LOGIKA MATEMATIKA MODUL 1 Himpunan Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2012 年 04 月 08 日 ( 日 )
Himpunan I. Definisi dan Notasi Himpunan adalah kumpulan sesuatu yang didefinisikan dengan jelas dan anggota-anggotanya dapat dibedakan satu sama lain. Contoh: 1. Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 5. A = {2,3,4} = {x x = bilangan bulat, 1 < x < 5} 2. Himpunan hewan piaraan. B = {kucing, anjing, } = {x x = hewan piaraan} 3. Himpunan mahasiswa rajin belajar. C = {Amir, Tuti, Hasan, } = {x x = mahasiswa rajin belajar} 4. Himpunan titik-titik pada fungsi y = x-1 dengan x = bilangan bulat positif. D = {(1,0),(2,1),(3,2), } = {(x,y) y = x 1, x = bil bulat positif} Notasi: 1. = elemen/anggota. a b = a elemen/anggota b a c = a bukan elemen/anggota c. 2. Ø atau { } = Himpunan kosong = Himpunan yang tidak mempunyai anggota. 3. S = Himpunan semesta (pembicaraan) = Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan 4. atau atau = Himpunan bagian A B atau B A A B dibaca A himpunan bagian dari B B A dibaca B memuat A Contoh: A = {1,2} ; B = {0,1,2,3} 5. = Union/gabungan. C D = C union D Contoh: Jika C = {a,b} dan D = {b,c,d}, maka C D = {a,b} {b,c,d = 2
{a,b,c,d}. 6. = Interseksi/irisan Dari contoh di atas C D = {b}. II. Diagram Venn 1. A B 2. A B 3. A atau A = {x x A} Contoh: Jika S = {1,2,3,4,5} dan A = {3,5}, maka A = {1,2,4}. 3
4. A B = A B = {x x A dan x B} Contoh: Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {c,d,e,f,g}, maka A B = {a,b,c}, A A = S dan B A = {f,g} 5. B A = B A = {x x B dan x A} III. Rumus yang digunakan 1. (A ) = A 2. Ø = S S = Ø 3. A B = A B A + B = (A B) (A B) 4. A Ø = A A Ø = Ø 5. A S = S A S = A 6. A A =A A A = A 7. A A = S A A = Ø 8. Hukum asosiatif: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 4
9. Hukum Komutatif: A B = B A A B = B A 10. Hukum Distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 11. Rumus Demorgan: (A B) = A B (A B) = A B A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 12. Banyaknya anggota himpunan (n) dapat diperoleh dari hubungan IV. n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) n(a B C) = n(a) + n(b) + n(c) n(a B) - n(a B) - n(a B) + Skema Bilangan n(a B C) 5
Contoh penerapan pada himpunan: 1. S = {x x = bilangan asli}, A = {x x bilangan prima} maka A = {x x = bilangan komposit atau x = 1} 2. A = {x x = bilangan cacah} B = {x x = bilangan komposit} maka A B = {x x {0,1}atau x = bilangan prima} 3. A = (x x = bilangan riil} B = {x x = bilangan bulat} maka A B = {x x = bilangan irasional atau x = Bilangan pecah} Hal-hal yang perlu diketahui 1. Bilangan Asli = 1,2,3,4,5,6, 2. Bilangan Cacah = 0,1,2,3,4,5, 3. Bilangan Prima = 2,3,5,7,11,13, 4. Bilangan Komposit = 4,6,8,9,10,12, (hasil perkalian mulai 4) 5. Bilangan Irasional = bilangan akar murni ( 2, 3, 5, 7,, ), π,.. 6. Himpunan Lepas (saling asing) A & B, maka A B = Ø 7. Himpunan ekivalen C dan D, maka elemen-elemen yang seletak, ekivalen. 8. Himpunan Kuasa (2 ). Adalah himpunan yang elemennya berupa himpunan-himpunan bagian dari S. Contoh: Jika S = { a, b }, maka 2 = { Ø, {a}, {b}, {a,b} }. Jumlah anggota himpunan tersebut = n(2 S ) = 2 n(s) = 2² = 4 SOAL-SOAL 1. Jika S = {x x bilangan riil}, A = {x -3 < x 1}, B = {x -1 < x 4} carilah A B, A B, A B, B A, A B, A B! 2. Jika S = {x x bilangan riil}, A = {x -7 x < 3}, B = {x -2 < x 5} carilah A B, A B, A B, B A, A B, A B! 3. Jika S = {x x bilangan riil}, A = {x -5 x< 2}, B = {x -2 < x 6} carilah (A B) - ( A B), (A-B) (B-A), A B! 6
4. Jika S = {x x bilangan riil}, A = {x -9 < x 5}, B = {x -6 x < 10} carilah (A B) - ( A B), (A-B) (B-A), A B! 5. Jika S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {1,3,5,7}; B = {2,3,4,5} ; C = {3,6,8,9} tentukanlah a). A B, A C, B C b). A B, A C, B C c). A, B, C d). A B, B A, C A, B C e). (A B) C 6. Jika S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; A = {2,4,6,8}; B = {2,3,4,5} ; C = {3,6,8,9} tentukanlah a). (A B) C b). (A B ) - C c). (A B) (C A) d). (C A) (B C) 7. Bila N = himpunan bilangan asli, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x N, -2 < x + 2 < 15 } b). B = { x x N, x = bilangan genap, 0 < x - 2 < 15 } c). C = { x x N, x = bilangan ganjil, -1 < x + 3 < 15 } d). D = { x x N, x = bilangan prima, 0 < x + 2 < 15 } 8. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x R, x + 2 < 5 } b). B = { x x R, 3 log x < 5} c). C = { x x R, x + 2 < 5 } d). D = { x x R, x 3 2 x 2 + 3x + 6 = 0 } 9. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x R, 7 x 3 < 9 x + 5 < 6 x + 10 } b). B = { x x R, 2 log x log(3 + x) + log 4 } c). C = { x x R, 4 3x x + 2 < 0 } d). D = { x x R, 2 x 3 + 3 x 2 8 x + 3 = 0 } 10. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x R, 1 < x < 2, 1 x 1½, ½ < x < 3 } 7
b). B = { x x R, 3 log x + 3 log (2x 3) < 3 } c). C = { x x R, x 2 > 2 10 x } d). D = { x x R, 6 x 3 7 x 2 7 x + 6 = 0 } 11. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x R, 3 x 2 + 4 x 15 } b). B = { x x R, 1/6 log (x 2 x) > 1 } c). C = { x x R, x + 10 x + 2 < 2 } d). D = { x x R, x 3 + 4 x 2 + x 6 = 0 } 12. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x R, x 2 + 2 x 3 0 } b). B = { x x R, 1/2 log (x 2 8) > 0 } c). C = { x x R, (2 x 17) 2 9 } d). D = { x x R, x 3 3 x 2 + 2 = 0 } 13. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x R, x 2 2 1 } b). B = { x x R, 5 x 7 7 x + 5 } c). C = { x x R, x 2 x 5 > x + 1 x 4 } d). D = { x x R, 2x 4 5 x 3 8 x 2 + 17 x 6 = 0 } 14. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x R, ¼ x + 6 ½ } b). B = { x x R, 3 2x 2 x 3 } c). C = { x x R, x 2 5x 4 x + 3 > 1 } d). D = { x x R, x 3 2 x 2 + 3 x + 6 = 0 } 15. Bila R = himpunan bilangan riil, tentukanlah elemen-elemen himpunanhimpunan: a). A = { x x R, x 2 3 < 2 x } 8
b). B = { x x R, 2 x 1 < x + 1 } c). C = { x x R, x 4 3 x 3 7 x 2 + 27 x 18 = 0 } d). D = { x x R, 3 x 4 10 x 3 5 x 2 + 20 x + 12 = 0 } 16. Bila N = Himpunan bilangan asli, M = Himpunan bilangan genap, M N, K = Himpunan bilangan ganjil, K N, L = Himpunan bilangan kelipatan 3, L N, P = Himpunan bilangan kelipatan 5, P N, Tentukanlah elemen-elemen himpunan-himpunan berikut ini dan hitunglah berapa banyak elemennya. a). A = { x x N, x L, 1 < x < 50 } b). B = { x x N, x P, 1 < x < 100 } c). C = { x x M, x L, 1 < x < 50 } d). D = { x x K, x L, 1 < x < 50 } e). E = { x x M, x P, 1 < x < 100 } f). F = { x x K, x P, 1 < x < 100 } 17. Jika himpunan N, M, K, L, P sama seperti no. 9, tentukanlah banyaknya elemen himpunan-himpunan berikut ini: a). G = { x x N, x L P, 1 < x < 100 } b). H = { x x N, x L P, 1 < x < 100 } c). I = { x x M, x L P, 1 < x < 100 } d). J = { x x K, x L P, 1 < x < 100 } 18. Jika himpunan N, M, K, L, P sama seperti no. 7, tentukanlah banyaknya elemen himpunan-himpunan berikut ini: a). G = { x x N, x L P, 2 < x < 1000 } b). H = { x x N, x L P, 3 < x < 1100 } c). I = { x x M, x L P, 4 < x < 1200 } d). J = { x x K, x L P, 5 < x < 1300 } 19. Bila N = Himpunan bilangan asli, M = Himpunan bilangan genap, M N, K = Himpunan bilangan ganjil, K N, L = Himpunan bilangan kelipatan 3, L M, P = Himpunan bilangan kelipatan 5, P M, tentukanlah elemen-elemen himpunan-himpunan berikut ini dan hitunglah berapa banyak elemennya. a). A = { x x N, x L, 1 < x < 500 } b). B = { x x N, x P, 1 < x < 1000 } c). C = { x x M, x L, 1 < x < 500} 9
d). D = { x x K, x L, 1 < x < 500 } e). E = { x x M, x P, 1 < x < 1000 } f). F = { x x K, x P, 1 < x < 1000 } 20. Jika himpunan N, M, K, L, P sama seperti no. 12, tentukanlah banyaknya elemen himpunan-himpunan berikut ini: a). G = { x x N, x L P, 1 < x < 1000 } b). H = { x x N, x L P, 1 < x < 1000 } c). I = { x x M, x L P, 1 < x < 1000 } d). J = { x x K, x L P, 1 < x < 1000 } 10