat prezentării principalelor proprietăţi algebrice şi topologice ale spaţiului R n. Capitolul al treilea tratează funcţii reale de n variabile reale. Se insistă în special asupra calculului diferenţial al funcţiilor de mai multe variabile: derivate parţiale, diferenţiale, extreme ale funcţiilor de mai multe variabile. O importanţă deosebită se acordă schimbării de variabilă în expresii ce conţin derivate, şi respectiv derivate parţiale, având în vedere rolul pe care acestea îl joacă în studiul unor discipline inginereşti (mecanică şi rezistenţa materialelor). Spre deosebire de alte cursuri de analiză matematică, unde un loc central îl ocupă demonstrarea rezultatelor teoretice, cel de faţă are un caracter aplicativ: prezentăm scurt rezultatele teoretice iar apoi le exemplificăm printr-un număr mare de aplicaţii. Sperăm ca acest curs să contribuie la o bună înţelegere a noţiunilor prezentate prin modul de redactare şi prin numeroasele exemple prezentate. Mulţumim referenţilor, prof. univ. dr. Vasile Berinde şi conf. univ. dr. Nicolae Pop, pentru sugestiile şi observaţiile făcute, care au contribuit la îmbunătaăţirea prezentării acestui material. Baia Mare 20 octombrie 2006 Autorii

6

Capitolul Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale În acest paragraf se vor reaminti rezultate relative la şirurile de numere reale, cunoscute studenţilor de la studiul analizei matematice din liceu. se numeşte şir de numere reale orice funcţie f : N R, f(n) a n ; notaţie prescurtată: (a n ) n N sau (a n ) sau (a n ) n etc; dacă (a n ) n N este un şir de numere reale, termenul a n se numeşte termen de rang n (termen general) al şirului; şirul (a n ) n N se numeşte: mărginit inferior, dacă ( ) m R a.î. a n m, ( ) n N; mărginit superior, dacă ( ) M R a.î. a n M, ( ) n N; mărginit, dacă este mărginit inferior şi superior; şirul (a n ) se numeşte: crescător, dacă a n a n+, ( ) n N; descrescător, dacă a n a n+, ( ) n N; orice şir crescător este mărginit inferior de primul termen; orice şir descrescător este mărginit superior de primul termen; fie (a n ) n N un şir dat iar (n k ) k N un şir strict crescător de numere naturale; şirul (a nk ) se numeşte subşir al şirului (a n ) n N. Exemplu. n k 2k, k N a nk a 2k ; subşirul (a 2k ) este subşirul termenilor de rang par. orice subşir al unui şir monoton (crescător sau descrescător) e monoton; orice subşir al unui şir mărginit e mărginit; fie a R. Se numeşte vecinătate a lui a orice submulţime V R care conţine un interval de forma ]a ε,a+ε[ (ε > 0 - dat); se notează prin V(a) 7

8. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii mulţimea tuturor vecinătăţilor lui a R; se demonstrează că dacă a,b R, a b, există V V(a), W V(b) a.î. V W. se numeşte vecinătate a lui + orice interval de forma ]a,+ [ (a > 0); se numeşte vecinătate a lui orice interval de forma ], a[ (a > 0); notăm: R R {,+ }; fie (a n ) n N un şir dat iar a R; lim a n a orice vecinătate a lui a conţine o infinitate de termeni ai şirului. Se demonstrează următoarele: lim a n a R [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n a < ε]; lim a n + [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n > ε]; lim a n [( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, n N a n < ε]. Un şir se numeşte convergent dacă are limită finită şi divergent în caz contrar. Privitor la şirurile convergente reamintim: limita unui şir convergent este unică; dacă (a n ) n N este convergent şi lim a n a, atunci orice subşir al său este convergent şi are limita a; dacă şirul (a n ) n N are două subşiruri cu limite diferite, atunci este divergent. Exemplu. Şirul (a n ) n N a n ( ) n este divergent căci subşirul termenilor de rang par şi respectiv subşirul termenilor de rang impar au limite diferite. orice şir convergent e mărginit; orice şir mărginit are un subşir convergent. Reamintim următoarele criterii suficiente de convergenţă ale unui şir de numere reale: orice şir monoton şi mărginit e convergent (criteriul lui Weierstrass); dacă şirurile (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N au proprietăţile: (i) a n b n c n, ( ) n n 0 (n 0 N-fixat) (ii) lim a n lim c n l R atunci lim b n l (criteriul cleştelui). dacă (a n ) n N, (b n ) n N sunt şiruri care au limită şi a n b n, ( ) n n 0 (n 0 N fixat), atunci lim a n lim b n; dacă a n b n, ( ) n n 0 şi lim a n +, atunci lim b n +. Limite fundamentale: lim + n n e( 2,7828...); mai mult, şirul de termen general e n + n n e crescător şi 2 < en < 3, ( ) n N ;

.. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale 9 dacă lim a n 0 lim ( + a n) an e; dacă lim a n lim + an a n e; 0, dacă q ],[;, dacă q ; lim qn +, dacă q ], + [; nu există, dacă q ], ]... Teoremă. (Stolz Cesaro) Fie (a n ) n N, (b n ) n N şiruri cu proprietăţile: (i) lim b n + ; a (ii) ( ) lim n+ a n a n Atunci ( ) lim b n+ b n α R. a bn şi lim n bn α. Prezentăm în continuare următoarele aplicaţii. + 2 A. Calculaţi lim + + n. ln n Soluţie. Notăm a n + 2 + + n, b n ln n. Cum lim b n lim ln n +, încercăm aplicarea criteriului Cesaro-Stolz. Observăm că: Dar a n+ a n lim lim b n+ b n Prin urmare, lim Cesaro-Stolz. n+ ln(n + ) lnn lim (n + )ln n+. n n + lim (n + )ln lim n ln + n+ ln e. n a n+ a n b n+ b n A2. Dacă lim a n a R iar calculaţi lim b n, lim c n. b n a + a 2 + + a n n a şi atunci lim n bn n, c n a + +, a n, în baza criteriului Soluţie. Pentru calculul lui lim b n se aplică criteriul Cesaro-Stolz, obţinându-se: lim b n lim a n+ n + n lim a n+ a.

0. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Se observă că c n Deci lim c n a. lim a + + a n n c n lim şi aplicând criteriul Cesaro-Stolz se obţine: a n+ n + n lim a n+ a. A3. (Cauchy-D Alembert) Dacă (a n ) n N este un şir de numere reale a strict pozitive cu proprietatea că ( ) lim n+ a n l, atunci ( ) lim n an şi n an l. lim Soluţie. Fie b n n a n lnb n lim b n e lim Stolz. Avem: ln a n lim n Atunci lim b n e lnl l. ln an n ln an b n e n. Prin urmare ln an n. Calculăm limita exponentului folosind criteriul Cesaro- lim ln a n+ ln a n n + n Propunem spre rezolvare următoarele probleme.. Să se afle limitele şirurilor de termen general: (i) a n n k(k+) ; (ii) a n n k k (iii) a n n k(k+)(k+2) ; (iv) a n +2+ +n k (v) a n 2 +2 2 + +n É 2 n ; (vi) a 3 n n k2 lim ln a n+ a n ln l. (3k 2)(3k+) ; n 2 +2 ; k 2. R. (i) l ; (ii) l 3 ; (iii) l 4 ; (iv) l 2 ; (v) l 3 ; (vi) l 2. 3n+2 2. Să se calculeze: 2n+ (i) lim 3n+ ; (ii) lim (iii) lim 2n 2 +n 3 3n+ 2n +4n. 2 R. (i) e 2 3; (ii) e 3 2; (iii) e 9 2. 3. Calculaţi: (i) lim 2 n 3 ; (ii) lim 7 n 5 ; 5 2 (iii) lim n +4 3 n 3 2 n 3 ; (iv) lim n sinn 4n+3 4n+ 3n+2 ; π 2005.

.. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale R. (i) 0; (ii) ; (iii) 4; (iv) 0. 4. Folosind criteriul cleştelui calculaţi limita şirului de termen general: (i) x n n ; (ii) x n 2 +k n n n + 2 n + + 2006 n k (iii) x n n n + 2 n + + n n ; (iv) x n [a]+[2a]+ +[na] n, a R 2 (iv) x n 3 5...(2n ) 2 4 6...2 n. R. (i) ; (ii) 2006; (iii) + ; (iv) a 2 ; (v) 0. 5. Aplicând criteriul Stolz să se calculeze limita şirului de termen general: (i) a n n 2 ; (ii) b n n 2 + +n 2 ; (iii) x n 3 n lnn n ; (iv) x n (vi) x n ln2+ln 3+ +lnn n ; (v) x n 2+2 3+ +n(n+) + 2+ + n n ; (vii) x n n R. (i) 0; (ii) 3 ; (iii) 0; (iv) e ; (v) ; (vi) 2 ; (vii) 3. n ; 3 + 2 + +2 2 + + +n 2 +n. 2 6. Aplicând criteriul Cauchy-D Alembert, calculaţi limita şirului de termen general: (i) x n n n (n 2); (ii) x n n ln n (n 2); (iii) x n n n n! (n 2); (iv) x n n n! (n 2); (v) x n n (n!) 2 (2n)!8 (n 2). n R. (i) ; (ii) ; (iii) e; (iv) ; (v) 32. Un alt criteriu util în calculul limitelor de şiruri este prezentat în următoarea..2 Teoremă. (Criteriul raportului pentru şiruri) Fie (a n ) n N un a şir de numere reale strict pozitive cu proprietatea că există lim n+ a n l. Dacă l < lim a n 0. Dacă l > lim a n +. Dacă l nu se poate decide nimic privitor la valoarea lim a n. Prezentăm următoarea aplicaţie. 2 A4. Calculaţi lim n n! n. n Soluţie. Notând a n 2n n! n n este clar că a n > 0, a n+ l lim 2 lim a n 2 n+ (n + )! lim (n + ) n+ n n (n + )n 2 lim + n n n 2 n n! n 2 e <.

2. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Conform criteriului raportului, lim a n 0. Propunem spre rezolvare 7. Aplicând criteriul raportului pentru şiruri, calculaţi limitele şirurilor de termen general: (i) x n nn (n!) ; (ii) x 2 n 2n (n!) 2 (2n)! ; (iii) x n (2n)! n. n R. (i) 0; (ii) 0; (iii)..2 Şiruri fundamentale. Criteriul general al lui Cauchy.2. Definiţie. Şirul (a n ) n N se numeşte şir fundamental (sau şir Cauchy) dacă şi numai dacă ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N, ( ) p N a n+p a n < ε. Privitor la şirurile fundamentale se demonstrează.2.2 Teoremă. (Criteriul general de convergenţă a lui Cauchy) Şirul (a n ) n N este convergent dacă şi numai dacă este fundamental. Prezentăm în continuare câteva aplicaţii. A. Arătaţi că şirul (a n ) n de termen general a n n Deduceţi că lim a n +. k k nu e fundamental. Soluţie. Presupunem că (a n ) n e fundamental ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N, ( ) p N avem: a n+p a n n + + n + 2 + + < ε. (*) n + p În ( ) alegem p n 2 ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N avem: Să observăm că: n + + n + 2 + + < ε. (**) 2n n + + n + 2 + + 2n 2n + 2n + + 2n n 2n 2 ceea ce înseamnă că ( ) nu poate fi adevărată pentru ε 2. Contradicţia arată că şirul considerat nu e fundamental, deci nu e convergent.

.3. Serii de numere reale. Noţiuni generale 3 Pe de altă parte a n+ a n n+ > 0, deci (a n) n N e strict crescător, ceea ce înseamnă că ( ) lim a n. Cum (a n ) n N nu e convergent lim a n +. A2. Arătaţi că şirul de termen general este convergent. Soluţie. ( ) p N avem: a n+p a n 2 a n sin 2 + sin 2 2 2 + + sinn 2 n sin(n + ) sin(n + 2) sin(n + p) 2 n+ + 2 n+2 + + 2 n+p (*) sin(n+) + sin(n+2) + + sin(n+p) n+ 2n+2 2n+p 2 p < 2 n 2 n+ + 2 + + 2 p 2 n (am folosit inegalitatea sin x, ( ) x R). Cum lim 2 0 ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N n 2 < ε. n Având în vedere ( ), rezultă că ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) a.î. ( ) n N, ( ) p N, a n+p a n < ε, deci (a n ) n N e un şir fundamental. Aplicând criteriul lui Cauchy, deducem că (a n ) n N e convergent. Similar se tratează şi aplicaţia A3. Arătaţi că şirul de termen general este convergent. a n cos 2 + cos 2 2 3 + + cos n n(n + ).3 Serii de numere reale. Noţiuni generale.3. Definiţie. i) Se numeşte serie de termen general a n o sumă de forma a n a 0 + a + + a n +... ii) Şirul (s n ) n N, de termen general s n n a k se numeşte şirul sumelor parţiale ale seriei a n. iii) Seria a n se numeşte convergentă dacă şirul (s n ) al sumelor ei parţiale este convergent; în caz contrar seria se numeşte divergentă. k0

4. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (iv) Dacă seria a n e convergentă şi s lim s n, numărul s R se numeşte suma seriei considerate; se utilizează în acest caz notaţia a n s. n0.3. Serii remarcabile (i) Seria geometrică de raţie q este seria q n (q R) şi are şirul sumelor parţiale (s n ), de termen general s n n q k ; q n0 k pentru termenul general s n se obţine n, q s n q n q, q ; rezultă că (s n ) este convergent q ],[ ; în acest caz lim s n Ḋeci seria geometrică q n e convergentă q ],[; în acest caz q n q. (ii) Seria armonică este seria şi are şirul sumelor parţiale de termen general n n s n + 2 + + n ; cum şirul (s n ) n e divergent, seria armonică e divergentă..3.2 Exerciţii rezolvate Să se calculeze suma fiecăreia din seriile de mai jos: (i) n(n+) ; (ii) 3 n +2 n n 6 ; (iii) 2 +n 3 n n n n! n (ştiind că n! e). n0 Soluţie. (i) s n n k Cum lim s n 3 (ii) n +2 n 6 n 3 lim n ( 3) n 2 3 3 2. k(k+) n k k+ n+. k n n(n+) (seria e convergentă şi are suma s ). n 3 6 n + 2 6 n n 2 n + 3 n 2 lim ( 2) n + 2

.4. Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente 5 (iii) Să observăm că: n Mai departe avem: n n n n 2 + n 3 n! n 2 n! n n2 n + (n )! n n 2 n! + n2 (n 2)! + (n )! n n! (n )! e; n n! n! e. n0 n n n! 3 n n!. n (n )! + (n )! n e + e 2e; În concluzie, se obţine n n 2 + n 3 n! 2e + e 3(e ) 3..4 Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente.4. Teoremă. (Criteriul general de convergenţă Cauchy) Seria ä u n e convergentă ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. ( ) n N(ε), ( ) p N u n+ + u n+2 + + u n+p < ε ç..4.2 Consecinţă. (Condiţia necesară de convergenţă) Dacă seria u n este convergentă lim u n 0. n.4.3 Aplicaţii. (Ale condiţiei necesare) Arătaţi că seriile de mai jos sunt divergente (i) n sin n ; (ii) n+ n n+2 ; (iii) n n (iv) n ln n ; (v) n++ n ; (vi) n 2 n n 2 n n n ; n tg n. Soluţie. (i) u n n sin n ; lim u sin n lim n n 0;

6. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii n+ n; (ii) u n n+2 lim u n lim n n+2 e e 0; (iii) u n n n ; lim u n lim n n 0; (iv) u n n ln n ; lim u n e 0; (v) u n n++ n ; lim u n 0. Nu putem trage nici o concluzie utilizând condiţia necesară de convergenţă. Dar s n n k k + + k n k Cum lim s n + seria e divergentă. (vi) u n n tg n ; lim u n lim k + k n +. tg n n 0..4.4 Teoremă. (Criteriul lui Abel) Dacă şirul de termeni pozitivi (u n ) n N e descrescător şi lim u n 0, seria ( ) n u n este convergentă. n.4.5 Aplicaţii. (La criteriul lui Abel) Arătaţi că seriile de mai jos sunt convergente: (i) ( ) n n ; (ii) ( ) n ; (2n ) n n 3 (iii) ( ) n 5 n ; (iv) ( ) n n3 n n 2 n. Soluţie. (i) u n n ; u n+ u n n n+ < ; lim u n lim Conform criteriului Abel seria e convergentă. (ii) u n (2n ) ; u n+ 2n 3 3 u n 2n+ < ; lim Se aplică criteriul lui Abel. (iii) u n 5 n ; u n+ u n u n lim n 0. (2n ) 3 0. 5 n n+ < ; lim u n lim 5 n 0. (iv) u n n3 u 2 ; n+ n+ 3 n u n n 2 2 + 3 n <, deci un ) n N este descrescător. Pentru a calcula lim u n se aplică criteriul lui Stolz, obţinându-se: lim u (n + ) 3 n 3 3n 2 + 3n + n lim 2 n+ 2 n lim 2 n 3(2n + ) + 3 lim 2 n 6 lim Conform criteriului Abel, seria e convergentă. n + 2 n 6 lim 2 n 0.

.4. Criterii de convergenţă. Operaţii cu serii convergente 7.4.6 Definiţie. (i) Seria u n e absolut convergentă dacă seria u n e convergentă. (ii) Dacă seria u n e convergentă fără să fie absolut convergentă, ea se numeşte semiconvergentă..4.7 Exemplu. Seria armonică alternată ( ) n n este semiconvergentă n (exerciţiu!)..4.8 Teoremă. Orice serie absolut convergentă este convergentă. (Reciproca este în general falsă, vezi.4.7)..4.9 Teoremă. (i) Dacă u n s, v n s 2 (u n +v n ) s +s 2. n0 n0 n0 (ii) Dacă u n s şi α R αu n αs. n0.4.0 Exemplu. Vezi.3.3. n0 O generalizare a criteriului lui Abel e exprimată în.4. Teoremă. (Dirichlet-Abel) Dacă: (i) Seria u n are şirul sumelor parţiale mărginit; (ii) (v n ) e un şir descrescător de numere pozitive cu lim v n 0, atunci seria u n v n este convergentă.

8. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii.5 Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă.5. Definiţie. Seria u n e cu termeni pozitivi dacă u n > 0, ( ) n N..5.2 Teoremă. (Criteriul comparaţiei) Fie u n, v n serii cu termeni pozitivi. (i) Dacă u n v n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) şi u n - convergentă; v n e convergentă (ii) Dacă u n v n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) şi u n e divergentă v n - divergentă; u (iii) Dacă lim n vn l ]0,+ [, seriile u n, v n au aceeaşi natură..5.3 Aplicaţii. (La criteriul comparaţiei) (i) Studiaţi natura seriei n, unde α R (seria armonică gene- α ralizată). Soluţie. Distingem situaţiile:. α n α n n n 2. α < n α < n n α > n n α n n divergentă (folosind criteriul comparaţiei, (ii)). n divergentă (seria armonică). ; cum seria n e divergentă 3. α > + 2 α + 3 α + + 2 α + 3 α + 4 α + 5 α + 6 α + + 2 + + nα Cum seria (2 n+ ) α + + 2 2 α + 22 2 2α + + 2n 2 nα +... n n α 7 α + 2 α n e convergentă, folosind criteriul convergenţei (i), n rezultă că seria n este convergentă. n α În concluzie, seria armonică generalizată α > şi divergentă pentru α. (ii) Decideţi natura seriilor: (a) (c) n n +n +n 2 ; (b) n n sin π n ; (d) n 3 n 4 +5 ; n 5+n 2 n. n n α este convergentă pentru Soluţie. (a) Fie u n +n, v +n 2 n n ; lim u n n vn lim 2 +n ]0,+ [. +n 2 Cum seria n e divergentă, folosind criteriul comparaţiei (iii), seria n n +n +n 2

.5. Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă 9 e divergentă. (b) Fie u n 3 ; atunci u n 4 +5 n 3 n 4 Cum seria n n 4/3 v n 4/3 n. e convergentă (vezi exemplul (i)), seria este convergentă, conform criteriului comparaţiei. (c) Fie u n n sin π n ; atunci: Seria v n π n n n u n n sin π n n π n π n 2 v n. n 2 n e convergentă, deci seria dată e convergentă. (d) Fie u n u 5 + n 2 n, v n 2 ; cum lim n 2 e convergentă, seria n n u n vn n 5+n 2 4 este convergentă. 3 n 4 +5 ]0,+ [ şi seria.5.4 Teoremă. (Criteriul raportului) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dacă: (i) u n+ u n q <, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) u n convergentă; (ii) u n+ u n, ( ) n n 0 (n 0 N - fixat) u n divergentă; (iii) ( ) l lim l > seria e divergentă. u n+ u n.5.5 Aplicaţii. (La criteriul raportului) Decideţi natura seriilor de mai jos: 3 5...(2n ) (i) 3 n n! (n!) ; (ii) 2 (2n)! ; (iii) n. Pentru l < seria e convergentă iar pentru n Soluţie. (i) u n 3 5...(2n ) 3 n n! > 0, ( ) n N u n+ lim u n n 3... (2n )(2n + ) lim 3 n+ (n + )! 3 lim deci seria e convergentă. (ii) u n (n!)2 (2n)! > 0, ( ) n N u n+ lim u n deci seria e convergentă. 2n + n + 2 3 <, a n 2 n +5 n (a > 0). 3 n n! 3 5... (2n ) [(n + )!] 2 lim (2n)! (2n + 2)! (n!) 2 lim (n + ) 2 (2n + )(2n + 2) 4 <,

20. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (iii) u n u n+ lim u n an 2 n +5 > 0, ( ) n N n a n+ lim 2 n+ 5 n+ 2n + 5 n a n n a lim u n+ u n+ ä 5 n 2 n ç 5 + 5 n ä 2 2 5 n + 5 ç a 5. Dacă a < 5 seria e convergentă, căci lim u n <. Dacă a > 5 seria e divergentă, căci lim u n >. Dacă a 5 u n 5n 2 n +5 lim n n 0, deci seria e divergentă fiindcă nu îndeplineşte condiţia necesară de convergenţă. a În concluzie, seria 2 n +5 e convergentă a < 5. n.5.6 Teoremă. (Criteriul radicalului) Fie u n o serie cu termeni pozitivi. Dacă: (i) n u n q < ( ) n N, n 2 u n convergentă; (ii) n u n, ( ) n N, n 2 u n divergentă; (iii) ( ) l lim l > seria e divergentă. u n+ u n. Pentru l < seria e convergentă iar pentru.5.7 Aplicaţii. (La criteriul radicalului) Stabiliţi natura seriilor: (i) (ii) (iii) n ln n (n+) ; n n n; 2n+ Soluţie. (i) u n ln n (n+) > 0, ( ) n N. lim deci seria e convergentă. n n (ii) u n 2n+ > 0, ( ) n N lim deci seria e convergentă. (iii) u n (+ n) n 2 3 > 0, ( ) n N n lim deci seria e convergentă. n n un lim ln(n + ) 0 <, n n un lim 2n + 2 <, n un lim + n 3 n e 3 <, (+ n) n2 3 n.

.6. Şiruri de funcţii 2.5.8 Teoremă. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie a n o serie cu termeni pozitivi. (i) Dacă ( ) s >, ( ) p N astfel ca n an a n+ n p a n e convergentă; (ii) Dacă ( ) p N astfel ca n an a n+ a n e divergentă; s oricare ar fi oricare ar fi n p (iii) Presupunem că ( ) l lim n un u n+. Dacă l > seria e convergentă iar dacă l < seria e divergentă. Când l nu se poate decide nimic relativ la convergenţa seriei..5.9 Aplicaţii. (La criteriul Raabe-Duhamel) Decideţi natura seriilor: 3...(2n ) (i) 2 4...2n 2n+ ; (ii) a ln n (a > 0, a ). n n Soluţie. E uşor de constatat că nu se aplică nici criteriul raportului nici criteriul radicalului. (i) lim n un n(6n+5) u n+ lim 2(n+)(2n+3) 6 4 3 2 > seria e convergentă în baza criteriului Raabe-Duhamel. (ii) lim n un ä ç u n+ lim n a ln n n n+ n+ lim naln ln n ln n n+ n+ ln a lim n ln n n+ ln a lim ln n n n+ ln a e. Dacă ln a e < ( a < e e ) seria e divergentă. Dacă ln a e > ( a > e e ) seria e convergentă. Dacă a e e u n (e e ) ln n e e ln n e ln ne n e. Cum lim ne + 0 a ln n e divergentă. n În concluzie, seria a ln n e convergentă a > e e. n.6 Şiruri de funcţii Fie D R iar (f n ) n N un şir de funcţii, f n : D R ( ) n N. Pentru şirul considerat se introduc două tipuri de convergenţă, ce vor fi prezentate în cele ce urmează..6. Definiţie. (Convergenţă punctuală) Şirul (f n ) n N converge simplu (punctual) către funcţia f : D R pe mulţimea A D dacă ( ) x A avem: lim f n(x) f(x)

22. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii adică: ( ) ε > 0, ( ) x A ( ) N N(ε,x) N a.î. ( ) n N să avem f n (x) f(x) < ε. În cazul în care condiţia precedentă este îndeplinită, se utilizează notaţia f n f pe A..6.2 Definiţie. (Convergenţă uniformă) Şirul (f n ) n N converge uniform la funcţia f : D R pe mulţimea A D dacă: ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. f n (x) f(x) < ε, ( ) n N, ( ) x A. În cazul în care condiţia precedentă este îndeplinită se utilizează notaţia f n f. Legătura între cele două tipuri de convergenţă e exprimată în.6.3 Teoremă. Dacă f n f pe D, atunci f n f pe D (convergenţa uniformă implică convergenţa simplă). Privitor la convergenţa uniformă, prezentăm (fără demonstraţie) următoarele rezultate..6.4 Teoremă. (Cauchy) Şirul de funcţii (f n ) n N, f n : D R ( ) n N converge uniform către f : D R pe mulţimea D ä ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a.î. f n+p (x) f(x) < ε, ( ) n N, ( ) p N, ( ) x D ç..6.5 Teoremă. Fie (f n ) n N, f n : D R, ( ) n N iar f : D R. Dacă există un şir de numere pozitive (a n ) n N convergent la zero, astfel ca f n (x) f(x) a n ( ) n n 0 (n 0 N - fixat), ( ) x D, atunci f n f pe D..6.6 Teoremă. Fie (f n ) n N un şir de funcţii continue pe D astfel ca f n f pe D. Atunci f este continuă pe D..6.7 Aplicaţii. (La convergenţa şirurilor de funcţii) Stabiliţi mulţimea de convergenţă, funcţia limită şi tipul convergenţei pentru fiecare din şirurile de funcţii de mai jos: (i) f n : R R, f n (x) x 2 + n; (ii) f n : R R, f n (x) x n ; (iii) f n : [3,4] R, f n (x) x x+n ; (iv) f n : [0,+ [ R, f n (x) ne nx ; (v) f n : [,+ [ R, f n (x) x2 n 2 +x. 2

.6. Şiruri de funcţii 23 Soluţie. Notăm cu A mulţimea de convergenţă. (i) ( ) x R lim f n(x) lim (x2 + n) + A. (ii) ( ) x R lim f x n(x) lim n 0 A R. Arătăm că f n 0 dar f n 0 pe R. Dacă f n 0 pe R trebuie ca ( ) ε > 0 ( ) N n(ε) a. î. Alegând x n şi ε <, avem: x n < ε, ( ) n N,( ) x R. (*) f n (n) n n > ε, ( ) ε <. (**) Relaţiile (*) şi (**) fiind contradictorii f n 0, dar f n 0 pe R. (iii) ( ) x [3,4] lim f x n(x) lim x+n 0; deci A [3,4]. Arătăm că f n 0 pe [3,4]. Observăm că f n (x) 0 x x + n x x + n 4, ( ) x [3,4]. 3 + n Şirul (a n ) n N de termen general a n 4 3+n este un şir de numere reale pozitive cu proprietatea lim a n 0. Aplicând Teorema.6.5 rezultă că f n 0 pe [3,4]. (iv) ( ) x [0,+ [ lim f n(x) lim ne 0 A [0,+ [. nx ( ) x [0,+ [ f n (x) 0 ne nx n a n. Cum a n > 0, ( ) n N şi lim a n 0, se aplică Teorema.6.5 şi rezultă f n 0 pe [3,4]. x (v) ( ) x [,+ [ lim f)n(x) lim 2 x 2 +n 0 A [,+ [. 2 Vom arăta că f n 0 pe [,+ [. Se observă că f n (x) 0 x2 x 2 + n 2 x2 2nx x 2n, Este deci suficient să arătăm că ( )ε > 0 ( ) N N(ε) N a. î. Inegalitatea (*) se scrie succesiv: ( ) x [,+ [. x < ε, ( )n N, ( )x [,+ [. (*) 2n n > x 2ε 2ε (căci x [,+ [). ä Alegând atunci N N(ε) 2εç +, deducem că å x ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) + a. î. < ε, ( ) n N, ( ) x [,+ [. 2εè 2n

24. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Rezumând cele de mai sus, ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) ä 2εç + N a. î. ( ) n N, f n (x) 0 < ε, ceea ce arată că f n 0 pe [,+ [. Fără a exemplifica, menţionăm alte două rezultate importante relative la şirurile de funcţii..6.8 Teoremă. (De integrare) Fie şirul de funcţii continue (f n ) n N, f n C([a,b]) ( ) n N. Dacă f n f pe [a,b], atunci: lim b a f n (x)dx b a f(x)dx..6.9 Teoremă. (De derivare) Fie şirul de funcţii derivabile, cu derivate de ordinul întâi continue pe [a,b] (f n ) n N, f n C ([a,b]), ( ) n N. Dacă: (i) f n f pe [a,b]; (ii) f n g pe [a,b], atunci f e derivabilă pe [a,b] şi are loc egalitatea f g, adică lim f n.7 Serii de funcţii lim f n pe [a,b]. Fie (f n ) n N un şir de funcţii, f n : D R ( ) n N (D R). Mai notăm prin (S n ) n N şirul de funcţii de termen general S n (x) n f k (x), ( ) n N..7. Definiţie. (i) Se numeşte serie de funcţii o sumă de forma: k 0 f k f 0 + f + + f n +... ; (ii) Şirul de funcţii (S n ) n N de termen general S n (x) n k0 f k (x), se numeşte şirul sumelor parţiale ale seriei l0 ( ) x D, ( ) n N (iii) Dacă A D e mulţimea de convergenţă a şirului (S n ) n N, atunci A e mulţimea de convergenţă a seriei de funcţii f k ; dacă S n (x) S(x) k 0 f k ; ( ) x A, atunci funcţia S : A R e suma seriei de funcţii considerate; se utilizează în acest caz notaţia: n0 f n (x) S(x), ( ) x A;

.7. Serii de funcţii 25 (iv) Dacă S n S pe A, seria f n e punctual convergentă către S pe A; dacă S n S pe A, seria f n e uniform convergentă către S pe A. Relativ la seriile de funcţii, prezentăm fără demonstraţie următoarele rezultate..7.2 Teoremă. (Cauchy) Seria de funcţii f n este uniform convergentă pe D R ä ( ) ε > 0 ( ) N N(ε) N a. î. f n+p (x) f n (x) < ε, ( ) n N, ( ) p N, ( ) x D ç..7.3 Teoremă. (Weierstrass) Considerăm seria de funcţii f n, f n : D R ( ) n N. Dacă ( ) un şir de numere reale pozitive (a n ) n N cu proprietăţile: (i) f n (x) a n, ( ) n n 0 N, ( ) x D; (ii) lim a n 0, atunci seria f n e uniform convergentă pe D către o funcţie S : D R..7.4 Teoremă. Fie f n o serie de funcţii, f n : D R ( ) n 0, n0 continue pe D. Dacă f n S uniform pe D, atunci funcţia S : D R e continuă pe D. n0.7.5 Teoremă. (De integrare termen cu termen) Fie f n o serie de fracţii continue, f n C([a,b]) ( ) n N. Dacă n0 f n (x) S(x) uniform pe [a,b], atunci: b a f n (x) n0 dx b n0 a f n (x)dx b a S(x)dx..7.6 Teoremă. (De derivare termen cu termen) Fie f n o serie de funcţii f n C ([a,b]), ( ) n N. Dacă: (i) f n (x) S(n), punctual pe [a,b]; n0 (ii) f n (x) G(x), uniform pe [a,b], n0 atunci funcţia S e derivabilă pe [a,b] şi S G, adică f n (x) n0 n0 f n(x), ( ) x [a,b].

26. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Rezultatele prezentate vor fi exemplificate în cazul seriilor de puteri..8 Serii de puteri Se numeşte serie de puteri centrată în x 0 R o serie de funcţii de forma a n (x x 0 ) n (a n R). În continuare se vor considera serii de puteri centrate în x 0 0, deci de forma a n x n. Privitor la convergenţa seriilor de puteri precizăm rezultatele:.8. Teoremă. Orice serie de puteri e convergentă în x 0 0 (deci mulţimea de convergenţă e nevidă)..8.2 Teoremă. (Abel) Dacă seria de puteri a n x n e convergentă în x 0 0, atunci seria e absolut şi uniform convergentă pe orice interval [ r,r], unde 0 < r < x 0. O problemă importantă este aceea a determinării mulţimii de convergenţă a unei serii de puteri..8.3 Definiţie. Fie seria de puteri a n x n. Se numeşte rază de convergenţă a seriei date numărul real R 0 definit prin: R sup x 0 : x punct de convergenţă a sumei a n x n. Privitor la calculul razei de convergenţă a unei serii de puteri are loc.8.4 Teoremă. Fie seria de puteri R. Atunci: R lim n a n lim a n x n, având raza de convergenţă a n+ a n. Dacă R 0 R + ; dacă R R 0. Dacă 0 < R < +, seria a n x n e uniform convergentă pe ] R,R[..8.5 Definiţie. Fie seria de puteri Intervalul I C ] R,R[ a n x n cu raza de convergenţă R. (pe care seria e uniform convergentă) se numeşte interval de convergenţă al seriei.

.8. Serii de puteri 27.8.6 Observaţie. Mulţimea de convergenţă a seriei de puteri a n x n cu raza de convergenţă R e unul din intervalele ] R,R[, [ R,R[, ] R,R] sau [ R,R]. Pentru mulţimea (domeniul) de convergenţă al unei serii de puteri se va folosi notaţia D C..8.7 Aplicaţii. (Domeniul de convergenţă al unei serii de puteri) Determinaţi domeniile de convergenţă ale următoarelor serii de puteri: (i) x n x ; (ii) n n+ ; (iii) x 2n+ 2n+ ; x (iv) n x n 2 ; (v) n (x 3) n n ; (vi) 2n+ n 2n+. n n Soluţie. (i) a n, ( ) n N; R lim convergenţă este I C ],[. Pentru x obţinem seria a n+ a n Pentru x obţinem seria divergentă R. Intervalul de ( ) n care e divergentă / D C. / D C. Rezultă că D C I C ],[. (ii) a n n+ ; R lim n+ n+2 R I C ],[. ( ) x n (n+) 2 + 3... convergentă (e seria armonică alternată) D C. x n+ + 2 + 3 +... divergentă (e seria armonică) / D C. Domeniul de convergenţă este deci D C [,[. (iii) Procedând ca la punctele precedente se obţine D C ],[. n 2 n (iv) R lim (n+)2 n+ 2 R 2 I C ] 2,2[. ( 2) x 2 n ( ) n 2 n n n n convergentă 2 D C. n 2 x 2 n n 2 n n divergentă 2 / D C. Deci D C [ 2,2[. n n n (v) R lim n lim n (vi) Notând x 3 y, obţinem seria n 0 R + I C R D C. y 2n+ 2n+ care e convergentă numai pe domeniul y ],[. Seria dată e deci convergentă dacă şi numai dacă x 3 ],[. Prin urmare D C ]2,4[..8.8 Probleme propuse. (Domenii de convergenţă) Aflaţi domeniul de convergenţă al fiecăreia din seriile:

28. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii (i) ( ) n (2n + ) 2 x n ; (ii) n!x n ; n (iii) 3 n2 x n2 ; (iv) n n (n + 3) n ; n n (v) ( ) n (x ) 2n 2n ; (vi) ( ) n (x 3) n (2n+) 2n+. n R. (i) D C I C ],[; (ii) I C {0} D C ; (iii) D C I C ] 3, 3 [ ; (iv) D C I C { 3}; (vi) I C ],3[; D C [,3]; (vi) I C ]2,4[; D C [2,4]..9 Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri Prezentăm un rezultat teoretic iar apoi dăm mai multe aplicaţii ale lui..9. Teoremă. Considerăm seria de puteri a n x n cu raza de convergenţă R şi notăm S(x) n0 a n x n, Sunt adevărate afirmaţiile de mai jos: (i) S este derivabilă pe ] R, R[; (ii) Seria na n x n are raza R şi n ( ) x ] R,R[. S (x) n na n x n, ( ) x ] R,R[; (iii) Dacă [a,b] ] R,R[ are loc: b a S(x)dx n0 b a n x n dx a n0 a n b n+ a n+ n +..9.2 Exerciţii rezolvate. (Derivare şi integrare termen cu termen) Folosind derivarea sau integrarea termen cu termen, să se calculeze sumele următoarelor serii de puteri:

.9. Derivarea şi integrarea termen cu termen a seriilor de puteri 29 (i) (iii) (v) (vii) (ix) n n n n n nx n ; (ii) ( ) n (2n )x 2n 2 ; (iv) n n ( ) n xn n ; (vi) ( ) n x2n (x 3) n n 2 n. 2n ; n (viii) n nx n 2 n ; x n n ; n(n+) 2 x n ( ) n+ xn+ n(n+) ; Soluţie. (i) x n x, ( ) x ],[ n n nx n x n x x ( x), ( ) x ],[. n n 2 (ii) n 2 2 x, ( ) x ] 2,2[ n x 2 n x 2 Folosind derivarea termen cu termen se obţine: n n x 2 n 2 (2 x) 2, ( ) x ] 2,2[ (iii) Fie S (x) n E uşor de observat că ( ) n x 2n n x n x x, ( ) x ],[ n x 2 x, ( ) x ] 2,2[. nx n 2 n x (2 x) 2, ( ) x ] 2,2[. ( ) n (2n )x 2n 2 Ê S(x)dx n Folosind derivarea termen cu termen se obţine: S(x) n x +x 2, ( ) x ],[. x x 2 + x 2 ( + x 2, ( ) x ],[. ) 2 (iv) Ê x n x, ( ) x ],[ x n 0 ( ) x ],[ x n n n (v) ( ) n x n xê 0 n n t n dt x Ê 0 ( ) n x 2n. dt t ln x, ln( x), ( ) x ],[. Ê +x, ( ) x ],[ x ( ) n t dt n n 0 n dt +t ln(+x), ( ) x ],[ ( ) n xn n ln(+x), ( ) x ],[. n (vi) Pornind de la x n x, ( ) x ],[ şi aplicând de două ori derivarea termen cu termen, se obţine: n n(n + )x n 2x( x)2 + 2( x)x 2 ( x) 4

30. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii iar de aici: n n(n + ) 2 (vii) Este evidentă identitatea: n x n ( x) 3. ( ) n t 2n 2, ( ) t ],[. + t2 Folosind integrarea termen cu termen, rezultă: x 0 ( ) n t dt 2n 2 n x 0 dt arctg x, ( ) x ],[. + t2 Prin urmare: n x2n ( ) 2n n arctg x, ( ) x ],[. (viii) Se porneşte de la identitatea n ( ) n x n, ( ) x ],[ + x şi aplicând de două ori integrarea termen cu termen se găseşte: n ( ) n x n+ (x + )ln(x + ) x, ( ) x ],[. n(n + ) (ix) Se notează x 3 2 y; aplicând apoi integrarea termen cu termen se găseşte: n (x 3) n n 2 n.0 Serii Taylor ln 5 x 2, ( ) x ],5[..0. Definiţie. Fie I R un interval deschis, f : I R o funcţie e admite derivate de orice ordin în x 0 I. Se numeşte serie Taylor ataşată funcţiei f în punctul x 0 următoarea serie: f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n.

.. Serii Mac-Laurin 3 Are loc următorul rezultat:.0.2 Teoremă. Fie I R interval deschis, x 0 I iar f : I R. Dacă: (i) f are derivate de orice ordin în x 0 ; (ii) ( ) M > 0 a. î. f (n+) (x) < M, ( ) x V I (V V(x 0 )), atunci ( ) x V I are loc egalitatea: f(x) n0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n..0.3 Aplicaţii. (La serii Taylor) Să se dezvolte în serie Taylor într-o vecinătate a punctului x 0 4 funcţiile date prin: (i) f(x) x ; (ii) f(x) 2 x 2 +3x+2. Soluţie. (i) Se demonstrează (inducţie după n) că: de unde rezultă: f (n) (x) ( ) n(n + )! x n+2, ( ) x R, ( ) n N f (n) ( 4) (n + )! 4 n+2, ( ) n 0, n N. E uşor de văzut că ( ) V V( 4) pe care f (n+) e mărginită. Are deci loc egalitatea n + 4 n+2 (x + 4)n, ( ) x V R x2 n0 (rămâne în seama cititorului determinarea lui V ). (ii) x 2 + 3x + 2 3 n+ 2 n+ (n + 4) n, ( ) x V (R\{ 2, }) 6 n0 n+ (determinarea lui V rămâne în seama cititorului).. Serii Mac-Laurin.. Definiţie. Fie I R un interval deschis cu proprietatea că x 0 0 I iar f : I R o funcţie ce admite derivate de orice ordin în x 0 0. Seria Taylor ataşată funcţiei f în punctul x 0 0, adică seria n0 f (n) (0) n! se numeşte serie Mac-Laurin a funcţiei f. x n

32. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii..2 Teoremă. În ipotezele definiţiei.. are loc egalitatea: n0 f (n) (0) n! x n f(x), ( ) x A, unde A I e mulţimea de convergenţă a seriei Mac Laurin...3 Aplicaţii. (Dezvoltarea în serie de puteri a unor funcţii elementare). f : R R, f(x) e x, ( ) x R e uşor de văzut că f (n) (x) e x, ( ) x R, ( ) n N f (n) (0), ( ) n N; seria Mac-Laurin este n! xn, deci o serie de puteri cu coeficienţii n0 a n n!, ( ) n N şi raza de convergenţă R + ; domeniul de convergenţă este D C R; prin urmare, ( ) x R are loc egalitatea: e x n0 substituind x : x, se obţine: e x n0 x n n! + x! + x2 2! + + xn n! +... ( ) n xn n! x! + x2 2! + ( )n x4 n! +... 2. f : R R, f(x) sinx, ( ) x R se demonstrează (inducţie după n) că: prin urmare f (n) (x) sin f (n) (0) x + n π 2, ( ) x R, ( ) n N; 0, n 2k ( ) k, n 2k + (k N); seria Mac-Laurin căutată este ( ) n (2n+)! x2n+ şi are raza de n0 convergenţă R + ; prin urmare D C R sinx ( ) k ( ) x R. 3. f : R R, f(x) cos x, ( ) x R n0 (2n+)! x2n+,

.. Serii Mac-Laurin 33 se demonstrează (inducţie după n) că: f (n) (x) cos x + n π, ( ) x R, ( ) n N; 2 prin urmare f (n) (0) ( ) k, n 2k; 0, n 2k + seria Mac-Laurin căutată este n0 R + ; prin urmare D C R cos x (k N); ( ) n (2n)! x 2n şi are raza de convergenţă n0 ( ) n (2n)! x 2n, ( ) x R. 4. f :],+ [ R, f(x) ( + x) α, ( ) x R (α R) se demonstrează (inducţie după n) că: f (n) (x) α(α )... (α n + )( + x) α n, ( ) x R, ( ) n N şi deci f (n) (0) α(α )... (α n + ), ( ) n N seria Mac-Laurin căutată este n0 f (n) (0) n! x n + n α(α )... (α n + ) n! raza ei de convergenţă este R iar domeniul de convergenţă D C ],[; prin urmare are loc egalitatea: ( + x) α + n α(α )... (α n + ) n! pentru α se obţine identitatea: + x ( ) n x n, ( ) x ],[ n0 x n x n, ( ) x ],[ folosind integrarea termen cu termen, din egalitatea precedentă rezultă: ln( + x) ( ) n xn+ n + n0, ( ) x ],[.

34. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii..4 Exerciţii propuse. (Devoltare în serie de puteri) Să se devolte în serie de puteri funcţiile date prin legile de mai jos: (i) f(x) shx ex e x 2 ; (ii) f(x) chx e x +e x 2 ; (iii) f(x) sin 2 x; (iv) f(x) cos 2 3 x; (v) f(x) ( x)(+2x). R. (i) shx n0 (ii) chx n0 x 2n+ (2n+)!, ( ) x R; x 2n (2n)!, ( ) x R; (iii) sin 2 cos 2x x 2 ; folosind apoi dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei cos se obţine: (iv) cos 2 x sin 2 x ( ) n 22n n (2n)! x2n, ( ) x R. +cos 2x 2 ; se procedează apoi ca la (iii), obţinându-se cos 2 x + (v) 3 ( x)(+2x) ( ) n22n (2n)! n, ( ) x R. n0 + ( ) n+ 2 n x n, ( ) x ],[\ 2.2 Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite n0 (2n+)! Prezentăm unele aplicaţii ale dezvoltării în serie de puteri. sinx arctg x A. Să se calculeze l lim. x 0 x 3 Soluţie. Se ştie că sin x ( ) n x2n+. Vom deduce mai întâi dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei arctg x. Pornim de la identitatea cunoscută din care deducem + t t + t2 + ( ) n t n +... ( ) t ],[ + t 2 t2 + t 4 t 6 + + ( ) n t 2n +..., ( ) t ],[..

.2. Utilizarea dezvoltărilor în serie de puteri la calculul limitelor şi la calculul aproximativ al integralelor definite 35 Folosind teorema de integrare termen cu termen, putem integra identitatea precedentă pe intervalul [0, x] ], [ şi obţinem: arctg x x x3 3 + x5 5 x7 x2n+ + + ( )n +..., ( ) x ],[. 7 2n + Din cele de mai sus obţinem: sinx arctg x Limita căutată devine: l lim x 0 3 3! 3 3! x 3 + 5 5! x 5 + 7 7! x 7 +... x 3 + 5 5! x 5 +... x 3 3 3! 6. 2e A2. Să se calculeze l lim x 2 2x x 2 x 0 x sin x. Soluţie. Folosind dezvoltările cunoscute avem: 2e x 2 2x x 2 2 + x 3 2 x sin x x Limita căutată devine n0 x! + x2 2! + x3 3! +... 2 2x x 2 3! + x5 5! +... ( ) n x2n+ (2n + )! x3 3! x5 5! + x7 7!... 2 x3 3! + x5 5! +... x 3 l lim 2 lim x 0 x 3 3! x5 5!... x 0 x 3 A3. Să se calculeze l lim x 0 x arctg x x 3. 3! + x2 3! x2 5! +... 5! +... 2. Soluţie. Se foloseşte dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei arctg x, obţinându-se l 3. A4. Să se calculeze o valoare aproximativă a integralei I 2 0 sinx x dx. Soluţie. Folosind dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei sin x deducem: sin x x x2 3! + x4 5! x6 7! +...

36. Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii Luând primii trei termeni ai dezvoltării precedente obţinem: 2 I x2 2 + x4 dx 20 2 2 + 9600 2 0 9600 800 + 9600 880 9200. A5. Să se calculeze o valoare aproximativă a integralei I 2 0 cos x x 2 Soluţie. Folosind dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei cos x, se obţine: dx. cos x x 2 2! x2 4! + x4 6!... 2 0 cos x x 2 dx 2 4 3 4!2 3 + 5 6!2 5... 0 2! x2 4! + x4 dx 6!

Capitolul 2 Spaţiile R n 2. Spaţiul cu n dimensiuni Notăm R n R R R x (x,x 2,...,x n ) : x i R, ( ) i,n. În cazul n, mulţimea R este dreapta reală R. În cazul n 2, mulţimea R 2 este mulţimea perechilor de numere reale (x,x 2 ) (sau mulţimea punctelor din plan de abscisă x şi ordonată x 2 ). Punctele lui R 2 vor fi notate adesea (x,y) în loc de (x,x 2 ). În cazul n 3, mulţimea R 3 este mulţimea tripletelor de numere reale (x,x 2,x 3 ) sau mulţimea punctelor din spaţiu. Punctele din spaţiu vor fi notate adesea (x,y,z) în loc de (x,x 2,x 3 ). Prin analogie, R n se numeşte spaţiul cu n dimensiuni iar elementele sale se numesc puncte. Dacă x (x,...,x n ) R n, x,x 2,...,x n se numesc coordonatele (proiecţiile) punctului x. 2.2 Structura de spaţiu vectorial al lui R n Operaţia de adunare + : R n R n R n se defineşte prin: x+y(x +y,...,x n +y n ), ( )x(x,...,x n ) R n, ( )y(y,...,y n ) R n. Se verifică uşor: 2.2. Teoremă. (R n,+) este un grup abelian cu elementul neutru 0 (0,0,...,0) şi opusul fiecărui element x (x,...,x n ) R n elementul x ( x,..., x n ) R n. Operaţia de înmulţire a elementelor din R n cu numere reale : R R n R n se defineşte prin: α x (αx,...,αx n ), ( ) α R, ( ) x (x,...,x n ) R n. 37

38 2. Spaţiile R n 2.2.2 Teoremă. Au loc egalităţile: (i) α(x + y) αx + αy, ( ) α R, ( ) x,y R n ; (ii) (α + β)x αx + βx, ( ) α,β R, ( ) x R n ; (iii) α(βx) (αβ)x, ( ) α,β R, ( ) x R n ; (iv) x x, ( ) x R n. Teoremele 2.2. şi 2.2.2 asigură faptul că (R n,+, ) este un spaţiu vectorial real. De aceea elementele x R n se mai numesc şi vectori, iar coordonatele x,...,x n se numesc componentele vectorului x (x,x 2,...,x n ). 2.3 Produsul scalar în R n 2.3. Definiţie. Funcţia <, >: R n R n R x,y n i x i y i, ( ) x (x,...,x n ) R n, ( ) y (y,...,y n ) R n se numeşte produs scalar în R n. Din Definiţia 2.3. se obţin proprietăţile produsului scalar, exprimate în 2.3.2 Teoremă. Produsul scalar în R n are proprietăţile: (i) x,x 0, ( ) x R n ; x,x 0 x 0; (ii) x,y y,x, ( ) x,y R n ; (iii) x + y,z x,z + y,z, ( ) x,y,z R n ; (iv) αx,y x,αy α x,y, ( ) α R, ( ) x,y R n. Din proprietatea (iii) rezultă egalitatea 0, x x, 0 0. Un rezultat important este 2.3.3 Teoremă. (Inegalitatea lui Schwarz) x,y 2 x,x y,y, ( ) x,y R n. Demonstraţie. ( ) x (x,...,x n ) R n, ( ) y (y,...,y n ) R n inegalitatea enunţului revine la n 2 x i y i i n x 2 i i n yi 2 i. (*) n n Definim f : R R, f(t) x 2 i t 2 2 x i y i t + n yi 2. i i i Cum f(t) n n (tx i y i ) 2 0, ( ) t R şi x 2 i > 0 f 0 n i x i y i 2 n i x 2 i i y n. x y x 2 y 2 xn n yi 2 i i. Egalitatea are loc x i y i t, ( ) i,n

2.4. Norma în R n 39 2.4 Norma în R n Pe dreapta reală R s-a definit distanţa între punctele x,y cu ajutorul modulului x y. În R n se va defini norma unui vector x, notată x iar cu ajutorul ei se va exprima distanţa între 2 puncte x,y R n. 2.4. Definiţie. Norma vectorului x (x,...,x n ) R este numărul real nenegativ x definit prin: x x,x n x 2 i i în Proprietăţile normei, asemănătoare cu cele ale modulului sunt exprimate 2.4.2 Teoremă. (i) x 0, ( ) x R n ; x 0 x 0; (ii) αx α x, ( ) α R, ( ) x R n ; (iii) x + y x + y, ( ) x,y R n (inegalitatea triunghiului); (iv) xy x y, ( ) x,y R n (inegalitatea lui Schwarz transcrisă în limbajul normei). 2.4.3 Observaţii. (i) În R, x x x x 2 x şi geometric reprezintă distanţa de la originea O la punctul de abscisă x. (ii) În R2, dacă x (x,x 2 ) x x 2 + x2 2, cu aceeaşi semnificaţie geometrică de la (i). (iii) În R3, dacă x (x,x 2,x 3 ) x x 2 + x2 2 + x2 3. 2.5 Distanţa în R n Cu ajutorul normei se poate introduce distanţa între două puncte din R n aşa cum în R s-a introdus distanţa între 2 puncte cu ajutorul modulului. 2.5. Definiţie. Fie x,y R n. Atunci distanţa între x,y se exprimă prin: 2.5.2 Observaţii. (i) În R, d(x,y) x y. d(x,y) x y.

40 2. Spaţiile R n (ii) În R2, distanţa între x(x,x 2 ), y(y,y 2 ) se exprimă prin: d(x,y) (x y ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. (iii) În R3, distanţa între x(x,x 2,x 3 ), y(y,y 2,y 3 ) se exprimă prin: d(x,y) (x x 2 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2. Distanţa în R n are proprietăţile din 2.5.3 Teoremă. ( ) x,y,z R n au loc: (i) d(x,y) 0; d(x,y) 0 x y; (ii) d(x,y) d(y,x); (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (inegalitatea triunghiului). 2.6 Vecinătăţile unui punct din R n 2.6. Definiţie. Fie n intervale pe o dreaptă I,I 2,...,I n. Produsul lor cartezian I I I 2 I n se numeşte interval n-dimensional: I {(x,x 2,...,x n ) : x I,x 2 I 2,...,x n I n }. Intervalele I,I 2,...,I n se numesc laturile intervalului n-dimensional I. 2.6.2 Observaţii. (i) Laturile unui interval n-dimensional pot fi închise la un capăt sau la ambele capete, mărginite sau nemărginite. (ii) În planul R2 un interval bidimensional cu laturile mărginite e un dreptunghi. (iii) În spaţiul R3 un interval tridimensional cu laturile mărginite este un paralelipiped. (iv) Dacă toate intervalele I,I 2,...,I n sunt deschise, atunci I se numeşte interval n-dimensional deschis; dacă laturile intervalului n-dimensional sunt închise, intervalul se numeşte închis; dacă toate laturile sunt intervale mărginite, intervalul se numeşte mărginit. (v) În continuare, prin interval n-dimensional se va înţelege interval n-dimensional deschis şi mărginit, afară de cazul când se va specifica în mod expres contrarul. 2.6.3 Definiţie. Fie a R n şi r > 0; se numeşte sferă (deschisă) de centru a şi rază r, mulţimea: V r (a) {x R n : x a < r}.

2.7. Mulţimi deschise în R n 4 2.6.4 Observaţii. (i) În spaţiul R R, V r (a) ]a r,a + r[ {x R : x a < r}. (ii) În spaţiul R2, V r (a) {x (x,x 2 ) R 2 : x a < r} x (x,x 2 ) R 2 : (x a ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < r x (x,x 2 ) R 2 : (x a ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < r 2, adică interiorul cercului de centru a(a,a 2 ) şi rază r. (iii) Analog, în R 3, V r (a) x(x,x 2,x 3 ) R 3 :(x a ) 2 +(x 2 a 2 ) 2 + (x 3 a 3 ) 2 < r 2, deci interiorul sferei de centru a(a,a 2,a 3 ) şi rază r. 2.6.5 Definiţie. Mulţimea W r (a) {x R n : x a r} se numeşte sferă închisă de centru a şi rază r. În continuare se vor face referiri la sfere deschise. Se demonstrează: 2.6.6 Teoremă. Orice sferă de centru a conţine un interval n-dimensional care conţine a; reciproc, orice astfel de interval conţine o sferă de centru a. 2.6.7 Definiţie. Se numeşte vecinătate a lui a R n orice mulţime care conţine o sferă V r (a) de centru a. Se demonstrează: 2.6.8 Teoremă. O mulţime V este o vecinătate a unui punct a R n dacă şi numai dacă există un interval n-dimensional I, astfel ca a I V. 2.7 Mulţimi deschise în R n 2.7. Definiţie. Fie A R n şi a A. Punctul a este un punct interior al mulţimii A dacă există o vecinătate V a lui a conţinută în A, a V A, adică mulţimea A este ea însăşi o vecinătate a lui a. 2.7.2 Observaţie. Mulţimea tuturor punctelor interioare lui A se numeşte interiorul mulţimii A şi se notează IntA; este evidentă incluziunea IntA A. 2.7.3 Definiţie. Mulţimea A R n este deschisă A IntA ( A este o vecinătate al fiecărui punct al său). Se demonstrează: 2.7.4 Teoremă. (i) Reuniunea unei familii oarecare de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. (ii) Intersecţia unei familii finite de mulţimi deschise este o mulţime deschisă.

42 2. Spaţiile R n 2.8 Mulţimi închise. Frontieră a unei mulţimi 2.8. Definiţie. Punctul a R n este aderent mulţimii A R n dacă orice vecinătate V a lui a conţine cel puţin un punct x A, adică: oricare ar fi vecinătatea V a lui a. V A 2.8.2 Observaţii. (i) Dacă a A, atunci a este un punct aderent al lui A; pot exista puncte aderente ale lui A care să nu aparţină lui A. (ii) Mulţimea punctelor aderente lui A se numeşte aderenţa (închiderea) lui A şi se notează A; evident A A. 2.8.3 Definiţie. O mulţime A R n este închisă dacă este egală cu închiderea sa, A A. Se demonstrează: 2.8.4 Teoremă. (i) Mulţimea A R n este închisă complementara sa CA este închisă. (ii) Reuniunea unei familii finite de mulţimi închise este o mulţime închisă. (iii) Intersecţia unei familii oarecare de mulţimi închise este o mulţime închisă. 2.8.5 Definiţie. Fie A R n ; punctul a R n este punct frontieră a lui A dacă a este punct aderent atât pentru A cât şi pentru CA, adică oricare ar fi V o vecinătate a lui a, V A, V CA. Mulţimea punctelor frontieră ale lui A se numeşte frontiera lui A şi se notează Fr A. Avem Fr A Fr CA şi Fr A A\IntA. 2.9 Puncte de acumulare 2.9. Definiţie. Fie A R n şi a R n. Punctul a este un punct de acumulare al lui A dacă orice vecinătate V a lui a conţine cel puţin un punct x a din A ( ( ) V - vecinătate a lui A, (V \{a}) A ).

2.0. Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe 43 2.9.2 Observaţii. (i) Orice punct de acumulare al lui A este punct aderent al lui A, deci mulţimea punctelor de acumulare e conţinută în închiderea A a lui A. (ii) Un punct aderent a A care nu aparţine lui A este în mod necesar punct de acumulare al lui A. (iii) Punctele lui A nu sunt în mod necesar puncte de acumulare ale lui A. (iv) Punctul b A e izolat dacă nu e punct de acumulare. Se demonstrează: 2.9.3 Teoremă. A R n este închisă A îşi conţine toate punctele de acumulare. 2.0 Mulţimi mărginite. Mulţimi compacte. Mulţimi conexe 2.0. Definiţie. Mulţimea A R n e mărginită dacă există o sferă cu centrul în origine care conţine mulţimea A, adică: ( ) M > 0 a. î. x M, ( ) x A. 2.0.2 Definiţie. Mulţimea A R n e compactă dacă e mărginită şi închisă. 2.0.3 Definiţie. Mulţimea A R n este conexă dacă nu există nici o pereche de mulţimi deschise G şi G 2 astfel ca: A G G 2, A G, A G 2 şi (A G ) (A G 2 ). 2. Şiruri de puncte din spaţiul R n 2.. Definiţie. O funcţie f : N R n se numeşte şir de puncte din spaţiul R n. Se va nota prescurtat (x k ) k N. 2..2 Definiţie. Punctul x 0 R n este limita şirului (x k ) k N din R n dacă în afara oricărei vecinătăţi a lui x 0 se găsesc cel mult un număr finit de termeni ai şirului. Se utilizează notaţia lim k x k x 0. 2..3 Observaţie. Dacă V ε (x 0 ) e o vecinătate a lui x 0, atunci x k V ε (x 0 ) x k x 0 < ε. Se demonstrează următoarele rezultate: